L'objet de cette thèse est l'étude quantitative du mouvement des particules intracellulaires, comme les protéines ou les molécules. L'estimation du mouvement des particules au sein de la cellule est en effet d'un intérêt majeur en biologie cellulaire puisqu'il permet de comprendre les interactions entre les différents composants de la cellule. Dans cette thèse, nous modélisons les trajectoires des particules avec des processus stochastiques puisque le milieu intra-cellulaire est soumis à de nombreux aléas. Les diffusions, des processus à trajectoires continues, permettent de modéliser un large panel de mouvements intra-cellulaires. Les biophysiciens distinguent trois principaux types de diffusion: le mouvement brownien, la super-diffusion et la sous-diffusion. Ces différents types de mouvement correspondent à des scénarios biologiques distincts. Le déplacement d'une particule évoluant sans contrainte dans le cytosol ou dans le plasma membranaire est modélisée par un mouvement brownien; la particule ne se déplace pas dans une direction précise et atteint sa destination en un temps long en moyenne. Les particules peuvent aussi être propulsées par des moteurs moléculaires le long des microtubules et filaments d'actine du cytosquelette de la cellule. Leur mouvement est alors modélisé par des super-diffusions. Enfin, la sous-diffusion peut être observée dans deux situations: i/ lorsque la particule est confinée dans un micro domaine, ii/ lorsqu’elle est ralentie par l'encombrement moléculaire et doit se frayer un chemin parmi des obstacles mobiles ou immobiles. Nous présentons un test statistique pour effectuer la classification des trajectoires en trois groupes: brownien, super-diffusif et sous-diffusif. Nous développons également un algorithme pour détecter les ruptures de mouvement le long d’une trajectoire. Nous définissons les temps de rupture comme les instants où la particule change de régime de diffusion (brownien, sous-diffusif ou super-diffusif). Enfin, nous associons une méthode de regroupement avec notre procédure de test pour identifier les micro domaines dans lesquels des particules sont confinées. De telles zones correspondent à des lieux d’interactions moléculaires dans la cellule. / In this thesis, we are interested in quantifying the dynamics of intracellular particles, as proteins or molecules, inside living cells. In fact, inference on the modes of mobility of molecules is central in cell biology since it reflects the interactions between the structures of the cell. We model the particle trajectories with stochastic processes as the interior of a living cell is a fluctuating environment. Diffusions are stochastic processes with continuous paths and can model a large range of intracellular movements. Biophysicists distinguish three main types of diffusions, namely Brownian motion, superdiffusion and subdiffusion. These different diffusion processes correspond to distinct biological scenarios. A particle evolving freely inside the cytosol or along the plasma membrane is modelled by Brownian motion; the particle does not travel along any particular direction and can take a very long time to go to a precise area in the cell. Active intracellular transport can overcome this difficulty so that motion is faster and direct specific. In this case, particles are carried by molecular motors along microtubular filament networks and their motion is modelled with superdiffusions. Subdiffusion can be observed in two cases i/ when the particle is confined in a microdomain, ii/ when the particle is hindered by molecular crowding and encounters dynamic or fixed obstacles. We develop a statistical test for classifying the observed trajectories into the three groups of diffusion of interest namely Brownian motion, super-diffusion and subdiffusion. We also design an algorithm to detect the changes of dynamics along a single trajectory. We define the change points as the times at which the particle switches from one diffusion type (Brownian motion, superdiffusion or subdiffusion) to another. Finally, we combine a clustering algorithm with our test procedure to identify micro domains that is zones where the particles are confined. Molecular interactions of great importance for the functioning of the cell take place in such areas.

