A área conhecida como Análise Não Standard consiste na aplicação dos métodos da Teoria dos Modelos e da Teoria dos Ultrafiltros para a obtenção de extensões peculiares de sistemas matemáticos infinitos. As novas estruturas construídas segundo esse procedimento satisfazem ao Princípio da Transferência, uma propriedade de suma importância e influência a qual afirma que as mesmas sentenças de primeira ordem com quantificadores limitados são verdadeiras para o sistema original e a sua extensão. Concebida em 1961 por Abraham Robinson e aprimorada por vários matemáticos nos anos subsequentes, tal área de pesquisa provou ser bastante proveitosa e esclarecedora para diversas outras partes da Matemática, como a Topologia, a Teoria das Probabilidades, a Análise Funcional e a Análise Complexa. Manifesta-se uma reavaliação da Teoria dos Domínios Ordenados seguida de um tratamento completo e gradual das fundações da Análise Não Standard assumindo a perspectiva dos Monomorfismos Não Standard, onde adota-se como metateoria a teoria dos conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel com o Axioma da Escolha. A fim de impulsionar a assimilação da metodologia abordada, o estudo explora as propriedades do corpo não arquimediano dos números hiper-reais de maneira intuitiva e informal, utilizando-se destas para revelar demonstrações alternativas e relativamente diretas de alguns dos principais resultados do Cálculo Diferencial e Integral, como o Teorema do Valor Intermediário, o Teorema de Bolzano-Weierstrass, o Teorema do Ponto Crítico, o Teorema da Função Inversa e o Teorema Fundamental do Cálculo. / The field known as Non-standard Analysis consists in the application of the methods of Model Theory and Ultrafilter Theory to the attainment of peculiar extensions of infinite mathematical systems. The new structures produced under that procedure satisfy the Transfer Principle, a property of the utmost importance and influence which states that the same first-order sentences with bounded quantifiers are true for the original system and its extension. Conceived in 1961 by Abraham Robinson and improved by a number of mathematicians in the following years, such area of research has proved to be very fruitful and illuminating to many other parts of Mathematics, such as Topology, Probability Theory, Functional Analysis and Complex Analysis. The work presents a reexamination of the Theory of Ordered Domains followed by a thorough and gradual treatment of the foundations of Non-standard Analysis under the perspective of Non-standard Monomorphisms, where Neumann-Bernays-Gödels set theory with the Axiom of Choice is adopted as metatheory. In order to boost the assimilation of the methodology put forward, the study explores the properties of the non-archimedean field of hyperreal numbers in an intuitive and informal fashion, employing them to reveal alternative and relatively direct proofs of some of the main results of Differential and Integral Calculus, such as the Intermediate Value Theorem, the Bolzano-Weierstrass Theorem, the Extreme Value Theorem, the Inverse Function Theorem and the Fundamental Theorem of Calculus.

No mercado financeiro, a precificação de contratos complexos muitas vezes apoia-se em técnicas de simulação numérica. Estes métodos de precificação geralmente apresentam baixo desempenho devido ao grande custo computacional envolvido, o que dificulta a análise e a tomada de decisão por parte do trader. O objetivo deste trabalho é apresentar uma ferramenta de alto desempenho para a precificação de instrumentos financeiros baseados em simulações numéricas. A proposta é construir uma calculadora eficiente para a precificação de opções multivariadas baseada no método de Monte Carlo, utilizando a plataforma CUDA de programação paralela. Serão apresentados os conceitos matemáticos que embasam a precificação risco-neutra, tanto no contexto univariado quanto no multivariado. Após isso entraremos em detalhes sobre a implementação da simulação Monte Carlo e a arquitetura envolvida na plataforma CUDA. No final, apresentaremos os resultados obtidos comparando o tempo de execução dos algoritmos. / In the financial market, the pricing of complex contracts often relies on numerical simulation techniques. These pricing methods generally present poor performance due to the large computational cost involved, which makes it difficult for the trader to analyze and make decisions. The objective of this work is to present a high performance tool for the pricing of financial instruments based on numerical simulations. The proposal is to present an efficient calculator for the pricing of multivariate options based on the Monte Carlo method, using the parallel programming CUDA platform. The mathematical concepts underlying risk-neutral pricing, both in the univariate and in the multivariate context, will be presented. After this we will detail the implementation of the Monte Carlo simulation and the architecture involved in the CUDA platform. At the end, we will present the results obtained comparing the execution time of the algorithms.

