Les codes identifiants dans les graphes modélisent des systèmes de détection et de localisation à distance de pannes multiples dans les réseaux. Nous abordons dans une première partie différents problèmes de nature algorithmique ou structurelle concernant plusieurs variations autour de ces codes ; en particulier, nous obtenons de nombreux résultats quant à la structure des graphes sans jumeaux. Ces questions nous amènent dans une deuxième partie à considérer une notion de puissance de graphe, que nous étudions plus avant. Nous obtenons en particulier des résultats de type extrémal et nous consacrons l'étude des racines carrées de graphes.

Cette thèse présente différents aperçus de problèmes de mathématiques discrètes en lien avec la théorie des graphes. Elle s'intéresse en particulier à la coloration de graphes, i.e. l'assignation de couleurs aux sommets (ou arêtes) d'un graphes sous certaines contraintes locales, notamment l'exclusion de motifs. Pour différents types de coloration (choisissabilité des sommets, des arêtes, coloration acyclique ou linéaire, ...), un état de l'art est présenté, accompagné de résultats d'existence sur les graphes planaires ou leurs sous-classes, ayant pour but de minimiser le nombre de couleurs nécessaires pour un degré maximum ou un degré moyen maximum (Mad) donnés. Cette thèse traite également de décompositions induites de graphes, et démontre qu'il existe pour tout graphe $H$ une suite infinie de graphes denses dont les arêtes peuvent être partitionnées en copies induites de $H$. Cette preuve requiert le formalisme des hypergraphes, pour lesquels un autre résultat de décomposition est démontré, i.e. une décomposition optimale de l'hypergraphe complet 3-régulier en hypergraphes $\alpha$-acycliques. La troisième parti porte sur des questions algorithmiques. Elles consistent en problèmes d'optimisation ou d'existence, motivés par le routage d'information dans les réseaux, analysés par le formalisme classique de complexité algorithmique, ou traitent de la recherche de sous-graphes dans le formalisme de la complexité paramétrée. Dans une quatrième partie sont considérés des problèmes de comptage issus de la chimie, suivis de la présentation de Programmes Linéaires Entiers utilisés dans le logiciel de mathématiques Sage.

Avec le développement des ordinateurs, la résolution numérique des équations de la physique est devenue un outil de calcul puissant pour établir des prédictions physiques. Mais le recours au calcul numérique entraîne des changements plus profonds pour les théories physiques. Le but de cette thèse est de montrer que le calcul numérique sur machine conduit à une véritable reformulation des théories physiques. Les lois et les principes fondamentaux formulés à l'aide d'équations différentielles sont reformulés de manière discrète. Pour cela, je me concentre sur le cas d'une théorie physique: la mécanique classique. Je montre que depuis les années 1980 une mécanique discrète a été développée. J'analyse cette approche et j'examine en particulier ce qu'elle nous apprend sur la représentation du temps comme continu dans les théories physiques. Dans une première partie, j'examine la résolution numérique sur machine en tant qu'outil pour la prédiction quantitative en physique. Je montre la nécessité pour les scientifiques d'y recourir et je propose une analyse des concepts fondamentaux de ce type de résolution. Dans une deuxième partie, j'examine dans quelle mesure le calcul numérique est un élément constitutif des théories physiques. Je défends la thèse selon laquelle la mécanique discrète est une nouvelle théorie du mouvement classique. Dans une troisième partie, je soutiens une thèse sur la représentation du temps comme continu dans les théories physiques. C'est une représentation dont les scientifiques peuvent se passer. J'examine ensuite en quel sens la représentation traditionnelle du temps comme continu est plus simple que la représentation discrète. / The numerical computation of the solutions of equations in physical theories enables scientists to make powerful predictions. But numerical computation also challenges physical theories in a more fundamental way. The aim of this dissertation is to show how numerical computation leads to a reformulation of physical theories. Fundamental laws and first principles usually formulated with differential equations are reformulated with discrete equations. To fulfill this goal, I focus on the case of classical mechanics. I study a discrete approach called discrete mechanics developed since the 1980's and I discuss its consequences on the usual continuous representation of time in physics. First, I study numerical computation as a means to make predictions in physics. The fundamental concepts of exact and numerical computations of differential equations are discussed. In the second part, I examine how numerical computation changes the fundamental principles of physical theories. I claim that discrete mechanics has to be considered as a new theory of classical motion. In a third part, I investigate the consequences of discrete mechanics on the continuous representation of time in physics. I claim that physicists do not have to necessarily represent time as continuous in their theories. The discrete representation is another possible choice. Finally, I compare the continuous representation of time and the discrete one according to criteria of simplicity.

