Tikhonov-type regularization of linear and nonlinear ill-posed problems in abstract spaces under sparsity constraints gained relevant attention in the past years. Since under some weak assumptions all regularized solutions are sparse if the l1-norm is used as penalty term, the l1-regularization was studied by numerous authors although the non-reflexivity of the Banach space l1 and the fact that such penalty functional is not strictly convex lead to serious difficulties. We consider the case that the sparsity assumption is narrowly missed. This means that the solutions may have an infinite number of nonzero but fast decaying components. For that case we formulate and prove convergence rates results for the l1-regularization of nonlinear operator equations. In this context, we outline the situations of Hölder rates and of an exponential decay of the solution components.

We consider a system of weakly coupled singularly perturbed convection-diffusion equations with multiple scales. Based on sharp estimates for first order derivatives, Linß [T. Linß, Computing 79 (2007) 23–32.] analyzed the upwind finite-difference method on a Shishkin mesh. We derive such sharp bounds for second order derivatives which show that the coupling generates additional weak layers. Finally, we prove the first robust convergence result for the Galerkin finite element method for this class of problems on modified Shishkin meshes introducing a mesh grading to cope with the weak layers. Numerical experiments support our theory.

When the finite element method is used to solve boundary value problems, the corresponding finite element mesh is appropriate if it is reflects the behavior of the true solution. A posteriori error estimators are suited to construct adequate meshes. They are useful to measure the quality of an approximate solution and to design adaptive solution algorithms. Singularly perturbed problems yield in general solutions with anisotropic features, e.g. strong boundary or interior layers. For such problems it is useful to use anisotropic meshes in order to reach maximal order of convergence. Moreover, the quality of the numerical solution rests on the robustness of the a posteriori error estimation with respect to both the anisotropy of the mesh and the perturbation parameters. There exist different possibilities to measure the a posteriori error in the energy norm for the singularly perturbed reaction-diffusion equation. One of them is the equilibrated residual method which is known to be robust as long as one solves auxiliary local Neumann problems exactly on each element. We provide a basis for an approximate solution of the aforementioned auxiliary problem and show that this approximation does not affect the quality of the error estimation. Another approach that we develope for the a posteriori error estimation is the hierarchical error estimator. The robustness proof for this estimator involves some stages including the strengthened Cauchy-Schwarz inequality and the error reduction property for the chosen space enrichment. In the rest of the work we deal with adaptive algorithms. We provide an overview of the existing methods for the isotropic meshes and then generalize the ideas for the anisotropic case. For the resulting algorithm the error reduction estimates are proven for the Poisson equation and for the singularly perturbed reaction-difussion equation. The convergence for the Poisson equation is also shown. Numerical experiments for the equilibrated residual method, for the hierarchical error estimator and for the adaptive algorithm confirm the theory. The adaptive algorithm shows its potential by creating the anisotropic mesh for the problem with the boundary layer starting with a very coarse isotropic mesh.

Der Beitrag prüft den Stand der de facto-Konvergenz von IFRS und US-GAAP anhand der Überleitungsrechnungen gemäß Form 20-F von 114 europäischen IFRS-Bilanzierern. Die Analyse von 1.928 Einzelposten verdeutlicht die Heterogenität und das oft wesentliche Ausmaß der Differenzen zwischen den Ergebnis- und Eigenkapitalgrößen nach IFRS und nach US-GAAP. Diese gründen vorrangig auf hohen Teildifferenzen aus der Bilanzierung von Unternehmenszusammenschlüssen, immateriellen Vermögenswerten und Pensionen. Neben der Branchenzugehörigkeit beeinflussen die Erstanwendung von IFRS und die Rechnungslegungstradition die ausgewiesenen Differenzen. Die Ergebnisse offenbaren einen bislang geringen Stand der de facto-Konvergenz und deuten auf Umstellungseffekte sowie international inkonsistente Anwendung der Standards hin. Insbesondere implizieren die parallelen Abschlussgrößen eine frühere Gewinnvereinnahmung nach US-GAAP und insoweit eine vorsichtigere Bilanzierung nach IFRS, die in common law-Staaten starker ausgeprägt ist als in code law-Staaten. Neben der Branchenzugehörigkeit beeinflussen die Erstanwendung von IFRS und die Rechnungslegungstradition die ausgewiesenen Differenzen. Die Ergebnisse offenbaren einen bislang geringen Stand der de facto-Konvergenz und deuten auf Umstellungseffekte sowie international inkonsistente Anwendung der Standards hin. Insbesondere implizieren die parallelen Abschlussgrößen eine frühere Gewinnvereinnahmung nach US-GAAP und insoweit eine vorsichtigere Bilanzierung nach IFRS, die in common law-Staaten stärker ausgeprägt ist