Este trabalho analisou o impacto da Matemática Moderna (MM) nos livros didáticos de matemática durante o Movimento da Matemática Moderna (MMM) no Brasil, tomando como fonte alguns livros didáticos de matemática editados no período de 1950 a 1960, antes do advento do MMM, na década de 1960, onde o MMM encontrou o seu ápice, e na década de 1970, época de seu declínio. Os autores estudados foram Ary Quintela, Osvaldo Sangiorgi, Carlos Galante, Osvaldo Marcondes dos Santos, e Miguel Assis Name. Nos períodos considerados, acompanhamos como foram apresentados os números naturais e, paralelamente, as mudanças editoriais, conceituais e de legislação envolvidas no processo. Constatamos que as maiores mudanças nos livros de alguns autores foram a introdução do ensino de teoria dos conjuntos e estruturas matemáticas no trato dos números naturais. Além disso, uma série de mudanças editoriais foram observadas nos livros de todos autores, como o uso de um número maior de imagens, cores, e exercícios. Nesse sentido, a introdução da teoria de conjuntos e de todo esse aparato gráfico são, sem dúvida nenhuma, inovações do período que não podem ser vistas de maneira separadas. Ao contrário, são complementares. / We analyse the impact of Modern Mathematics (MM) in textbooks of mathematics along the Modern Mathematics Movement (MMM) in Brazil, considering as main sources some mathematical textbooks edited in the 1950\'s, before the MMM\'s advent, in the 1960\'s, the climax of the MMM in Brazil, and the 1970\'s, when the movement faces a serious decline. The authors considered here were Ary Quintela, Osvaldo Sangiorgi, Carlos Galante, Osvaldo Marcondes dos Santos, e Miguel Assis Name. In these periods, we analysed the insertion of the natural numbers in the textbooks concurrently with both editorial, conceptual and laws changes. We identified the introduction of the set theory and some mathematical structures as the major change in the subject. Yet, many editorial changes were observed as the increase of colors, images and exercises. In this sense, the introduction of both the set theory and all these graphical artifacts are innovations of the period which can not be undoubtedly analysed in a separated way. On the contrary, they are complementary phenoms.

Nessa dissertação exploramos os efeitos geométricos das Transformações de Möbius em C utilizando projeções na Esfera de Riemann. Como aplicação, apresentamos a ação de algumas transformações aplicadas em cônicas no plano. Uma atividade didática voltada aos alunos do Ensino Médio sobre Transformações de Möbius utilizando o Geogebra é apresentada. / In the course of this dissertation we explore the geometric effects of the Möbius Transforms in C using projections in the Riemann sphere. As an application, we present the action of some transformations applied on conics in the plane. A didactic activity aimed at high school students about Möbius Transformations using Geogebra is presented.

