The ground state of a quantum system is the minimizer of the total energy of that system. The aim of this thesis is to present and numerically solve the Gross-Pitaevskii eigenvalue problem (GPE) as a physical model for the formation of ground states of dilute Bose gases at ultra-low temperatures in a disordered potential. The first part of the report introduces the quantum mechanical phenomenon that arises at ground states of the Bose gases; the Anderson localization, and presents the nonlinear eigenvalue problem and the finite element method (FEM) used to discretize the GPE. The numerical method used to solve the eigenvalue problem for the smallest eigenvalue is called the inverse power iteration method, which is presented and explained. In the second part of the report, the smallest eigenvalue of a linear Schrödinger equation is compared with the numerically computed smallest eigenvalue (ground state) in order to evaluate the accuracy of a linear numerical scheme constructed as first step for numerically solving the non-linear problem. In the next part of the report, the numerical methods are implemented to solve for the eigenvalue and eigenfunction of the (non-linear) GPE at ground state (smallest eigenvalue). The mathematical expression for the quantum energy and smallest eigenvalue of the non-linear system are presented in the report. The methods used to solve the GPE are the FEM and inverse power iteration method and different instances of the Anderson localization are produced. The study shows that the error of the smallest eigenvalue approximation for the linear case without disorder is satisfying when using FEM and Power iteration method. The accuracy of the approximation obtained for the linear case without disorder is satisfying, even for a low numbers of iterations. The methods require many more iterations for solving the GPE with a strong disorder. On the other hand, pronounced instances of Anderson localizations are produced in a certain scaling regime. The study shows that the GPE indeed works well as a physical model for the Anderson localization. / Syftet med denna avhandling är att undersöka hur väl Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation (GPE) passar som en fysisk modell för bildandet av stationära elektronstater i utspädda Bose-gaser vid extremt låga temperaturer. Fenomenet som skall undersökas heter Anderson lokalisering och uppstår när potentialfältets styrka och störning i systemet är tillräckligt hög. Undersökningen görs i denna avhandling genom att numeriskt lösa GPE samt illustrera olika utfall av Anderson lokaliseringen vid olika numeriska värden. Den första delen av rapporten introducerar det icke-linjära matematiska uttrycket för GPE samt de numeriska metoderna som används för att lösa problemet numerisk: finita elementmetoden (FEM) samt egenvärdesalgoritmen som heter inversiiteration. Finita elementmetoden används för att diskretisera variationsproblemet av GPE och ta fram en enkel algebraisk ekvation. Egenvärdesalgoritmen tillämpas på den algebraiska ekvation för att iterativt beräkna egenfunktionen som motsvarar det minsta egenvärdet. Det minsta egenvärdet av en fullt definierad (linjär) Schrödinger ekvation löses i rapportens andra del. Den linjära ekvationen löses för att ta fram en förenklad numerisk algoritm att utgå ifrån innan den icke-linjära algoritmen tas fram. För att försäkra sig att den linjära algoritmen stämmer bra jämförs det exakta egenvärdet för problemet med ett numeriskt framtaget värde. Undersökningen av den linjära algoritmen visar att vi får en bra uppskattning av egenvärdet - även vid få iterationer. Vidare konstrueras den ickelinjära algoritmen baserat på den linjära. Ekvationen löses och undersökes. Egenfunktionen som motsvarar minsta egenvärdet framtas och beskriver kvantsystemet i lägsta energitillståndet, så kallade grundtillståndet. Undersökningen av GPE visar att de numeriska metoderna kräver många fler iterationer innan en tillräckligt bra uppskattning av egenvärdet fås. Å andra sidan fås markanta Anderson lokaliseringar för ett skalningsområde som beskrivs av styrkan av potentialfältet i relation till dess störning. Slutsatsen är att Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation passar bra som en fysisk modell för detta kvantsystem.

