L'objectif de cette thèse est la modélisation mathématique des mécanismes de contraction musculaire à l'échelle microscopique dans le but de proposer et d'intégrer ces modèles dans un environnement de simulation cardiaque multi-échelle.Ce travail est réalisé dans le contexte de la médecine numérique, qui propose d'améliorer le traitement des patients par l'utilisation d'outils numériques.La première contribution de cette thèse est une analyse bibliographique des travaux expérimentaux caractérisant l’interaction actine-myosine et ses régulations afin de compiler les informations sous une forme utilisable pour le développement de modèles.Cette étape est une condition préalable essentielle à la modélisation.Nous proposons ensuite une hiérarchie de modèles de contraction musculaire à partir d'un modèle stochastique raffiné existant, mais validé uniquement pour les muscles squelettiques, en appliquant des hypothèses de simplification successives.Les étapes de simplification transforment l'équation différentielle stochastique initiale en une équation aux dérivées partielles avec une description qui fait partie de la famille de modèles dérivée du modèle Huxley'57.Une simplification supplémentaire conduit ensuite à un modèle décrit par un ensemble d'équations différentielles ordinaires.La pertinence des modèles proposés, qui ciblent différentes échelles de temps, est démontrée en les comparant aux données expérimentales obtenues avec des muscles cardiaques, et leur domaine de validité est étudié.Pour intégrer ces descriptions dans un environnement de simulation cardiaque, nous avons étendu ces modèles afin de prendre en compte les mécanismes de régulation de la force qui se produisent in vivo.Cela conduit à de nouvelles équations aux dérivées partielles.Ensuite, nous lions les modèles de contraction microscopiques à un modèle d’organe macroscopique.Nous suivons pour cela une approche fondée sur les principes thermodynamiques pour traiter la nature multi-échelle en temps et en espace du tissu musculaire aux niveaux continu et discret.La validité de cet environnement de simulation est démontrée en présentant sa capacité à reproduire le comportement du coeur et en particulier les caractéristiques essentielles de l'effet Frank-Starling. / This PhD thesis deals with the mathematical description of the micro-scale muscle contraction mechanisms with the aim of proposing and integrating our models into a multiscale heart simulation framework.This research effort is made in the context of digital medicine, which proposes to improve the treatment of patients with the use of numerical tools.The first contribution of this thesis is a literature review of the experimental works characterizing the actin-myosin interaction and its regulations to compile information in a useable form for the development of models.This stage is an essential prerequisite to modeling.We then propose a hierarchy of muscle contraction models starting from a previously proposed refined stochastic model, which was only validated for skeletal muscles, and applying successive simplification assumptions.The simplification stages transform the initial stochastic differential equation into a partial differential equation with a model that is part of the Huxley'57 model family.A further simplification then leads to a description governed by a set of ordinary differential equations.The relevance of these models, targeting different time scales, is demonstrated by comparing them with experimental data obtained with cardiac muscles and their range of validity is investigated.To integrate these microscopic descriptions into a heart simulation framework, we extend the models to take into account the force regulation mechanisms that take place in vivo, leading to the derivation of new partial differential equations.Then, we link the microscopic contraction models to the macroscopic organ model.We follow for that an approach based on the thermodynamical principles to deal with the multi-scale nature in time and space of the muscle tissue at the continuous and at the discrete levels.The validity of this simulation framework is demonstrated by showing its ability to reproduce the heart behavior and in particular to capture the essential features of the Frank-Starling effect.

L'objectif de cette thèse est l'accélération des solveurs de Gradient Conjugué avec déflation utilisés pour la résolution de l'équation de Poisson pour la pression, dans le cas de la simulation d'écoulements à faible nombre de Mach sur des maillages non structurés. Une méthode de redémarrage basée sur une estimation de l'effet des erreurs numériques a été mise en œuvre et validée. Par la suite, une méthode à trois niveaux de maillage a été créée, et deux techniques ont dû être développées pour réduire le nombre d'itérations sur les niveaux grossiers : l'une permet la création de solutions initiales grâce à une méthode de projection adaptée, l'autre consiste en une adaptation du critère de convergence sur les niveaux grossiers. Les résultats numériques sur des simulations massivement parallèles montrent entre autres une réduction considérable du temps de calcul global. D'autres pistes de recherche sont introduites, notamment concernant l'équilibrage dynamiques de charge de calcul. / The main objective of this thesis is to accelerate deflated Conjugate Gradient solvers used for solving the pressure Poisson equation, for the simulation of low-Mach number flows on unstructured meshes. A restart method based on an estimation of the effect of numerical errors has been implemented and validated. Then, a three-level deflation method has been created, and two techniques are developed in order to reduce the number of iterations on the coarse levels : one of them is the creation of initial guesses thanks to a well-suited projection method, the other one consists in adapting the convergence criterion on the coarse grids. Numerical results on massively parallel simulations show, among others, a drastic reduction of the computational times of the solver. Other lines of research are introduced, especially regarding dynamic load balancing.

