Einfache oder komplexe dynamische Systeme stellen Individuen und Gesellschaften gleichermaßen vor mitunter große Herausforderungen, wie regionale und globale Krisen immer wieder zeigen. Ein basales und allgemeines Verständnis dynamischer Zusammenhänge scheint daher nicht nur wünschenswert, sondern mit Blick auf ausgewählte aktuelle Krisen sogar notwendiger denn je. Doch auch in alltäglichen Situationen oder im Schulkontext kann ein fundamentales Verständnis dynamischer Systeme die individuellen Entscheidungen oder den mathematischen Erkenntnisgewinn unterstützen. Allerdings zeigt eine breite Basis empirischer Befunde, dass bereits relativ einfache Dynamiken, wie Fluss-Bestands-Systeme (FB-Systeme), nur unzureichend erfasst zu werden scheinen. Diese Dissertationsschrift verfolgt daher die generelle Fragestellung, wie sich ein basales Verständnis formal einfacher FB-Systeme fördern oder generieren lassen könnte. Aufgrund einer bislang fehlenden einheitlichen theoretischen Beschreibung des FB-Verständnisses und dessen Einflussfaktoren basiert die vorgestellte Untersuchungsserie einerseits auf drei ausgewählten generellen theoretischen Perspektiven und daraus abgeleiteten Einflussfaktoren. Zusätzlich wurden einzelne weitere theoretische Modelle und eine Vielzahl spezifischer empirischer Befunde, zur Wirksamkeit verschiedener Präsentationsformate auf kognitive Fähigkeiten, für die Begründung der experimentellen Manipulationen herangezogen. In einer Serie von sieben experimentellen Untersuchungen wurden diverse Möglichkeiten grafischer Darstellungen, isoliert und in Wechselwirkung mit verschiedenen Personenmerkmalen, empirisch bezüglich ihres Einflusses auf das basale Verständnis illustrierter FB-Systeme überprüft. Unter Anwendung geltender wissenschaftlicher Standards und durch Nutzung moderner inferenzstatistischer Verfahren erlauben die gewonnen Ergebnisse eine fundierte Beurteilung der untersuchten Einflussfaktoren. Organisiert in drei Teilen, konnten in einer Folge von einfachen statischen Abbildungen, über passive dynamische Repräsentationen, bis hin zu interaktiven animierten Interventionsformaten, zahlreiche Illustrationsvarianten in ihrer Wirkung auf ein basales FB-Verständnis beurteilt werden. In den Experimenten 1 bis 3 wurden zunächst ausgewählte statische Darstellungsformate, spezifische Kontexteinbettungen und adaptierte Instruktionsansätze überprüft. Dabei zeigte sich keiner der manipulierten Darstellungsaspekte als genereller Wirkfaktor auf das basale FB-Verständnis. Weder kombinierte oder angepasste Diagrammdarstellungen, noch Zusatzinformationen oder überlebensrelevante Kontexteinbettungen führten zu den erwarteten Verbesserungen des FB-Verständnisses. Selbst, auf etablierten pädagogischen Interventionen basierende Instruktionsformen zeigten keinen systematischen Einfluss auf die Lösungsraten von FB-Aufgaben. In den anschließenden Experimenten 4 bis 6 konnten unter passiven dynamischen Darstellungen – rezipierende Animationen ohne Eingriffsmöglichkeiten – gleichfalls keine generell wirksamen Formate identifiziert werden. Ob fließend oder segmentiert, einmalig oder repetitiv, einzeln oder kombiniert: Keine der untersuchten passiven Animationsarten schlug sich in verbesserten Lösungsraten nieder. Im letzten Teil der Dissertation wurden schließlich interaktiv dynamische Formate am Beispiel von eigens konzipierten computerspielbasierten Lerninterventionen empirisch untersucht. Erneut zeigten sich keine Haupteffekte für die Attribute dieser Art der Informationsvermittlung. Einerseits bieten die gewonnenen Daten insgesamt keine konkreten Hinweise darauf, welche Formate generell geeignet sein