Gegenstand dieser Arbeit sind Geraden in komplexen Mannigfaltigkeiten. Dabei wird zum einen ein Geradenbegriff verwendet, der sich aus der Theorie der Twistorräume herleitet. Demnach ist eine Gerade in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine rationale Kurve, deren Normalenbündel isomorph zu dem Normalenbündel einer Geraden im n-dimensionalen komplexen projektiven Raum ist. Einen engeren Geradenbegriff erhält man, wenn man darüberhinaus fordert, dass eine Umgebung der Kurve isomorph zu einer Umgebung einer Geraden im projektiven Raum ist. Solche Geraden heissen tubular. In der Arbeit wird gezeigt, dass die beiden Geradenbegriffe nicht äquivalent sind und ein Kriterium dafür angegeben, wann eine Gerade nicht tubular ist. Mit der Deformationstheorie folgt aus der Existenz einer Geraden in einer Mannigfaltigkeit die Existenz einer Familie von Geraden, wobei die Geraden eine offene Menge überdecken. Daher gibt es auf solchen Mannigfaltigkeiten keine holomorphen Differentialformen und somit sind die meisten Methoden der Klassifikationstheorie nicht anwendbar. Als einziger Zugang bleibt die algebraische Reduktion, die in dieser Arbeit für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Geraden untersucht wird, wobei sich zunächst eine grobe Charakterisierung dieser Räume ergibt. Der Fall der algebraischen Dimension 2 erweisst sich dann als besonders günstig, da solche Mannigfaltigkeiten elliptische Faserungen über komplexen Flächen sind und die Existenz der Geraden impliziert, dass diese Flächen rational sind. Elliptische Hauptfaserbündel mit Geraden können dann vollständig beschrieben werden. Allgemeine Faserungen lassen sich auf Faserungen über Hirzebruch-Flächen zurückführen. Für diese werden notwendige Bedingungen an die Existenz von Geraden hergeleitet. / In this work we study lines in complex manifolds. Mostly we use a definition of lines which comes from the thory of twistor spaces. That means a line is a rational curve in a complex manifold with the same normal bundle as a line in a projective space. Another possibility for the definition of lines is to demand that a complete neighbourhood of the rational curve is biholomorphic equivalent to a neighbourhood of a line in a projective space. Such lines a called tubular lines. In this work we show that these two definitions of lines are not equivalent and we give a criterion for a line not to be tubular. From deformation theory follows that the existence of a line in a manifold induces a family of lines which covers an open subset. Therefore there are no non-trivial homolorphic differential forms on the manifold and most of the techniques of classification theory do not work. Therefore we study the algebraic reduction of the manifold. For 3 dimensional complex manifolds with lines we get a rough description. In the case of algebraic dimension 2 the algebraic reduction is an elliptic fibration over a surface and from the existence of lines we can conclude that this surface is rational. For such fibrations we have good descriptions and we can generalize the situation to fibrations over minimal rational surfaces. For them we give necessary condtions for the exitence of lines.

In dieser Arbeit werden die dynamischen Strukturen und Mannigfaltigkeiten in geschlossenen chaotischen Systemen untersucht. Das Wissen um diese dynamischen Strukturen (und Mannigfaltigkeiten) ist von Bedeutung, da sie uns einen ersten Überblick über die Dynamik des Systems geben, dass heisst, mit ihrer Hilfe sind wir in der Lage, das System zu charakterisieren und eventuell sogar seine Dynamik vorherzusagen. Die Visualisierung der dynamischen Strukturen, speziell in geschlossenen chaotischen Systemen, ist ein schwieriger und oft langer Prozess. Hier werden wir die sogenannte 'Leaking-Methode' (an Beispielen einfacher mathematischer Modelle wie der Bäcker- oder der Sinus Abbildung) vorstellen, mit deren Hilfe wir die Möglichkeit haben, Teile der Mannigfaltigkeiten des chaotischen Sattels des Systems zu visualisieren. Vergleiche zwischen den gewonnenen Strukturen und Strukturen die durch chemische oder biologische Reaktionen hervorgerufen werden, werden anhand eines kinematischen Modells des Golfstroms durchgeführt. Es wird gezeigt, dass mittels der Leaking-Methode dynamische Strukturen auch in