This thesis is an account of our study of two branches of dynamical systems theory, namely the mean and pointwise ergodic theory. In our work on mean ergodic theorems, we investigate the spectral theory of integrable actions of a locally compact abelian group on a locally convex vector space. We start with an analysis of various spectral subspaces induced by the action of the group. This is applied to analyse the spectral theory of operators on the space generated by measures on the group. We apply these results to derive general Tauberian theorems that apply to arbitrary locally compact abelian groups acting on a large class of locally convex vector spaces which includes Fr echet spaces. We show how these theorems simplify the derivation of Mean Ergodic theorems. Next we turn to the topic of pointwise ergodic theorems. We analyse the Transfer Principle, which is used to generate weak type maximal inequalities for ergodic operators, and extend it to the general case of -compact locally compact Hausdor groups acting measure-preservingly on - nite measure spaces. We show how the techniques developed here generate various weak type maximal inequalities on di erent Banach function spaces, and how the properties of these function spaces in- uence the weak type inequalities that can be obtained. Finally, we demonstrate how the techniques developed imply almost sure pointwise convergence of a wide class of ergodic averages. Our investigations of these two parts of ergodic theory are uni ed by the techniques used - locally convex vector spaces, harmonic analysis, measure theory - and by the strong interaction of the nal results, which are obtained in greater generality than hitherto achieved. / PhD (Mathematics), North-West University, Potchefstroom Campus, 2014

Text in Afrikaans / Aquinas's five point argument for God's existence views creation as a holistic entity in which synthesis and creative influences are initiated through the interaction between minimal and maximal acts of being. These acts are represented by the per accidens and the per se respectively. Both these acts are fundamental acts which are crucial to the outcome of the argument for the existence of God. The creature who, because of his per accidens dependency, possesses minimal status, is elevated to a place of honour by participation in creation. Both the essence and esse of creatures have their origin in the pure esse of the maximal act of being (God). Maximal being, the efficient cause, grounds the similarity between itself and minimal acts of being. Both the per accidens and the per se have crucial roles to play in the verification of tbe argument. Should any one of these two elements be lacking, the argument would be invalid. / Aquinas se Quinque Via as 'n Holistiese Beredenering is 'n vyfpunt-argument vir die bestaan van God wat die skepping as 'n eenheid beskou waarin sintese en skeppende invloede bewerkstellig word deur interaksie tussen minimale en maksimale bestaansaktes. Die bestaansaktes word deur die per accidens en die per se (wat die fundamentele boustene in die argument vorm) verteenwoordig. Die skepsel wat vanwee sy per accidens- afhanklikheid beperkte status beklee, word deur bemiddeling van die per se of maksimale bestaansakte (God) tot deelgenoot verhef en beklee ·n ereplek in die skepping. Beide die esse en essensie van menslike wesens het hul oorsprong in die suiwer esse van die maksimale bestaansakte. Maksimale bestaan, die effektiewe oorsaak, begrond die ooreenkoms tussen sigself en die minimale bestaansaktes. Die per accidens sowel as die per se vervul 'n onontbeerlike rol in die bewysvoering van die argument. Sou een van die twee fundamentele elemente ontbreek, sou die argument in geheel ongeldig wees. / Philosophy, Practical & Systematic Theology / M.A. (Wysbegeerte)

Ruminant animals consuming low N-diet have been reported to have increased urea reabsorption with the Nguni being categorized as N-recycling ruminant. The enzymes associated with N-cycling are hypothesized to contribute to survival of the Nguni in harsh conditions. Enzymes responsible for such a function needed to be characterized in order to determine their effect in the functioning of the Nguni as opposed to Hereford breed. Crude enzymes from both breeds were separated from most or some contaminants by sephadex G-25, DEAE sephacel, and different affinity column chromatography. CPS and GDH were successfully purified and characterized by LC-MS/MS and further analysed by ProteinPilot™, blasted and matched >95% with those of Bos Taurus. Comparison of characterized enzymes and those which failed to ionise such as ARG, GS and GA was done using kinetics and graphs annotating specific activities. Partial purification and characterization was in part achieved. / Life & Consumer Sciences / M. Sc. (Life Sciences)

