On étudie dans cette thèse la régularité des cônes et d'ensembles de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4.Dans la première partie, on étudie d'abord la régularité Bi-Hölderienne des cônes minimaux de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4. Ceci nous permet ensuite de montrer qu'il existe un difféomorphisme locale entre un cône minimal de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4 et un cône minimal de dimension 3, de type P, Y ou T, loin d'origine. La méthode est la même que pour les ensembles minimaux de dimension 2. On construit des compétiteurs et on se ramène aux situations connues des ensembles minimaux de dimension 2 dans l'espace Euclidien de dimension 3.Dans la deuxième partie, on utilise le résultat de la première partie pour donner quelques résultats de régularité Bi-Hölderienne pour les ensembles minimaux de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4. On s'intéresse aussi aux ensembles minimaux de Mumford-Shah et on obtient un résultat de l'existence d'un point de type T. / In this thesis we study the problems of regularity of three-dimensional minimal cones and sets in l'espace Euclidien de dimension 4In the first part we study the Hölder regularity for minimal cones of dimension 3 in l'espace Euclidien de dimension 4. Then we use this for showing that there exists a local diffeomorphic mapping between a minimal cone of dimension 3 and a minimal cone of dimension 3 of type P, Y or T, away from the origin. The techniques used here are the same as the ones for the regularity of two-dimensional minimal sets. We construct some competitors to reduce to the known situation of two-dimensional minimal sets in l'espace Euclidien de dimension 3.In the second part, we use the first part to give somme results of the Hölder regularity for three-dimensional minimal sets in l'espace Euclidien de dimension 4. We interested also in Mumford-Shah minimal sets and we get a result of the existence of a T-point.

La conjecture d'André-Pink affirme qu'une sous-variété d'une variété de Shimura ayant une intersection dense avec une orbite de Hecke est faiblement spéciale. On démontre cette conjecture dans le cas de courbes dans une variété de Shimura de type abélien, ainsi que dans certains cas de sous-variétés de dimension supérieure. Ceci est un cas spécial de la conjecture de Zilber-Pink. C'est une généralisation de théorèmes d'Edixhoven et Yafaev quand l'orbite de Hecke se compose de points spéciaux, de Pink quand l'orbite de Hecke se compose de points Galois génériques, et de Habegger et Pila quand la variété de Shimura est un produit de courbes modulaires. Notre démonstration de la conjecture d'André-Pink pour les courbes dans l'espace de modules des variétés abéliennes principalement polarisées est basée sur la méthode de Pila et Zannier, utilisant une variante forte du théorème de comptage de Pila-Wilkie. On obtient les bornes galoisiennes requises grâce au théorème d'isogénie de Masser et Wüstholz. Afin de relier les bornes sur les isogénies aux hauteurs, on démontre également diverses bornes concernant l'arithmétique des formes hermitiennes sur l'anneau d'endomorphismes d'une variété abélienne. Afin d'étendre le résultat sur la conjecture d'André-Pink aux courbes dans les variétés de Shimura de type abélien et à certains cas de sous-variétés de dimension supérieure, on étudie les propriétés fonctorielles de plusieurs variantes des orbites de Hecke. Un chapitre concerne les rangs des groupes de Mumford-Tate de variétés abéliennes complexes. On y démontre une minoration de ces rangs en fonction de la dimension de la variété abélienne, étant donné que ses sous-variétés abéliennes simples sont deux à deux non isogènes. / The André-Pink conjecture predicts that a subvariety of a Shimura variety which has dense intersection with a Hecke orbit is weakly special. We prove this conjecture for curves in a Shimura variety of abelian type, as well as for certain cases for subvarieties of higher dimension. This is a special case of the Zilber-Pink conjecture. It generalises theorems of Edixhoven and Yafaev when the Hecke orbit consists of special points, of Pink when the Hecke orbit consists of Galois generic points, and of Habegger and Pila when the Shimura variety is a product of modular curves. Our proof of the André-Pink conjecture for curves in the moduli space of principally polarised abelian varieties is based on the Pila-Zannier method, using a strong form of the Pila-Wilkie counting theorem. The necessary Galois bounds are obtained from the Masser-Wüstholz isogeny theorem. In order to relate isogeny bounds to heights, we also prove various bounds concerning the arithmetic of Hermitian forms over the endomorphism ring of an abelian variety. In order to extend the result on the André-Pink conjecture to curves in Shimura varieties of abelian type and to some cases of higher-dimensional subvarieties, we study the functorial properties of Hecke orbits and variations thereof. One chapter concerns the ranks of Mumford-Tate groups of complex abelian varieties. We prove a lower bound for these ranks in terms of the dimension of the abelian variety, subject to the condition that the simple abelian subvarieties are pairwise non-isogenous.