This report investigates whether a FEM model can be used to assess the risk of crack growth in corrugated board. A set of box geometries with cracks at different locations were loaded and then compared using the evaluated J-integral within the FEM software. To validate the results, comparisons have been made between the FEM liner material and real liner material. It is described how the material model that is used in FEM is constructed as well as how the simulated box is built. The box is loaded in two load cases, and a simplification by using a linear elastic material model has been made. The answer seems positive that it may be possible to assess cracks in a corrugated box using FEM, but the model developed in this report needs further testing and improvements. / Den här rapporten undersöker om en FEM modell kan användas för att bedöma risken för spricktillväxt i wellpapp. Olika lådgeometrier med sprickor belastades och jämfördes med hjälp av FEM-program genom uppmätt J-integral. För validering av resultat så jämfördes resultat från linermaterial modellerad i FEM med materialtest av verkligt linermaterial. I rapporten beskrivs det också hur materialmodellen som används i FEM är konstruerad samt hur lådmodellen är byggd. För jämförelsen av J-integral är lådmodellen belastad med två olika lastfall, därutöver är materialmodellen förenklad så att en linjärelastisk modell används.Svaret till inledande frågan verkar vara att det är möjligt att bedöma sprickor i wellpapp genom användning av FEM. Dock behöver metoden som används i denna rapport fler tester för valideringar samt andra förbättringar.

Additive manufacturing (AM) has largely improved design freedom compared with traditional manufacturing processes such as casting and milling. The layer-by-layer workflow makes it possible to produce objects with much more complex shapes and structures. This feature is of particular interest for turbine blade manufacturing since internal cooling channels with higher thermal efficiency can be achieved toimprove the overall efficiency of a gas turbine. One feature of AM, especially for Laser Power Bed Fusion (LPBF) working on metal powders, is the relatively large surface roughness (SR), which will affect both heat transfer and pressure loss. Its geometry is also unique with the very randomly distributed spherical-shaped structures. This randomness makes the correlations for heat transfer and pressure loss based on sand grain roughness not applicable anymore. More in-depth research is needed to investigate the roughness effects. In this study, the AM roughness is modelled by a statistical distribution of spheres with different diameters using an upscale ratio of 77.4. An infrared (IR) camera was used to record the temperature distribution on the rough plates subjected to heated airflow. Three Re in the turbulent region (15000, 20000, 25000) were tested and the data from the IR camera were used to calculate the heat transfer coefficient (HTC) on the rough plate through a 3D finite element calibration solver. The results of averaged HTC agree well with data of the real Inconel 939 AM channel from which the upscaled rough plates are modelled. Also, the general patterns of HTC distributions matched the fluid dynamics analysis. Moreover, the results of arranging smooth and rough plates together shows that the heat transfer enhancement from SR is due to both the induced turbulent flows and the increased surface area. / Additiv tillverkning har i hög grad förbättrat designfriheten jämfört med traditionella tillverkningsprocesser som gjutning och fräsning. Att bygga lager för lager gör det möjligt att tillverka föremål med mycket mer komplexa former och strukturer. Denna egenskap är av särskilt intresse för tillverkning av turbinblad eftersom bättre interna kylkanaler kan uppnås för att förbättra den totala verkningsgraden hos en gasturbin. En egenskap hos additiv tillverkning är den relativt stora ytojämnheten, som påverkar både värmeöverföring och tryckförlust. Dess geometri är också unik med mycket slumpmässigt fördelade sfäriskt formade strukturerna. Denna slumpmässighet gör att de korrelationer för värmeöverföring och tryckförlust som baseras på sandkornens grovlek inte längre är tillämpliga. Mer djupgående forskning behövs för att undersöka grovhetseffekterna. I den här studien modelleras den additiva tillverkningens grovhet med en statistisk fördelning av sfärer med olika diametrar med ett uppskalningsförhållande på 77,4. En infraröd (IR) kamera användes för att registrera temperaturfördelningen på de skrovliga plattorna som utsattes för ett uppvärmt luftflöde. Tre Re i det turbulenta området (15000, 20000, 25000) testades och data från IR-kameran användes för att beräkna värmeöverföringskoefficientenpå den grova plattan genom en 3D finita elementkalibreringslösare. Resultaten av den genomsnittliga värmeöverföringskoefficienten stämmer väl överens med data från den verkliga additivt tillverkade Inconel 939-kanalen från vilken de uppskaladeg rova plattorna är modellerade. Även de allmänna mönstren för fördelningen av värmeöverföringskoefficienter stämmer överens med den fluiddynamiska analysen. Dessutom visar resultaten av att arrangera släta och grova plattor tillsammans att värmeöverföringsförbättringen från ytjämnhet beror på både de inducerade turbulenta flödena och den ökade ytarean.