Umweltsystemen sichtbar gemacht werden können. Am Beispiel eines realistischen Modells des Mittelmeeres erweitern wir die Leaking-Methode zur sogenannten 'Exchange-Methode'. Diese erlaubt es den Transport zwischen zwei Regionen zu charakterisieren, die Transport-Routen und Austausch-Bassins sichtbar zu machen und die Austausch-Zeiten zu berechnen. Austausch-Bassins und Zeiten werden für die nördliche und südliche Region des westlichen Mittelmeeres präsentiert. Weiterhin werden Mischungseigenschaften im Erdmantel charakterisiert und die geometrischen Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten in einem 3dimensionalen mathematischen Modell (ABC-Abbildung) untersucht. / In this thesis, dynamical structures and manifolds in closed chaotic flows will be investigated. The knowledge about the dynamical structures (and manifolds) of a system is of importance, since they provide us first information about the dynamics of the system - means, with their help we are able to characterize the flow and maybe even to forecast it`s dynamics. The visualization of such structures in closed chaotic flows is a difficult and often long-lasting process. Here, the so-called 'Leaking-method' will be introduced, in examples of simple mathematical maps as the baker- or sine-map, with which we are able to visualize subsets of the manifolds of the system`s chaotic saddle. Comparisons between the visualized manifolds and structures traced out by chemical or biological reactions superimposed on the same flow will be done in the example of a kinematic model of the Gulf Stream. It will be shown that with the help of the leaking method dynamical structures can be also visualized in environmental systems. In the example of a realistic model of the Mediterranean Sea, the leaking method will be extended to the 'exchange-method'. The exchange method allows us to characterize transport between two regions, to visualize transport routes and their exchange sets and to calculate the exchange times. Exchange times and sets will be shown and calculated for a northern and southern region in the western basin of the Mediterranean Sea. Furthermore, mixing properties in the Earth mantle will be characterized and geometrical properties of manifolds in a 3dimensional mathematical model (ABC map) will be investigated.

This thesis deals with Einstein metrics and the Ricci flow on compact mani- folds. We study the second variation of the Einstein-Hilbert functional on Ein- stein metrics. In the first part of the work, we find curvature conditions which ensure the stability of Einstein manifolds with respect to the Einstein-Hilbert functional, i.e. that the second variation of the Einstein-Hilbert functional at the metric is nonpositive in the direction of transverse-traceless tensors. The second part of the work is devoted to the study of the Ricci flow and how its behaviour close to Einstein metrics is influenced by the variational be- haviour of the Einstein-Hilbert functional. We find conditions which imply that Einstein metrics are dynamically stable or unstable with respect to the Ricci flow and we express these conditions in terms of stability properties of the metric with respect to the Einstein-Hilbert functional and properties of the Laplacian spectrum. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Einsteinmetriken und Ricci-Fluss auf kompakten Mannigfaltigkeiten. Wir studieren die zweite Variation des Einstein- Hilbert Funktionals auf Einsteinmetriken. Im ersten Teil der Arbeit finden wir Krümmungsbedingungen, die die Stabilität von Einsteinmannigfaltigkeiten bezüglich des Einstein-Hilbert Funktionals sicherstellen, d.h. die zweite Varia- tion des Einstein-Hilbert Funktionals ist nichtpositiv in Richtung transversaler spurfreier Tensoren. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich dem Studium des Ricci-Flusses und wie dessen Verhalten in der Nähe von Einsteinmetriken durch das Variationsver- halten des Einstein-Hilbert Funktionals beeinflusst wird. Wir finden Bedinun- gen, die dynamische Stabilität oder Instabilität von Einsteinmetriken bezüglich des Ricci-Flusses implizieren und wir drücken diese Bedingungen in Termen der Stabilität der Metrik bezüglich des Einstein-Hilbert Funktionals und Eigen- schaften des Spektrums des Laplaceoperators aus.