könnten, FB-Zusammenhänge verständlich zu kommunizieren. Andererseits ließen sich wiederholt relevante Individualfaktoren identifizieren, die, spezifisch und in Wechselwirkungen mit den Repräsentationsformaten, das Ausmaß des individuellen FB-Verständnisses substanziell zu beeinflussen scheinen. Bereits in den ersten Experimenten traten spezifische Personenmerkmale hervor, die sich über die gesamte Untersuchungsserie hinweg als eigenständige Determinanten prädiktiv für das FB-Verständnis zeigten. Das Geschlecht (wobei Männer im Mittel ein besseres FB-Verständnis zeigten) und die mathematischen Fähigkeiten der Versuchspersonen bestimmen offenbar das Verständnis einfacher dynamischer Systeme deutlich stärker, als jedes der manipulierten Darstellungsformate. Gleichfalls scheinen sie für alle untersuchten Varianten der Repräsentationsformate vergleichbar und unabhängig voneinander relevant zu sein – wie statistische Kontrollmaßnahmen zeigen konnten. Vereinzelt, aber weniger stringent, konnten ebenfalls prädiktive Einflüsse motivationaler und kognitiver Faktoren, wie räumliche Intelligenz, beobachtet werden. Einige dieser Personenmerkmale traten wiederholt, wenn auch ohne erkennbare Systematik, in Wechselwirkung mit den experimentellen Darstellungsvarianten in Erscheinung. In Abhängigkeit von bestimmten Personenmerkmalen wirkten sich demnach einige der untersuchten Darstellungsformen unterschiedlich auf die Leistung in FB-Aufgaben aus. Insbesondere für animierte Präsentationsformate zeigten sich dabei Interaktionseffekte mit dem Geschlecht, wonach Männer und Frauen offenbar von verschiedenen Illustrationsarten profitieren. In nahezu allen Experimenten der Teile II und III konnte ein derartiger Geschlechter-Darstellungsformat-Interaktionseffekt beobachtet werden. Weitaus seltener zeigten sich hingegen Moderatoreffekte von motivationalen oder kognitiven Faktoren. Obwohl die mathematischen Fähigkeiten über alle Experimente hinweg als substanzieller Prädiktor des FB-Verständnisses in Erscheinung traten, fanden sich überdies durchgängig keine Anzeichen für dementsprechende Interaktionseffekte. Darüber hinaus boten explorative Vergleiche zwischen den verschiedenen Experimenten weitere interessante Hinweise auf die Hintergründe des generell relativ schwach ausgeprägten basalen FB-Verständnisses. Da Experiment 6 in Kooperation mit der Pädagogischen Hochschule Heidelberg durchgeführt werden konnte, ließen sich mathematisch sehr gut vorgebildete Versuchspersonen für die Teilnahme gewinnen. Diese zeigten, im Vergleich zu den Kohorten der vorangegangenen Experimente, ein sehr hohes Verständnis der illustrierten FB-Systeme. Dies unterstreicht, über die Bedeutung individueller mathematischer Fähigkeiten hinaus, dass ein gutes bis sehr gutes FB-Verständnis prinzipiell realisierbar ist. Weitere explorative Analysen deuten überdies auf eine besonders positive Wirkung passiver dynamischer Repräsentationen im Kontext der kreierten computerspielbasierten Interventionen. Die in Experiment 7 ursprünglich als Kontrollbedingung konzipierte Darstellungsvariante führte gegenüber einer vergleichbaren Stichprobe weiblicher Versuchsteilnehmer zu deutlich verbesserten Lösungsraten. Ergänzend zu vergleichenden Diskussionen der drei separaten Dissertationsteile folgt eine abschließende Generaldiskussion. Neben generellen Aspekten der Ergebnisse werden darin die zentralen Schlussfolgerungen und Erkenntnisse zusammengefasst. Die Erörterung potenzieller theoretischer und praktischer Implikationen sowie die Vorstellung spezifischer Anschlussfragestellungen und zukünftiger Forschungsanstrengungen bilden den Abschluss dieser Dissertationsschrift.

