SOUSA, H. L. S. Aplicações combinatórias à teoria dos números. 2017. 65 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Departamento de Matemática, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-28T13:08:33Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_hlssousa.pdf: 524289 bytes, checksum: 8a1db700bd44db1133d86c52140e90d2 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-28T14:59:24Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_hlssousa.pdf: 524289 bytes, checksum: 8a1db700bd44db1133d86c52140e90d2 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-28T14:59:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_hlssousa.pdf: 524289 bytes, checksum: 8a1db700bd44db1133d86c52140e90d2 (MD5) Previous issue date: 2017 / The Number theory and Combinatorics are two important branches of mathematics that have some of their basic concepts addressed in elementary and high school. In Brazil, these areas of mathematics are the subject covered in several assessment exams, such as the Brazilian Mathematical Olympiad of Public Education, and the Brazilian National High School Exam. The Number theory studies the integers and their properties, while Combinatorics studies the occurrence of certain events and determines how many of them exist, when possible. This work applies combinatorial concepts in the derivation of several results from the Number theory. In this study presented several combinatorial principles, such as the bijection principle, the addition principle, the multiplication principle, the inclusion–exclusion principle, and the pigeonhole principle. At least, they are presented proofs of the Fermat’s little theorem and the Wilson’s theorem using combinatorial principles. This work seeks to arouse students’ interest to the importance of these subjects, thus facilitating and paving the way to teaching-learning process. / A Teoria dos Números e a Análise Combinatória são duas áreas importantes da Matemática que possuem alguns de seus conceitos abordados no ensino fundamental e médio, onde são cobrados em avaliações externas como, por exemplo, o Exame Nacional do Ensino Médio e a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. A Teoria dos Números, de modo simples, trata dos números inteiros e suas propriedades e a Combinatória, por sua vez, trata da existência de certos eventos e, se possível, determina quantos deles existem. O presente trabalho apresenta a aplicação de conceitos combinatórios na obtenção de vários resultados em teoria dos números. Apresentam-se Princípios Combinatórios, como os princípios bijetivo, aditivo, fundamental da contagem, da inclusão-exclusão e da casa dos pombos. Por fim, dar-se provas combinatórias do pequeno teorema de Fermat e do teorema de Wilson. Deste modo, pretende-se despertar o aluno para a importância desses assuntos, facilitando assim o processo de ensino-aprendizagem.

MENDES, F. V. Teleportação de portas quânticas, entrelaçadores universais e conexões com a teoria dos números. 2015. 215 f. Tese (Doutorado em Engenharia de Teleinformática ) – Centro de Tecnologia, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Marlene Sousa (mmarlene@ufc.br) on 2015-03-13T13:55:08Z No. of bitstreams: 1 2015_tese_fvmendes.pdf: 3633066 bytes, checksum: badbaa661c71f7ba84f9fdbeffc133d2 (MD5) / Approved for entry into archive by Marlene Sousa(mmarlene@ufc.br) on 2015-03-24T10:57:13Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_tese_fvmendes.pdf: 3633066 bytes, checksum: badbaa661c71f7ba84f9fdbeffc133d2 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-03-24T10:57:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_tese_fvmendes.pdf: 3633066 bytes, checksum: badbaa661c71f7ba84f9fdbeffc133d2 (MD5) Previous issue date: 2015-02-19 / The present thesis can be divided in three parts: 1) Quantum gate teleportation; 2) Numerical search of universal entanglers; 3) Connections between quantum information and number theory. Regarding the quantum gate teleportation, a separability criterion of normal matrices is used to find the analytical conditions of the preservation of separability