<p>In this thesis, we give two constructions for Riemannian metrics on Seiberg-Witten moduli spaces. Both these constructions are naturally induced from the L2-metric on the configuration space. The construction of the so called quotient L2-metric is very similar to the one construction of an L2-metric on Yang-Mills moduli spaces as given by Groisser and Parker. To construct a Riemannian metric on the total space of the Seiberg-Witten bundle in a similar way, we define the reduced gauge group as a subgroup of the gauge group. We show, that the quotient of the premoduli space by the reduced gauge group is isomorphic as a U(1)-bundle to the quotient of the premoduli space by the based gauge group. The total space of this new representation of the Seiberg-Witten bundle carries a natural quotient L2-metric, and the bundle projection is a Riemannian submersion with respect to these metrics. We compute explicit formulae for the sectional curvature of the moduli space in terms of Green operators of the elliptic complex associated with a monopole. Further, we construct a Riemannian metric on the cobordism between moduli spaces for different perturbations. The second construction of a Riemannian metric on the moduli space uses a canonical global gauge fixing, which represents the total space of the Seiberg-Witten bundle as a finite dimensional submanifold of the configuration space.</p> <p>We consider the Seiberg-Witten moduli space on a simply connected K&auml;uhler surface. We show that the moduli space (when nonempty) is a complex projective space, if the perturbation does not admit reducible monpoles, and that the moduli space consists of a single point otherwise. The Seiberg-Witten bundle can then be identified with the Hopf fibration. On the complex projective plane with a special Spin-C structure, our Riemannian metrics on the moduli space are Fubini-Study metrics. Correspondingly, the metrics on the total space of the Seiberg-Witten bundle are Berger metrics. We show that the diameter of the moduli space shrinks to 0 when the perturbation approaches the wall of reducible perturbations. Finally we show, that the quotient L2-metric on the Seiberg-Witten moduli space on a K&auml;hler surface is a K&auml;hler metric.</p> / <p>In dieser Dissertationsschrift geben wir zwei Konstruktionen Riemannscher Metriken auf Seiberg-Witten-Modulr&auml;umen an. Beide Metriken werden in nat&uuml;rlicher Weise durch die L2-Metrik des Konfiguartionsraumes induziert. Die Konstruktion der sogenannten Quotienten-L2-Metrik entspricht der durch Groisser und Parker angegebenen Konstruktion einer L2-Metrik auf Yang-Mills-Modulr&auml;umen. Zur Konstruktion einer Quotienten-Metrik auf dem Totalraum des Seiberg-Witten-B&uuml;ndels f&uuml;hren wir die sogenannte reduzierte Eichgruppe ein. Wir zeigen, dass der Quotient des Pr&auml;modulraumes nach der reduzierten Eichgruppe als U(1)-B&uuml;ndel isomorph ist zu dem Quotienten nach der basierten Eichgruppe. Dadurch tr&auml;gt der Totalraum des Seiberg-Witten B&uuml;ndels eine nat&uuml;rliche Quotienten-L2-Metrik, bzgl. derer die B&uuml;ndelprojektion eine Riemannsche Submersion ist. Wir berechnen explizite Formeln f&uuml;r die Schnittr&uuml;mmung des Modulraumes in Ausdr&uuml;cken der Green-Operatoren des zu einem Monopol geh&ouml;rigen elliptischen Komplexes. Ferner konstruieren wir eine Riemannsche Metrik auf dem Kobordismus zwischen Modulr&auml;umen zu verschiedenen St&ouml;rungen. Die zweite Konstruktion einer Riemannschen Metrik auf Seiberg-Witten-Modulr&auml;umen benutzt eine kanonische globale Eichfixierung, verm&ouml;ge derer der Totalraum des Seiberg-Witten-B&uuml;ndels als endlich-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Konfigurationsraumes dargestellt werden kann.</p> <p>Wir betrachten speziell die Seiberg-Witten-Modulr&auml;ume auf einfach zusammenh&auml;ngenden K&auml;hler-Mannigfaltigkeiten. Wir zeigen, dass der Seiberg-Witten-Modulraum (falls nicht-leer) im irreduziblen Fall ein komplex projektiver Raum its und im reduziblen Fall aus einem einzelnen Punkt besteht. Das Seiberg-Witten-B&uuml;ndel l&auml;&szlig;t sich mit der Hopf-Faserung identifizieren. Die L2-Metrik des Modulraumes auf der komplex projektiven Fl&auml;che CP2 (mit einer speziellen Spin-C-Struktur) ist die Fubini-Study-Metrik; entsprechend sind die Metriken auf dem Totalraum Berger-Metriken. Wir zeigen, dass der Durchmesser des Modulraumes gegen 0 konvergiert, wenn die St&ouml;rung sich dem reduziblen Fall n&auml;hert. Schlie&szlig;lich zeigen wir, dass die Quotienten-L2-Metrik auf dem Seiberg-Witten-Modulraum einer K&auml;hlerfl&auml;che eine K&auml;hler-Metrik ist.</p>

The aim of this thesis is to introduce a general framework for what is informally referred to as finite-time dynamics. Within this framework, we study hyperbolicity of reference trajectories, existence of invariant manifolds as well as normal hyperbolicity of invariant manifolds called Lagrangian Coherent Structures. We focus on a simple derivation of analytical results. At the same time, our approach together with the analytical results has strong impact on the numerical implementation by providing calculable expressions for known functions and continuity results that ensure robust computation. The main results of the thesis are robustness of finite-time hyperbolicity in a very general setting, finite-time analogues to classical linearization theorems, an approach to the computation of so-called growth rates and the generalization of the variational approach to Lagrangian Coherent Structures.