als in code law-Staaten. / This paper examines the level of de facto convergence of IFRSs and U.S. GAAP based on Form 20-F reconciliations of 114 EU companies. Our analysis of 1.928 reconciling items illustrates that de facto differences between IFRSs and U.S. GAAP are heterogeneous and often material in both net income and shareholder’s equity. Particularly, adjustments for business combinations, intangibles and pensions are predominant. We find significant differences between numerical adjustments (1) of first-time adopters and non-first-time adopters of IFRSs, (2) of companies in the financial and non-financial sector, and (3) of companies domiciled in common law and code law countries with each former group tending to larger adjustments. This implies that adoption effects and institutional factors impact the amount of adjustments. Our overall results indicate a poor level of de facto convergence achieved to date and an inconsistent application of accounting standards. Particularly, results imply earlier profit recognition under U.S. GAAP and more conservative accounting under IFRSs, which are more prevalent in common law countries than in code law countries. Particularly, results imply earlier profit recognition under U.S. GAAP and more conservative accounting under IFRSs, which are more prevalent in common law countries than in code law countries.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verallg. Nash-Gleichgewichtsproblemen im Zusammenhang mit Optimalsteuerungsproblemen mit (nichtlinearen) partiellen Differentialgleichungen. Ausgehend von der Existenzfrage von Nash-Gleichgewichten werden Bedingungen an Optimalsteuerungsprobleme mit nichtlinearen Lösungsoperatoren hergeleitet, welche die Konvexität des reduzierten Problems garantieren. Dazu nutzen wir die verallg. Konvexität von vektorwertigen Operatoren. Da keine expl. Darstellung des Lösungsoperators bekannt ist, werden hinreichende Bedingungen an die Operatorgleichung formuliert. Zusammen mit Anforderungen an das Zielfunktional wird so die Konvexität des reduzierten Problems garantiert. Das erlaubt auch Stationaritätssysteme im nichtglatten Fall herzuleiten. Eine zusätzliche Bedingung an die Lösung der Operatorgleichung koppelt die Strategien der Spieler. Das markiert den Übergang zu verallgemeinerten Nash-Spielen. Um diese Probleme anzugehen, wenden wir eine Penalty-Technik an. Damit wird die beschriebene Abhängigkeit vermieden und zum Zielfunktional transportiert. Damit wird eine Folge von Ersatzproblemen formuliert, deren Grenze das ursprüngliche Problem ist. Für die mathematische Beschreibung entwickeln wir eine erweiterte Γ-Konvergenz für Gleichgewichtsprobleme. Das Verhalten der Lagrange-Multiplikatoren im Stationaritätssystem wird unter Verwendung einer Pfadverfolgungstechnik analysiert und eine numerisch nutzbare Updatestrategie wird hergeleitet. Für ein praktisch anwendbares Lösungsverfahren ist eine Diskretisierung notwendig. Dazu verwenden wir eine Finite-Elemente-Methode. Die Herleitung der A-priori-Konvergenz basierend auf der zuvor verallgemeinerten Γ-Konvergenz wird für Gleichgewichtsprobleme mit gleichzeitiger Regularisierung etabliert. Im Blick auf durch Hindernisbedingungen erzeugte Kontaktmengen wenden wir uns auch adaptiven Finite-Elemente-Methoden zu. Unsere theoretischen Ergebnisse werden durch mehrere akademische Anwendungen illustriert. / The present work deals with generalized Nash equilibrium problems related to optimal control problems on (nonlinear) partial differential equations. Starting from the question of the existence of Nash equilibria, conditions for optimal control problems with nonlinear solution operators are derived that guarantee the convexity of the reduced problem. To do so, we discuss generalized convexity of vector-valued operators. As no explicit representation of the solution operator is known, conditions on the operator equation that imply this property are formulated. In combination with requirements for the objective functional, the convexity of the reduced problem can be guaranteed. This approach also allows us to derive stationarity systems even in the nonsmooth case. The presence of a condition on the solution of the operator equation couples the players' strategies. This marks the transition to generalized Nash games. To address these problems, we apply a penalty technique. Hence, the described dependency is avoided and transported to the objective. As the penalty functional is scaled with a parameter, a sequence of surrogate problems, whose limit is the original problem, is formulated. For its mathematical description, we introduce an extended Γ-convergence for equilibrium problems. The behavior of the Lagrangian multipliers in the stationarity system is analyzed using a path-following technique, and a numerically usable update strategy is derived. A discretization is necessary for a practically applicable solution method. For this, we use a finite element method. The derivation of the a priori convergence based on the previously generalized Γ-convergence is established for equilibrium problems with simultaneous regularization. With regard to the presence of contact sets induced by obstacle conditions, we also turn to adaptive finite element methods. Our theoretical results are illustrated by several academic applications.