La microscopie confocale de réflectance in-vivo (RCM) est un outil puissant pour visualiser les couches cutanées à une résolution cellulaire. Des descripteurs du vieillissement cutané ont été mis en évidence à partir d'images confocales. Cependant, leur évaluation nécessite une analyse visuelle des images par des dermatologues expérimentés. L'objectif de cette thèse est le développement d'une technologie innovante pour quantifier automatiquement le phénomène du vieillissement cutané en utilisant la microscopie confocale de réflectance in vivo. Premièrement, la quantification de l’état de l’épiderme est abordée. Ensuite, la jonction dermique-épidermique est segmentée, et sa forme est caractérisée. Les mesures proposées mettent en évidence une différence significative entre les groupes d'âge et l’exposition au soleil. Enfin, les méthodes proposées sont validées par des études cliniques et d'efficacité de produits cosmétiques / In-vivo reflectance confocal microscopy (RCM) is a powerful tool to visualize the skin layers at cellular resolution. Aging descriptors have been highlighted from confocal images. However, it requires visual assessment of images by experienced dermatologists to assess those descriptors. The objective of this thesis is the development of an innovative technology to automatically quantify the phenomenon of skin aging using in vivo reflectance confocal microscopy. First, the quantification of the epidermal state is addressed. Then, the Dermal-Epidermal Junction is segmented, and its shape is characterized. The proposed measurements show significant difference among groups of age and photo-exposition. Finally, the proposed methods are validated through both clinical and cosmetic product efficacy studies

Soit G un groupe de Lie résoluble connexe et H un de ses sous-groupes fermés connexes d'algèbres de Lie g et h respectivement. On note g* (resp. h*) le dual linéaire de g (resp. h) ). Le sujet de ma thèse consiste à étudier la restriction d'une série discrète π de G, associée à une orbite coadjointe Ω C g*, à H. Si la restriction de π à H se décompose en somme directe de représentations de H avec multiplicités finies, on dit que π est H-admissible. Notons Pg,n : Ω → h* l'application restriction. Il s'agit de démontrer la conjecture suivante due à Michel Duflo : 1. La représentation π est H-admissible si et seulement si l'application moment Pg,n est propre sur l'image. 2. Si π est H-admissible, et si T est une série discrète de H alors sa multiplicité dans la restriction de π à H doit pouvoir se calculer en « quantifiant » l'espace réduit correspondant (qui est compact dans ce cas). Dans cette thèse, nous apportons une réponse positive à cette conjecture dans deux situations, à savoir :(i) Le groupe G est résoluble exponentiel. (ii) Le groupe G est le produit semi direct d'un tore compact par le groupe de Heisenberg et H est un sous-groupe algébrique connexe. / Let G be a connected solvable Lie group and H a closed connected subgroup with Lie algebra g and h respectively. We denote g* (resp. h*) the dual of g (resp. h). The aim of my thesis is to study the restriction of a discrete series π of G, associated with a coadjoint orbit Ω C g* to H. If the restriction of π to H can be decomposed in to a direct sum of representations of H with finite multiplicities, we say that π is H-admissible. Let Pg,n : Ω → h* denote the restriction map. My objective is to show the following conjecture due to Michel Duflo : 1. The representation π i s H-admissible if and only if the moment application Pg,n is proper on the image. 2. If π is H-admissible, and if T is a discrete series of H then it s multiplicity in the restriction of π to H must be calculated by « quantifying » the corresponding reduced space (that is compact in this case). In this thesis, we provide a positive response to this conjecture in two situations, namely when: (i) G is exponential solvable Lie group. (ii) G is the semi direct product of a compact torus and the Heisenberg group and H is a connected algebraic subgroup.