Any Riemannian manifold possesses a minimal solution of the heat equation for the Dirichlet Laplacian, called the heat kernel. During the last decades many authors investigated geometric properties of the manifold such that its heat kernel fulfills a so-called Gaussian upper bound. Especially compact and non-compact manifolds with lower bounded Ricci curvature have been examined and provide such Gaussian estimates. In the compact case it ended even with integral Ricci curvature assumptions. The important techniques to obtain Gaussian bounds are the symmetrization procedure for compact manifolds and relative Faber-Krahn estimates or gradient estimates for the heat equation, where the first two base on isoperimetric properties of certain sets. In this thesis, we generalize the existing results to the following. Locally uniform integral bounds on the negative part of Ricci curvature lead to Gaussian upper bounds for the heat kernel, no matter whether the manifold is compact or not. Therefore, we show local isoperimetric inequalities under this condition and use relative Faber-Krahn estimates to derive explicit Gaussian upper bounds. If the manifold is compact, we can even generalize the integral curvature condition to the case that the negative part of Ricci curvature is in the so-called Kato class. We even obtain uniform Gaussian upper bounds using gradient estimate techniques. Apart from the geometric generalizations for obtaining Gaussian upper bounds we use those estimates to generalize Bochner’s theorem. More precisely, the estimates for the heat kernel obtained above lead to ultracontractive estimates for the heat semigroup and the semigroup generated by the Hodge Laplacian. In turn, we can formulate rigidity results for the triviality of the first cohomology group if the amount of curvature going below a certain positive threshold is small in a suitable sense. If we can only assume such smallness of the negative part of the Ricci curvature, we can bound the Betti number by explicit terms depending on the generalized curvature assumptions in a uniform manner, generalizing certain existing results from the cited literature. / Jede Riemannsche Mannigfaltigkeit besitzt eine minimale Lösung für die Wärmeleitungsgleichung des zur Mannigfaltigkeit gehörigen Dirichlet-Laplaceoperators, den Wärmeleitungskern. Während der letzten Jahrzehnte fanden viele Autoren geometrische Eigenschaften der Mannigfaltigkeiten unter welchen der Wärmeleitungskern eine sogenannte Gaußsche obere Abschätzung besitzt. Insbesondere bestizen sowohl kompakte als auch nichtkompakte Mannigfaltigkeiten mit nach unten beschränkter Ricci-Krümmung solche Gaußschen Abschätzungen. Im kompakten Fall reichten bisher sogar Integralbedingungen an die Ricci-Krümmung aus. Die wichtigen Techniken, um Gaußsche Abschätzungen zu erhalten, sind die Symmetrisierung für kompakte Mannigfaltigkeiten und relative Faber-Krahn- und Gradientenabschätzungen für die Wärmeleitungsgleichung, wobei die ersten beiden auf isoperimetrischen Eigenschaften gewisser Mengen beruhen. In dieser Arbeit verallgemeinern wir die bestehenden Resultate im folgenden Sinne. Lokal gleichmäßig beschränkte Integralschranken an den Negativteil der Ricci-Krümmung ergeben Gaußsche obere Abschätzungen sowohl im kompakten als auch nichtkompakten Fall. Dafür zeigen wir lokale isoperimetrische Ungleichungen unter dieser Voraussetzung und nutzen die relativen Faber-Krahn-Abschätzungen für eine explizite Gaußsche Schranke. Für kompakte Mannigfaltigkeiten können wir sogar die Integralschranken an den Negativteil der Ricci-Krümmung durch die sogenannte Kato-Bedingung ersetzen. In diesem Fall erhalten wir gleichmäßige Gaußsche Abschätzungen mit einer Gradientenabschätzung. Neben den geometrischen Verallgemeinerungen für Gaußsche Schranken nutzen wir unsere Ergebnisse, um Bochners Theorem zu verallgemeinern. Wärmeleitungskernabschätzungen ergeben ultrakontraktive Schranken für die Wärmeleitungshalbgruppe und die Halbgruppe, die durch den Hodge-Operator erzeugt wird. Damit können wir Starrheitseigenschaften für die erste Kohomologiegruppe zeigen, wenn der Teil der Ricci-Krümmung, welcher unter einem positiven Level liegt, in einem bestimmten Sinne klein genug ist. Wenn der Negativteil der Ricci-Krümmung nicht zu groß ist, können wir die erste Betti-Zahl noch immer explizit uniform abschätzen.