In dieser Arbeit werden variationelle Modelle für Mikrostrukturen in speziellen Materialien untersucht, um die Strukturformation zu verstehen und Eigenschaften von Grundzuständen zu bestimmen. Die Arbeit basiert auf gemeinsamen Publikationen (Conti et al. 2021, Ginster et al. 2024, Bethke and Koser 2024). Im ersten Teil untersuchen wir die energiegetriebene Musterbildung in Formgedächtnislegierungen. Mikrostrukturen in der Nähe der Phasengrenzen eines martensitischen Kerns können variationell modelliert werden. Hierzu betrachten wir ein Modell von Kohn und Müller (1992 & '94) und beweisen asymptotische Selbstähnlichkeit und lokale Energieschranken von Minimierern. Dies verallgemeinert die Ergebnisse von Conti (2000) auf verschiedene physikalisch relevante Randbedingungen, allgemeinere Definitionsgebiete und beliebige Volumenanteile. Der Beweis beruht auf punktweisen Schätzungen und lokalen Energieskalierungsgesetzen eines Minimierers. Zusätzlich untersuchen wir das Grenzproblem für verschwindende Volumenanteile. Im zweiten Teil interessieren wir uns für die Musterbildung in magnetischen Verbindungen. Wir betrachten Materialien deren Atome in einer regelmäßigen kristallinen Struktur geordnet sind und jedem Atom seinen sogenannten Spin, einen Einheitsvektor, zuordnet. Komplexe geometrische Strukturen im Spinfeld können das Ergebnis der Konkurrenz zwischen anti- und ferromagnetischen Wechselwirkungen sein. Die Konkurrenz zwischen diesen beiden Wechselwirkungen führt zu Frustrationsmechanismen im System. Wir betrachten die Gitterenergie von bestimmten Materialien, in denen antiferromagnetische und ferromagnetische Wechselwirkungen koexistieren und durch das J1-J3 Modell modelliert werden. Wir präsentieren ein Gamma-Konvergenzergebnis, das in einem bestimmten Parameterbereich das diskrete Modell mit einem kontinuierlichen verbindet. Des Weiteren, präsentieren wir ein partielles Skalierungsgesetz und zusätzlich numerischen Experimenten. / This thesis investigates variational models of microstructure in special materials, focusing on pattern formation and the properties of ground states, drawing on collaborative works (Conti et al. 2021, Ginster et al. 2024, Bethke and Koser 2024). In the first part, we study energy-driven pattern formation in shape memory alloys. Microstructure close to the phase boundaries of a martensitic nucleus can be modeled variationally. We consider a model by Kohn and Müller (1992 & ’94), and prove asymptotic self-similarity and local energy bounds of minimizers. This generalizes results by Conti (2000) to various physically relevant boundary conditions, more general domains, and arbitrary volume fractions, including low-hysteresis shape memory alloys. The proof relies on pointwise estimates and local energy scaling laws of a minimizer. Additionally, we study the limit problem for vanishing volume fractions. In the second part, we are interested in pattern formation in magnetic compounds. We consider materials whose atoms are ordered in a regular crystalline structure and associate to each atom its so-called spin, a unit vector. Complex geometric structures in the spin field may result from the competition between anti- and ferromagnetic interactions. The competition between these two interactions leads to frustration mechanisms in the system. We consider the lattice energy of certain materials, in which antiferromagnetic and ferromagnetic interactions coexist and are modeled by the J1 -J3 model on a square lattice. We present a Gamma-convergence result that relates the discrete model with a suitable continuous counterpart in a certain parameter regime. Furthermore, we present a partial scaling law. Additionally, our work includes numerical experiments.

