During this thesis, we have used superconducting circuits with Josephson junctions, derived from the Cooper pair box, in order to implement quantum bits (qubits). <br />To implement two-qubit gates, we have developed a new circuit, the quantroswap, which consists in two capacitively coupled Cooper pair box, each of them being manipulated and read separately. We have demonstrated coherent exchange of energy between them, but we have also observed a problem of qubit instability.<br />In order to avoid this spurious effect, we have implemented another circuit based on a charge insensitive split Cooper pair box coupled to a non-linear resonator for readout-out purpose. We have measured large coherence time, and obtained large readout fidelity (90%) using the bifurcation phenomenon. <br />For metrological purpose, microwave reflectometry measurement on a quantronium also allowed us to relate an applied current I to the frequency f=I/2e of induced Bloch oscillations.

Nous simulons numériquement les équations de Boussinesq pour la convection de Rayleigh-Bénard en récipient cylindrique. Dans la première partie, pour un rapport d'aspect d'environ 1.5, le nombre de Prandtl 1 et parois verticales isolantes, une transition d'un écoulement stationnaire axisymétrique vers des écoulements non-stationnaires est étudiée, par moyens de simulations non-linéaires, analyse de stabilité linéaire et théorie de bifurcations. Pour un nombre de Rayleigh d'environ $25\,000$, l'état axisymétrique devient instable vers les ondes azimutales stationnaires ou progressives. Les ondes stationnaires sont légèrement instables vers les ondes progressives. Ce scénario est identifié comme une bifurcation de Hopf dans un système avec une symétrie $O(2)$. Dans la deuxième partie nous étudions le phénomène de coexistence d'états stables pour le rapport d'aspect 2, le nombre de Prandtl 6.7 et les parois verticales soit parfaitement isolantes, soit parfaitement conductrices. En faisant varier le nombre de Rayleigh et les conditions initiales, nous obtenons une grande variété de motifs convectifs pour le même nombre de Rayleigh. Nous donnons un diagramme de bifurcations préliminaire, montrant les branches stables. Les résultats pour les parois verticales parfaitement isolantes sont en bon accord avec les expériences.

Les catastrophes naturelles sont de plus en plus fréquentes et sont à l'origine de conséquences socio-économiques souvent graves et coûteuses. La prévision de ces risques, notamment en ce qui concerne les glissements de terrain, est dès lors indispensable. Dans cette problématique, la modélisation numérique doit être pertinente et prédictive. Actuellement, les glissements sous une faible pente (inférieure à 14°) voire très faible (inférieure à 8°), où la rupture est souvent de type diffuse, ne peuvent être expliqués ni par les méthodes empiriques classiques ni par l'analyse limite traditionnelle (théorie de plasticité). De nouvelles approches sont donc nécessaires pour rendre compte de ces mécanismes de glissement. La condition suffisante de stabilité de Hill (1958) basée sur le signe du travail du second ordre pourrait être un critère pertinent pour analyser ces modes de rupture diffus.<br /><br />Ce travail de thèse porte d'une part sur l'analyse et l'implémentation du critère de stabilité de Hill dans deux codes de calculs par éléments finis (LAGAMINE et PLAXIS) et d'autre part sur leur application, dans le cadre des modélisations numériques de problèmes aux limites non linéaires, aux glissements de terrain.<br /><br />L'étude du travail du second ordre, menée sur des modèles de comportement incrémentaux non linéaires, montre que certains sols exhibent de larges domaines potentiellement instables à l'intérieur strict du critère limite de plasticité. Ces analyses sont corroborées par les résultats expérimentaux.<br /><br />Nous montrons, dans ces travaux, par des approches analytique et numérique dans le cadre de la théorie de l'élasto-plasticité, que le critère de Hill est toujours vérifié avant la condition limite de plasticité (critère de Mohr-Coulomb) et le critère de localisation de déformation (critère de Rice).<br /><br />L'utilisation du critère de Hill nous permet d'analyser le glissement de la côtière de Trévoux après une période de fortes précipitations en 1983. Ces travaux de modélisations ont été menés dans le cadre d'un couplage hydromécanique en milieu non saturé.<br /><br />La même démarche a été menée pour l'analyse du glissement catastrophique du versant de Las Colinas (El Salvador) provoqué par un séisme en 2001. La définition du chargement considéré est basée sur une méthode de type pseudo-statique.