Submitted by Filipe dos Santos (fsantos@pucsp.br) on 2018-07-27T13:29:56Z No. of bitstreams: 1 Aline Tafarelo Tracanella.pdf: 2762008 bytes, checksum: a0ecbfb9e128d24bccdf1a07c2c5e734 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-27T13:29:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Aline Tafarelo Tracanella.pdf: 2762008 bytes, checksum: a0ecbfb9e128d24bccdf1a07c2c5e734 (MD5) Previous issue date: 2018-05-09 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / As soon as children begin their school life, they already carry with them an idea about the numbers and operation of the Decimal Number System (DNS). However, this knowledge need to be systematized, extended and deepened appropriately in order to assist in the construction of other mathematical concepts. Given this problem, the present research aims to investigate the mobilized knowledge of the positional value in the DNS and the understanding of the characteristics of number zero in the same system by students of the fourth year of Elementary School. Therefore, it is done a brief historical context to rescue how the development of this kind of knowledge by ancient people has developed over time. As theoretical contributions, it is used the researches of Piaget & Szeminska, and of Kamii on the constructions of the number concept by the students. Regarding to the acquisition of the properties of the DNS, it is discussed the researches of Fayol, Lerner & Sadovsky as well as Zunino, who also studies the issue of the number zero in this system. To achieve the research objective, it is adopted the qualitative methodology, since the focus of it is on the mobilized knowledge by the students in the search for a solution to proposed activities. It was also developed an instrument with six exercises involving the positional value and the number zero, based on the proposed sequence in the Brandt version. One week after an application of the instrument, it was conducted a semistructured interview, which was of very important to understand the answers provided by the students. In the analysis and discussion of the obtained data, it is understand that the students mobilized knowledge about the numerical sequence and the criteria of comparison pointed out by Lerner & Sadovsky. In addition to these mobilized knowledge, the participants also used the contextualization of activities to justify their responses, using a comparison with everyday situations, such as, for example, age observation among children. Regarding the number zero, it was analyzed the meanings attributed to this number by the students during interviews. During the research phases, all students stated that zero “worth nothing”, but they have provided justifications that meet the historical facts pointed out in the brief contextualization carried out in the third chapter of the research. It is also noted that the participants are building their knowledge about DNS, presenting an unstable knowledge that changes according to the question asked regarding the proposed situation. The results found in this research indicate that the work with DNS needs to be continuous throughout the initial years of Elementary School, as the students continue to build their knowledge about DNS and expand their understanding of the number zero in the years after the literacy cycle / Assim que as crianças iniciam sua vida escolar, já carregam consigo alguma ideia sobre os números e sobre o funcionamento do Sistema de Numeração Decimal (SND). Todavia esses conhecimentos precisam ser sistematizados, ampliados e aprofundados adequadamente, para auxiliar na construção de outros conceitos matemáticos. Diante dessa problemática, a presente pesquisa tem por objetivo investigar que conhecimentos são mobilizados por alunos do quarto ano do Ensino Fundamental acerca do valor posicional no SND e sobre a compreensão do número zero nesse mesmo sistema. Para isso, buscamos em uma breve contextualização histórica resgatar como se deu o desenvolvimento desses saberes por povos antigos no decorrer do tempo. Como aportes teóricos, nos baseamos nas pesquisas de Piaget e Szeminska e de Kamii sobre a construção do conceito de número pelos alunos. Com relação à aquisição das propriedades do SND, discorremos sobre as pesquisas de Fayol e de Lerner e Sadovsky, bem como de Zunino, que aborda também a questão do número zero nesse sistema. Para atender ao objetivo da pesquisa, adotamos a metodologia de cunho qualitativo, pois o foco da investigação está nos conhecimentos mobilizados pelos educandos na busca por uma solução para as atividades propostas. Elaboramos um instrumento com seis exercícios envolvendo o valor posicional e o número zero, baseado na sequência proposta na tese de Brandt. Uma semana após a aplicação do instrumento, realizamos uma entrevista semiestruturada, que foi de suma importância para compreender com maior clareza as respostas fornecidas pelos alunos. Na análise e discussão dos dados obtidos, compreendemos que os estudantes mobilizaram conhecimentos acerca da sequência numérica e dos critérios de comparação apontados por Lerner e Sadovsky. Além desses conhecimentos mobilizados, os participantes também recorreram à contextualização das atividades para justificar suas respostas, usando a comparação com situações cotidianas, como, por exemplo, a observação da idade entre crianças. Com relação ao número zero, analisamos os significados atribuídos a esse número pelos alunos durante as entrevistas. Durante as fases da pesquisa, todos os educandos afirmaram que o zero “não vale nada”, mas trouxeram justificativas que vão ao encontro dos fatos histórico apontados na breve contextualização realizada no primeiro capítulo da investigação. Notamos também que os participantes estão construindo seus conhecimentos acerca do SND, apresentando um conhecimento não estável, ou seja, que se altera de acordo com a pergunta feita referente à situação proposta. Os resultados encontrados nessa pesquisa apontam que o trabalho com o SND precisa ser contínuo, durante todos os anos iniciais do Ensino Fundamental, pois os alunos continuam construindo seus conhecimentos acerca do SND e ampliando sua compreensão sobre o número zero nos anos posteriores ao ciclo de alfabetização