Seja (R;m) um anel Noetheriano local e R \'CONTÉM\' \'iota IND. 1\' \'CONTÉM\' \'iota IND. 2\' \'CONTÉM ... uma filtração de ideais de R. Podemos então construir a álgebra graduada F(\'\\Im) := \'SOMA DIRETA IND. n > OU = 0 POT. \'iota IND. n / \'m \'iota IND. n\', chamada de fibra especial. Esta tese objetiva a pesquisa deste anel. Investigamos sobre a sua propriedade de ser Gorenstein e a sua regularidade de Castelnuovo-Mumford. Outro objetivo, é generalizarmos o teorema de Risler-Teissier (sobre multiplicidades mistas) para o caso de filtrações de Hilbert / Let (R;m) be a Noetherian local ring and R \'CONTAINS\' \'iota IND. 1\' \'CONTAINS\' \'iota IND. 2\' \'CONTAINS\' ... a filtration of ideals in R. We may then construct the graded algebra F(\\Im) := \'DIRECT SUM\' IND. n > OR = \'0 POT. \'iota\' IND. n / \'m \'iota IND. n\' , which is called fiber cone. This thesis has the goal to research about this graded ring. We investigate its Gorenstein property and its Castelnuovo-Mumford regularity. Another aim is to generalize the Risler-Teissiers theorem (about mixed multiplicities) for the case of Hilbert filtration

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la fois aux aspects théoriques et à la résolution numérique du problème de Mumford-Shah avec anisotropie pour la restauration et la segmentation d'image. Cette fonctionnelle possède en effet la particularité de reconstruire une image dégradée tout en extrayant l'ensemble des contours des régions d'intérêt au sein de l'image. Numériquement, on utilise l'approximation d'Ambrosio-Tortorelli pour approcher un minimiseur de la fonctionnelle de Mumford-Shah. Elle Gamma-converge vers cette dernière et permet elle aussi d'extraire les contours. Les implémentations avec des schémas aux différences finies ou aux éléments finis sont toutefois peu adaptées pour l'optimisation de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli. On présente ainsi deux nouvelles formulations discrètes de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli à l'aide des opérateurs et du formalisme du calcul discret. Ces approches sont utilisées pour la restauration d'images ainsi que pour le lissage du champ de normales et la détection de saillances des surfaces digitales de l'espace. Nous étudions aussi un second problème d'optimisation de forme similaire avec conditions aux bords de Robin. Nous démontrons dans un premier temps l'existence et la régularité partielle des solutions, et dans un second temps deux approximations par Gamma-convergence pour la résolution numérique du problème. L'analyse numérique montre une nouvelle fois les difficultés rencontrées pour la minimisation d'approximations par Gamma-convergence. / In this work, we study both theoretical and numerical aspects of an anisotropic Mumford-Shah problem for image restoration and segmentation. The Mumford-Shah functional allows to both reconstruct a degraded image and extract the contours of the region of interest. Numerically, we use the Amborsio-Tortorelli approximation to approach a minimizer of the Mumford-Shah functional. It Gamma-converges to the Mumford-Shah functional and allows also to extract the contours. However, the minimization of the Ambrosio-Tortorelli functional using standard discretization schemes such as finite differences or finite elements leads to difficulties. We thus present two new discrete formulations of the Ambrosio-Tortorelli functional using the framework of discrete calculus. We use these approaches for image restoration and for the reconstruction of normal vector field and feature extraction on digital data. We finally study another similar shape optimization problem with Robin boundary conditions. We first prove existence and partial regularity of solutions and then construct and demonstrate the Gamma-convergence of two approximations. Numerical analysis shows once again the difficulties dealing with Gamma-convergent approximations.