In dieser Dissertation werden ab initio Theorien zur Beschreibung der Zustände von perfekten halbleitenden und nichtleitenden Kristallen, unter Berücksichtigung elektronischer Korrelationen, abgeleitet und angewandt. Als Ausgangsbasis dient hierzu die Hartree-Fock Approximation in Verbindung mit Wannier-Orbitalen. Darauf aufbauend studiere ich zunächst in Teil I der Abhandlung den Grundzustand der wasserstoffbrückengebundenen Fluorwasserstoff und Chlorwasserstoff zick-zack Ketten und analysiere die langreichweitigen Korrelationsbeiträge. Dabei mache ich die Basissatzextrapolationstechniken, die für kleine Moleküle entwickelt wurden, zur Berechnung von hochgenauen Bindungsenergien von Kristallen nutzbar. In Teil II der Arbeit leite ich zunächst eine quantenfeldtheoretische ab initio Beschreibung von Elektroneneinfangzuständen und Lochzuständen in Kristallen her. Grundlage hierbei ist das etablierte algebraische diagrammatische Konstruktionsschema (ADC) zur Approximation der Selbstenergie für die Bestimmung der Vielteilchen-Green's-Funktion mittels der Dyson-Gleichung. Die volle Translationssymmetrie des Problems wird hierbei beachtet und die Lokalität elektronischer Korrelationen ausgenutzt. Das resultierende Schema wird Kristallorbital-ADC (CO-ADC) genannt. Ich berechne damit die Quasiteilchenbandstruktur einer Fluorwasserstoffkette und eines Lithiumfluoridkristalls. In beiden Fällen erhalte ich eine sehr gute Übereinstimmung zwischen meinen Resultaten und den Ergebnissen aus anderen Methoden. / In this dissertation, theories for the ab initio description of the states of perfect semiconducting and insulating crystals are derived and applied. Electron correlations are treated thoroughly based on the Hartree-Fock approximation formulated in terms of Wannier orbitals. In part I of the treatise, I study the ground state of hydrogen-bonded hydrogen fluoride and hydrogen chloride zig-zag chains. I analyse the long-range contributions of electron correlations. Thereby, I employ basis set extrapolation techniques, which have originally been developed for small molecules, to also obtain highly accurate binding energies of crystals. In part II of the thesis, I devise an ab initio description of the electron attachment and electron removal states of crystals using methods of quantum field theory. I harness the well-established algebraic diagrammatic construction scheme (ADC) to approximate the self-energy, used in conjunction with the Dyson equation, to determine the many-particle Green's function for crystals. Thereby, the translational symmetry of the problem and the locality of electron correlations are fully exploited. The resulting scheme is termed crystal orbital ADC (CO-ADC). It is applied to obtain the quasiparticle band structure of a hydrogen fluoride chain and a lithium fluoride crystal. In both cases, a very good agreement of my results to those determined with other methods is observed.

In dieser Dissertation werden ab initio Theorien zur Beschreibung der Zustände von perfekten halbleitenden und nichtleitenden Kristallen, unter Berücksichtigung elektronischer Korrelationen, abgeleitet und angewandt. Als Ausgangsbasis dient hierzu die Hartree-Fock Approximation in Verbindung mit Wannier-Orbitalen. Darauf aufbauend studiere ich zunächst in Teil I der Abhandlung den Grundzustand der wasserstoffbrückengebundenen Fluorwasserstoff und Chlorwasserstoff zick-zack Ketten und analysiere die langreichweitigen Korrelationsbeiträge. Dabei mache ich die Basissatzextrapolationstechniken, die für kleine Moleküle entwickelt wurden, zur Berechnung von hochgenauen Bindungsenergien von Kristallen nutzbar. In Teil II der Arbeit leite ich zunächst eine quantenfeldtheoretische ab initio Beschreibung von Elektroneneinfangzuständen und Lochzuständen in Kristallen her. Grundlage hierbei ist das etablierte algebraische diagrammatische Konstruktionsschema (ADC) zur Approximation der Selbstenergie für die Bestimmung der Vielteilchen-Green's-Funktion mittels der Dyson-Gleichung. Die volle Translationssymmetrie des Problems wird hierbei beachtet und die Lokalität elektronischer Korrelationen ausgenutzt. Das resultierende Schema wird Kristallorbital-ADC (CO-ADC) genannt. Ich berechne damit die Quasiteilchenbandstruktur einer Fluorwasserstoffkette und eines Lithiumfluoridkristalls. In beiden Fällen erhalte ich eine sehr gute Übereinstimmung zwischen meinen Resultaten und den Ergebnissen aus anderen Methoden. / In this dissertation, theories for the ab initio description of the states of perfect semiconducting and insulating crystals are derived and applied. Electron correlations are treated thoroughly based on the Hartree-Fock approximation formulated in terms of Wannier orbitals. In part I of the treatise, I study the ground state of hydrogen-bonded hydrogen fluoride and hydrogen chloride zig-zag chains. I analyse the long-range contributions of electron