Cette thèse est un travail en mathématiques appliquées. Elle aborde quelques problèmes en analyse d'images et utilise des outils mathématiques spécifiques.<br /><br />L'objectif des deux premières parties de cette thèse <br /> est de proposer un modèle pour décomposer une image f en trois composantes : f=u+v+w.<br />La première composante, u, contient l'information géométrique. On peut la considérer comme une esquisse de l'image originale f.<br />La seconde composante, v, contient l'information texture.<br />La troisième composante, w, contient le bruit présent dans l'image originale.<br />Notre approche repose sur l'utilisation d'espaces mathématiques <br />adaptés à chaque composante: l'espace BV des fonctions à variations bornées pour u, un espace G proche du dual de BV pour les textures, et un espace de Besov d'exposant négatif E pour le bruit.<br />Nous effectuons l'étude mathématique complète des différents modèles que nous proposons.<br />Nous illustrons notre approche par de nombreux exemples, et donnons deux applications concrètes : une première en restauration d'images RSO, et une seconde en compression d'images.<br /><br /><br />Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons <br />spécifiquement à la composante texturée.<br />Nous proposons un algorithme de classification supervisée pour les images texturées. L'approche utilisée est basée sur l'utilisation de la méthode des contours actifs et d'un terme d'attache aux donnés spécifiques au textures. Ce dernier est construit à partir d'une transformée en paquets d'ondelettes. Nous obtenons ainsi une fonctionnelle, dont le minimum correspond à la classification cherchée. Nous résolvons numériquement ce problème à l'aide d'un système couplé d'EDP que nous plongeons dans un schéma dynamique. Nous illustrons notre démarche par de nombreux exemples numériques. Nous effectuons également l'étude théorique de la fonctionnelle de classification.

Nous présentons des résultats obtenus dans cinq directions autour des représentations des algèbres affines quantiques $\U_q(\hat{\Glie})$. En premier lieu nous prouvons la conjecture de Kirillov-Reshetikhin, c'est-à-dire des formules de caractères pour certaines représentations de dimension finie de $\U_q(\hat{\Glie})$, et nous étendons le résultat à des affinisations minimales; nous étendons le modèle monomial des cristaux aux représentations extrémales et nous y interprétons des automorphismes de Kashiwara. Ensuite, à l'interface avec la géométrie algébrique, nous définissons une notion de groupes de lacets analytiques avec une factorisation de Riemann-Hilbert qui permet de réaliser géométriquement le centre de $\U_q(\hat{\Glie})$ aux racines de $1$. Comme application, nous paramétrisons des classes d'équivalences de représentations de $\U_q(\hat{\Glie})$ par des $G$-fibrés sur une courbe elliptique. On résoud le problème de petitesse géométrique posé par Nakajima pour des résolutions de variétés carquois. Troisièmement, nous établissons une nouvelle dualité de Langlands pour des représentations de $\Glie$ et de $\U_q(\hat{\Glie})$ et nous définissons des groupes quantiques d'interpolation pour l'interpréter. Quatrièmement, nous construisons une catégorie tensorielle pour les algèbres affinisées quantiques et des représentations de dimension finie d'algèbres toroïdales quantiques (et de Cherednik); nous proposons un analogue en théorie de Lie des algèbres de réflexion symplectiques. Enfin, nous obtenons des catégorifications monoïdales d'algèbres cluster en terme d'une catégorie $\mathcal{C}_1$ de représentations de $\U_q(\hat{\Glie})$. Pour ce faire, nous établissons notamment la factorisation en modules premiers de modules simples de $\mathcal{C}_1$.