Nous mettons en évidence une condition géométrico-dynamique minimale créant de l'hyperbolicité au voisinage d'un tore homocline transverse partiellement hyperbolique dans un système Hamiltonien presque intégrable à trois degrés de liberté. On en déduit une généralisation du théorème de dynamique symbolique d'Easton. Nous donnons ensuite une estimation optimale du temps de diffusion d'Arnold le long d'une chaîne de transition dans les systèmes Hamiltoniens initialement hyperboliques à trois degrés de liberté en utilisant une chaîne d'orbites périodiques hyperboliques sous-jacente. <br />Nous décrivons ensuite géométriquement à partir d'un système Hamiltonien presque intégrable à trois degrés de liberté à deux paramètres dû à Chirikov, un mécanisme de diffusion mettant en jeu un réseau de plans résonnants parallèles et voisins et un plan résonnant transversal au réseau. Ainsi, nous montrons qu'en dessous d'un certain seuil atteint par le paramètre prépondérant, on peut construire une orbite de transition dérivant en action à travers ce réseau modulationnel. Un des scénarii envisagés, le mécanisme de diffusion modulationnelle, basé sur l'existence de connexions hétéroclines entre tores partiellement hyperboliques issus de deux plans résonnants distincts est valide lorsqu'une condition de chevauchement est vérifiée. <br />Nous étudions enfin le modèle bidimensionnel décrivant un écoulement laminaire avec convection mixte entre deux plaques planes puis dans un tube vertical. Avec des conditions aux bords réduites, nous montrons via le théorème de la variété centrale qu'il existe dans le premier cas une bifurcation de pitchfork pour une valeur critique du nombre de Rayleigh.

L'ensemble des événements permettant la fabrication et le renouvellement continu des cellules du sang représente une série de processus complexes, appelée hématopoïèse, ayant lieu dans la moelle osseuse. L'hématopoïèse repose sur une réserve de cellules souches, dites hématopoïétiques, possédant des capacités uniques de différenciation (capacité à générer l'ensemble des cellules du sang) et d'auto-renouvellement (capacité à générer une cellule fille identique à la cellule mère). Nous avons réalisé une étude mathématique de l'hématopoïèse à l'aide de modèles non-linéaires structurés en âge et maturité. Elle a permis de mettre en évidence l'influence des cellules souches hématopoïétiques sur la population totale de cellules du sang, ces cellules agissant activement sur la stabilité de la population. Par l'étude de modèles non structurés en maturité, réduits par intégration à un système d'équations différentielles avec retard distribué, nous avons mis en évidence l'existence de solutions oscillantes et, à travers l'étude d'une bifurcation de Hopf, de solutions périodiques, avec de très longues périodes en comparaison de la durée du cycle cellulaire. Ces oscillations sont caractéristiques de maladies du sang dites cycliques, dont la leucémie myéloïde chronique, une forme très répandue de leucémie. Notre travail représente une contribution à l'étude de cette maladie. Enfin, nous nous sommes intéressés à un modèle d'hématopoïèse prenant en compte l'action de facteurs extérieurs à la moelle osseuse qui agissent sur la différenciation des cellules souches. Nous avons établi l'existence de solutions oscillantes pouvant décrire certaines maladies hématologiques cycliques.

Ce travail de thèse présente l'étude expérimentale de l'instabilité de Kelvin-Helmholtz entre un gaz et une huile visqueuse en écoulement parallèle en cellule de Hele-Shaw. Le fort cisaillement entraîne la déstabilisation de l'interface et l'apparition d'ondes propagatives. L'étude expérimentale du seuil de l'instabilité montre une origine inertielle alors que la vitesse de phase linéaire est purement visqueuse. Une analyse bi-dimensionnelle associant la dissipation visqueuse aux parois et les effets inertiels (théorie non visqueuse de Kelvin-Helmholtz) confirme ces résultats expérimentaux. Par ailleurs, la bifurcation de l'état stable à l'état instable est de nature sous-critique. Les différents paramètres de l'instabilité comme le seuil, la vitesse de phase ou la longueur d'onde augmentent fortement avec l'épaisseur de la cellule. Notre écoulement étant ouvert, l'étude est ensuite complétée par la détermination, à la fois expérimentale et théorique, d'une transition convectif/absolu non-linéaire. Ensuite une caractérisation de la dynamique d'évolution des ondes dans le régime non-linéaire est menée à travers une équation complexe d'ordre cinq de Ginzburg-Landau dont l'ensemble des coefficients est déterminé expérimentalement et confronté avantangeusement à la théorie. À partir de cette étude, une instabilité secondaire du type Eckhaus-Benjamin-Feir est mise en évidence. Enfin l'analyse précise de la forme des ondes non-linéaires saturées et surtout de leur mode d'interaction permet de relever des similarités avec des solitons issus d'une équation de Korteweg de Vries. L'étude de l'asymétrie atypique amont--aval des ondes est aussi initiée par la réalisation d'une expérience annexe de dynamique de mouillage du ménisque.