On introduit le concept d'une variété aléatoire stationnaire avec l'objectif de traiter de façon unifiée les résultats sur les variétés avec un group d'isométries transitif, les variétés avec quotient compact, et les feuilles génériques d'un feuilletage compact. On démontre des inégalités entre la vitesse de fuite, l'entropie du mouvement brownien et la croissance de volume de la variété aléatoire, en généralisant des résultats d'Avez, Kaimanovich, et Ledrappier. Dans la deuxième partie on démontre que la fonction feuille d'un feuilletage compact est semicontinue, en obtenant comme conséquences le théorème de stabilité local de Reeb, une partie du théorème de structure local pour les feuilletages à feuilles compactes d'Epstein, et un théorème de continuité d'Álvarez et Candel. / We introduce the concept of a stationary random manifold with the objective of treating in a unified way results about manifolds with transitive isometry group, manifolds with a compact quotient, and generic leaves of compact foliations. We prove inequalities relating linear drift and entropy of Brownian motion with the volume growth of such manifolds, generalizing previous work by Avez, Kaimanovich, and Ledrappier among others. In the second part we prove that the leaf function of a compact foliation is semicontinuous, obtaining as corollaries Reeb's local stability theorem, part of Epstein's the local structure theorem for foliations by compact leaves, and a continuity theorem of Álvarez and Candel.

La première partie de cette thèse s’inscrit dans le domaine des cartes aléatoires, qui est un sujet à la frontière des probabilités, de la combinatoire et de la physique statistique. Nos travaux complètent une série de résultats de convergence de différents modèles de cartes aléatoires vers la carte brownienne, qui est un espace métrique compact aléatoire. Plus précisément, on montre que la limite d’échelle d’une carte de loi uniforme sur l’ensemble des cartes biparties enracinées à n arêtes, munie de la distance de graphe renormalisée par (2n)^(−1/4), est, au sens de Gromov–Hausdorff, la carte brownienne. Pour prouver ce résultat, les arguments importants sont d’une part l’utilisation d’une bijection combinatoire entre cartes biparties et arbres multitypes, et d’autre part des théorèmes de convergence pour les arbres de Galton–Watson multitypes étiquetés. Dans un deuxième temps, le but est de présenter une théorie des excursions pour le mouvement brownien indexé par l’arbre brownien. De manière analogue à la théorie d’Itô des excursions pour le mouvement brownien, chaque excursion correspond à une composante connexe du complémentaire des zéros du mouvement brownien indexé par l’arbre, et l’excursion est définie comme un processus indexé par un arbre continu. On explique comment mesurer la longueur de la frontière de ces excursions, de sorte que la famille de ces longueurs coïncide avec les sauts d’un processus de branchement à temps continu de mécanisme de branchement stable d’indice 3/2. De plus, conditionnellement aux longueurs des frontières, les excursions sont indépendantes et leur loi conditionnelle est déterminée à l’aide d’une mesure d’excursion explicite que l’on introduit et décrit. Dans ce travail, le serpent brownien apparaît comme un outil particulièrement important. / The first part of this thesis concerns the area of random maps, which is a topic in between probability theory, combinatorics and statistical physics. Our work complements several results of convergence of various classes of random maps to the Brownian map, which is a random compact metric space. More precisely, we prove that the scaling limit of a map which is uniformly distributed over the class of rooted planar maps with n edges, equipped with the graph distance rescaled by (2n)^(−1/4), is, in the Gromov-Hausdorff sense, the Brownian map. To establish this result, the main arguments are the use of a combinatorial bijection between bipartite maps and multitype trees, together with convergence theorems for Galton-Watson multitype trees. We then aim to develop an excursion theory for Brownian motion indexed by the Brownian tree. Analogous to the Itô excursion theory for Brownian motion, each excursion corresponds to a connected component of the complement of the zero set of the tree-indexed Brownian motion, and the excursion is defined as a process indexed by a continuous tree. We explain how to measure the length of the boundary of these excursions, in a way that the collection of these lengths coincides with the collection of jumps of a continuous-state branching process with a 3/2-stable branching mechanism. Moreover, conditionally on the boundary lengths, the excursions are independent and their conditional distribution is determined in terms of an excursion measure that we introduce and study. In this work, the Brownian snake appears as a particularly important tool.