A significant portion of the reinforced concrete railway bridges in Sweden are reaching their designed lifespan and are scheduled to be demolished and replaced in the upcoming years. To limit the econom-icand environmental impact related to the replacement of existing railway infrastructure, a comprehen-siveevaluation of their capacity is required with the aim of extending its lifespan. In fact, experimental evidence has shown that some of these bridges may have a higher capacity than previously determined due to the conservative assumptions used during their design. The proper stress distribution pattern at the ballast-concrete interface is among the factors that need to be studied, as research on the topic has shown that some of the available guidelines to calculate it can produce conservative results. In this paper, available analytical models for computing the internal forces in concrete bridges due to train axle loads are compared to a numerical model calibrated using the experimental results obtained from the test of ballasted reinforced concrete trough bridge, a typical structural type found in Sweden, and existing research. As a first step, a literature review of existing numerical modeling strategies for ballast-edconcrete railway structures (e.g., finite element models, discrete element models, and their combina-tion)is conducted. Then, the most appropriate numerical modelling strategy is identified and used to develop the numerical model of the bridge, including the ballast. Finally, results of contact pressure and vertical stresses in the numerical model are compared to those obtained analytically.

Detta examensarbete handlar om en skopkonstruktions utveckling, avsedd för en serieskopor men konstruktionen har enbart implementerats på en kabelskopa. Arbetet har utförtspå uppdrag av ett verkstadsföretag som utvecklar, tillverkar och säljer entreprenadutrustningtill grävmaskiner och hjullastare. Företagets vision är att komma ut på den svenskalågprismarknaden, men i dagsläget är produktionskostnaderna på skoporna för höga. Måletmed arbetet har varit att ta fram en konstruktionslösning som sänker företagets produktionskostnader.Efter ett möte med företaget tydliggjordes vilka behov som efterfrågades och dessa behovtolkades i form av kundkrav. Med en QFD-analys översattes kundkraven till produktegenskapersom krävs för en lyckad skopkonstruktion. Fokus har främst lagts på att förenklaskopans montering och anpassa dess konstruktion för robotsvetsning. Några faktorer harvarit att utforma självfixerande detaljer och beakta åtkomlighet för svetsning. Konceptengenererades genom intern och extern sökning, där metoder så som brainstorming och konkurrentanalyshar använts.Konceptvalet utfördes med Pughs beslutsmatris, där ett relativt optimalt koncept valdes förfortsatt utveckling. Vid utvecklingen har diverse verifieringsmetoder använts, som till exempelriskanalys, finita elementmetoden (FEM) och kostnadskalkyl för att kontrollera attdet valda konceptet uppfyller de uppsatta kraven för skopan. I verifieringsfasen identifieradesflera förbättringsmöjligheter som implementerades på det valda konceptet och dettagav ett bättre koncept än tidigare.Det slutliga konceptet har fått en sänkt produktionskostnad, med effektivare montering,minskad materialanvändning och svetsning samt en bättre prestanda än tidigare. / This thesis is about the development of a bucket design; intended for a range of excavatorbuckets consisting of four different types, but has only been implemented on the cablebucket. The work has been performed on behalf of a company that develops, produces andsells construction equipment for excavators and wheel loaders. At the present, the company'sexcavator buckets have high production costs, but the vision is to get into the low-costmarket. The goal of this work has been to develop a bucket design that reduces the company'sproduction costs.After a meeting with the company it became clear what needed to be achieved. The collectedneeds were interpreted in terms of customer requirements. A QFD was made, and thecustomer requirements were translated into product specifications for a successful bucketdesign. Particular focus has been put on simplifying the assembly of the bucket and adaptingits design for robot welding. Some essential factors have been to design interactingparts and to consider the accessibility for welding. The concepts were generated throughinternal and external searches, where methods as brainstorming and competitor analysiswere used.Concept selection was made by using Pugh's decision-matrix. A relatively optimal conceptwas selected for further development. During the development, various verification methodswere used, as for example risk analysis, finite element analysis (FEA) and cost estimate,to verify that the selected concept meets the set requirements for the excavator bucket.Several potential improvements were identified during the verifications phase and theseimprovements were implemented on the selected concept, which resulted in an even betterconcept than before.The final concept obtained a reduced production cost, with a more efficient assembly, reducedmaterial use and welding as well as a better performance than before.