This thesis consists of four papers and focuses on function spaces related to first-order analysis in abstract metric measure spaces. The classical (i.e., Sobolev) theory in Euclidean spaces makes use of summability of distributional gradients, whose definition depends on the linear structure of Rn. In metric spaces, we can replace the distributional gradients by (weak) upper gradients that control the functions’ behavior along (almost) all rectifiable curves, which gives rise to the so-called Newtonian spaces. The summability condition, considered in the thesis, is expressed using a general Banach function lattice quasi-norm and so an extensive framework is built. Sobolev-type spaces (mainly based on the Lp norm) on metric spaces, and Newtonian spaces in particular, have been under intensive study since the mid-1990s. In Paper I, the elementary theory of Newtonian spaces based on quasi-Banach function lattices is built up. Standard tools such as moduli of curve families and the Sobolev capacity are developed and applied to study the basic properties of Newtonian functions. Summability of a (weak) upper gradient of a function is shown to guarantee the function’s absolute continuity on almost all curves. Moreover, Newtonian spaces are proven complete in this general setting. Paper II investigates the set of all weak upper gradients of a Newtonian function. In particular, existence of minimal weak upper gradients is established. Validity of Lebesgue’s differentiation theorem for the underlying metric measure space ensures that a family of representation formulae for minimal weak upper gradients can be found. Furthermore, the connection between pointwise and norm convergence of a sequence of Newtonian functions is studied. Smooth functions are frequently used as an approximation of Sobolev functions in analysis of partial differential equations. In fact, Lipschitz continuity, which is (unlike <img src="http://www.diva-portal.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cmathcal%7BC%7D%5E1" />-smoothness) well-defined even for functions on metric spaces, often suffices as a regularity condition. Thus, Paper III concentrates on the question when Lipschitz functions provide good approximations of Newtonian functions. As shown in the paper, it suffices that the function lattice quasi-norm is absolutely continuous and a fractional sharp maximal operator satisfies a weak norm estimate, which it does, e.g., in doubling Poincaré spaces if a non-centered maximal operator of Hardy–Littlewood type is locally weakly bounded. Therefore, such a local weak boundedness on rearrangement-invariant spaces is explored as well. Finer qualitative properties of Newtonian functions and the Sobolev capacity get into focus in Paper IV. Under certain hypotheses, Newtonian functions are proven to be quasi-continuous, which yields that the capacity is an outer capacity. Various sufficient conditions for local boundedness and continuity of Newtonian functions are established. Finally, quasi-continuity is applied to discuss density of locally Lipschitz functions in Newtonian spaces on open subsets of doubling Poincaré spaces.

Cette thèse porte sur le modèle d'Ising dilué, dans la région de transition de phase. Le modèle d'Ising est un modèle classique de la mécanique statistique ; il a la particularité de présenter deux phases distinctes à basse température, ce qui a motivé, entre autres, son utilisation pour l'étude rigoureuse de la coexistence de phases. Notre objectif était d'étendre la description du phénomène de coexistence de phases au cas du milieu aléatoire, c'est-à-dire au modèle d'Ising dilué, lorsque la température et la dilution sont suffisamment faibles pour que deux phases d'aimantation opposées apparaissent.<br /><br />La thèse comporte quatre chapitres. Dans un premier chapitre, nous adaptons les travaux de Pisztora au cas du milieu aléatoire et établissons une procédure de renormalisation compatible avec la dilution. Dans un second chapitre, nous étudions en détail la tension superficielle de ce modèle, pour la mesure de Gibbs correspondant à un milieu fixé, et pour la mesure moyennée. Nous caractérisons la limite à basse température de chacune de ces quantités et décrivons les formes des cristaux correspondants. Nous montrons que les déviations inférieures de la tension superficielle ont un coût surfacique et donnons une borne inférieure sur la fonction de taux à l'aide de méthodes de concentration de la mesure. Dans un troisième chapitre, nous décrivons le phénomène de coexistence de phases, sous la mesure Gibbs et sous la mesure moyennée. Dans un quatrième et dernier chapitre, nous concluons la thèse avec une application à la dynamique de Glauber, et montrons que l'autocorrélation décroît au plus vite comme une puissance inverse du temps.