The aim of this thesis is to introduce a general framework for what is informally referred to as finite-time dynamics. Within this framework, we study hyperbolicity of reference trajectories, existence of invariant manifolds as well as normal hyperbolicity of invariant manifolds called Lagrangian Coherent Structures. We focus on a simple derivation of analytical results. At the same time, our approach together with the analytical results has strong impact on the numerical implementation by providing calculable expressions for known functions and continuity results that ensure robust computation. The main results of the thesis are robustness of finite-time hyperbolicity in a very general setting, finite-time analogues to classical linearization theorems, an approach to the computation of so-called growth rates and the generalization of the variational approach to Lagrangian Coherent Structures.

In this thesis we study the asymptotic behavior of bi-Lipschitz diffeomorphic weighted Riemannian manifolds with techniques from the theory of homogenization. To do so we re-interpret the problem as different induced metrics on one reference manifold. Our analysis is twofold. On the one hand we consider second-order uniformly elliptic operators on weighted Riemannian manifolds. They naturally emerge when studying spectral properties of the Laplace-Beltrami operator on families of manifolds with rapidly oscillating metrics. We appeal to the notion of H-convergence introduced by Murat and Tartar. In our first main result we establish an H-compactness result that applies to elliptic operators with measurable, uniformly elliptic coefficients on weighted Riemannian manifolds. We further discuss the special case of locally periodic coefficients and study the asymptotic spectral behavior of Euclidean submanifolds with rapidly oscillating geometry. On the other hand we study integral functionals featuring non-convex integrands with non-standard growth on the Euclidean space in a stochastic framework. Our second main result is a Γ-convergence statement under certain assumptions on the statistics of their integrands. Such functionals provide a tool to study the Dirichlet energy on non-uniformly bi-Lipschitz diffeomorphic manifolds. We show Mosco-convergence of the Dirichlet energy and deduce conditions for the spectral behavior of weighted Riemannian manifolds with locally oscillating random structure, especially in the case of Euclidean submanifolds.:Introduction Outline Notation I. Preliminaries 1. Convergence of Riemannian Manifolds 1.1. Hausdorff-Convergence 1.2. Gromov-Hausdorff-Convergence 1.3. Spectral Convergence 1.4. Mosco-Convergence 2. Homogenization 2.1. Periodic Homogenization 2.2. Stochastic Homogenization II. Uniformly bi-Lipschitz Diffeomorphic Manifolds 3. Uniformly Elliptic Operators on a Riemannian Manifold 3.1. Setting 3.2. Main Results 3.3. Strategy of the Proof and Auxiliary Results 3.4. Identi cation of the Limit via Local Coordinate Charts 3.5. Examples 3.6. Proofs 4. Application to Uniformly bi-Lipschitz Diffeomorphic Manifolds 4.1. Setting and Results 4.2. Examples 4.3. Proofs III. Rapidly Oscillating Random Manifolds 5. Integral Functionals with Non-Uniformal Growth 5.1. Setting 5.2. Main Results 5.3. Strategy of the Proof and Auxiliary Results 5.4. Proofs 6. Application to Rapidly Oscillating Riemannian Manifolds 6.1. Setting and Results 6.2. Examples 6.3. Proofs Summary and Discussion Bibliography List of Figures