Underwater explosions are often modeled with Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) Finite Element Methods. The objective of this thesis is to validate the simulation method, with respect to the propagating shock wave. A two-dimensional axisymmetric model of a spherical TNT charge submerged in water is simulated using LS-DYNA. The explosive is modeled with the Burn Fraction technique and the Jones-Wilkins-Lee equation of state. Water is modeled as a non-viscous fluid, with the Grüneisen equation of state. The convergence for different mesh resolutions, the effect of different advection methods, and varied constants in the artificial viscosity are examined. Generally, the simulations agree well with empirical results, but the maximum pressure diminishes more rapidly with distance compared to experiments. The excessive dampening is most notable in the early stages of the propagation. Also, unexpected oscillations are observed near the discontinuity. The choice of advection scheme and constants in the artificial viscosity do not resolve the issues suggesting that other numerical techniques for treating the discontinuity should be considered. / Undervattensexplosioner simuleras ofta med ALE-baserade finita elementmetoder. Detta examensarbete avser att validera simuleringsmetoden med hänsyn till stötvågens utbredning i vattnet. En tvådimensionell axisymmetrisk modell av en sfärisk TNT-laddning nedsänkt i vatten simuleras i LS-DYNA. Laddningen modelleras med hjälp av brinnfraktioner och Jones-Wilkins-Lee tillståndsekvation. Vattnet modelleras som en inviskös fluid tillsammans med Grüneisens tillståndsekvation. Nätkonvergens, val av advektionsmetod och ändring av konstanter i den artificiella viskositeten studeras. Övergripande resultat stämmer väl överens med empirisk data, men stötvågens topptryck avtar fortare än väntat. Denna dämpning är tydligast i utredningens tidiga skeden. Dessutom observeras oväntade oscillationer kring stötvågens diskontinuerliga tryckprofil. Val av advektionsmetod och konstanter tillhörande artificiella viskositeten verkar ha liten betydelse för resultaten. En alternativ numerisk metod för behandling av stötvågens diskontinuitet bör implementeras.

Perfectly matched layer (PML) is a commonly used method of absorbing waves at a computational boundary for partial differential equation (PDE) problems. In this thesis, methods for improving the usability of implementations in Comsol Multiphysics is addressed. The study looks at complex coordinate stretching PMLs in the context of Helmholtz equation using the finite element method (FEM). For a PML to work it has to be set up properly with parameters that takes into account the properties of the problem. It is not always straight forward. Some theory behind PMLs is presented and experimentation on PML properties performed. Methods for PML optimization and adaption is presented. Currently, the way PMLs is applied in COMSOL Multiphysics requires the user to perform many tasks; setting up a geometry, meshing and choosing a suitable complex coordinate stretching. Using a so-called extra-dimension implementation it is possible to attach PMLs as boundary conditions in COMSOL Multiphysics. This simplifies for the user since the geometry and mesh is handled by the software. / Perfectly matched layer (PML) är en metod som ofta används för vågabsorbering vid randen för problem med partiella differentialekvationer (PDE). I det här examensarbetet presenteras metoder som förenklar användingen av PMLer i COMSOL Multiphysics. Studien kollar på PMLer baserade på komplex-koordinatsträckning med fokus på Helmholtz ekvation och finita elementmetoden (FEM). För att en PML ska fungera måste den sättas upp på rätt sätt med parametrar anpassade efter det givna problemet. Att göra detta är inte alltid enkelt. Teori presenteras och experiment på PMLer görs. Flera metoder för optimisering och adaption av PMLer presenteras. I nuläget kräver appliceringen av PMLer i COMSOL Multiphysics att användaren sätter upp en geometri, ett beräkningsnät och väljer den komplexa koordinatsträckningen. Genom att använda COMSOLs implementation av extra dimensioner är det möjligt att applicera PMLer som randvilkor. I en sådan implementation kan geometri och beräkningsnät skötas av mjukvaran vilket underlättar för användaren.