Thèse effectuée en cotutelle (Université de Poitiers, France) / Introduction – Le vieillissement est associé à une augmentation du coût énergétique de la locomotion (CE) et à une diminution de la consommation maximale d’oxygène (V ̇O2max). De plus, les qualités neuromusculaires semblent aussi compromises chez les aînés. Ces phénomènes contribuent au ralentissement de la vitesse de marche spontanée et peuvent altérer la qualité de vie. En plus de ces qualités physiques, il est reconnu que les fonctions cognitives déterminent la mobilité. En effet, la capacité de combiner une tâche motrice (locomotion) à une tâche cognitive est associée à une réduction du risque de chuter. Objectif – L’objectif de cette thèse était de préciser les relations entre la mobilité, la condition physique et les fonctions cognitives dans une perspective de vieillissement sain. Résultats – Une étude méthodologique a été présentée pour spécifier les modalités d’évaluation du CE. Les résultats ont démontré que le CE est plus élevé lorsque la mesure est effectuée sur tapis roulant en comparaison avec une mesure directement au sol. Il a aussi été suggéré que le niveau d’assocation entre les deux modalités était insatisfaisant. Ainsi, lorsque la mesure sur tapis roulant est nécessaire, elle doit idéalement être accompagnée d’un test de marche au sol pour améliorer la validité externe. Ensuite, une approche transversale a été utilisée afin de préciser les déterminants de la condition physique associés à une meilleure mobilité et à un profil cognitif favorable. En plus de la V ̇O2max, une force élevée caractérisait les individus qui présentaient les meilleures performances dans une tâche de flexibilité cognitive. Il a aussi été démontré que des tests cliniques comme le Timed up and go et la vitesse maximale de marche sur 10 mètres pouvaient être utilisés pour discriminer les individus qui présentent les profils physiques et cognitifs les moins favorables. Enfin, une étude d’intervention a été proposée afin de vérifier si un entraînement de l’aptitude aérobie et de la force visant une augmentation de la V ̇O2max et la réduction du CE allait permettre de meilleures performances cognitives lors d’une double tâche (motrice et cognitive). Les résultats démontrent, malgré que ce type d’intervention semble favoriser de meilleures performances en inhibition, qu’un programme visant le développement des habiletés motrices globales est aussi efficace pour induire des améliorations en inhibition. Conclusion – Ces résultats confirment la pertinence de l’évaluation d’un ensemble de déterminants de la condition physique allant de l’aptitude aérobie aux qualités neuromsuculaires dans le suivi de la santé physique et cognitive des aînés. Des tests cliniques accessibles sont proposés afin de contribuer à un premier diagnostic physique et cognitif qui saura être confirmé par des mesures plus exhaustives. Par ailleurs, il est aussi suggéré que plusieurs interventions peuvent être proposées pour améliorer les fonctions cognitives. Malgré que l’entraînement de l’aptitude aérobie et des qualités de force soit le seul à induire des améliorations de la condition physique, il n’en demeure pas moins qu’un programme de développement des habiletés motrices puisse représenter une avenue intéressante dans le cas où les individus étaient au préalable très sédentaires. / Introduction – Aging is characterized by an increase in the energy cost of locomotion (ECL) and a decrease in maximal oxygen uptake (V ̇O2max). It also appears that neuromuscular performances are jeopardized in older adults. Taken together, these phenomena contribute to a slower gait speed, which could reduce quality of life. Moreover, it was shown that cognition was also a key determinant of mobility performances. Indeed, the ability to execute simultaneously two tasks (motor and cognitive) was associated with a lower risk of falling. Objective – The objective of this thesis was to specify the relationships between mobility, physical fitness and cognition in a perspective of healthy aging. Results – A study was conducted to clarify the ECL testing methods. Results demonstrate a higher ECL when testing occurs on a treadmill in comparison to an overground measure. Moreover, it was shown that the association level was unsatisfying between the two testing modes. It was concluded that, when a treadmill