Dans cette thèse, on étudie des processus stochastiques issus de la physique statistique. Le mouvement Brownien fractionnaire, objet central des premiers chapitres, généralise le mouvement Brownien aux cas où la mémoire est importante pour la dynamique. Ces effets de mémoire apparaissent par exemple dans les systèmes complexes et la diffusion anormale. L’absence de la propriété de Markov rend difficile l’étude probabiliste du processus. On développe une approche perturbative autour du mouvement Brownien pour obtenir de nouveaux résultats, sur des observables liées aux statistiques des extrêmes. En plus de leurs applications physiques, on explore les liens de ces résultats avec des objets mathématiques, comme les lois de Lévy et la constante de Pickands. / In this thesis, we study stochastic processes appearing in different areas of statistical physics: Firstly, fractional Brownian motion is a generalization of the well-known Brownian motion to include memory. Memory effects appear for example in complex systems and anomalous diffusion, and are difficult to treat analytically, due to the absence of the Markov property. We develop a perturbative expansion around standard Brownian motion to obtain new results for this case. We focus on observables related to extreme-value statistics, with links to mathematical objects: Levy’s arcsine laws and Pickands’ constant. Secondly, the model of elastic interfaces in disordered media is investigated. We consider the case of a Brownian random disorder force. We study avalanches, i.e. the response of the system to a kick, for which several distributions of observables are calculated analytically. To do so, the initial stochastic equation is solved using a deterministic non-linear instanton equation. Avalanche observables are characterized by power-law distributions at small-scale with universal exponents, for which we give new results.

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude de variables aléatoires sur les groupes de Lie compacts classiques. On donne une déformation du calcul de Weingarten tel qu'il a été introduit par B. Collins et P. Sniady. On fait une étude asymptotique du mouvement brownien sur les groupes de Lie compacts de grande dimension en obtenant des nouveaux résultats de fluctuations. Deux nouveaux objets, que l'on appelle champ maître gaussien planaire et champ maître orienté planaire, sont introduits pour décrire le comportement asymptotique des mesures de Yang-Mills pour des groupes de structure de grande dimension.

L'eau est un liquide omniprésent, son omniprésence n'a d'équivalence que la multitude de ses secrets. En effet, dans le cas de l'eau, le comportement de nombreuses grandeurs thermodynamiques et dynamiques se différencie de celui des liquides « standard ». Cette différence est d'autant plus importante dans l'état dit surfondue. Dans cette thèse, on s'intéresse à la viscosité de l'eau légère et lourde dans l'état surfondue à pression atmosphérique. Pour ce faire, nous avons utilisé la méthode de microscopie dynamique différentielle. Nous avons ainsi pu mesurer la viscosité jusqu'à -34°C pour l'eau légère et -25°C pour l'eau lourde. Ces mesures de viscosité corrélées à des mesures de coefficient d'auto-diffusion nous ont permis de confirmer l'existence d'une anomalie dite violation de Stokes-Einstein / Water is an omnipresent liquid, indeed secrets of water are uncountable. In the water case, the behaviour of many thermodynamical and dynamicalquantities is very different from other standard liquids. This difference is more important in the supercooled state. In this thesis we focus on the viscosity of the heavy and light water into the supercooled state at atmospheric pressure. To do this we use the differential dynamic microscopy method. We were able to measure the viscosity to -34 C for light water and -25°C for heavy water. These viscosity measurements correlated to measurements of self-diffusion coefficient allowed us to confirm the existence of a so-called anomaly violation Stokes-Einstein

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude de variables aléatoires sur les groupes de Lie compacts classiques. On donne une déformation du calcul de Weingarten tel qu'il a été introduit par B. Collins et P. Sniady. On fait une étude asymptotique du mouvement brownien sur les groupes de Lie compacts de grande dimension en obtenant des nouveaux résultats de fluctuations. Deux nouveaux objets, que l'on appelle champ maître gaussien planaire et champ maître orienté planaire, sont introduits pour décrire le comportement asymptotique des mesures de Yang-Mills pour des groupes de structure de grande dimension. / In the following text, we are interested in the study of Lie-groups valued random variables. We give a deformation of the Weingarten calculus introduced by Benoît Collins and Piotr Sniady. We study the asymptotic behavior of Brownian motion on compact Lie groups in high dimensions and obtain new fluctuations results. Two new objects called the planar gaussian master field and the planar oriented master field are introduced here to describe the asymptotic behavior of the Yang-Mills measure as the dimension of the structure group is large.