This master thesis was carried out at Scania CV AB. The focus for this thesis is the prediction of welding distortions that can cause problems in the manufacturing process of Scania's after-treatment system. The after-treatment system is mainly assembled by sheet metal plates of the ferritic stainless steel EN 1.4509. The plates are welded together. When welding, distortions and residual stresses occur, and they also depend on the sequence in the component was welded together. The distortions and residual stresses can cause tolerance related issues and a lower lifetime for the welded components. Experiments are expensive and therefore it is desirable to simulate the welding process, thereby controlling distortions and optimizing welding sequences. To simulate the welding process and predict the welding distortions a thermo-mechanical FE-model was created for two typical welds found on the after-treatment system. The first scenario was two thin plates welded onto each other in an overlap weld joint and the second scenario was a thin plate welded onto a thick plate in a overlap weld joint. After the FE-model was compared to the experiments. An optimization of the welding sequences was also made on a larger component typically found on the after-treatment system. The FE-model can predict the distortion shape with good accuracy for the T-fillet weld, while the model predicted a more symmetric distortion shape on the overlap weld compared to a more asymmetric shape found on the experiments, but the error is still not very large. The Fe-model can also be used to optimize the welding sequence for bigger components on the after-treatment system within a reasonable time span compared to doing the opimization manually in an experiment. / Detta examensarbete gjordes för Scania CV AB. Fokus for detta examensarbete har varit kvarvarande deformationer efter svetsning som kan skapa problem vid tillverkningen av Scanias avgasefterbehandlingssystem. Avgasefterbehandlingssystemet är till mesta dels konstruerat av stålplåtar av det ferritiska rostfria stålet EN 1.4509, plåtarna är svetsade ihop och då uppstår kvarvarande deformationer. När komponenter svetsas samman uppstår deformationer och restspänningar. Dessa deformationer och restspänningar är också beroende på i vilken sekvens komponenterna har svetsats ihop. Deformationerna och restspänningarna kan skapa problem med toleranser och sänka livslängden för komponenterna som sammanfogats. Experiment är kostsamma och därför är det önskvärt att simulera svetsprocessen, och därav kontrollera deformationerna som uppstår och optimera i vilken sekvens som komponenterna ska svetsas ihop. För att simulera svetsprocessen och prediktera de kvarvarande deformationerna efter svetsning så gjordes termo-mekanisk FE-model för två vanliga svetsscenarion för avgasefterbehandlingssystemet. Det ena scenariot är två tunna plåtar som svetsas ihop i en överlappande position och det andra var en tunn plåt som svetsas på en tjockare plåt. Ett experiment gjordes sedan för båda svetstyperna. Efter att svetstyperna hade jämförts med experimentet så gjordes en optimering av svetssekvensen för en större komponent likt komponenter funna på avgasefterbehandlingssystemet. Den termomekaniska FE-modelen kunde prediktera de kvarnvarande deformationerna och deras form med bra noggrannhet jämfört med experimentet med undantag för en deformationsform på de tunna plåtarna som var mer symmetrisk i FE-modellen jämfört med den asymmetriska formen i experimentet. FE-modellen kunde också användas för att optimera svetssekvensen för den större komponenten inom en rimlig tidsrymd.