L'étude des fonctions de deux variables et des opérateurs intégraux associés, ou l'étude directe des noyaux au sens de L. Schwartz (définis comme opérateurs faiblement continus du dual topologique d'un espace vectoriel localement convexe dans lui même), est depuis plus d'un demi-siècle une branche des mathématiques en pleine expansion notamment dans le domaine des distributions, des équations différentielles ou dans le domaine des probabilités avec l'étude des mesures gaussiennes et<br />des processus gaussiens.<br /><br />Les travaux de Moore, Bergman et Aronszajn ont notamment abouti au résultat fondamental suivant qui concerne les noyaux positifs : il est toujours possible de construire un sous-espace préhilbertien à partir d'un noyau positif et, moyennant quelques hypothèses (faibles) supplémentaires, de compléter fonctionnellement cet espace afin d'obtenir alors un espace de Hilbert. Cet espace possède alors la propriété d'être continûment inclus dans l'espace vectoriel localement convexe de départ.<br />Il existe donc une relation forte entre noyaux positifs et espaces hilbertiens. Dans cette thèse, nous nous sommes posés le problème suivant : que se passe t'il si l'on lève l'hypothèse<br />de positivité ? D'hermicité ?<br /><br />Dans cette perspective nous considérons une seconde approche qui consiste à travailler directement sur des espaces vectoriels plutôt que sur les noyaux.<br />Précisément, adoptant une démarche classique en mathématiques, nous étudions les propriétés d'une classe d'espaces vérifiant des hypothèses additionnelles. Partant des espaces de Hilbert continûment inclus dans un espace localement convexe donné, cette approche a conduit aux espaces de Hilbert à noyau reproduisant de N. Aronszajn puis aux sous-espaces hilbertiens de L. Schwartz. Cette théorie est présentée dans la première partie de la thèse, le résultat majeur de cette théorie étant sans doute l'équivalence entre sous-espaces hilbertiens<br />et noyaux positifs, résumé par la phrase suivante :<br /><br />``Il existe une bijection entre sous-espaces hibertiens et noyaux positifs.''<br /><br />Le principal apport à la théorie existante est l'utilisation intensive de systèmes en dualité et de formes bilinéaires (et pas uniquement sesquilinéaires). De manière surprenante,<br />cela conduit à une certaine perte de symétrie qui porte les germes de la théorie des sous-dualités.<br /><br />Dans une seconde partie nous suivons encore les travaux de L. Schwartz et étudions la théorie moins connue des sous-espaces de Krein (ou sous-espaces hermitiens).<br />Les espaces de Krein ressemblent aux espaces de Hilbert mais sont munis d'un produit scalaire qui n'est plus nécessairement positif. Les sous-espaces de Krein constituent donc une première généralisation des sous-espaces hilbertiens. Un des principaux intérêt de l'étude de tels espaces réside en la disparition de l'équivalence fondamentale entre les notions de sous-espaces et de noyaux, même si une relation étroite subsiste. Nous étudions plus particulièrement les similitudes et les différences entre ces deux différentes théories, que nous retrouverons dans la théorie des sous-dualités.<br /><br />La troisième partie généralise la perte de symétrie évoquée dans le chapitre 1. Nous développons les bases d'une théorie non plus basée sur une structure hilbertienne, mais sur une certaine dualité.<br />Nous développons ainsi le concept de sous-dualité d'un espace vectoriel localement convexe (ou d'un système dual) et de son noyau associé.<br />Une sous-dualité est définie par un système de deux espaces en dualité vérifiant des conditions d'inclusion algébrique ou<br />topologique. Plus précisément :<br />un système dual $(E,F)$ est une sous-dualité d'un espace localement convexe $\cE$ (ou plus généralement d'un système dual $(\cE,\cF)$) si $E$ et $F$ sont faiblement continûment inclus dans $\cE$.<br />Dans ce cas, il est possible d'associer à cette sous-dualité un unique noyau d'image dense dans la sous-dualité. Nous étudions également l'effet d'une application linéaire faiblement continue. Il devient alors possible (moyennant une relation d'équivalence) de munir l'ensemble des sous-dualités d'une structure d'espace vectoriel qui le rend isomorphe algébriquement à l'espace vectoriels des noyaux. Nous exhibons ensuite un représentant canonique de ces classes d'équivalences, ce qui permet d'établir une bijection entre sous-dualités canoniques et noyaux.<br /><br />Une quatrième et dernière partie propose quelques applications. Le premier champ d'application possible est une généralisation du lien entre sous-espaces hilbertiens et mesures gaussiennes. Le second est l'étude d'opérateurs particuliers, les opérateurs dans les sous-dualités d'évaluation (sous-dualités de $\KK^(\Omega)$) et les opérateurs différentiels.