La première moitié de ce mémoire est consacrée à la théorie KAM et au théorème d'Arnold sur la stabilité des systèmes planétaires. Ce travail a fait l'objet d'un article en préparation et d'une publication~:\footnote{ \url{http://people.math.jussieu.fr/~fejoz/articles.html}} -- ''Twisted conjugacies and invariant tori theorems''~\cite{Fejoz:2010a}. Je redémontre une forme normale de champs de vecteurs due à Moser~\cite{Moser:1967}, pour les perturbations de champs de vecteurs admettant un tore invariant quasi-périodique diophantien. Cette forme normale, que j'appelle une \emph{conjugaison tordue} est une porte d'entrée pour démontrer des théorèmes de tores invariants dus à Kolmogorov, Arnold, Rüssmann et Herman, ainsi que d'autres théorèmes, par exemple pour des champs de vecteurs dissipatifs. J'introduis une notion de \emph{conjugaison hypothétique}, comme un intermédiaire commun aux théorèmes de tores invariants avec une condition de non-dégénérescence faible, améliore certaines estimations sur la dépendance fonctionnelle de la forme normale, et donne quelques applications nouvelles à la mécanique céleste. -- ''Démonstration du théorème d'Arnold sur la stabilité du système planétaire (d'après Herman)''~\cite{Fejoz:2004}. Cet article donne une démonstration du théorème d'Arnold pour $N$ planètes dans l'espace $\R^3$. La démonstration de~\cite{Fejoz:2010a} est une clarification et une amélioration de la partie abstraite de ~\cite{Fejoz:2004}. Arnold avait publié le résultat remarquable suivant~: dans le problème planétaire newtonien à $N$ planètes, si les masses des planètes sont assez petites, il existe dans l'espace des phases un sous-ensemble invariant de mesure de Lebesgue strictement positive, formé de tores invariants quasipériodiques de dimension $3N-1$~\cite{Arnold:1963}. La suggestion d'Arnold pour le démontrer en toute généralité était de fixer la direction du moment cinétique, pour se débarrasser de la dégénérescence due à l'invariance par rotation, puis d'appliquer sa version dégénérée du théorème de Kolmogorov pour trouver des tores lagrangiens invariants au voisinage de la singularité séculaire elliptique (mouvements képlériens elliptiques circulaires horizontaux). Cette stratégie de réduction partielle ne marche pas à cause d'une résonance mystérieuse, découverte par Herman, qui généralise à $N$ planètes une résonance déjà connue de Clairaut dans le problème de la lune. Cette résonance n'avait pas été remarquée dans le cas de $2$ planètes, où la réduction des noeuds de Jacobi permet de réduire complètement le problème par la symétrie de rotation, en coordonnées de Delaunay (je rappelle en appendice la définition de ces coordonnées, et propose une nouvelle démonstration de leur caractère symplectique). Ici, je démontre par récurrence sur le nombre de planètes, en suivant les idées d'Herman, que l'image locale de l'application fréquence (vue comme fonction des demi grands axes des planètes) est contenue dans un plan vectoriel de codimension deux, mais dans aucun plan vectoriel de codimension supérieure. Un argument de la théorie des intersections lagrangiennes permet alors d'appliquer un théorème de tores invariants qui ne requiert qu'une faible condition de non-dégénérescence. La seconde moitié de ce mémoire traite d'orbites périodiques et relativement périodiques (i.e. périodiques en repère tournant), dans le problème global des $N$ corps. Elle aussi est basée sur deux articles. -- ''The flow of the equal-mass spatial 3-body problem in the neighborhood of the equilateral relative equilibrium'' (avec