Die Tiefenkonvektion ist ein wesentlicher Bestandteil der Zirkulation im Nordatlantik. Sie beeinflusst den nordwärtigen Wärmetransport der thermohalinen Zirkulation. Ein Verständnis ihrer Stabilität und Variabilität ist daher nötig, um Klimaveränderungen im Bereich des Nordatlantiks einschätzen zu können. <br /> <br /> Diese Arbeit hat zum Ziel, das konzeptionelle Verständnis der Stabilität und der Variabilität der Tiefenkonvektion zu verbessern. Beobachtungsdaten aus der Labradorsee zeigen Phasen mit und ohne Tiefenkonvektion. Ein einfaches Modell mit zwei Boxen wird an diese Daten angepasst. Das Ergebnis legt nahe, dass die Labradorsee zwei koexistierende stabile Zustände hat, einen mit regelmäßiger Tiefenkonvektion und einen ohne Tiefenkonvektion. Diese Bistabilität ergibt sich aus einer positiven Salzgehalts-Rückkopplung, deren Ursache ein Netto-Süßwassereintrag in die Deckschicht ist. Der konvektive Zustand kann schnell instabil werden, wenn der mittlere Antrieb sich hin zu wärmeren oder weniger salzhaltigen Bedingungen ändert. <br /> <br /> Die wetterbedingte Variabilität des externen Antriebs wird durch die Addition eines stochastischen Antriebsterms in das Modell eingebaut. Es zeigt sich, dass dann die Tiefenkonvektion häufig an- und wieder ausgeschaltet wird. Die mittlere Aufenthaltszeit in beiden Zuständen ist ein Maß ihrer stochastischen Stabilität. Die stochastische Stabilität hängt in glatter Weise von den Parametern des Antriebs ab, im Gegensatz zu der deterministischen (nichtstochastischen) Stabilität, die sich abrupt ändern kann. Sowohl das Mittel als auch die Varianz des stochastischen Antriebs beeinflussen die Häufigkeit von Tiefenkonvektion. Eine Abnahme der Konvektionshäufigkeit, als Reaktion auf eine Abnahme des Salzgehalts an der Oberfläche, kann zum Beispiel durch eine Zunahme der Variabilität in den Wärmeflüssen kompensiert werden. <br /> <br /> Mit einem weiter vereinfachten Box-Modell werden einige Eigenschaften der stochastischen Stabilität analytisch untersucht. Es wird ein neuer Effekt beschrieben, die wandernde Monostabilität: Auch wenn die Tiefenkonvektion aufgrund geänderter Parameter des Antriebs kein stabiler Zustand mehr ist, kann der stochastische Antrieb immer noch häufig Konvektionsereignisse auslösen. Die analytischen Gleichungen zeigen explizit, wie die wandernde Monostabilität sowie andere Effekte von den Modellparametern abhängen. Diese Abhängigkeit ist für die mittleren Aufenthaltszeiten immer exponentiell, für die Wahrscheinlichkeit langer nichtkonvektiver Phasen dagegen nur dann, wenn diese Wahrscheinlichkeit gering ist. Es ist zu erwarten, dass wandernde Monostabilität auch in anderen Teilen des Klimasystems eine Rolle spielt. <br /> <br /> Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass die Stabilität der Tiefenkonvektion in der Labradorsee sehr empfindlich auf den Antrieb reagiert. Die Rolle der Variabilität ist entscheidend für ein Verständnis dieser Empfindlichkeit. Kleine Änderungen im Antrieb können bereits die Häufigkeit von Tiefenkonvektionsereignissen deutlich mindern, was sich vermutlich stark auf das regionale Klima auswirkt. / Deep convection is an essential part of the circulation in the North Atlantic Ocean. It influences the northward heat transport achieved by the thermohaline circulation. Understanding its stability and variability is therefore necessary for assessing climatic changes in the area of the North Atlantic. <br /> <br /> This thesis aims at improving the conceptual understanding of the stability and variability of deep convection. Observational data from the Labrador Sea show phases with and without deep convection. A simple two-box model is fitted to these data. The results suggest that the Labrador Sea has two coexisting stable states, one with regular deep convection and one without deep convection. This bistability arises from a positive salinity feedback that is due to the net freshwater input into the surface layer. The convecting state can easily become unstable if the mean forcing shifts to warmer or less saline conditions. <br /> <br /> The weather-induced variability of the external forcing is included into the box model by adding a stochastic forcing term. It turns out that deep convection is then switched &quot;on&quot; and &quot;off&quot; frequently. The mean residence time in either state is a measure of its stochastic stability. The stochastic stability depends smoothly on the forcing parameters, in contrast to the deterministic (non-stochastic) stability which may change abruptly. The mean and the variance of the stochastic forcing both have an impact on the frequency of deep convection. For instance, a decline in convection frequency due to a surface freshening may be compensated for by an increased heat flux variability. <br /> <br /> With a further simplified box model some stochastic stability features are studied analytically. A new effect is described, called wandering monostability: even if deep convection is not a stable state due to changed forcing parameters, the stochastic forcing can still trigger convection events frequently. The analytical expressions explicitly show how wandering monostability and other effects depend on the model parameters. This dependence is always exponential for the mean residence times, but for the probability of long nonconvecting phases it is exponential only if this probability is small. It is to be expected that wandering monostability is relevant in other parts of the climate system as well. <br /> <br /> All in all, the results demonstrate that the stability of deep convection in the Labrador Sea reacts very sensitively to the forcing. The presence of variability is crucial for understanding this sensitivity. Small changes in the forcing can already significantly lower the frequency of deep convection events, which presumably strongly affects the regional climate. <br><br>----<br>Anmerkung:<br> Der Autor ist Träger des durch die Physikalische Gesellschaft zu Berlin vergebenen Carl-Ramsauer-Preises 2003 für die jeweils beste Dissertation der vier Universitäten Freie Universität Berlin, Humboldt-Universität zu Berlin, Technische Universität Berlin und Universität Potsdam.