Le sujet de cette thèse est l'étude d'idéaux monomiaux de l'anneau de polynômes S qui ont une résolution linéaire. D'après un résultat remarquable de Bayer et Stilman et en utilisant la polarisation, la classification des idéaux monomiaux ayant une résolution linéaire est équivalente à la classification des idéaux monomiaux libres de carrés ayant une résolution linéaire. Pour cette raison dans cette thèse nous considérons seulement le cas d'idéaux monomiaux libres de carrés. De plus, le théorème de Eagon-Reiner établit une dualité entre les idéaux monomiaux libres de carrés ayant une résolution linéaire et les idéaux monomiaux libres de carrés Cohen-Macaulay, ce qui montre que le problème de classification des idéaux monomiaux libres de carrés ayant une résolution linéaire est très difficile. Nous rappelons que les idéaux monomiaux libres de carrés sont en correspondance biunivoque avec les complexes simpliciaux d'une part, et d'autre part avec les clutters. Ces correspondances nous motivent pour utiliser les propriétés combinatoires des complexes simpliciaux et des clutters pour obtenir des résultats algébriques. La classification des idéaux monomiaux libres de carrés ayant une résolution linéaire engendrés en degré 2 a été faite par Froberg en 1990. Froberg a observé que l'idéal des circuits d'un graphe G a une résolution 2-linéaire si et seulement si G est un graphe de cordes, i.e. il n'a pas de cycles minimaux de longueur plus grande que 4. Dans [Em, ThVt, VtV, W] les auteurs ont partiellement généralisé les résultats de Froberg à des idéaux engendrés en degré >2. Ils ont introduit plusieurs définitions de clutters de cordes et démontré que les idéaux de circuits correspondant ont une résolution linéaire. Nous pouvons voir les cycles du point de vue topologique, comme la triangulation d'une courbe fermée, dans cette thèse nous utiliserons cette idée pour étudier des clutters associés à des triangulation de pseudo-manifolds en vue d'obtenir une généralisation partielle des résultats de Froberg à des idéaux engendrés en degré >2. Nous comparons notre travail à ceux de [Em, ThVt, VtV, W]. Nous présentons nos résultats dans le chapitres 4 et 5. / In this thesis, we study square-free monomial ideals of the polynomial ring S which have a linear resolution. By remarkable result of Bayer and Stilman [BS] and the technique of polarization, classification of ideals with linear resolution is equivalent to classification of square-free monomial ideals with linear resolution. For this reason, we consider only square-free monomial ideals in S. However, classification of square-free monomial ideals with linear resolution seems to be so difficult because by Eagon-Reiner Theorem [ER], this is equivalent to classification of Cohen-Macaulay ideals. It is worth to note that, square-free monomial ideals in S are in one-to-one correspondence to Stanley-Reisener ideals of simplicial complexes on one hand and the circuit ideal of clutters from another hand. This correspondence motivated mathematicians to use the combinatorial and geometrical properties of these objects in order to get the desired algebraic results. Classification of square-free monomial ideals with 2-linear resolution, was successfully done by Froberg [Fr] in 1990. Froberg observed that the circuit ideal of a graph G has a 2-linear resolution if and only if G is chordal, that is, G does not have an induced cycle of length > 3. In [Em, ThVt, VtV, W] the authors have partially generalized the Fr¨oberg's theorem for degree greater than 2. They have introduced several definitions of chordal clutters and proved that, their corresponding circuit ideals have linear resolutions. Viewing cycles as geometrical objects (triangulation of closed curves), in this thesis we try to generalize the concept of cycles to triangulation of pseudo-manifolds and get a partial generalization of Froberg's theorem for higher dimensional hypergraphs. All the results in Chapters 4 and 5 and some results in Chapter 3 are devoted to be the original results.