Cette thèse propose une définition des groupoïdes quantiques mesurés. L'objectif est la construction d'objets, munis d'une dualité, qui englobent à la fois les groupoïdes et les groupes quantiques. On s'appuie sur les travaux de J. Kustermans et S. Vaes concernant les groupes quantiques localement compacts qu'on généralise grâce au formalisme introduit par M. Enock et J.M. Vallin à propos des inclusions d'algèbres de von Neumann. A partir d'un bimodule de Hopf muni de poids opératoriels invariants à gauche et à droite, on définit un unitaire pseudo-multiplicatif fondamental. On introduit la notion de poids quasi-invariant sur la base et on construit une antipode avec décomposition polaire, une coinvolution, un groupe d'échelle, un module et un opérateur d'échelle. La construction du dual nécessite une hypothèse supplémentaire de densité vérifiée dans de nombreux cas. On obtient un théorème de bidualité dans le cas où la base est semifinie. Cette théorie est illustrée par différents exemples.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux structures des algèbres quotients et plus particulièrement à l'apport de la dualité pour la représentation des algèbres de coordonnées. Une première partie de cette thèse est consacrée à la représentation des algèbres de dimension zéro et à des applications de la dualité à des problèmes d'interpolation. Nous généralisons les bases d'interpolation de Lagrange et d'Hermite pour lesquelles nous donnons des formules explicites. Cela nous permet de donner les relations entre les racines d'un système algébrique et ses coefficients avec des formules généralisant celles du cas univarié. Dans une deuxième partie, nous appliquons les résultats développés dans la première partie à la conception de méthodes itératives pour l'approximation simultanée de l'ensemble des solutions d'un système algébrique. La troisième partie est consacrée aux résidus algébriques. Nous rappelons les notions relatives aux algèbres de Gorenstein et à leurs représentations. Nous introduisons les bézoutiens et les résidus algébriques dont nous donnons des applications en géométrie. Dans la quatrième partie, nous nous intéressons à l'algorithmique associé aux matrices quasi-Toeplitz, quasi-Hankel, ..., telles que définies par B. Mourrain et V.Y. Pan. Nous en montrons des applications dans le cadre de l'algorithmique permettant des accélérations asymptotiques de méthodes de résolution de systèmes algébriques.

Dans cette thèse, une représentation originale d'objets tridimensionnels est introduite: les maillages simplexes. un k-maillage simplexe est un maillage ou chaque sommet est connecte à k + 1 sommets voisins. Ainsi un contour est représenté par un 1-maillage simplexe et une surface tridimensionnelle par un 2-maillage simplexe. La structure d'un maillage simplexe est duale de celle des triangulations. Plusieurs propriétés topologiques et géométriques originales rendent l'utilisation des maillages simplexes particulièrement bien adaptée à la représentation de surfaces déformables. Nous introduisons la notion d'angle simplexe, de courbure moyenne discrète et de paramètre métrique à chaque sommet du maillage. La propriété géométrique essentielle des maillages simplexes est la possibilité de représenter localement la forme d'un k-maillage en un sommet à l'aide de (k + 1) quantités adimensionnées. Les maillages simplexes déformables sont alors utilisés dans un système de modélisation d'objets tridimensionnels. En présence d'images volumiques ou de profondeur, un maillage simplexe est déformé sous l'action de forces régularisantes et de forces externes. Les maillages simplexes sont adaptatifs à plusieurs titres. D'une part, les sommets se concentrent aux endroits de fortes courbure et d'autre part, le maillage peut être raffiné ou décimé en fonction de la proximité des sommets aux données. Enfin, l'utilisation de maillages simplexes sphériques quasi-réguliers permet la reconnaissance de forme d'objets tridimensionnels, même en présence d'occultations. La forme d'un objet est alors représentée par l'ensemble des valeurs des angles simplexes du maillage simplexe déformé, projeté sur le maillage sphérique originel. La forme de deux objets est comparée par l'intermédiaire de leur image simplexe (simplex angle image)

Le but de cette thèse a été l'étude de quelques représentants des modèles sigma en deux dimensions invariants conformes et avec symétrie continue qui sortent du cadre traditionnel, établie par la recherche des dernières décennies dans le domaine des théories conformes, des modèles sigma de Wess-Zumino-Witten ou des modèles gaussiens. Les modèles sigma sur des superespaces symétriques, définis par une action métrique standard, offrent de tels exemples. La difficulté de résoudre ces modèles sigma est relié au fait qu'ils ne possèdent pas de symétrie de Kac-Moody, qui est normalement nécessaire pour intégrer les théories conformes nongaussiennes avec symétrie continue. Dans cette thèse on considère les modèles sigma sur les supersphères S^(2S+1/2S) et sur les superespaces projectifs). Les deux modèles continus admettent une discrétisation par un gaz de boucles denses qui s'intersectent et dont l'algèbre des matrices de transfert est une algèbre de type Brauer. La stratégie principale qu'on a adoptée dans la recherche des résultats exacts sur ces modèles sigma est l'étude détaillée des symétries de la théorie continue, d'un coté, et du modèle discret, de l'autre. Cette analyse permet de faire le pont entre le comportement du modèle discret et la théorie continue. L'analyse détaillée des symétries discrètes - en particulier la structure des blocs de l'algèbre de Brauer - combinée à des calculs perturbatifs donne lieu à une proposition pour, selon les cas, le spectre partiel ou complet de la théorie conforme. Une dualité exacte du type couplage faible/couplage fort est également conjecturée dans les cas des modèles sigma sur les supersphères.