The analysis of time-delayed dynamics on networks may help to understand many systems from physics, biology, and engineering, such as coupled laser arrays, gene-regulatory networks and complex ecosystems. Beside the complexity due to the network structure, the analysis is further complicated by the presence of the delays. Delay systems are in general infinite dimensional and thus can display complex dynamics as oscillations and chaos. The mathematical difficulties related to the delays hinders the analysis of delay networks. Thus, little is known yet about basic relations between network structure and delay dynamics. It has been shown that networks without delays can be studied efficiently with the generalized modeling approach, which analyzes the stability of an assumed steady state by a direct parametrization of the Jacobian matrix. In this thesis, I demonstrate the extension of the generalized modeling approach to delay networks and analyze networks of delay-coupled delay oscillators, with delayed auto-catalytic growth on the nodes and delayed transport between nodes. For degree-homogeneous networks (DHONs), in which each node has the same number of links, the bifurcation lines that border the stable areas can be calculated analytically, where the topology of the network is described only by the eigenvalues of the adjacency matrix. For undirected networks, the stability pattern in the parameter space of growth and transport delay is governed by two periodic sets of tongues of instability, which depend on the largest positive and the smallest negative eigenvalue. The direct relation between the eigenvalue and the bifurcation lines allows us to predict stability patterns for networks with certain topological properties. Thus, bipartite networks display a characteristic periodicity of tongues. In order to analyze the stability of degree-heterogeneous networks (DHENs), I apply a numerical sampling method based on Cauchy\'s Argument Principle. The stability patterns of these networks resembles the pattern of DHONs, which is governed by the two periodic sets. For networks with sufficiently many links, one set disappears, and the stability of DHENs can be approximates by the stability of a fully-connected network with the same average degree. However, random DHENs tend to be more stable than DHONs, and DHENs with a broad degree-distribution tend to be more stable than DHENs with a narrow distribution. Thus, such networks are more likely to give rise to amplitude death, i.e. the stabilization of an unstable steady state through diffusive coupling. The stability pattern of DHENs can be qualitatively different than the pattern in DHONs. However, for small growth delays, close to the critical delay of the single node system, the bifurcation lines of all DHENs with the same average degree coincide. This, is particularly interesting, because there the stability depends on a global property of the network, which suggests a diverging interaction length. In summary, the extension of generalized modeling to time-delay networks reveals basic relations between the delay dynamics and the topology. The generality of our model should allow to apply these results to a large class of real-world systems.

In this thesis the Lyapunov exponents of random dynamical systems are presented and investigated. The main results are: 1. In the space of all unbounded linear cocycles satisfying a certain integrability condition, we construct an open set of linear cocycles have simple Lyapunov spectrum and no exponential separation. Thus, unlike the bounded case, the exponential separation property is nongeneric in the space of unbounded cocycles. 2. The multiplicative ergodic theorem is established for random difference equations as well as random differential equations with random delay. 3. We provide a computational method for computing an invariant measure for infinite iterated functions systems as well as the Lyapunov exponents of products of random matrices. / In den vorliegenden Arbeit werden Lyapunov-Exponented für zufällige dynamische Systeme untersucht. Die Hauptresultate sind: 1. Im Raum aller unbeschränkten linearen Kozyklen, die eine gewisse Integrabilitätsbedingung erfüllen, konstruieren wir eine offene Menge linearer Kyzyklen, die einfaches Lyapunov-Spektrum besitzen und nicht exponentiell separiert sind. Im Gegensatz zum beschränkten Fall ist die Eingenschaft der exponentiellen Separiertheit nicht generisch in Raum der unbeschränkten Kozyklen. 2. Sowohl für zufällige Differenzengleichungen, als auch für zufällige Differentialgleichungen, mit zufälligem Delay wird ein multiplikatives Ergodentheorem bewiesen. 3.Eine algorithmisch implementierbare Methode wird entwickelt zur Berechnung von invarianten Maßen für unendliche iterierte Funktionensysteme und zur Berechnung von Lyapunov-Exponenten für Produkte von zufälligen Matrizen.