Cette thèse porte sur l'étude de méthodes numériques pour l'analyse de deux modèles stochastiques apparaissant dans le contexte de la condensation de Bose-Einstein. Ceux-ci constituent deux généralisations de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cette équation aux dérivées partielles déterministe modélise la dynamique de la fonction d'onde d'un condensat de Bose-Einstein piégé par un potentiel extérieur confinant.Le premier modèle étudié permet de modéliser les fluctuations de l'intensité du potentiel confinant et prend la forme d'une équation aux dérivées partielles stochastiques. Celles-ci conduisent en pratique à un échauffement du condensat, et parfois mêmeà son effondrement. Nous proposons dans un premier chapitre la construction d'un schéma numérique pour la résolution de ce modèle. Il est fondé sur une discrétisation spectrale en espace, et une discrétisation temporelle de type Crank-Nicolson. Nous démontrons que le schéma proposé converge fortement en probabilité à l'ordre au moins 1 en temps, et nous présentons des simulations numériques illustrant ce résultat. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude théorique et numérique de la dynamique d'une solution stationnaire (pour l'équation déterministe) de type vortex. Nous étudions l'influence des perturbations aléatoires du potentiel sur la solution, et montrons que la solution perturbée garde les symétries de la solution stationnaire pour des temps au moins de l'ordre du carré de l'inverse de l'intensité des fluctuations. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques exploitant une méthode de Monte-Carlo adaptée à la simulation d'événements rares.Le deuxième modèle permet de modéliser les effets de la température sur la dynamique d'un condensat. Lorsque celle-ci n'est pas nulle, la condensation n'est pas complète et le condensat interagit avec les particules non condensées. Ces interactions sont d'un grand intérêt pour comprendre la dynamique de transition de phase et analyser les phénomènes de brisure de symétrie associés, comme la formation spontanée de vortex. Nous nous sommes intéressés dans les chapitres 3 et 4 à des questions relatives à la simulation de la distribution des solutions de cette équation en temps long. Le troisième chapitre est consacré à la construction d'une méthode d’échantillonnage sans biais pour des mesures connues à une constante multiplicative près. C'est une méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov qui a la particularité de permettre un échantillonnage non-réversible basé sur une équation de type Langevin sur-amortie. Elle constitue une extension de Metropolis-Adjusted Langevin Algorithm (MALA). Le quatrième chapitre est quant à lui consacré à l'étude numérique de dynamiques métastables liées à la nucléation de vortex dans des condensats en rotation. Un intégrateur numérique pour la dynamique étudiée est proposé, ainsi qu'une méthode de Monte-Carlo adaptée à la simulation d'événements rares correspondant aux changements de configurations métastables. Cette dernière est basée sur l'algorithme Adaptive Multilevel Splitting (AMS). / This thesis is devoted to the numerical study of two stochastic models arising in Bose-Einstein condensation physics. They constitute two generalisations of the Gross-Pitaevskii Equation. This deterministic partial differential equation model the wave function dynamics of a Bose-Einstein condensate trapped in an external confining potential. The first chapter contains a simple presentation of the Bose-Einstein condensation phenomenon and of the experimental methods used to construct such systems.The first model considered enables to model the fluctuations of the confining potential intensity, and takes the form of a stochastic partial differential equation. In practice, these fluctuations lead to heating of the condensate and possibly to its collapse. In the second chapter we propose to build a numerical scheme to solve this model. It is based on a spectral space discretisation and a Crank-Nicolson discretisation in space. We show that the proposed scheme converges strongly at order at least one in probability. We also present numerical simulations to illustrate this result. The third chapter is devoted to the numerical and theoretical study of the dynamics of a stationary solution (for the deterministic equation) of vortex type. We study the influence of random disturbances of the confining potential on the solution. We show that the disturbed solution conserves the symmetries of the stationary solution for times up to at least the square of the inverse of the fluctuations intensity. These results are illustrated with numerical simulations based on a Monte-Carlo method suited to rare events estimation.The second model can be used to model the effects of the temperature on the dynamics of a Bose-Einstein condensate. In the case of finite temperature, the Bose-Einstein condensation is not complete and the condensate interacts with the non-condensed particles. These interactions are interesting to understand the dynamics of the phase transition and analyse the phenomena of symmetry breaking associated, like the spontaneous nucleation of vortices We have studied in the fourth and the fifth chapters some questions linked to the long time simulation of this model solutions. The fourth chapter is devoted to the construction of an unbiased sampling method of measures known up to a multiplicative constant. The distinctive feature of this Markov-Chain Monte-Carlo algorithm is that it enables to perform an unbiased non-reversible sampling based on an overdamped Langevin equation. It constitutes a generalization of the Metropolis-Adjusted Langevin Algorithm (MALA). The fifth chapter is devoted to the numerical study of metastable dynamics linked to the nucleation of vortices in rotating Bose-Einstein condensates. A numerical integrator and a suited Monte-Carlo methods for the simulation of metastable dynamics are proposed. This Monte-Carlo method is based on the Adaptive Multilevel Splitting (AMS) algorithm.