testing is necessary, a complementary functional walking test should be implemented to increase external validity in data interpretation. Afterwards, a cross-sectional analysis was used to determine the physical fitness factors associated with better cognitive and mobility performances. Along with V ̇O2max, higher levels of strength were related to the fastest individuals both in mobility and in cognitive flexibility. Also, it was shown that clinical tests like the Timed up and go and the maximal walking speed over 10 meters were able to distinguish individuals with poorer physical fitness and cognitive performances. Finally, an intervention study was proposed to verify the effects of a combined aerobic and strength training program on physical fitness and cognition. It was hypothesized that reducing the ECL and increasing V ̇O2max would induce better cognitive performances during a dual-task (motor and cognitive). Results showed that this intervention improved inhibition performances. However, data also suggested that a training program aiming for gross motor abilities development was as efficient as the fitness training intervention to improve inhibition. Conclusion – Taken together, these results confirm the relevance of a complete physical fitness assessment in an healthy aging perspective including both aerobic and neuromuscular components. Convenient clinical tests are also proposed to establish a first physical and cognitive diagnosis, which will be confirmed by subsequent more exhaustive tests. Moreover, it was suggested that many interventions were leading to better cognitive performances. Along with aerobic and strength training which is a privileged method to improve physical fitness, programs aiming for gross motor abilities development could also be implemented, especially in a context where individuals are particularly sedentary.

Approved for public release, distribution is unlimited / This thesis investigates the simulation performance of multiple-input multiple-output (MIMO) systems utilizing Alamoutibased space-time block coding (STBC) technique. The MIMO communication systems using STBC technique employing both single- carrier modulation and orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) are simulated in Matlab. The physical layer part of the IEEE 802.16a standard is used in constructing the simulated OFDM schemes. Stanford University Interim (SUI) channel models are selected for the wireless channel in the simulation process. The performance results of the simulated MIMO systems are compared to those of conventional single antenna systems. / Lieutenant Junior Grade, Turkish Navy

Syfte och frågeställning Syftet med denna studie är att identifiera effekten av svänghjulsträning på styrkerelaterade variabler som påverkar idrottslig prestation genom en sammanställning av befintlig vetenskaplig litteratur. Studiens frågeställning var: (1) Vilken effekt har svänghjulsträning på muskeltillväxt (hypertrofi)? (2) Vilken effekt har svänghjulsträning på utvecklingen av maximal styrka? (3) Vilken effekt har svänghjulsträning på utvecklingen av Power (effektutveckling)? (4) Vilken effekt har svänghjulsträning på horisontell förflyttning? (5) Vilken effekt har svänghjulsträning på vertikal förflyttning? Metod En metaanalys för 15 experimentella studier som uppfyllt urvalskriterierna genomfördes. De inkluderade studierna kvalitetsgranskades med Pedros skala. För att möjliggöra en sammanställning av samtliga resultat analyserades resultaten i dataprogrammet Review Manager version 5.3 med Random effekt modell och presenteras med Forest plots. Jämförelserna gjordes över en period på 4-24 veckor. Resultat Svänghjulsträning under en period av 4-24 veckor visar på en statistisk signifikant utveckling  av muskulär hypertrofi (effektstorlek 0,68), maximal styrka (1,40), Power (1,0), horisontell (0,54) och vertikal förflyttning (0,60). Slutsats Det finns stöd i litteraturen för att friska individer presterar bättre på så väl dynamiska styrketest som funktionella test efter svänghjulsträning. Evidensen är särskilt stark för att svänghjulsträning utvecklar maximal styrka och Power för tränade yngre individer samt i kortare mer intensiva block. Denna metaanalys har bara sammanställt skillnader i prestation före och efter svänghjulsträning och kan därför inte säga om effekten av svänghjulsträning är