Nachrichtentechnische Systeme werden stets durch unvermeidbare zufällige Störungen beeinflußt. Neben anderen Komponenten sind davon besonders Oszillatoren betroffen. Die durch die Störungen verursachten zufälligen Schwankungen in der Oszillatorausgabe können als Amplituden- und Phasenabweichungen modelliert werden. Dabei zeigt sich, daß vor allem zufällige Phasenfluktuationen von Bedeutung sind. Zufällige Phasenfluktuationen können unter Verwendung stochastischer Prozesse zweiter Ordnung mit kurzem oder langem Gedächtnis modelliert werden. Inhalt der Dissertation ist die Herleitung eines Verfahrens zur Simulation zufälliger Phasenfluktuationen von Oszillatoren mit kurzem Gedächtnis unter Berücksichtigung von Datenblattangaben.

Generic Hamiltonian systems have a mixed phase space, where classically disjoint regions of regular and chaotic motion coexist. For many applications it is useful to approximate the regular dynamics of such a mixed system H by an integrable approximation Hreg. We present a new, iterative method to construct such integrable approximations. The method is based on the construction of an integrable approximation in action representation which is then improved in phase space by iterative applications of canonical transformations. In contrast to other known approaches, our method remains applicable to strongly non-integrable systems H. We present its application to 2D maps and 2D billiards. Based on the obtained integrable approximations we finally discuss the theoretical description of dynamical tunneling in mixed systems. / Typische Hamiltonsche Systeme haben einen gemischten Phasenraum, in dem disjunkte Bereiche klassisch regulärer und chaotischer Dynamik koexistieren. Für viele Anwendungen ist es zweckmäßig, die reguläre Dynamik eines solchen gemischten Systems H durch eine integrable Näherung Hreg zu beschreiben. Wir stellen eine neue, iterative Methode vor, um solche integrablen Näherungen zu konstruieren. Diese Methode basiert auf der Konstruktion einer integrablen Näherung in Winkel-Wirkungs-Variablen, die im Phasenraum durch iterative Anwendungen kanonischer Transformationen verbessert wird. Im Gegensatz zu bisher bekannten Verfahren bleibt unsere Methode auch auf stark nichtintegrable Systeme H anwendbar. Wir demonstrieren sie anhand von 2D-Abbildungen und 2D-Billards. Mit den gewonnenen integrablen Näherungen diskutieren wir schließlich die theoretische Beschreibung von dynamischem Tunneln in gemischten Systemen.

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In this article we establish a bridge between dynamical systems, including topological and measurable dynamical systems as well as continuous skew product flows and nonautonomous dynamical systems; and coalgebras in categories having all finite products. We introduce a straightforward unifying definition of abstract dynamical system on finite product categories. Furthermore, we prove that such systems are in a unique correspondence with monadic algebras whose signature functor takes products with the time space. We substantiate that the categories of topological spaces, metrisable and uniformisable spaces have exponential objects w.r.t. locally compact Hausdorff, σ-compact or arbitrary time spaces as exponents, respectively. Exploiting the adjunction between taking products and exponential objects, we demonstrate a one-to-one correspondence between monadic algebras (given by dynamical systems) for the left-adjoint functor and comonadic coalgebras for the other. This, finally, provides a new, alternative perspective on dynamical systems.

The aim of this thesis is to introduce a general framework for what is informally referred to as finite-time dynamics. Within this framework, we study hyperbolicity of reference trajectories, existence of invariant manifolds as well as normal hyperbolicity of invariant manifolds called Lagrangian Coherent Structures. We focus on a simple derivation of analytical results. At the same time, our approach together with the analytical results has strong impact on the numerical implementation by providing calculable expressions for known functions and continuity results that ensure robust computation. The main results of the thesis are robustness of finite-time hyperbolicity in a very general setting, finite-time analogues to classical linearization theorems, an approach to the computation of so-called growth rates and the generalization of the variational approach to Lagrangian Coherent Structures.