A. Chenciner)~\cite{Chenciner:2008}. Nous démontrons qu'exactement deux familles de solutions relativement périodiques bifurquent de la solution d'équilibre relatif de Lagrange~: la famille homographique et la famille $\mathcal{P}_{12}$. De plus, en restriction à la variété centrale de dimension $4$ de l'équilibre relatif de Lagrange, la dynamique locale est une application twist d'un anneau de section, bordé par les deux familles. Un autre article montre que la famille $\mathcal{P}_{12}$ se termine, de l'autre côté, à la solution en Huit de Chenciner-Montgomery~\cite{Chenciner:2005a}. Entre ces deux extrémités, on sait que la famille $\mathcal{P}_{12}$ existe comme famille des minima de l'action lagrangienne parmi les lacets possédant sa classe de symétrie. Une telle famille pourrait a priori être non unique, ou discontinue, mais les expériences numériques ne laissent guère de doute (voir la figure dans la préface). -- ''Unchained polygons and the {$N$}-body problem'' (avec A. Chenciner)~\cite{Chenciner:2009}. L'équilibre relatif de Lagrange apparaît dans ce qui précède comme le centre organisateur du Huit. Nous montrons que le même phénomène se produit avec l'équilibre relatif du carré à quatre masses égales, qui apparaît comme centre organisateur de la famille du Hip-Hop. Plus généralement, beaucoup de classes de solutions récemment découvertes appartiennent aux familles de Lyapunov issues d'équilibres relatifs symétriques. Dans un repère tournant où elles deviennent périodiques, ces familles acquièrent des symétries remarquables. Nous étudions la possibilité de les prolonger globalement comme minima de l'action lagrangienne en un repère tournant, au sein de leur classe de symétrie. Une étape préliminaire est de déterminer les intervalles de la fréquence de rotation du repère sur lesquels un équilibre relatif est l'unique minimum absolu de l'action. Nous nous focalisons ensuite sur notre exemple principal, l'équilibre relatif du polygone régulier à $N$ sommets. L'existence locale de familles de Lyapunov verticales repose sur le fait que la restriction de la partie quadratique de l'énergie aux directions centrales est définie positive. Nous calculons les groupes de symétrie $G_{\frac rs}(N,k,\eta)$ des familles de Lyapunov verticales, et les utilisons pour prolonger les familles globalement. Les exemples paradigmatiques sont les familles de Huits pour un nombre impair de corps et les familles de Hip-Hops pour un nombre pair. Ce sont précisément les éléments de ces deux types de familles qui peuvent être des minima globaux. Dans les autres cas, des obstructions apparaissent, qui sont dues à des isomorphismes entre les groupes de symétrie de différentes famille~; c'est le cas des \emph{chaînes chorégraphiques}, dont les éléments sont seulement des minima locaux (sauf pour $N=3$). Une autre particularité intéressante de ces chaînes est le rôle décisif joué par la parité, en particulier à travers la valeur prise par le moment cinétique. Pour les familles de Lyapunov bifurquant d'un polygone à au plus $6$ sommets, nous vérifions en outre que la torsion locale est non dégénérée, ce qui justifie de prendre la rotation du repère comme paramètre. Cet article montre la fécondité des considérations de symétrie, comme technique de démonstration mais aussi comme guide heuristique dans la recherche de solutions remarquables. Le problème des $n$ corps, depuis longtemps à l'origine de nombreuses théories mathématiques, garde entier, de part la variété des techniques nécessaires à son étude, son pouvoir de fascination.