Boundary-layer transition from a laminar to a turbulent regime is a critical driver in the design of high-speed vehicles. The aerothermodynamic loads associated with transitional or fully turbulent hypersonic boundary layers are several times higher than those associated with laminar flow. The presence of isolated roughness elements on the surface of a body can accelerate the growth of incoming disturbances and introduce additional instability mechanisms in the flow field, eventually leading to a premature occurrence of transition. This dissertation studies the instabilities induced by three-dimensional discrete roughness elements located inside a high-speed boundary layer developing on a flat plate. Two-dimensional local linear stability theory (2D-LST) is employed to identify the instabilities evolving in the three-dimensional flow field that characterizes the wake induced by the roughness elements and to investigate their evolution downstream. A formulation of the disturbance energy evolution equation available for base flows depending on a single spatial direction is generalized for the first time to base flows featuring two inhomogeneous directions and perturbations depending on three spatial directions. This generalization allows to obtain a decomposition of the temporal growth rate of 2D-LST instabilities into the different contributions that lead to the production and dissipation of the total disturbance energy. This novel extension of the formulation provides an additional layer of information for understanding the energy exchange mechanisms between a three-dimensional base flow and the perturbations resulting from 2D-LST. Stability computations for a calorically perfect gas illustrate that the wake induced by the roughness elements supports the growth of different sinuous and varicose instabilities which coexist together with the Mack-mode perturbations that evolve in the flat-plate boundary layer, and which become modulated by the roughness-element wake. A single pair of sinuous and varicose disturbances is found to dominate the wake instability in the vicinity of the obstacles. The application of the newly developed decomposition of the temporal growth rate reveals that the roughness-induced wake modes extract most of their potential energy from the transport of entropy fluctuations across the base-flow temperature gradients and most of their kinetic energy from the work of the disturbance Reynolds stresses against the base-flow velocity gradients. Further downstream, the growth rate of the wake instabilities is found to be influenced by the presence of Mack-mode disturbances developing on the flat plate. Strong evidence is observed of a continuous synchronization mechanism between the wake instabilities and the Mack-mode perturbations. This phenomenon leads to an enhancement of the amplification rate of the wake modes far downstream of the roughness element, ultimately increasing the associated integrated amplification factors for some of the investigated conditions. The effects of vibrational molecular excitation and chemical non-equilibrium on the instabilities induced by a roughness element are studied for the case of a high-temperature boundary layer developing on a sharp wedge configuration. For this purpose, a 2D-LST solver for chemical non-equilibrium flows is developed for the first time, featuring a fully consistent implementation of the thermal and transport models employed for the base flow and the perturbation fields. This is achieved thanks to the automatic derivation and implementation tool (ADIT) available within the von Karman Institute extensible stability and transition analysis (VESTA) tool-kit, which enables an automatic derivation and implementation of the 2D-LST governing equations for different thermodynamic flow assumptions and models. The stability computations for this configuration show that sinuous and varicose disturbances also dominate the wake instability in the presence of vibrational molecular energy mode excitation and chemical reactions. The resulting base-flow cooling associated with the modeling of such high-temperature phenomena is found to have opposite stabilizing and destabilizing effects on the streamwise evolution of the sinuous and varicose instabilities. The modeling of vibrational excitation and chemical non-equilibrium acting exclusively on the perturbations is found to have a stabilizing influence in all cases. / Doctorat en Sciences de l'ingénieur et technologie / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse est scindée en deux parties. Dans un premier temps, nous présentons deux schémas volumes finis pour la discrétisation des problèmes de diffusion-convection-réaction sur les surfaces mouvantes. Le premier schéma présente une extension du schéma volumes finis avec flux à deux points sur les surfaces mouvantes. Le deuxième développe une méthode de type O-méthode. Cette dernière consiste à construire à partir des inconnus au centre des mailles, des solutions linéaires autour des nœuds de maillage qui intègrent la continuité des flux aux interfaces de mailles. La méthode permet aussi la construction des décentrages amont d'ordre 2 et ainsi, offre au procédé l'ordre 2 de convergence sur tout maillage non dégénéré. Ensuite, nous modélisons l'écoulement du couplage filme mince-surfactant (surface active agent) sur les surfaces mouvantes et simulons à l'aide des schémas volumes finis précédemment définis. Ici, l'utilisation du calcul tensoriel et de la méthode d'approximation par la lubrification permettent de réduire les équations de Navier-Stokes caractérisant le mouvement du filme mince en dimension 3 en un système d'équations définies sur la surface courbe mouvante dont l'inconnu est la hauteur du fluide. Le surfactant supposé insoluble est modélisé par une équation de diffusion convection à la l'interface fluid-air. Nous simulons l'ensemble en utilisant une méthode dite de capture d'interface (Interface tracking method) dérivée des volumes finis définis plus haut. Plusieurs exemples illustrent à suffisance l'efficacité et la précision des différentes méthodes.