La transformée de Radon généralisée est une extension de la transformée de Radon qui généralise ses courbes de projection. Ce mémoire présente de nouveaux formalismes théoriques à la transformée de Radon Généralisée discrète. Les approches proposées dans ce mémoire ont différentes propriétés. Nous citons principalement : l'aspect modèle où chaque point dans l'espace de Radon correspond à un modèle dans l'espace spatial. Il est le résultat de la somme des pixels appartenant au modèle, la projection multidirectionnelle dans le sens que le domaine transformé de Radon se constituera au fur et à mesure que les courbes effectuent une rotation, selon le même principe utilisé dans la transformée de Radon classique et l'inversion exacte qui signifie la reconstruction exacte de l'image initiale à partir de l'espace de Radon de telle sorte que l'image reconstruite à partir de l'espace de Radon est égale en tout point à l'image initiale. La première approche proposée, appelée la transformée de Radon Généralisée Discrète multidirectionnelle est basée sur un formalisme algébrique défini par une multiplication matricielle entre des matrices de projection et l'image. Cette transformée permet une projection multidirectionnelle vu que les matrices de projection sont définies pour sélectionner des courbes épousant différentes directions. Cette transformée a l'avantage de ne poser aucune contrainte sur la nature des courbes projetées tout en permettant une inversion exacte. Nous avons appliqué la nouvelle transformée dans le domaine de la reconnaissance de formes, plus précisément dans la reconnaissance des bâtiments de forme rectangulaire dans des images satellitaire de haute résolution. En partant du principe qu'une courbe est transformée en un point de forte intensité dans l'espace de Radon, notre méthode de reconnaissance adoptée est basée sur l'étude de l'espace de Radon dans le but d'en extraire les pics. Ces derniers portent les informations cherchées sur la forme à identifier, à savoir ses paramètres, sa localisation et son orientation. Une deuxième approche appelée transformée de radon discrète polynomiale a été également proposée. Cette transformée projette une image discrète suivant des courbes polynômiales de différents degrés et orientations. Cette approche, fondée sur des propriétés arithmétiques, est également exactement inversible et multi directionnelle. Nous avons appliqué cette approche dans la reconnaissance des empreintes digitales. Les résultats montrent la précision de la méthode pour la détection de la position et de la direction des courbes polynomiales. Des propriétés intéressantes comme l'invariance aux transformations comme la rotation, la translation et le bruit caractérisent cette approche / The Generalized Radon transform is an extension of the Radon transform which generalizes its projection curves. This paper presents new theoretical formalism to the generalized discrete radon transform. The approaches proposed in this paper have different properties. We mainly cite: the model aspect where each point in Radon space corresponds to a model in spatial space. It is the result of the sum of the pixels belonging to the model, the multi-projection which means that the Radon transform domain will be constructed as the curves are rotated according to the same principle used in the classical Radon transform and exact inversion which means the exact reconstruction of the original image from Radon space so that the reconstructed image is equal in all pixels to the original image. The first proposed approach, called the Generalized Discrete Radon transform is based on an algebraic formalism defined by a matrix multiplication between the projection matrices and the image. This transform allows multidirectional projection since the projection matrices are defined to select curves following different directions. This transform has the advantage of not posing any constraints on the nature of the projected curves while allowing an exact inversion. We applied the new transformed in the field of pattern recognition, specifically in recognition of rectangular buildings in satellite images of high resolution. Assuming that a curve is transformed into an intensive point in the Radon space, our adopted recognition method is based on the study of Radon space in order to extract the peaks. These point out the needed information to identify the pattern, i.e., its parameters, its location and orientation. A second approach called polynomial discrete Radon transform was also proposed. This transform projects a discrete image following polynomial curves of different degrees and directions. This approach, based on arithmetic properties, is exactly reversible and multi-directional. We applied this approach to fingerprint recognition. The results show the precision of the method on detecting the position and direction of polynomial curves but also interesting properties such as invariance transformations such as rotation, translation and noise