L'objet de cette thèse est l'étude de la simulation numérique de certains processus stochastiques, les diffusions, dont le mouvement brownien est un exemple typique. Nous commençons par quelques rappels sur le mouvement brownien au chapitre 1. Il s'agit d'une présentation élémentaire, qui s'appuie sur la simulation numérique, et permet de rappeler quelques propriétés classiques. Puis nous présentons au chapitre 2 une simulation alternative du mouvement brownien, en un sens plus naturelle, qui s'attache davantage à son comportement spatial que les méthodes traditionnelles. Le mouvement brownien est simulé à des instants aléatoires qui gouvernent son comportement; ce sont les temps de sortie de certaines "boîtes noires". En choisissant la taille et la position de ces boîtes noires dans l'espace, et sous réserve qu'elles se chevauchent, on peut ainsi simuler très précisément une trajectoire brownienne. La suite de la thèse est consacrée à l'analyse numérique des équations différentielles stochastiques (E.D.S) et à la simulation informatique de leur solution. Nous commençons au chapitre 3 par une introduction qui rappelle ce que sont les E.D.S, cite quelques unes de leurs propriétés et applications classiques dans les sciences de l'ingénieur. Au chapitre 4 nous présentons un résultat de convergence trajectorielle du schéma d'Euler en en précisant l'ordre de convergence. Un résultat similaire est présenté pour le schéma de Milshtein au chapitre 5. Comme on peut s'y attendre, ce schéma est plus performant que le schéma d'Euler, quand la condition classique de commutativité est vérifiée. Ceci améliore partiellement un résultat de Denis Talay. On étudie ensuite au chapitre 6 une classe de schémas de discrétisation à pas variables permettant une approximation spatiale des diffusions dans l'esprit du chapitre 2. Nous commençons par un résultat assez général de convergence d'un schéma d'Euler défini le long d'une subdivision aléatoire. Dans le cas où cette subdivision est gouvernée par les temps de passage successifs du mouvement brownien, nous retrouvons et étendons partiellement des travaux de Nigel Newton. Dans le cas où cette subdivision de façon à ce que les accroissements du schéma de discrétisation soient constants, nous étudions un schéma de discrétisation originalement présenté par Bichteler. Nous précisons sa vitesse de convergence et donnons une méthode de simulation numérique. Le chapitre 7 est un panorama des travaux existants sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques. Sans prétendre être exhaustif, nous présentons au contraire une relecture des travaux existants dans l'optique de la simulation numérique. Enfin le chapitre 8 s'attache à quelques questions ou problèmes non résolus qui représentent un intérêt évident pour les applications. Nous suggérons pour chacune de ces questions quelques commencements de réponse.

Dans cette thèse, le mouvement brownien branchant (MBB) est un système aléatoire de particules, où celles-ci diffusent sur la droite réelle selon des mouvements browniens et branchent à taux constant en un nombre aléatoire de particules d'espérance supérieure à 1. Nous étudions deux modèles de MBB avec sélection : le MBB avec absorption à une droite espace-temps et le N -MBB, où, dès que le nombre de particules dépasse un nombre donné N , seules les N particules les plus à droite sont gardées tandis que les autres sont enlevées du système. Pour le premier modèle, nous étudions la loi du nombre de particules absorbées dans le cas où le processus s'éteint presque sûrement, en utilisant un lien entre les équations de Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskounov (FKPP) et de Briot-Bouquet. Pour le deuxième modèle, dont l'étude représente la plus grande partie de cette thèse, nous donnons des asymptotiques précises sur la position du nuage de particules quand N est grand. Plus précisément, nous montrons qu'elle converge à l'échelle de temps log³ N vers un processus de Lévy plus une dérive linéaire, tous les deux explicites, confirmant des prévisions de Brunet, Derrida, Mueller et Munier. Cette étude contribue à la compréhension de fronts du type FKPP sous l'influence de bruit. Enfin, une troisième partie montre le lien qui existe entre le MBB et des processus ponctuels stables.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.