Seja (R;m) um anel Noetheriano local e R \'CONTÉM\' \'iota IND. 1\' \'CONTÉM\' \'iota IND. 2\' \'CONTÉM ... uma filtração de ideais de R. Podemos então construir a álgebra graduada F(\'\\Im) := \'SOMA DIRETA IND. n > OU = 0 POT. \'iota IND. n / \'m \'iota IND. n\', chamada de fibra especial. Esta tese objetiva a pesquisa deste anel. Investigamos sobre a sua propriedade de ser Gorenstein e a sua regularidade de Castelnuovo-Mumford. Outro objetivo, é generalizarmos o teorema de Risler-Teissier (sobre multiplicidades mistas) para o caso de filtrações de Hilbert / Let (R;m) be a Noetherian local ring and R \'CONTAINS\' \'iota IND. 1\' \'CONTAINS\' \'iota IND. 2\' \'CONTAINS\' ... a filtration of ideals in R. We may then construct the graded algebra F(\\Im) := \'DIRECT SUM\' IND. n > OR = \'0 POT. \'iota\' IND. n / \'m \'iota IND. n\' , which is called fiber cone. This thesis has the goal to research about this graded ring. We investigate its Gorenstein property and its Castelnuovo-Mumford regularity. Another aim is to generalize the Risler-Teissiers theorem (about mixed multiplicities) for the case of Hilbert filtration

La modélisation de processus complexes peut impliquer un grand nombre de variables ayant entre elles une structure de corrélation compliquée. Par exemple, les phénomènes spatiaux possèdent souvent une forte régularité spatiale, se traduisant par une corrélation entre variables d’autant plus forte que les régions correspondantes sont proches. Le formalisme des graphes pondérés permet de capturer de manière compacte ces relations entre variables, autorisant la formalisation mathématique de nombreux problèmes d’analyse de données spatiales. La première partie du manuscrit se concentre sur la résolution efficace de problèmes de régularisation spatiale, mettant en jeu des pénalités telle que la variation totale ou la longueur totale des contours. Nous présentons une stratégie de préconditionnement pour l’algorithme generalized forward-backward, spécifiquement adaptée à la résolution de problèmes structurés par des graphes pondérés présentant une grande variabilité de configurations et de poids. Nous présentons ensuite un nouvel algorithme appelé cut pursuit, qui exploite les relations entre les algorithmes de flots et la variation totale au travers d’une stratégie de working set. Ces algorithmes présentent des performances supérieures à l’état de l’art pour des tâches d’agrégations de données geostatistiques. La seconde partie de ce document se concentre sur le développement d’un nouveau modèle qui étend les chaînes de Markov à temps continu au cas des graphes pondérés non orientés généraux. Ce modèle autorise la prise en compte plus fine des interactions entre noeuds voisins pour la prédiction structurée, comme illustré pour la classification supervisée de tissus urbains. / Modeling complex processes often involve a high number of variables with anintricate correlation structure. For example, many spatially-localized processes display spatial regularity, as variables corresponding to neighboring regions are more correlated than distant ones. The formalism of weighted graphs allows us to capture relationships between interacting variables in a compact manner, permitting the mathematical formulation of many spatial analysis tasks. The first part of this manuscript focuses on optimization problems with graph-structure dregularizers, such as the total variation or the total boundary size. We first present the convex formulation and its resolution with proximal splitting algorithms. We introduce a new preconditioning scheme for the existing generalized forward-backward proximal splitting algorithm, specifically designed for graphs with high variability in neighbourhood configurations and edge weights. We then introduce a new algorithm, cut pursuit, which used the links between graph cuts and total variation in a working set scheme. We also present a variation of this algorithm which solved the problem regularized by the non convex total boundary length penalty. We show that our proposed approaches reach or outperform state-of-the-art for geostatistical aggregation as well as image recovery problems. The second part focuses on the development of a new model, expanding continuous-time Markov chain models to general undirected weighted graphs. This allows us to take into account the interactions between neighbouring nodes in structured classification, as demonstrated for a supervised land-use classification task from cadastral data.

