On s'intéresse à la théorie spectrale d'opérateurs semi-classiques non auto-adjoints en dimension un et plus précisément aux développements asymptotiques des valeurs propres. Ces derniers font intervenir des objets géométriques issus de la mécanique classique dans l'espace des phases complexifié et correspondent à une généralisation des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld au cadre non auto-adjoint. Plus précisément, dans un premier temps, on étudie le spectre de perturbations non auto-adjointes d'opérateurs pseudo-différentiels auto-adjoints en dimension un à l'aide de techniques d'analyse microlocale analytique et en corollaire, on établit que pour des perturbations PT-symétriques d'opérateurs auto-adjoints, le spectre est réel. Ensuite, on présente des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld pour des perturbations non auto-adjointes d'opérateurs de Berezin-Toeplitz du plan complexe auto-adjoints. Dans un second temps, on s'intéresse aux différentes quantifications du tore et plus précisément à la quantification de Berezin-Toeplitz du tore, à la quantification de Weyl classique du tore et à la quantification de Weyl complexe du tore. On établit des liens entre ces différentes quantifications notamment grâce à la transformée de Bargmann, puis à l'aide de simulations numériques, on met en évidence une conjecture sur des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld pour des perturbations non auto-adjointes d'opérateurs de Berezin-Toeplitz du tore auto-adjoints. / We interest ourselves in the spectral theory of non self-adjoint semi-classical operators in dimension one and in asymptotic expansions of eigenvalues. These expansions are written in terms of geometrical objects in a complex phase space coming from classical mechanics and correspond to a generalization of Bohr-Sommerfeld quantization conditions in the non self-adjoint case. First, we study non self-adjoint perturbations of self-adjoint pseudo-differential operators in dimension one by using techniques of analytic microlocal analysis. As a corollary, we establish for PT-symmetric perturbations of self-adjoint operators, that the spectrum is real. Then we show Bohr-Sommerfeld quantization conditions for non self-adjoint perturbations of self-adjoint Berezin-Toeplitz operators of the complex plane. In the second part, we look into quantizations of the torus, namely the Berezin-Toeplitz, the classical Weyl and the complex Weyl quantizations of the torus. We establish links between these different quantizations using Bargmann transform. We propose a conjecture, supported by numerical simulations, on Bohr-Sommerfeld quantization conditions for non self-adjoint perturbations of self-adjoint Berezin-Toeplitz operators of the torus.

Les travaux de cette thèse relèvent du domaine de la théorie des opérateurs, et se situent à l'interface de l'analyse complexe, de la théorie des semi-groupes et de la théorie de l'universalité. Le premier résultat principal de cette thèse relève de l'étude des opérateurs de composition sur des espaces de fonctions holomorphes : nous déterminons le spectre d'un opérateur de composition par un symbole de Koenigs sur l'espace des fonctions holomorphes sur le disque unité, et en déduisons des informations sur la forme générale du spectre des opérateurs de composition par un symbole de Koenigs sur des espaces de Banach de fonctions holomorphes. L'outil principal que nous développons pour notre étude est une description des projections spectrales associées à ces opérateurs. Le second résultat principal de cette thèse relève de la théorie de l'universalité : nous étendons aux semi-groupes d'opérateurs la notion d'opérateur universel, et établissons l'existence d'un semi-groupe universel pour les semi-groupes quasi-contractifs en exhibant un semi-groupe sur un espace de fonctions holomorphes. Nous élargissons ensuite ce résultats aux semi-groupes d'opérateurs concaves / The works in this thesis address topics from operator theory and involves ideas and notions arising from complex analysis, the theory of operator semigroups and the theory of universality. The first main result of this thesis relates to the study of composition operators on spaces of holomorphic functions: we compute the spectrum of an operator of composition by a Koenigs's symbol acting on the space of holomorphic functions on the open unit disk, and derive from it the general description of the spectrum of composition operators on Banach spaces of holomorphic functions. The key tool we develop in this study is a description of spectral projections associated with such operators.The second main result of this thesis relates to the thoery of universality: we extend to operator semigroups the notion of universality. Then, we prove the existence of a universal semigroup for quasi-contractive operators semigroups. We then show a similar result for concave semigroups