This work is dedicated to the control of the accuracy of computational simulations of sound propagation and scattering. Assuming time-harmonic behaviour, the mathematical models are given as boundary value problems for the Helmholtz equation <i>Delta u+k2u=0 </i> in <i>Oméga</i>. A distinction is made between interior, exterior and coupled problems and this work focuses mainly on interior uncoupled problems for which the Helmholtz equation becomes singular at eigenfrequencies. <p><p>As in other application fields, error control is an important issue in acoustic computations. It is clear that the numerical parameters (mesh size h and degree of approximation p) must be adapted to the physical parameter k. The well known ‘rule of the thumb’ for the h version with linear elements is to resolve the wavelength <i>lambda=2 pi k-1</i> by six elements characterising the approximability of the finite element mesh. If the numerical model is stable, the quality of the numerical solution is entirely controlled by the approximability of the finite element mesh. The situation is quite different in the presence of singularities. In that case, <i>stability</i> (or the lack thereof) is equally (sometimes more) important. In our application, the solutions are ‘rough’, i.e. highly oscillatory if the wavenumber is large. This is a singularity inherent to the differential operator rather than to the domain or the boundary conditions. This effect is called the <i>k-singularity</i>. Similarly, the discrete operator (“stiffness” matrix) becomes singular at eigenvalues of the discretised interior problem (or nearly singular at damped eigenvalues in solid-fluid interaction). This type of singularities is called the <i>lambda-singularities</i>. Both singularities are of global character. Without adaptive correction, their destabilizing effect generally leads to large error of the finite element results, even if the finite element mesh satisfies the ‘rule of the thumb’. <p><p>The k- and lambda-singularities are first extensively demonstrated by numerical examples. Then, two <i>a posteriori</i> error estimators are developed and the numerical tests show that, due to these specific phenomena of dynamo-acoustic computations, <i>error control cannot, in general, be accomplished by just ‘transplanting’ methods that worked well in static computations</i>. However, for low wavenumbers, it is necessary to also control the influence of the geometric (reentrants corners) or physical (discontinuities of the boundary conditions) singularities. An <i>h</i>-adaptive version with refinements has been implemented. These tools have been applied to two industrial examples :the GLT, a bi-mode bus from Bombardier Eurorail, and the Vertigo, a sport car from Gillet Automobiles.<p><p>As a conclusion, it is recommanded to replace the rule of the thumb by a criterion based on the control of the influence of the specific singularities of the Helmholtz operator. As this aim cannot be achieved by the <i>a posteriori</i> error estimators, it is suggested to minimize the influence of the singularities by modifying the formulation of the finite element method or by formulating a “meshless” method.<p> / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished

En mécanique de la rupture, les problèmes se posant avant l'initiation d'une fissure est caractérisé selon une démarche classique par une grandeur appelée Taux de Restitution d'Énergie. De grands efforts ont été consacrés à son interprétation mathématique et à la recherche de techniques pour son évaluation numérique. De nombreux travaux ont révélé que l'analyse des phénomènes se produisant après l'initiation des fissures (comme par exemple la stabilité de propagation des fissures ou leur vitesse de progression) fait intervenir des quantités comprenant des dérivations à l'ordre élevé, notamment la dérivée seconde, d'énergie potentielle par rapport à la longueur de fissures. Mais une description mathématique de ces dérivations et la recherche de techniques pour leur estimation numérique restent encore un problème ouvert dans la littérature. En effet le calcul des dérivées à l'ordre élevé présente des difficultés considérables dues à la haute singularité des solutions en fond de fissures. Le but principal de ce travail est alors d'élaborer, par une démonstration mathématique rigoureuse, une technique sophistiquée qui en permet une étude tant théorique que numérique. Nous nous limitons pour cela au cadre de la formulation lagrangienne, considérée comme un des outils les plus efficaces pour les problèmes linéaires ou non-linéaires de mécanique de la rupture. En s'appuyant sur la technique de perturbation de domaine, nous commençons par traiter le cas de chargement de surface. Par extension, les situations suivantes sont également mises en compte : 1) chargement thermique; 2) pression ou un champ de forces volumiques sur la fissure; 3) cas de structure en axisymétrique. Dans tous les cas, l'expression analytique de la dérivée seconde est mise sous une forme convenable pour l'étude numérique. Afin de montrer l'intérêt d'une méthode numérique précise, on étudie pour terminer et à titre d'exemple, la post-initiation de fissure pour des spécimens présentant, soit une seule fissure, soit plusieurs fissures interagissantes. Les résultats numériques obtenus par la méthode que nous proposons sont en bon accord avec d'autres venant d'approches différentes, et vérifient toutes les propriétés théoriques de la variation seconde du potentiel mécanique.