Cette thèse propose une approche, par les méthodes du groupe de renormalisation non perturbatif, de phénomènes critiques dans des systèmes à l'équilibre. Ce travail se scinde en deux parties. La première présente des modèles où $\gamma_+$ et $\gamma_-$, les exposants de la susceptibilité dans les phases haute et basse température, sont génériquement différents. Dans ces modèles, les symétries continues sont explicitement brisées par des anisotropies discrètes qui sont inessentielles au sens du groupe de renormalisation. Nous calculons avec précision $\gamma_+-\gamma_-$ ainsi que le rapport $\nu/\nu'$ des exposants des deux longueurs de corrélation présentes pour $T<T_c$. La seconde partie est consacrée aux applications de l'approximation BMW, une approximation récente du groupe de renormalisation non perturbatif. D'une part, sont présentées les méthodes d'analyse numérique utilisées pour résoudre les équations intégro-différentielles non linéraires générées par l'approximation BMW. D'autre part, ces méthodes sont appliquées concrètement pour étudier le régime critique du modèle d'Ising bidimensionnel et ses états liés dans la phase basse température en dimension $2\leq d \leq4$. Ces applications en différentes dimensions témoignent de la grande précision de l'approximation BMW, de la facilité à changer la dimension, qui n'est qu'un paramètre, et ouvrent la voie à de nombreuses applications. / This thesis broaches the study of critical phenomena in equilibrium systems using non-perturbative renormalisation group methods. This work is divided into two parts.The first one presents models where $\gamma_+$ and $\gamma_-$, the exponents of the susceptibility in the high and low temperature phases, are generically different. In these models,continuous symmetries are explicitly broken down by discrete anisotropies that are irrelevant in the renormalization-group sense. We compute accurately $\gamma_+ -\gamma_-$as well as the ratio $\nu/\nu'$ of the exponents of the two correlation lengths present for $T<T_c$. The second part is devoted to applications of the BMW approximation which is a recent approximation of the non-perturbative renormalisation group.On the one hand, a review of the numerical analysis methods used to solve the nonlinear integro-differential equations generated by the BMW approximation is provided.On the other hand, these methods are applied to study the critical regime of the Ising model in dimension two and its bound states in the low-temperature phase in dimension $2\leq d \leq4$. These applications in different dimensions demonstate the accuracy of the BMW approximation can be, the easiness to change of dimension which a simple parameter and pave the way for numerous applications.

Ma contribution principale porte sur la géométrie différentielle discrète, spécialement la géométrie conforme discrète. Les champs d'application principaux que j'étudie sont l'imagerie par ordinateur et les systèmes intégrables, tant les systèmes intégrables discrets que les systèmes statistiques intégrables. Ma thèse sur le modèle d'Ising a identifié la criticité dans le modèle de taille fini comme un point où le fermion, une observable particulière, devient holomorphe pour une structure conforme discrète sous-jacente. À l'université de Melbourne, je me suis intéressé avec Paul Pearce aux modèles ADE qui sont une généralisation du modèle d'Ising, dans le but (inachevé mais en bonne voie) d'y identifier un analogue discret de l'algèbre des opérateurs vertex (les conditions de bord conformes et intégrables) et des blocs conformes, en particulier dans l'espoir de comprendre la criticité comme une compatibilité à l'holomorphie discrète. À l'université technique de Berlin, avec Alexander Bobenko et son équipe, j'ai compris la nature intégrable du modèle associé à l'holomorphie discrète (linéaire et quadratique) et utilisé les outils très puissants de cette théorie (isomonodromie, transformations de Darboux-Bäcklund, finite-gap) pour mettre à jour la position centrale de l'analyse complexe discrète dans la hiérarchie des systèmes intégrables discrets. À Montpellier, dans l'équipe Arith dirigée par Valérie Berthé, j'ai appliqué cette théorie dans le cadre de la géométrie différentielle discrète, particulièrement dans le cadre voxellique de la géométrie digitale.