correlations. Thereby, I employ basis set extrapolation techniques, which have originally been developed for small molecules, to also obtain highly accurate binding energies of crystals. In part II of the thesis, I devise an ab initio description of the electron attachment and electron removal states of crystals using methods of quantum field theory. I harness the well-established algebraic diagrammatic construction scheme (ADC) to approximate the self-energy, used in conjunction with the Dyson equation, to determine the many-particle Green's function for crystals. Thereby, the translational symmetry of the problem and the locality of electron correlations are fully exploited. The resulting scheme is termed crystal orbital ADC (CO-ADC). It is applied to obtain the quasiparticle band structure of a hydrogen fluoride chain and a lithium fluoride crystal. In both cases, a very good agreement of my results to those determined with other methods is observed.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der rigorosen Herleitung effektiver Modelle zur Beschreibung von Schädigungsprozessen. Diese effektiven Modelle werden für verschiedene raten-unabhängige Schädigungsmodelle linear elastischer Materialien hergeleitet. Den Ausgangspunkt stellt dabei ein unidirektionales Mikrostrukturevolutionsmodell dar, dessen Fundament eine Familie geordneter zulässiger Mikrostrukturen bildet. Jede Mikrostruktur dieser Familie besitzt die gleiche intrinsische Längenskala. Zur Herleitung eines effektiven Modells wird das asymptotische Verhalten dieser Längenskala mittels Techniken der Zwei-Skalen-Konvergenz untersucht. Um das Grenzmodell zu identifizieren, bedarf es einer Mikrostrukturregularisierung, die als diskreter Gradient für stückweise konstante Funktionen aufgefasst werden kann. Die Mikrostruktur des effektiven Modells ist punktweise durch ein Einheitszellenproblem gegeben, welches die Mikro- von der Makroskala trennt. Ausgehend vom Homogenisierungsresultat für die unidirektionale Mikrostrukturevolution werden effektive Modelle für Zwei-Phasen-Schädungsprozesse hergeleitet. Die aus zwei Phasen bestehende Mikrostruktur der mikroskopischen Modelle ermöglicht z.B. die Modellierung von Schädigung durch das Wachstum von Inklusionen aus geschädigtem Material verschiedener Form und Größe. Außerdem kann Schädigung durch das Wachstum mikroskopischer Hohlräume und Mikrorissen betrachtet werden. Die Größe der Defekte skaliert mit der intrinsischen Längenskala und die unidirektionale Mikrostrukturevolution verhindert, dass bei fixierter Längenskala die Defekte für fortlaufende Zeit schrumpfen. Das Material des Grenzmodells ist dann in jedem Punkt als Mischung von ungeschädigtem und geschädigtem Material durch das Einheitszellenproblem gegeben. Dabei liefert das Einheitszellenproblem nicht nur das Mischungsverhältnis sondern auch die genaue geometrische Mischungsverteilung, die dem effektiven Material des jeweiligen Materialpunktes zugrunde liegt. / This dissertation at hand deals with the rigorous derivation of such effective models used to describe damage processes. For different rate-independent damage processes in linear elastic material these effective models are derived as the asymptotic limit of microscopic models. The starting point is represented by a unidirectional microstructure evolution model which is based on a family of ordered admissible microstructures. Each microstructure of that family possesses the same intrinsic length scale. To derive an effective model, the asymptotic behavior of this intrinsic length scale is investigated with the help of techniques of the two-scale convergence. For this purpose, a microstructure-regularizing term, which can be understood as a discrete gradient for piecewise constant functions, is needed to identify the limit model. The microstructure of the effective model is given pointwisely by a so-called unit cell problem which separates the microscopic scale from the macroscopic scale. Based on these homogenization results for unidirectional microstructure evolution models, effective models for brutal damage processes are provided. There, the microstructure consists of only two phases, namely undamaged material which comprises defects of damaged material with various sizes and shapes. In this way damage progression can be modeled by the growth of inclusions of weak material, the growth of voids, or the growth of microscopic cracks. The size of the defects is scaled by the intrinsic length scale and the unidirectional microstructure evolution prevents that, for a fixed length scale, the defects shrink for progressing time. According to the unit cell problem, the material of the limit model is then given as a mixture of damaged and undamaged material. In a specific material point of the limit model, that unit cell problem does not only define the mixture ratio but also the exact geometrical mixture distribution.