större än effekten av upprepade mätningar eller annan träning. / Aim The aim of this study was to identify the effect of the flywheel training on strength-related variables that affect athletic performance by compiling existing scientific literature. Research questions: (1) What effect does flywheel training have on muscle growth (hypertrophy)? (2) What effect does flywheel training have on the development of maximum strength? (3) What effect does flywheel training have on the development of Power (effect development)? (4) What effect does flywheel training have on the development of horizontal movement? (5) What effect does flywheel training have on the development of vertical movement? Method A meta-analysis was conducted from 15 experimental studies that met the selection criteria. The quality of included studies was reviewed by Pedro scale. In order to identify possible bias in the selection process a Funnel plot was carried out. To enable the compilation of all results an analyze with Random effect model was carried out with software Review Manager Version 5.3 and presented with Forest plots. Comparisons were made over a period of 4-24 weeks. Results Flywheel training for a period of 4-24 weeks show a statistically significant increase in effect size for muscular hypertrophy (0,49), maximum strength (1,40), Power (1,00), horizontal-(0,54) and vertical movement (0,60). Conclusions There's support in published studies that healthy individuals perform better on dynamic strength tests as wells as functional test after flywheel training. The evidence is particularly strong that flywheel training develops maximum strength and Power in trained younger individuals and in shorter more intensive blocks. This meta-analysis has just compiled the differences in performance before and after flywheel training and therefore cannot say if the effect of flywheel training is greater than the effect of repeated measurements or other exercise.

La construction d'un quotient, en topologie, est relativement simple; si $G$ est un groupe topologique agissant sur un espace topologique $X$, on peut considérer l'application naturelle de $X$ dans $X/G$, l'espace d'orbites muni de la topologie quotient. En géométrie algébrique, malheureusement, il n'est généralement pas possible de munir l'espace d'orbites d'une structure de variété. Dans le cas de l'action d'un groupe linéairement réductif $G$ sur une variété projective $X$, la théorie géométrique des invariants nous permet toutefois de construire un morphisme de variété d'un ouvert $U$ de $X$ vers une variété projective $X//U$, se rapprochant autant que possible d'une application quotient, au sens topologique du terme. Considérons par exemple $X\subseteq P^{n}$, une $k$-variété projective sur laquelle agit un groupe linéairement réductif $G$ et supposons que cette action soit induite par une action linéaire de $G$ sur $A^{n+1}$. Soit $\widehat{X}\subseteq A^{n+1}$, le cône affine au dessus de $\X$. Par un théorème de la théorie classique des invariants, il existe alors des invariants homogènes $f_{1},...,f_{r}\in C[\widehat{X}]^{G}$ tels que $$C[\widehat{X}]^{G}= C[f_{1},...,f_{r}].$$ On appellera le nilcone, que l'on notera $N$, la sous-variété de $\X$ définie par le locus des invariants $f_{1},...,f_{r}$. Soit $Proj(C[\widehat{X}]^{G})$, le spectre projectif de l'anneau des invariants. L'application rationnelle $$\pi:X\dashrightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}])$$ induite par l'inclusion de $C[\widehat{X}]^{G}$ dans $C[\widehat{X}]$ est alors surjective, constante sur les orbites et sépare les orbites autant qu'il est possible de le faire; plus précisément, chaque fibre contient exactement une orbite fermée. Pour obtenir une application régulière satisfaisant les mêmes propriétés, il est nécessaire de jeter les points du nilcone. On obtient alors l'application quotient $$\pi:X\backslash N\rightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}]).