under conjugation. That analytical condition allowed to find the general formula of an element of $mathbb{C}^{4}$ Clifford group, as well to understand the role of the basis of measurement in the quantum gate teleportation protocol. Considering the searching for universal entanglers, the same separability criterion of normal matrices was used as fitness function in a computational heuristics, in prder to find good candidates for universal entanglers in $mathbb{C}^{3} otimes mathbb{C}^{4}$ and $mathbb{C}^{4} otimes mathbb{C}^{4}$ Hilbert spaces. At last, in the connection of quantum information with the number theory, it is presented the study of the preparation and entanglement of several multi-qubit quantum states based in integer sequences, and the Riemannian quantum circuit, a quantum circuit whose eigenvalues are related to the zeros of the Riemann zeta function. The existence of such circuit proves that is always possible to construct a physical system related to a finite amount of zeros. / A presente tese está dividida em três partes: 1) Teleportação de portas quânticas; 2) Busca numérica por entrelaçadores universais; 3) Conexões entre a informação quântica e a teoria dos números. No que diz a teleportação de portas quânticas, um critério de separabilidade para matrizes normais é usada para encontrar as condições analíticas da preservação da separabilidade sob conjugação. Tais condições analíticas permitiram encontrar a forma geral de um elemento do grupo de Clifford em $mathbb{C}^{4}$, assim como também entender o papel da base de medição no protocolo de teleportação de portas quânticas. Considerando a busca por entrelaçadores universais, o mesmo critério de separabilidade de matrizes normais foi utilizado como função de aptidão em uma heurística computacional aplicada para encontrar bons candidatos a entrelaçadores universais nos espaços de Hilbert de dimensões $mathbb{C}^{3} otimes mathbb{C}^{4}$ e $mathbb{C}^{4} otimes mathbb{C}^{4}$. Por fim, sobre as conexões da informação quântica com a teoria dos números, é apresentado um estudo da preparação e entrelaçamento de vários estados quânticos de múltiplos qubits baseados em sequências de números inteiros. Apresenta-se ainda o circuito quântico Riemanniano, um circuito quântico cujos autovalores são relacionados aos zeros da função Zeta de Riemann. A existência deste circuito prova que é sempre possível construir um sistema físico relacionado a uma quantidade finita de zeros.

FELIX, Hudson de Souza. Princípio da indução matemática: fundamentação teórica e aplicações. 2015. 39 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2015-04-27T19:01:10Z No. of bitstreams: 1 2015_dis_hsfelix.pdf: 856463 bytes, checksum: 22bf90f6778b7e8e8abc61a2cc0567fd (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-04-28T11:33:16Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_dis_hsfelix.pdf: 856463 bytes, checksum: 22bf90f6778b7e8e8abc61a2cc0567fd (MD5) / Made available in DSpace on 2015-04-28T11:33:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_dis_hsfelix.pdf: 856463 bytes, checksum: 22bf90f6778b7e8e8abc61a2cc0567fd (MD5) Previous issue date: 2015 / This paper presents properties and mathematics teaching issues that somehow show or can be resolved using the principle of mathematics induction. with this, we seek to awaken students to the importance of demonstration in mathematics , leaving the conformity to accept any intuitive formatting formula indexed to natural numbers and go for a more refined mathematical analysis of the concepts , properties and problems that arise in mathematics. / O presente trabalho apresenta propriedades e problemas do ensino da matemática que de alguma forma se demonstram ou podem ser resolvidas usando o princípio da indução matemática. Com isso, buscamos despertar o aluno para a importância da demonstração em matemática, saindo do conformismo de aceitar a qualquer fórmula de formatação intuitiva indexada ao números naturais e partir para uma análise matemática mais refinada dos conceitos, propriedades e problemas que se apresentam na matemática.