Eine Vielzahl von Anwendungen in der numerischen Simulation der Strömungsdynamik und der Festkörpermechanik begründen die Entwicklung von zuverlässigen und effizienten Algorithmen für nicht-standard Methoden der Finite-Elemente-Methode (FEM). Um Freiheitsgrade zu sparen, wird in jedem Durchlauf des adaptiven Algorithmus lediglich ein Teil der Gebiete verfeinert. Einige Gebiete bleiben daher möglicherweise verhältnismäßig grob. Die Analyse der Konvergenz und vor allem die der Optimalität benötigt daher über die a priori Fehleranalyse hinausgehende Argumente. Etablierte adaptive Algorithmen beruhen auf collective marking, d.h. die zu verfeinernden Gebiete werden auf Basis eines Gesamtfehlerschätzers markiert. Bei adaptiven Algorithmen mit separate marking wird der Gesamtfehlerschätzer in einen Volumenterm und in einen Fehlerschätzerterm aufgespalten. Da der Volumenterm unabhängig von der diskreten Lösung ist, kann einer schlechten Datenapproximation durch eine lokal tiefe Verfeinerung begegnet werden. Bei hinreichender Datenapproximation wird das Gitter dagegen bezüglich des neuen Fehlerschätzerterms wie üblich level-orientiert verfeinert. Die numerischen Experimente dieser Arbeit liefern deutliche Indizien der quasi-optimalen Konvergenz für den in dieser Arbeit untersuchten adaptiven Algorithmus, der auf separate marking beruht. Der Parameter, der die Verbesserung der Datenapproximation sicherstellt, ist frei wählbar. Dadurch ist es erstmals möglich, eine ausreichende und gleichzeitig optimale Approximation der Daten innerhalb weniger Durchläufe zu erzwingen. Diese Arbeit ermöglicht es, Standardargumente auch für die Konvergenzanalyse von Algorithmen mit separate marking zu verwenden. Dadurch gelingt es Quasi-Optimalität des vorgestellten Algorithmus gemäß einer generellen Vorgehensweise für die drei Beispiele, dem Poisson Modellproblem, dem reinen Verschiebungsproblem der linearen Elastizität und dem Stokes Problem, zu zeigen. / Various applications in computational fluid dynamics and solid mechanics motivate the development of reliable and efficient adaptive algorithms for nonstandard finite element methods (FEMs). To reduce the number of degrees of freedom, in adaptive algorithms only a selection of finite element domains is marked for refinement on each level. Since some element domains may stay relatively coarse, even the analysis of convergence and more importantly the analysis of optimality require new arguments beyond an a priori error analysis. In adaptive algorithms, based on collective marking, a (total) error estimator is used as refinement indicator. For separate marking strategies, the (total) error estimator is split into a volume term and an error estimator term, which estimates the error. Since the volume term is independent of the discrete solution, if there is a poor data approximation the improvement may be realised by a possibly high degree of local mesh refinement. Otherwise, a standard level-oriented mesh refinement based on an error estimator term is performed. This observation results in a natural adaptive algorithm based on separate marking, which is analysed in this thesis. The results of the numerical experiments displayed in this thesis provide strong evidence for the quasi-optimality of the presented adaptive algorithm based on separate marking and for all three model problems. Furthermore its flexibility (in particular the free steering parameter for data approximation) allows a sufficient and optimal data approximation in just a few number of levels of the adaptive scheme. This thesis adapts standard arguments for optimal convergence to adaptive algorithms based on separate marking with a possibly high degree of local mesh refinement, and proves quasi-optimality following a general methodology for three model problems, i.e., the Poisson model problem, the pure displacement problem in linear elasticity and the Stokes equations.