Wir konstruieren Beispiele von Kontaktmannigfaltigkeiten in jeder ungeraden Dimension, welche endliche nicht-triviale algebraische Torsion (im Sinne von Latschev-Wendl) aufweisen, somit straff sind und keine starke symplektische Füllung haben. Wir beweisen, dass Giroux Torsion algebraische 1-Torsion in jeder ungeraden Dimension impliziert, womit eine Vermutung von Massot-Niederkrüger-Wendl bewiesen wird. Wir konstruieren unendlich viele nicht diffeomorphe Beispiele von 5-dimensionalen Kontaktmannigfaltigkeiten, welche straff sind, keine starke symplektische Füllung zulassen und keine Giroux Torsion haben. Wir erhalten Obstruktionen für symplektische Kobordismen, ohne für deren Beweis die SFT Maschinerie zu verwenden. Wir geben eine provisorische Definition eines spinalen offenen Buchs in höherer Dimension an, basierend auf der vom 3-dimensionalen Fall aus Lisi-van Horn Morris-Wendl. In einem Anhang geben wir in gemeinsamer Autorenschaft mit Richard Siefring eine wesentliche Zusammenfassung der Schnitttheorie für punktierte holomorphe Kurven und Hyperflächen an, welche die 3-dimensionalen Resultate von Siefring auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Mittels der Schnitttheorie erhalten wir eine Anwendung für holomorphe Blätterungen von Kodimension zwei, die wir benutzen um das Verhalten von holomorphem Kurven in unseren Beispielen einzuschränken. / We construct examples in any odd dimension of contact manifolds with finite and non-zero algebraic torsion (in the sense of Latschev-Wendl), which are therefore tight and do not admit strong symplectic fillings. We prove that Giroux torsion implies algebraic 1-torsion in any odd dimension, which proves a conjecture of Massot-Niederkrüger-Wendl. We construct infinitely many non-diffeomorphic examples of 5-dimensional contact manifolds which are tight, admit no strong fillings, and do not have Giroux torsion. We obtain obstruction results for symplectic cobordisms, for which we give a proof not relying on SFT machinery. We give a tentative definition of a higher-dimensional spinal open book decomposition, based on the 3-dimensional one of Lisi-van Horn Morris-Wendl. An appendix written in co-authorship with Richard Siefring gives a basic outline of the intersection theory for punctured holomorphic curves and hypersurfaces, which generalizes his 3-dimensional results to higher dimensions. From the intersection theory we obtain an application to codimension-2 holomorphic foliations, which we use to restrict the behaviour of holomorphic curves in our examples.

In dieser Arbeit werden Aspekte der N = 1 Dualität zwischen dem Heterotischen String (der auf einer komplex dreidimensionalen Calabi-Yau Mannigfaltigkeit mit einem Vektorbündel kompaktifiziert wird) und der F-Theorie (die auf einer komplex vierdimensionalen Calabi-Yau Mannigfaltigkeit kompaktifiziert wird) diskutiert. Zu Beginn wird eine allgemeine Beschreibung der Stringdualitäten gegeben. Die Berech- nungen der notwendigen Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten- und Vektorbündeldaten, welche Charakteristische Klassen und Bündelmoduli involvieren, werden im Detail durchgeführt. Die acht- bzw. sechsdimensionale Dualität zwischen dem Heterotis- chen String und der F-Theorie wird diskutiert. Im Anschluß erfolgt ein Vergleich der vierdimensionalen Spektren (dies involviert den Vergleich von N = 1 chiralen Multipletts) und ein Vergleich der Anomaliebedingungen (welche zu konsistenten vierdimensionalen Het/F-Theorie Kompaktifizierungen führen). Weiterhin werden vierdimensionale N = 1 Het/F-Theorie Beispiele konstruiert, insbesondere wird eine Klasse von elliptisch gefaserten Calabi-Yau's über del Pezzoflächen betrachtet. / We discuss aspects of N = 1 duality between the heterotic string compactified on a Calabi-Yau threefold with a vector bundle and F-theory on a Calabi-Yau fourfold. After a description of string duality intended for the non-specialist the framework and the constraints for heterotic/F-theory compactifications are presented. The computations of the necessary Calabi-Yau manifold and vector bundle data, involving characteristic classes and bundle moduli, are given in detail. The eight- and six- dimensional dualities are reviewed. The matching of the spectrum of chiral multiplets and of the number of heterotic five-branes respectively F-theory three-branes, needed for anomaly cancellation in four-dimensional vacua, is pointed out. Several examples of four-dimensional dual pairs are constructed where on both sides the geometry of the involved manifolds relies on del Pezzo surfaces.