L'idée d'utiliser des bases d'ondelettes dans l'analyse numérique (résolution des équations elliptiques, aux dérivées partielles, intégrales) s'est imposée depuis que ces bases ont fait preuve de leur efficacité dans le traitement du signal. Deux problèmes se posent quant au calcul de la solution dans une base d'ondelettes : - problème 1 : l'étude de la structure de la matrice associée à un noyau K d'un opérateur intégral T dans une base d'ondelettes ; - problème 2 : l'adaptation des techniques de discrétisation de Galerkin aux bases d'ondelettes. Cette thèse contribue à l'étude de ces problèmes par l'introduction d'une nouvelle classe d'opérateurs définis par leur matrice représentative dans une base d'ondelettes et caractérisés par les dérivées fractionnaires de leurs noyaux.

L'objectif de cette thèse est l'étude du comportement dynamique des milieux curvilignes, en grands déplacements. Ce qui introduit une source de non linéarité géométrique qui se manifeste dans le terme d'inertie ainsi que dans le terme de rigidité. Le milieu curviligne considéré est modélisé par une suite continue de sections rigides liées par des milieux élastiques de masse nulle. On n'introduit aucune hypothèse simplificatrice dans la description des efforts intérieurs. Dans le modèle proposé, nous pouvons introduire une loi de comportement élastique non linéaire ce qui rajoute une deuxième source de non linéarité. On utilise ici comme outil fondamental le formalisme de la géométrie différentielle des groupes de Lie, ceci permet une écriture simple et condensée des équations de la dynamique et facilite leur traitement numérique. Les équations sont résolues par un algorithme numérique élaboré dans le même formalisme, ce qui évite l'utilisation "lourde" des paramètres de coordonnées. Enfin, les résultats obtenus sont appliqués à deux exemples concrets : le premier d'origine industrielle concerne le comportement du faisceau de câbles robotiques, le deuxième issu du Génie parasismique traite du comportement dynamique de grands bâtiments.

The main topic of the thesis are inverse scattering problems of electromagnetic waves from periodic structures. We study first the direct problem and its numerical resolution using volume integral equation methods with a focus on the case of strongly singular integral operators and discontinuous coefficients. In a second investigation of the direct problem we study conditions on the material parameters under which well-posedness is ensured for all positive wave numbers. Such conditions exclude the existence of guided waves. The considered inverse scattering problem is related to shape identification. To treat this class of inverse problems, we investigate the so-called Factorization method as a tool to identify periodic patterns from measured scattered waves. In this thesis, these measurements are always related to plane incident waves. The outline of the thesis is the following: The first chapter is the introduction where we give the state of the art and new results of the topics studied in the thesis. The main content consists of five chapters, divided into two parts. The first part deals with the scalar case where the TM electromagnetic polarization is considered. In the second chapter we present the volume integral equation method with new results on Garding inequalities, convergence theory and numerical validation. The third chapter is devoted to the analysis of the Factorization method for the inverse scalar problem as well as some numerical experiments. The second part is dedicated to the study of 3-D Maxwell's equations. The fourth and fifth chapters are respectively generalizations of the results of the second and third ones to the case of Maxwell's equations. The sixth chapter contains the analysis of uniqueness conditions for the direct scattering problem, that is, absence of guided modes.