$$ Le critère de Hilbert-Mumford, dû à Hilbert et repris par Mumford près d'un demi-siècle plus tard, permet de décrire $N$ sans connaître les $f_{1},...,f_{r}$. Ce critère est d'autant plus utile que les générateurs de l'anneau des invariants ne sont connus que dans certains cas particuliers. Malgré les applications concrètes de ce théorème en géométrie algébrique classique, les démonstrations que l'on en trouve dans la littérature sont généralement données dans le cadre peu accessible des schémas. L'objectif de ce mémoire sera, entre autres, de donner une démonstration de ce critère en utilisant autant que possible les outils de la géométrie algébrique classique et de l'algèbre commutative. La version que nous démontrerons est un peu plus générale que la version originale de Hilbert \cite{hilbert} et se retrouve, par exemple, dans \cite{kempf}. Notre preuve est valide sur $C$ mais pourrait être généralisée à un corps $k$ de caractéristique nulle, pas nécessairement algébriquement clos. Dans la seconde partie de ce mémoire, nous étudierons la relation entre la construction précédente et celle obtenue en incluant les covariants en plus des invariants. Nous démontrerons dans ce cas un critère analogue au critère de Hilbert-Mumford (Théorème 6.3.2). C'est un théorème de Brion pour lequel nous donnerons une version un peu plus générale. Cette version, de même qu'une preuve simplifiée d'un théorème de Grosshans (Théorème 6.1.7), sont les éléments de ce mémoire que l'on ne retrouve pas dans la littérature. / The topological notion of a quotient is fairly simple. Given a topological group $G$ acting on a topological space $X$, one gets the natural application from $X$ to the quotient space $X/G$. In algebraic geometry, unfortunately, it is generally not possible to give the orbit space the structure of an algebraic variety. In the special case of a linearly reductive group acting on a projective variety $X$, the geometric invariant theory allows us to get a morphism of variety from an open $U$ of $X$ to a projective variety $X//G$, which is as close as possible to a quotient map, from a topological point of view. As an example, let $ X\subseteq P^{n}$ be a $k$-projective variety on which acts a linearly reductive group $G$. Suppose further that this action is induced by a linear action of $G$ on $A^{n+1}$ and let $\widehat{X}\subseteq A^{n +1}$ be the affine cone over $X$. By an important theorem of the classical invariants theory, there exist homogeneous invariants $f_{1},..., f_{r}\in C[\widehat{X}]^{G}$ such as $$\C[\widehat{X}]^{G}=\C[f_{1},...,f_{r}].$$ The locus in $X$ of $f_{1},...,f_{r}$ is called the nullcone, noted $N$. Let $Proj(C[\widehat{X}]^{G})$ be the projective spectrum of the invariants ring. The rational map $$\pi:X\dashrightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}])$$ induced by the inclusion of $C[\widehat{X}]^{G}$ in $C[\widehat{X}] $ is then surjective, constant on the orbits and separates orbits as much as possible, that is, the fibres contains exactly one closed orbit. A regular map is obtained by removing the nullcone; we then get a regular map $$\pi:X \backslash N\rightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}])$$ which still satisfy the preceding properties. The Hilbert-Mumford criterion, due to Hilbert and revisited by Mumford nearly half-century later, can be used to describe $N$ without knowing the generators of the invariants ring. Since those are rarely known, this criterion had proved to be quite useful. Despite the important applications of this criterion in classical algebraic geometry, the demonstrations found in the literature are usually given trough the difficult theory of schemes. The aim of this master thesis is therefore, among others, to provide a demonstration of this criterion using classical algebraic geometry and of commutative algebra. The version that we demonstrate is somewhat wider than the original version of Hilbert \cite{hilbert}; a schematic proof of this general version is given in \cite{kempf}. Finally, the proof given here is valid for $C$ but could be generalised to a field $k$ of characteristic zero, not necessarily algebraically closed. In the second part of this thesis, we study the relationship between the preceding constructions and those obtained by including covariants in addition to the invariants. We give a Hilbert-Mumford criterion for covariants (Theorem 6.3.2) which is a theorem from Brion for which we prove a slightly more general version. This theorem, together with a simplified proof of a theorem of Grosshans (Theorem 6.1.7), are the elements of this thesis that can't be found in the literature.

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres. / In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.