Uncertainties are pervasive in the Earth System modelling. This is not just due to a lack of knowledge about physical processes but has its seeds in intrinsic, i.e. inevitable and irreducible, uncertainties concerning the process of modelling as well. Therefore, it is indispensable to quantify uncertainty in order to determine, which are robust results under this inherent uncertainty. The central goal of this thesis is to explore how uncertainties map on the properties of interest such as phase space topology and qualitative dynamics of the system. We will address several types of uncertainty and apply methods of dynamical systems theory on a trendsetting field of climate research, i.e. the Indian monsoon.<br><br> For the systematic analysis concerning the different facets of uncertainty, a box model of the Indian monsoon is investigated, which shows a saddle node bifurcation against those parameters that influence the heat budget of the system and that goes along with a regime shift from a wet to a dry summer monsoon. As some of these parameters are crucially influenced by anthropogenic perturbations, the question is whether the occurrence of this bifurcation is robust against uncertainties in parameters and in the number of considered processes and secondly, whether the bifurcation can be reached under climate change. Results indicate, for example, the robustness of the bifurcation point against all considered parameter uncertainties. The possibility of reaching the critical point under climate change seems rather improbable. <br><br> A novel method is applied for the analysis of the occurrence and the position of the bifurcation point in the monsoon model against parameter uncertainties. This method combines two standard approaches: a bifurcation analysis with multi-parameter ensemble simulations. As a model-independent and therefore universal procedure, this method allows investigating the uncertainty referring to a bifurcation in a high dimensional parameter space in many other models. <br><br> With the monsoon model the uncertainty about the external influence of El Niño / Southern Oscillation (ENSO) is determined. There is evidence that ENSO influences the variability of the Indian monsoon, but the underlying physical mechanism is discussed controversially. As a contribution to the debate three different hypotheses are tested of how ENSO and the Indian summer monsoon are linked. In this thesis the coupling through the trade winds is identified as key in linking these two key climate constituents. On the basis of this physical mechanism the observed monsoon rainfall data can be reproduced to a great extent. Moreover, this mechanism can be identified in two general circulation models (GCMs) for the present day situation and for future projections under climate change. <br><br> Furthermore, uncertainties in the process of coupling models are investigated, where the focus is on a comparison of forced dynamics as opposed to fully coupled dynamics. The former describes a particular type of coupling, where the dynamics from one sub-module is substituted by data. Intrinsic uncertainties and constraints are identified that prevent the consistency of a forced model with its fully coupled counterpart. Qualitative discrepancies between the two modelling approaches are highlighted, which lead to an overestimation of predictability and produce artificial predictability in the forced system. The results suggest that bistability and intermittent predictability, when found in a forced model set-up, should always be cross-validated with alternative coupling designs before being taken for granted. <br><br> All in this, this thesis contributes to the fundamental issue of dealing with uncertainties the climate modelling community is confronted with. Although some uncertainties allow for including them in the interpretation of the model results, intrinsic uncertainties could be identified, which are inevitable within a certain modelling paradigm and are provoked by the specific modelling approach. / Die vorliegende Arbeit untersucht, auf welche Weise Unsicherheiten, wie sie in der integrierten Klima(folgen)forschung allgegenwärtig sind, die Stabilität und die Struktur dynamischer Systeme beeinflussen. <br> Im Rahmen der Erdsystemmodellierung wird der Unsicherheitsanalyse zunehmend eine zentrale Bedeutung beigemessen. Einerseits können mit ihrer Hilfe disziplinäre Qualitäts-standards verbessert werden, andererseits ergibt sich die Chance, im Zuge von "Integrated Assessment" robuste entscheidungsrelevante Aussagen abzuleiten. <br><br> Zur systematischen Untersuchung verschiedener Arten von Unsicherheit wird ein konzeptionelles Modell des Indischen Monsuns eingesetzt, das einen übergang von einem feuchten in ein trockenes Regime aufgrund einer Sattel-Knoten-Bifurkation in Abhängigkeit derjenigen Parameter zeigt, die die Wärmebilanz des Systems beeinflussen. Da einige dieser Parameter anthropogenen Einflüssen und Veränderungen unterworfen sind, werden zwei zentrale Punkte untersucht: zum einen, ob der Bifurkationspunkt robust gegenüber Unsicherheiten in Parametern und in Bezug auf die Anzahl und