O objetivo desse trabalho foi estudar os métodos de determinação e de estimativa dos teores de fibra da cana-de-açúcar (Saccharum spp.) e de açúcares redutores no caldo de cana, análises de fundamental importância para o cálculo do teor de açúcar total recuperável (ATR), que é o parâmetro que rege o sistema atual de pagamento de cana do CONSECANA. Quanto ao teor de fibra da cana, foi desenvolvido um novo método, modificado do método original da prensa hidráulica, com o objetivo de corrigir o erro decorrente do uso do brix do caldo extraído como estimativa do teor de sólidos solúveis do caldo não extraído na prensagem (caldo residual no bagaço). Esse novo método diferiu significativamente do original, porém correlacionou-se muito bem com este, devido ao fato do brix do caldo extraído no final da prensagem (valor empregado no método modificado) correlacionar-se, com ajuste excelente, com o brix do caldo extraído em toda a prensagem (valor empregado no método original). Por isso, mesmo quando não é feita a medida do brix do caldo extraído no final da prensagem, é possível obter um valor de fibra mais próximo do real através de uma equação de regressão linear que correlaciona o método modificado com o original. Foram também testadas as correlações do teor de fibra da cana com o peso do bolo úmido (PBU) resultante da prensagem, a 250 kgf/cm2, de 500 g de cana desfibrada e homogeneizada; e as correlações do teor de fibra da cana com brix, pol, pureza e AR do caldo. Os parâmetros que melhor se correlacionaram com o teor de fibra da cana foram o brix e a pol do caldo; e os que apresentaram correlação mais fraca foram AR do caldo e PBU. Foram testados também, por regressão linear, os vários métodos possíveis de serem usados para estimativa do teor de fibra da cana. Entre as equações que correlacionam fibra com PBU (atual e antiga do CONSECANA, e a equação elaborada com os dados deste trabalho), a que melhor estimou o teor de fibra da cana foi a equação atual do CONSECANA. Foram testadas as correlações do teor de AR do caldo com pol, brix, pureza e com a diferença brix - pol do caldo, sendo que o parâmetro que melhor se correlacionou com AR foi a pureza, ratificando a metodologia atual do CONSECANA, que emprega esse parâmetro nas suas equações para estimativa do teor de AR no caldo. Entre as equações do CONSECANA, a antiga forneceu uma estimativa do teor de AR bem mais exata do que a equação atual, a qual subestimou-os. No que tange ao teor de fibra, a possibilidade de estimá-lo com base em brix ou em pol resulta na possibilidade de se tabelar o teor de ATR na cana em função do brix ou da pol, atendendo à grande demanda dos fornecedores de cana pela maior simplicidade no sistema de pagamento. / The objective of the present work was to study the methods of determination and estimation of fiber in sugarcane (Saccharum spp.) and reducing sugars (RS) in sugarcane juice. These are the most important analyses to calculate the Recoverable Total Sugar (RTS) which is the parameter that conducts the current system for sugarcane payment of the CONSECANA. Concerning the fiber content of sugarcane, a new method, modified from the original method of the hydraulical press, was developed with the objective of correcting the error resultant of the use of the brix of the extracted juice to estimate the content of soluble solids of the juice not extracted during the pressing (residual juice in the bagasse). This new method differed significantly from the original one. However it presented an accurate correlation with the original method because the brix of the juice extracted at the end of pressing (value took in account in the modified method) presented an excellent adjust of correlation with the brix of the juice extracted during the whole pressing (value took in account in the original method). So, even when the brix of the juice extracted at the end of pressing is not measured, it is possible to get a value of fiber content representative of the real one using an equation of linear regression that correlates the method modified with the original one. Correlations between sugarcane fiber and residual bagasse weight (RBW) resultant of pressing, at 250 kgf/cm2, 500 g of sugarcane sample prepared according to the CONSECANA procedures were tested. Correlations between sugarcane fiber and brix, pol, purity or AR of the sugarcane juice were also tested. The parameters that presented the best correlation with sugarcane fiber were brix and pol of sugarcane juice. The parameters RS and RBW did not present good adjusts of correlation with fiber. Using linear regression analyses some possible methods of estimation of fiber content were tested. Among the equations correlating fiber with RBW (CONSECANA’s current and precedent, and the equation elaborated based on the data of this work), the one that best estimated the sugarcane fiber was the CONSECANA’s current one. Correlations between RS and pol, brix, purity or the difference brix - pol, were also analysed. The parameter that presented the best correlation with RS was purity of sugarcane juice, which is the parameter of CONSECANA’s equation to estimate the RS content in sugarcane juice. CONSECANA’s precedent equation presented a more accurate estimation of RS content than the equation currently in use. CONSECANA’s current equation underestimated the values of RS. As regarding to fiber content, the possibility of estimating it based on brix or pol might result in tables of correlation between RTS and brix or pol. This would simplify the system for sugarcane payment and so satisfy the sugarcane suppliers.