Den här rapporten innehåller en analys av en cykelram tillverkad i träkomposit med hjälp av finita elementmetoden. En grupp studenter, utbildade inom finsnickeri, har utvecklat och tagit fram cykeln men behöver hjälp utifrån med den fortsatta utvecklingen av den.S yftet med det här arbetet är att skapa ett underlag som ligger till grund för förbättringar av cykelns geometri, genom att utvärdera nuvarande konstruktion. Underlaget skall även ligga till grund för att underlätta val av material. Materialdatan som tilldelats innehåller information om tre olika material med två olika tjocklekar, 3 och 4 mm. Då materialdatan inte tar träets fiberriktning i beaktande, har ingen hänsyn kunnat tas till att materialen egentligen är ortotropiska, vilket innebär att värdena är grova uppskattningar och vidare studier behövs för att fastställa noggrannare värden. Då uppdragsgivarna inte hade en fungerande Computer Aided Design-modell (CAD) gjordes en omkonstruktion och anpassning för att fungera med Finita Element Metoden-programmet (FEM). CAD-modellen konstruerades i Creo Parametric 3.0 och FEM-programmet som har använts är Creo Simulate.Då det inte går att simulera alla situationer som en cykel utsätts för, har fyra stycken lastfall valts ut. Lastfallen är tänkta att vara fall som inträffar relativt ofta men som även belastar cykelramen hårt, nämligen stöt i fram- och bakhjul samt cykling uppför sittandes och ståendes. Resultaten som presenteras i den här rapporten visar att nuvarande konstruktion med 3 mm tjocklek klarar de lastfall som har simulerats. Det resulterar i att tjockleken 4 mm, som är ett av alternativen, är onödigt tjock. Vidare utveckling bör instället fokusera på att välja materialstruktur utifrån önskade egenskaper. / This thesis contains an analysis of a bicycle frame made of wood composite using finite element analysis. A group of students, educated in carpentry, have developed and created a bike but needs help from third part to continue the development of it. The intention of this project is to create a basis as a foundation for future improvements on the bicycle geometry, by evaluating current construction. This basis shall also to be used when material is picked to ease the process. The material data which has been received includes information about three different materials with two variants of thickness, 3 and 4 mm. As the material data does not take fiber direction into consideration, no regard has been made to the fact that the materials actually are orthotropic, which mean further studies are required to determine more accurate values. Since the employer did not have a properly working Computer Aided Design-model (CAD), a reconstructed and adapted model to function in the Finite Element Analysis (FEA) environment was created. The CAD-model was constructed using Creo Parametric 3.0 and the FEA software used was Creo Simulate. Since it’s not possible to simulate all situations that a bicycle is exposed to, four load cases have been chosen. The load cases are intended to be situations that occur relatively often but also put the bike structure under a lot of stress, namely a bump in the front and back wheel and also climbing in and out of the saddle. The results presented in this thesis report show that the current construction with 3 mm thickness can endure the load cases without exceeding any limits. This concludes that that 4 mm thickness, which is an option, is unnecessary thick. Further development should instead be focused on choosing the proper material structure based on desired properties.

There are several algorithms for solving the linear system of equations that arise from the finite element method with linear or near-linear computational complexity. One way is to find an approximation of the stiffness matrix that is such that it can be used in a preconditioned conjugate residual method, that is, a preconditioner to the stiffness matrix. We have studied two preconditioners for the conjugate residual method, both based on writing the stiffness matrix in block form, factorising it and then approximating the Schur complement block to get a preconditioner. We have studied the stationary reaction-diffusion-advection equation in two dimensions. The mesh is refined adaptively, giving a hierarchy of meshes. In the first method the Schur complement is approximated by the stiffness matrix at one coarser level of the mesh, in the second method it is approximated as the assembly of local Schur complements corresponding to macro triangles. For two levels the theoretical bound of the condition number is 1/(1-C²) for either method, where C is the Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz constant. For multiple levels there is less theory. For the first method it is known that the condition number of the preconditioned stiffness matrix is O(l²), where l is the number of levels of the preconditioner, or, equivalently, the number mesh refinements. For the second method the asymptotic behaviour is not known theoretically. In neither case is the dependency of the condition number of C known. We have tested both methods on several problems and found the first method to always give a better condition number, except for very few levels. For all tested problems, using the first method it seems that the condition number is O(l), in fact it is typically not larger than Cl. For the second method the growth seems to be superlinear.