Diese Dissertation behandelt arithmetische Eigenschaften von Familien algebraischer Varietäten und deren speziellen Untervarietäten. Im ersten Kapitel definieren wir sogenannte absolut spezielle Untervarietäten mithilfe von Delignes Begriff der absoluten Hodgeklassen. Ausgehend von der Vermutung, dass alle Hodgeklassen absolute Hodgeklassen sind, erwarten wir, dass alle speziellen Untervarietäten absolut speziell sind. Wir beweisen diese Erwartung für Untervarietäten, die eine bestimmte Monodromiebedingung erfüllen. Das zweite Kapitel führt eine l-adische Version von speziellen Untervarietäten ein, die wir l-Galois spezielle Untervarietäten nennen. Wir studieren bewiesene und vermutete Eigenschaften dieser Untervarietäten und deren Zusammenhang zur Struktur des l-Galois exzeptionellen Locus und zur Mumford-Tate Vermutung. Im dritten Kapitel beweisen wir eine Rapoport-Zink Uniformisierung für den Modulraum der primitiv polarisierten K3 Flächen und kubischen Vierfaltigkeiten mit supersingulärer Reduktion. In beiden Fällen ist der Modulraum uniformisiert von einer explizit definierten rigid analytischen Untervarietät einer lokalen Shimura-Varietät von orthogonalem Typ. / This thesis studies arithmetic aspects of families of algebraic varieties and their special subvarieties. In the first part, we use Deligne's framework of absolute Hodge classes to define a notion of absolutely special subvarieties. The conjecture that all Hodge classes are absolute Hodge predicts that every special subvariety is absolutely special. We prove this prediction for subvarieties satisfying a certain monodromy condition. The second part introduces an l-adic analog of special subvarieties that we call l-Galois special subvarieties. We study the properties of these subvarieties and discuss how known and unknown properties of l-Galois special subvarieties are related to the structure of the l-Galois exceptional locus and to the Mumford-Tate conjecture. In the third chapter, we prove a Rapoport-Zink type uniformization result for the moduli space of polarized K3 surfaces and cubic fourfolds. We show that in both cases, the tube over the supersingular locus of the moduli space is uniformized by an explicitly described rigid analytic open subvariety of a local Shimura variety of orthogonal type.

We study the relationship between geometric properties of toric varieties and combinatorial properties of the corresponding lattice polytopes. In particular, we give a bound for a very ample lattice polytope to be k-normal. Equivalently, we give a new combinatorial bound for the Castelnuovo-Mumford regularity of normal projective toric varieties. We also give a new combinatorial proof for a special case of Reider's Theorem for smooth toric surfaces.

Dans la première partie de cette thèse, on étudie la structure et les dégénérescences du groupe de Mumford-Tate d'un 1-motif $M$ défini sur $\CC$, $MT(M)$. Ce groupe est un $\QQ\,$-groupe algébrique qui agit sur la réalisation de Hodge de $M$ et qui est muni d'une filtration croissante $W_\bullet$. On prouve que le radical unipotent de $MT(M)$, qui est $W_{-1}(MT(M)),$ s'injecte dans un groupe de Heisenberg ``généralisé''. Ensuite on explique comment se réduire à l'étude du groupe de Mumford-Tate d'une somme directe de 1-motifs dont le groupe des caractères du tore et dont le réseau sont de rang 1. Puis on classifie et on étudie les dégénérescences de $MT(M)$, i.e. les phénomènes qui causent la chute de la dimension de $MT(M)$. Dans la deuxième partie, on propose une conjecture de transcendence, qu'on appelle {\it conjecture elliptico-torique} (CET), et notre résultat principal est que (CET) {\it est équivalente à ${\rm (CPG)}_K$, appliquée aux 1-motifs de la forme $M=[ {\Bbb Z}^{r} \, {\buildrel u \over \longrightarrow} \,\prod^n_{j=1} {\cal E}_j \times {\GG}_m^s]$, où les ${\cal E}_j$ sont des courbes elliptiques deux à deux non isogènes}. Notre conjecture (CET) implique des conjectures de transcendance ``classiques'', parmis lesquelles les plus fameuses sont les suivantes~: la conjecture de Schanuel, l'analogue elliptique de la conjecture de Schanuel, une conjecture modulaire qui généralise un théorème de Y. Nesterenko, ... Mais à partir de (CET), on peut aussi construire d'autres conjectures de transcendance, qui, à ma connaissance, ne se trouvent pas dans la littérature. Chacune de ces conjectures, qui peuvent se déduire de (CET), est équivalente à ${\rm (CPG)}_K$ appliquée à un 1-motif bien choisi~: par exemple, la conjecture de Schanuel est équivalentes à ${\rm (CPG)}_K$ appliquée à des 1-motifs de la forme $M=[ {\Bbb Z}^{r} \, {\buildrel u \over \longrightarrow} \, {\GG}_m^s]$.