L'imagerie par résonance magnétique (IRM) est la seule technique non invasive d'imagerie médicale qui permet la reconstruction de l'architecture neuronale du cerveau. Cette approche est fondamentale pour le domaine des neurosciences, qui tente continuellement de développer de nouveaux outils et modèles pour mieux détecter et étudier les maladies mentales et neurodégénératives, les troubles du développement, les tumeurs, les commotions, ainsi que plusieurs autres pathologies du cerveau humain. L'IRM de diffusion (IRMd) combinée à la tractographie rend possible l'extraction de l'information structurelle sur les fibres nerveuses. Ces méthodes permettent de visualiser, d'analyser et d'évaluer l'intégrité de la matière blanche, ceci afin d'identifier la présence d'anomalies le long des axones, causées par la démyélinisation, la mort axonale ou d'autres détériorations. La problématique est que ces méthodes ont une faible résolution comparée à une surface ou une image anatomique IRM. L'IRMd est limitée par son faible rapport signal sur bruit (SNR) et l'effet de volume partiel causé par la discrétisation. Certains modèles géométriques ont récemment été utilisés pour mieux modéliser l'expansion corticale, la topologie des plis corticaux et l'organisation des couches de la matière grise. Toutefois, ces modèles fournissent seulement de l'information sur l'organisation du cortex et non pas sur la matière blanche comme telle, ni sur la structure des neurones. Cette recherche vise à modéliser la structure complexe des fibres de la matière blanche à l'aide d'équations différentielles et de flots géométriques. Ce mémoire présente différents modèles mathématiques (surface et flot) ainsi que leur intégration avec la méthode des différences finies. Nous proposons également d'utiliser un maillage de la surface corticale afin d'améliorer la précision de l'IRMd et de limiter l'effet de volume partiel. Validée qualitativement et quantitativement avec l'aide d'acquisitions hautes résolutions du Human Connectome Project (HCP) et d'un jeu de données de reproductibilité de test-retest, cette méthode permet d'améliorer la tractographie. Les résultats de ces travaux permettront de faire le pont entre l'imagerie de diffusion (IRMd) et les modalités propres à l'imagerie fonctionnelle (EEG, MEG, IRMf et TMS), pour lesquelles la structure des axones situés sous le cortex est essentielle pour bien modéliser et comprendre le fonctionnement cérébral.

En informatique, les images sont numériques et donc composées de pixels en 2D et de voxels en 3D. Dans une scène virtuelle 3D, il est impossible de manipuler directement les objets comme des ensembles de voxels en raison du trop gros volume de données. Les objets sont alors polyédrisés, c'est-à-dire remplacés par une collection de facettes. Pour ce faire, il est primordial de savoir décider si un sous-ensemble de voxels peut être transformé en une facette dans la représentation polyédrique. Ce problème est appelé reconnaissance de plans discrets. Pour le résoudre, nous mettons en place un nouvel algorithme spécialement adapté pour les ensembles de voxels denses dans une boite englobante. Notre méthode atteint une complexité quasi-linéaire dans ce cas et s'avère efficace en pratique. En parallèle, nous nous intéressons à un problème algorithmique annexe intervenant dans notre méthode de reconnaissance de plans discrets. Il s'agit de calculer les deux enveloppes convexes des points de Z2 contenus dans un domaine vertical borné et situés de part et d'autre d'une droite quelconque. Nous proposons une méthode de complexité optimale et adaptative pour calculer ces enveloppes convexes. Nous présentons le problème de manière détournée : déterminer le nombre rationnel à dénominateur borné qui approxime au mieux un nombre réel donné. Nous établissons le lien entre ce problème numérique et son interprétation géométrique dans le plan. Enfin, nous proposons indépendamment un nouvel algorithme pour calculer l'épaisseur d'un ensemble de points dans le réseau Zd. Notre méthode est optimale en 2D et gloutonne mais efficace en dimension supérieure