La méthode de radiosité, méthode de simulation globale de l'éclairage, est très utilisée pour la visualisation de scènes d'intérieur statiques. Malgré les différentes améliorations apportées jusqu'à présent, son coût reste conditionné par le calcul des facteurs de forme qui modélisent l'interaction lumineuse entre deux surfaces. Ce calcul constitue l'étape la plus coûteuse de la méthode de radiosité, compte tenu des calculs de visibilité qu'il implique. D'autre part, il semble primordial d'utiliser un maillage qui suive les discontinuités (c'est à dire les limites d'ombre et de pénombre), pour obtenir une solution de radiosité de bonne qualité. Or cette méthode est très coûteuse car elle nécessite de nombreux calculs géométriques. De plus les méthodes proposées jusqu'à présent pour des environnements dits dynamiques (environnements où la géométrie, les propriétés des matériaux, etc., peuvent changer) effectuent toujours trop de recalculs. Le problème reste d'arriver à identifier précisément et efficacement quels facteurs de forme doivent vraiment être recalculés. Nous avons considéré le cas 2D qui permet une meilleure compréhension et une analyse plus approfondie, ne serait-ce que grâce à l'existence de solutions analytiques. Nous nous sommes intéressés au complexe de visibilité (introduit récemment en géométrie algorithmique) qui code les relations de visibilité entre les objets dans le plan. Nous présentons dans cette thèse son utilisation dans le cadre de la radiosité, pour les environnements statiques, puis pour les environnements dynamiques. Nous montrons que le complexe permet d'effectuer le calcul des facteurs de forme de manière efficace et analytique, et de construire le maillage de discontinuité de façon simple. De plus, seuls les facteurs de forme entre deux éléments mutuellement visibles de la scène sont calculés. Enfin, dans le cas dynamique, le complexe permet d'identifier et de mettre à jour uniquement les facteurs de forme strictement nécessaires lorsqu'un objet se déplace.

La plupart des modèles mathématiques introduits dans la littérature biologique décrivant des phénomènes spatiaux de populations en interaction consistent en des systèmes d'équations différentielles ordinaires obtenues sous des hypothèses de dispersion globale, excluant par conséquent toute structure spatiale. Les systèmes de particules, au contraire, sont des processus de Markov d'espace d'états $F^S$ où $F$ est un ensemble fini de couleurs et $S$ est une structure spatiale, typiquement $\Z^d$. Ils sont en ce sens parfaitement adaptés à l'étude des conséquences de l'inclusion d'une structure spatiale sous forme d'interactions locales. Nous étudions les propriétés mathématiques (mesures stationnaires, géométrie des configurations, transitions de phases) de différents systèmes de particules multicolores définis sur $\Z^d$. Chacun de ces systèmes est déstiné à modéliser les interactions locales au sein d'une communauté de populations structurée spatialement. Plus précisément, les processus biologiques étudiés sont la succession écologique, l'allélopathie ou compétition entre une espèce inhibitrice et une espèce sensible, les interactions multispécifiques hôtes-symbiontes, et les migrations continues de gènes des cultures transgéniques par pollinisation en milieu hétérogène. Les techniques mathématiques sont purement probabilistes, incluant le couplage, la dualité, les arguments multi-échelle, la percolation orientée, les propriétés asymptôtiques des marches aléatoires, ou encore les estimations de grandes déviations.

On étudie la notion de trace et les problèmes d'Abel-inverse à<br />l'aide du calcul résiduel dans les cadres projectifs et toriques.<br />Dans la première partie, on obtient une caractérisation algébrique des formes traces sur une hypersurface analytique à l'aide du calcul résiduel élémentaire d'une variable. En conséquence, une version plus forte du théorème d'Abel-inverse de Henkin et Passare est prouvée. On montre que ce théorème est conséquence de la rigidité d'un système différentiel particulier lié à une équation de type ”onde de choc” et on établit le lien avec le théorème de Wood sur l'algébricité d'une famille de germes d'hypersurfaces analytiques. Enfin, on obtient une nouvelle méthode pour calculer la dimension de l'espace des formes abéliennes de degré maximal sur une hypersurface projective.<br />Dans la seconde partie, on caractérise de manière combinatoire les familles de fibrés en droites permettant de définir une notion intrinsèque de concavité dans une variété torique complète lisse et on étudie les ensembles analytiques dégénérés correspondants. On étend ainsi la notion de trace au cas torique. Courants résidus, résidus toriques et résultants donnent une borne optimale sur le degrés des traces en les différents paramètres. Si la variété torique est projective, on obtient finalement une version torique des théorèmes de Wood et d'Abel-inverse, permettant une description plus précise du support du polynôme construit dans le cas hypersurface.