die Art der im Modell implementierten Prozesse ist und zum anderen, ob durch anthropogenen Einfluss der Bifurkationspunkt erreicht werden kann. Es zeigt sich unter anderem, dass das Auftreten der Bifurkation überaus robust, die Lage des Bifurkationspunktes im Phasenraum ist hingegen sehr sensitiv gegenüber Parameterunsicherheiten ist. <br><br> Für diese Untersuchung wird eine neuartige Methode zur Untersuchung des Auftretens und der Lage einer Bifurkation gegenüber Unsicherheiten im hochdimensionalen Parameterraum entwickelt, die auf der Kombination einer Bifurkationsanalyse mit einer multi parametrischen Ensemble Simulation basiert. <br><br> Mit dem Monsunmodell wird des weiteren die Unsicherheit bezüglich des externen Einflusses von El Niño / Southern Oscillation (ENSO) untersucht. Es ist bekannt, dass durch ENSO die Variabilität des Indischen Monsun beeinflußt wird, wohingegen der zu Grunde liegende Mechanismus kontrovers diskutiert wird. In dieser Arbeit werden drei verschiedene Hypothesen zur Kopplung zwischen diesen beiden Phänomenen untersucht. Es kann gezeigt werden, dass die Passat Winde einen Schlüsselmechanismus für den Einfluß von ENSO auf den Indischen Monsun darstellen.<br> Mit Hilfe dieses Mechanismus können die beobachteten Niederschlagsdaten des Monsuns zu einem großen Anteil reproduziert werden. Zudem kann dieser Mechanismus kann auch in zwei globalen Zirkulationsmodellen (GCMs) für den heutigen Zustand und für ein Emissionsszenario unter Klimawandel identifiziert werden. <br><br> Im weiteren Teil der Arbeit werden intrinsische Unsicherheiten identifiziert, die den Unterschied zwischen der Kopplung von Teilmodulen und dem Vorschreiben von einzelnen dieser Module durch Daten betreffen. Untersucht werden dazu ein getriebenes GCM-Ensemble und ein konzeptionelles Ozean-Atmosphären-Modell, das eine strukturierte Analyse anhand von Methoden der Theorie dynamischer Systeme ermöglicht.<br> In den meisten Fällen kann die getriebene Version, in der ein Teil der Dynamik als externer Antrieb vorschrieben wird, das voll gekoppelte Pendant nachbilden. Es wird gezeigt, dass es jedoch auch Regionen im Phasen- und Parameterraum gibt, in dem sich die zwei Modellierungsansätze signifikant unterscheiden und unter anderem zu einer überschätzung der Vorhersagbarkeit und zu künstlichen Zuständen im getriebenen System führen. Die Ergebnisse legen den Schluss nahe, dass immer auch alternative Kopplungsmechanismen getestet werden müssen bevor das getriebene System als adäquate Beschreibung des gekoppelten Gesamtsystems betrachtet werden kann. <br><br> Anhand der verschiedenen Anwendungen der Unsicherheitsanalyse macht die Arbeit deutlich, dass zum einen Unsicherheiten intrinsisch durch bestimmte Arten der Modellierung entstehen und somit unvermeidbar innerhalb eines Modellierungsansatzes sind, dass es zum anderen aber auch geeignete Methoden gibt, Unsicherheiten in die Modellierung und in die Bewertung von Modellergebnissen einzubeziehen.

There is a growing interest in the dynamics of the co-infection of these two diseases. In this thesis, firstly we focus on studying the effect of a distributed delay representing the incubation period for the malaria parasite in the mosquito vector to possibly reduce the initial transmission and prevalence of malaria. This model can be regarded as a generalization of SEI models (with a class for the latently infected mosquitoes) and SI models with a discrete delay for the incubation period in mosquitoes. We study the possibility of occurrence of backward bifurcation. We then extend these ideas to study a full model of HIV and malaria co-infection. To get further inside into the dynamics of the model, we use the geometric singular perturbation theory to couple the fast and slow models from the full model. Finally, since the governing models are very complex, they cannot be solved analytically and hence we develop and analyze a special class of numerical methods to solve them.

In this thesis, we study these models and design and analyze robust numerical methods to solve them. To proceed in this direction, first we study the sub-models and then the full model. The first sub-model describes the transmission dynamics of HIV that accounts for behavior change. The impact of HIV educational campaigns is also studied. Further, we explore the effects of behavior change and different responses of individuals to educational campaigns in a situation where individuals may not react immediately to these campaigns. This is done by considering a distributed time delay in the HIV sub-model. This leads to Hopf bifurcations around the endemic equilibria of the model. These bifurcations correspond to the existence of periodic solutions that oscillate around the equilibria at given thresholds. Further, we show how the delay can result in more HIV infections causing more increase in the HIV prevalence. Part of this study is then extended to study a co-infection model of HIV-TB. A thorough bifurcation analysis is carried out for this model. Robust numerical methods are then designed and analyzed for these models. Comparative numerical results are also provided for each model.