NASCIMENTO, Carlos Kleber Alves do. Polinômios, equações algébricas e o estudo de suas raízes reais. 2015. 81 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2015-08-14T18:37:34Z No. of bitstreams: 1 DESCRIÇÃO RI.doc: 19968 bytes, checksum: 805d9ae89e222f6777cd4bbe85acf5fd (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-08-17T12:30:05Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DESCRIÇÃO RI.doc: 19968 bytes, checksum: 805d9ae89e222f6777cd4bbe85acf5fd (MD5) / Made available in DSpace on 2015-08-17T12:30:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DESCRIÇÃO RI.doc: 19968 bytes, checksum: 805d9ae89e222f6777cd4bbe85acf5fd (MD5) Previous issue date: 2015 / This work aims to help students and high school teachers to improve their math skills in complex numbers, polynomials and polynomial equations. Initially it analysed the historical context of complex numbers then were seen some important concepts such as the body of complex numbers, imaginary unit and complex plane. In addition, the properties and basic operations of the polynomials were presented, the Briot-Ruffini device, through which we can get the quotient and remainder of the division of a polynomial p(x) by a linear polynomial. Significant part of this work was devoted to the study of algebraic equations. In this perspective, were discussed some theorems and methods of resolution of equations such as the method of Gustavo, who helps us in the resolution of equations of the third and fourth degrees, the theorem of rational roots, among others. For both, it was essential to prove the Fundamental Theorem of Algebra, which says that all polynomial not constant with complex coeficients has at least one complex root. Furthermore, we show how we can analyze the number of real roots of a polynomial equation with real coeficients. In this sense, we will prove the Theorem of Descartes, which says that the number of positive roots of an equation does not exceed the number of signal changes following its non-zero coeficients. We prove the theorem of Bolzano, which investigates the number of real roots of an equation in a real interval and finally the theorem of Lagrange the establishes an upper limit on roots of an equation. / Este trabalho visa contribuir para que alunos e professores do ensino médio possam aprimorar seus conhecimentos matemáticos em números complexos, polinômios e equações polinomiais. Inicialmente foi analisado o contexto histórico dos números complexos, em seguida foram vistos alguns conceitos importantes como o de corpo dos números complexos, unidade imaginária e plano complexo. Além disso, foram apresentadas as propriedades e operações básicas dos polinômios, o dispositivo de Briot-Ruffini, através do qual podemos obter o quociente e o resto da divisão de um polinômio p(x) por um polinômio linear. Parte significativa deste trabalho foi dedicado ao estudo de equações algébricas. Nessa perspectiva, foram discutidos alguns teoremas e métodos resolutivos de equações como o método de Gustavo, que nos auxilia na resolução de equações do terceiro e do quarto graus, o teorema das raízes racionais, entre outros. Para tanto, foi essencial provar o Teorema Fundamental da Álgebra, que afirma que todo polinômio não constante com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa. Ademais, mostramos como podemos analisar o número de raízes reais de uma equação polinomial com coeficientes reais. Nesse sentido, provamos o Teorema de Descartes, que diz que o número de raízes positivas de uma equação não supera o número de mudanças de sinal na sequência dos seus coeficientes não nulos. Provamos também o Teorema de Bolzano, que investiga o número de raízes reais de uma equação num intervalo real e, finalmente, o Teorema de Lagrange que estabelece um limite superior das raízes reais de uma equação.

Made available in DSpace on 2015-09-17T15:26:05Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-04-27. Added 1 bitstream(s) on 2015-09-17T15:46:09Z : No. of bitstreams: 1 000845912.pdf: 356492 bytes, checksum: 05a7ca59d098faa3ec0da55c140971c4 (MD5) / A divisibilidade é um assunto em Matemática que, quando apresentado aos alunos do Ensino Fundamental, e também do Ensino Médio, pode ser considerada difícil para um grande número deles. As dificuldades geralmente ocorrem por falta de domínio de pré-requisitos e até por criarem uma espécie de barreira sobre o tema. Assim, este trabalho tem por objetivo apresentar uma regra geral e simplificada para estabelecer critérios de divisibilidade para números primos naturais maiores ou iguais a 7. Critérios de divisibilidade são regras que permitem determinar a divisibilidade dos números sem a necessidade de efetuar longos processos de divisão. Particularmente, estudamos o critério de divisibilidade por 7, por ser o maior número primo de um algarismo e muito pouco explorado nos materiais didáticos da Rede Oficial de Ensino do Estado de São Paulo / Divisibility is a subject in mathematics that, when presented to students of elementary school or even also of high school, can be considered difficult for a large number of them. The difficulties often occur for lack of prerequisites knowledge and even by creating a kind of barrier on the subject. This work aims to present a general and simplified rule to establish divisibility criteria for natural primes greater or equal to 7. Divisibility criteria are rules for determining divisibility of numbers without the need to perform long division processes. In particular, we study the criterion of divisibility by 7, the largest prime number of one digit and very little explored in teaching materials of the Official Network of São Paulo State Education