Nessa dissertação exploramos os efeitos geométricos das Transformações de Möbius em C utilizando projeções na Esfera de Riemann. Como aplicação, apresentamos a ação de algumas transformações aplicadas em cônicas no plano. Uma atividade didática voltada aos alunos do Ensino Médio sobre Transformações de Möbius utilizando o Geogebra é apresentada. / In the course of this dissertation we explore the geometric effects of the Möbius Transforms in C using projections in the Riemann sphere. As an application, we present the action of some transformations applied on conics in the plane. A didactic activity aimed at high school students about Möbius Transformations using Geogebra is presented.

A área conhecida como Análise Não Standard consiste na aplicação dos métodos da Teoria dos Modelos e da Teoria dos Ultrafiltros para a obtenção de extensões peculiares de sistemas matemáticos infinitos. As novas estruturas construídas segundo esse procedimento satisfazem ao Princípio da Transferência, uma propriedade de suma importância e influência a qual afirma que as mesmas sentenças de primeira ordem com quantificadores limitados são verdadeiras para o sistema original e a sua extensão. Concebida em 1961 por Abraham Robinson e aprimorada por vários matemáticos nos anos subsequentes, tal área de pesquisa provou ser bastante proveitosa e esclarecedora para diversas outras partes da Matemática, como a Topologia, a Teoria das Probabilidades, a Análise Funcional e a Análise Complexa. Manifesta-se uma reavaliação da Teoria dos Domínios Ordenados seguida de um tratamento completo e gradual das fundações da Análise Não Standard assumindo a perspectiva dos Monomorfismos Não Standard, onde adota-se como metateoria a teoria dos conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel com o Axioma da Escolha. A fim de impulsionar a assimilação da metodologia abordada, o estudo explora as propriedades do corpo não arquimediano dos números hiper-reais de maneira intuitiva e informal, utilizando-se destas para revelar demonstrações alternativas e relativamente diretas de alguns dos principais resultados do Cálculo Diferencial e Integral, como o Teorema do Valor Intermediário, o Teorema de Bolzano-Weierstrass, o Teorema do Ponto Crítico, o Teorema da Função Inversa e o Teorema Fundamental do Cálculo. / The field known as Non-standard Analysis consists in the application of the methods of Model Theory and Ultrafilter Theory to the attainment of peculiar extensions of infinite mathematical systems. The new structures produced under that procedure satisfy the Transfer Principle, a property of the utmost importance and influence which states that the same first-order sentences with bounded quantifiers are true for the original system and its extension. Conceived in 1961 by Abraham Robinson and improved by a number of mathematicians in the following years, such area of research has proved to be very fruitful and illuminating to many other parts of Mathematics, such as Topology, Probability Theory, Functional Analysis and Complex Analysis. The work presents a reexamination of the Theory of Ordered Domains followed by a thorough and gradual treatment of the foundations of Non-standard Analysis under the perspective of Non-standard Monomorphisms, where Neumann-Bernays-Gödels set theory with the Axiom of Choice is adopted as metatheory. In order to boost the assimilation of the methodology put forward, the study explores the properties of the non-archimedean field of hyperreal numbers in an intuitive and informal fashion, employing them to reveal alternative and relatively direct proofs of some of the main results of Differential and Integral Calculus, such as the Intermediate Value Theorem, the Bolzano-Weierstrass Theorem, the Extreme Value Theorem, the Inverse Function Theorem and the Fundamental Theorem of Calculus.