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:02Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-08-15Bitstream added on 2014-06-13T18:47:22Z : No. of bitstreams: 1 santos_gv_me_rcla.pdf: 705173 bytes, checksum: 8a6ce4d002790bed3a8a649c1bd1cb3e (MD5) / Nesta pesquisa, exploramos um número especial para aqueles que admiram a Matemática. Ele é chamado de número de ouro, proporção áurea ou número Ф. O primeiro registro escrito desse número na história da matemática aparece no livro Os Elementos VI , de Euclides (século VI a.C). Originalmente, o problema era dividir um segmento em extrema e média razão. Desde então, uma série de outros problemas e resultados com este número foram aparecendo. Demos atenção especial para a seqüência de Fibonacci, fascinante porque seus elementos são apenas números inteiros, mas produzem o número irracional Ф. Mostramos que alguns resultados obtidos com Ф são propriedades características de certos números do anel dos inteiros quadráticos O(m), conjunto ao qual ele pertence / This research we explored a special number for those who admire Mathematics. It is called the gold number, golden ratio or number Ф. The first record of its occurrence in the history of mathematics appears in the Euclid’s Elements - Book VI . Originally, the problem was to divide a segment in extreme and average ratio. Since then, a lot of number of other problems and studies with this number were developed. We gave special attention to the Fibonacci sequence, fascinating because its elements are just integer numbers, but produce the irrational number Ф. We demonstrate that many results obtained with Ф are characteristic properties of some numbers of quadratic ring of integers O(m), set to which ф belongs

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Submitted by Fernanda Percia França (fernandafranca@bce.unb.br) on 2016-07-07T20:49:35Z No. of bitstreams: 1 2016_SusianeBezerraCaixeta.pdf: 643998 bytes, checksum: 07d398db307ed1fb444bd4ba0b09f637 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2016-08-03T22:08:29Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_SusianeBezerraCaixeta.pdf: 643998 bytes, checksum: 07d398db307ed1fb444bd4ba0b09f637 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-03T22:08:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_SusianeBezerraCaixeta.pdf: 643998 bytes, checksum: 07d398db307ed1fb444bd4ba0b09f637 (MD5) / O Algoritmo da divisão de Euclides, bem como todos os conteúdos matemáticos apresentados na Educação Básica, devem ser lecionados de forma contextualizada. Isso favorece o estudante, de forma que o mesmo tenha um aprendizado mais eficiente. Esta dissertação visa fundamentar teoricamente a parte matemática necessária para a discussão, aperfeiçoando o conhecimento matemático do professor no assunto e favorecendo a sua formação continuada. Para isso, serão construídos o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros, além de discorrer sobre divisibilidade. Todos esses tópicos serão compostos de uma linguagem matemática formal. Além disso, esta dissertação propõe atividades que relacionem situaçõesproblema do cotidiano com o tema, de forma que os estudantes possam descobrir por meio de discussões em grupo a resolução dos mesmos. Dessa forma, são propostas atividades que seguem uma tendência metodológica de ensino-aprendizagem em educação matemática conhecida como resolução de problemas. _______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Euclid's division Algorithm as well as all mathematical content presented in basic education should be taught in context. This favors the student, so that it has a more e-cient learning. This work aims to present the theory involved in the discussion of the Euclid's algorithm, in other to give support to Mathematic teachers of fundamental school to improve their knowledge about the integer numbers. For this, we present the formal construction of the natural numbers and integer numbers and a formal proof of Euclid's division algoritm. In this dissertation, we also aim to propose activities that contextualize the theme in everyday situations, so that teachers can motivate the students to discuss some everyday problems involving Euclid's algorithm, working in groups. The activities follow a methodological tendency in math education known as problem solving.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Submitted by Fernanda Percia França (fernandafranca@bce.unb.br) on 2016-07-21T19:58:46Z No. of bitstreams: 1 2016_JoãoMárioNepomucenoAragãoeSilva.pdf: 1155106 bytes, checksum: 19f615a6c0dd367e6d9077e8cfe93f35 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2016-08-19T13:01:39Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_JoãoMárioNepomucenoAragãoeSilva.pdf: 1155106 bytes, checksum: 19f615a6c0dd367e6d9077e8cfe93f35 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-19T13:01:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_JoãoMárioNepomucenoAragãoeSilva.pdf: 1155106 bytes, checksum: 19f615a6c0dd367e6d9077e8cfe93f35 (MD5) / As primeiras ideias que motivaram o surgimento do conjunto dos números complexos apareceram no século XVI, com o trabalho sistemático dos matemáticos da Itália renascentista em busca de uma fórmula que solucionasse definitivamente as equações do terceiro grau. Desde então levou-se cerca de três séculos para que grandes matemáticos vencessem os obstáculos que impediam a aceitação dessa nova forma de número, e para que fosse definido um novo conjunto cuja raiz quadrada de um número negativo não fosse tomada como um elemento absurdo. Nesse trabalho serão abordadas as concepções básicas de um número complexo, a definição do conjunto e as representações (algébrica, trigonométrica e de Euler) de seus elementos, junto às operações definidas e a interpretação geométrica de cada uma delas. _______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The first ideas that stimulated the appearance of the complex numbers came on the 16th century with the systematic work of the Renaissance Italy’s mathematicians looking for a formula to solve permanently the third degree equations. Since then it took about three centuries to great mathematicians solve the obstacles about the acceptance of this new number form, and to define a new set where the square root of a negative number could not be taken as an absurd element. In this paper it will be discuss the basic concepts of a complex number, the definition of the set and representations (algebraic, trigonometric and Euler) of their elements, united with the defined operations and the geometric interpretation of each one of those.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Camila Duarte (camiladias@bce.unb.br) on 2017-02-01T13:15:49Z No. of bitstreams: 1 2016_JosimarJoãoRamirezAguirre.pdf: 628078 bytes, checksum: ddafd1d0b70b44f332a33f3bf52d288a (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2017-02-19T19:41:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_JosimarJoãoRamirezAguirre.pdf: 628078 bytes, checksum: ddafd1d0b70b44f332a33f3bf52d288a (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-19T19:41:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_JosimarJoãoRamirezAguirre.pdf: 628078 bytes, checksum: ddafd1d0b70b44f332a33f3bf52d288a (MD5) / Neste trabalho de doutorado, apresentamos diversos resultados sobre o comportamento aritmético de funçõees transcendentes. Kurt Mahler foi um dos mais interessados em estudar esse tipo de problema. No seu livro de 1976, ele prop^os algumas questoes que se tornaram de grande interesse em teoria transcendente dos números. Vamos apresentar a solução para um dos problemas que e relacionado a conjuntos excepcionais, bem como nossos avanços para outra pergunta relacionada aos números de Liouville. / In this doctoral thesis, we shall present many results about the arithmetic behavior of transcendental functions. Kurt Mahler was one of the most interested in this kind of problems. In his 1976 book, he raised some questions which became of wide interest in transcendental number theory. In this work, we shall present the solution for one of these problems which is related to exceptional sets as well our progress about another question concerning Liouville numbers.

Orientador: Carina Alves / Banca: Marta Cilene Gadotti / Banca: Antonio Aparecido de Andrade / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior. / Resumo: Nesta pesquisa, exploramos um número especial para aqueles que admiram a Matemática. Ele é chamado de número de ouro, proporção áurea ou número Ф. O primeiro registro escrito desse número na história da matemática aparece no livro Os Elementos VI , de Euclides (século VI a.C). Originalmente, o problema era dividir um segmento em extrema e média razão. Desde então, uma série de outros problemas e resultados com este número foram aparecendo. Demos atenção especial para a seqüência de Fibonacci, fascinante porque seus elementos são apenas números inteiros, mas produzem o número irracional Ф. Mostramos que alguns resultados obtidos com Ф são propriedades características de certos números do anel dos inteiros quadráticos O(m), conjunto ao qual ele pertence / Abstract: This research we explored a special number for those who admire Mathematics. It is called the gold number, golden ratio or number Ф. The first record of its occurrence in the history of mathematics appears in the Euclid's Elements - Book VI . Originally, the problem was to divide a segment in extreme and average ratio. Since then, a lot of number of other problems and studies with this number were developed. We gave special attention to the Fibonacci sequence, fascinating because its elements are just integer numbers, but produce the irrational number Ф. We demonstrate that many results obtained with Ф are characteristic properties of some numbers of quadratic ring of integers O(m), set to which ф belongs / Mestre