Submitted by Angela Maria de Oliveira (amolivei@uepg.br) on 2018-11-29T18:07:06Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Maikon Luiz.pdf: 959643 bytes, checksum: aaf472f5b8a9a29532793d01234788a9 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-11-29T18:07:06Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Maikon Luiz.pdf: 959643 bytes, checksum: aaf472f5b8a9a29532793d01234788a9 (MD5) Previous issue date: 2018-10-19 / Neste trabalho,estudamos os números e os polinomios de Bernoulli,bem como algumas de suas aplicações mais importantes em Teoria dos Números. Com base em uma caracterização ao simples, os polinômios de Bernoulli são introduzidos e, posteriormente, os números de Bernoulli. As séries de Fourier dos polinomios de Bernoulli são utilizadas na demonstração da equação funcional da função teta. Esta equação, por sua vez, é utilizada na demonstração da celebre equação funcional da função zeta, que tem importância central na teoria da distribuição dos números primos. Além das conexões com a funções especiais zeta e teta, discutimos também, em detalhe,conexões entre os números e os polinomios de Bernoulli com a função gama. Essas relações são então exploradas para produzir belas fórmulas para certos valores da função zeta, entre outras aplicações. / In this work we study Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials, as well as some of its most important applications in Number Theory. Based on a simple characterization, the Bernoulli polynomials are introduced and, later, the Bernoulli numbers. The Fourier series of the Bernoulli polynomials are used to demonstrate the functional equation of the theta function. This equation, in turn, is used in the proof of the famous functional equation of the zeta function, which is central to the theory of prime number distribution. In addition to the connections with the special functions zeta and theta, we also discuss, in detail, connections between the Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials with the gamma function. These relations are then explored to produce beautiful formulas for certain values of the zeta function,among other applications.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:56:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Joice DAlmeida.pdf: 3241823 bytes, checksum: a8924fcb87b7c723dfad1184f181afc5 (MD5) Previous issue date: 2010-08-25 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / This work presents a qualitative research whose goal is to investigate how its approach to the issue of divisibility and other matters of Elementary Theory Numbers in the Collection of Professor of Mathematics at the 8th grade, distributed by the Department of State Education São Paulo, in the 2008 and 2009 years. The relevance of studies involving the Elementary Theory of Numbers is the fact that this is a field ripe for the introduction and development of fundamental mathematical ideas, and to chance the solidification of mathematical thinking. To achieve this purpose, I use ideas for methodological content analysis described by Bardin (2009) and consider like essential topics of the Elementary Theory of Numbers to be studied in Primary Education those listed by Resende (2007) in his thesis. The analysis of the material indicate the presence of activities that promote the study of the issue of severability, and other topics in the Elementary Theory of Numbers, featuring the same way, innovative approaches to develop some content / O presente trabalho traz uma pesquisa qualitativa, cujo objetivo foi investigar como a abordagem dada à questão da divisibilidade e a outros temas da Teoria Elementar dos Números, nos Cadernos do Professor de Matemática da 7ª série (8º ano), distribuídos pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, nos anos de 2008 e 2009. A relevância de estudos envolvendo a Teoria Elementar dos Números repousa no fato deste ser um campo propício para a introdução e desenvolvimento de ideias matemáticas fundamentais, além de oportunizar a solidificação do pensamento matemático. Para atingir o objetivo proposto, são utilizadas as ideias metodológicas para análise de conteúdo descrita por Bardin (2009), considero como tópicos essenciais da Teoria Elementar dos Números a serem estudados no Ensino Básico aqueles listados por Resende (2007) em sua tese. As análises do material indicam a presença de atividades que favorecem o estudo da questão da divisibilidade e de outros tópicos da Teoria Elementar dos Números, apresentando, da mesma forma, abordagens inovadoras para o desenvolvimento de alguns conteúdos