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'analyse harmonique et aux fonctions spéciales associées aux opérateurs de Dunkl rationnels qui sont des déformations des dérivées directionnelles par des réflexions. Ils fournissent un outil décisif pour étendre, dans le cadre des systèmes de racines et des groupes de réflexions associés, l'analyse de Fourier euclidienne et l'analyse sur les espaces symétriques riemanniens plats. Après avoir donné un panorama détaillé de la théorie de Dunkl, on étudie l'opérateur maximal défini dans ce contexte. On commence par apporter des améliorations sur le comportement des constantes du théorème maximal de Thangavelu et Xu pour un groupe de réflexions quelconque. On étend ensuite dans un cadre vectoriel leur théorème en établissant dans le cas Z_2^d des inégalités de Fefferman-Stein. Pour y parvenir et puisque les techniques d'analyse réelle ne se prêtent pas à cet opérateur maximal, on construit un opérateur de type Hardy-Littlewood plus commode à étudier. A cet effet, on donne une estimation fine de la translation généralisée de l'indicatrice d'une boule. Notre étude est ensuite consacrée à des résultats d'intégrabilité exponentielle qui complètent les inégalités de Fefferman-Stein, et à un théorème maximal vectoriel pour des hypergroupes de Bessel-Kingman. Enfin, on développe l'analyse de Dunkl dans le cas d'un sous-système positif de racines orthogonales. On y établit une formule explicite du noyau de Dunkl et une formule produit qui implique le caractère borné de la translation de Dunkl. Le cas particulier d'un système de type A_1 est étudié afin d'établir une égalité liant les fonctions de Bessel normalisées et les polynômes de Gegenbauer.

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Les travaux présentés dans cette habilitation sont articulés autour d'un thème fédérateur : interpolation. Le cas le plus classique consiste à déterminer la trace d'un ensemble de fonctions sur un sous ensemble du domaine de définition commun de notre ensemble de fonctions intial. En particulier les aspects suivants seront étudiés.<br /><br />1) Interpolation simple : interpolation des valeurs en des points ;<br /><br />2) Interpolation généralisée : p.ex. interpolation des dérivées, interpolation sur des points proches, interpolation tangentielle, etc. ;<br /><br />3) Interpolation classique : l'interpolation est définie à partir d'un espace des traces déterminé a priori ;<br /><br />4) Interpolation libre : l'interpolation est définie à partir d'une propriété de la trace (à savoir d'être un idéal d'ordre) ;<br /><br />5) Interpolation libre et fonctions extrémales : caractérisation de l'interpolation en termes de fonctions extrémales ;<br /><br />6) Interpolation libre et opérateurs de Toeplitz.<br /><br />Le dernier point nous éloignera un peu des problèmes d'interpolation. Même s'il existe un lien étroit entre les problèmes d'interpolation libre (en particulier dans les espaces de type Paley-Wiener ou plus généralement les espaces modèles, voir Section 4.1), nous allons nous intéresser de plus près à certaines propriétés des opérateurs de Toeplitz qui se révèlent importantes dans le contexte de l'interpolation. Cependant, notre étude sera menée détachée du contexte de l'interpolation. Ce sera l'occasion de rencontrer à nouveau des fonctions extrémales. Nous allons en effet étudier les fonctions extrémales des noyaux d'opérateurs de Toeplitz (supposés non triviaux). Celles-ci s'avèrent posséder beaucoup de propriétés intéressantes.<br /><br />Une remarque concernant les techniques utilisées. Les problèmes d'interpolation étant abordés dans des situations très variées (espaces de Hilbert et de Banach comme par exemple Bergman et Hardy, algèbres de Fréchet, et même des espaces vectoriels qui ne sont pas topologiques ; interpolation classique, libre et généralisée) nécessitent des méthodes très difféerentes. Par ailleurs, les problèmes connexes sont motivés par des problèmes d'interpolation mais ils sont considérés dans un contexte déconnecté de l'interpolation. Nous verrons ainsi de l'analyse complexe classique (espaces de Hardy, factorisation de Riesz-Nevanlinna, mesures de Carleson, majorantes harmoniques) et harmonique (toujours présente dans le contexte de l'interpolation et du sampling), de la géométrie des espaces de Banach (bases, bases inconditionnelles, espaces d'interpolation, indices de Boyd), de l'analyse fonctionnelle (principes variationnels, certains aspects topologiques) et convexe (Lemme de Minkowski-Farkas) en passant par la théorie des opérateurs (Théorème du relèvement du commutant, sous-espaces invariants), ainsi que de l'analyse complexe d'une et plusieurs variables (méthodes du d-bar) jusqu'aux espaces de de Branges-Rovnyak.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans le travail présenté dans cette thèse, nous proposons d'élargir les idées des opérateurs connexes à base d'arbres. Nous introduisons la notion d'espaces de formes à base d'arbres, construit à partir des représentations d'image à base d'arbres. De nombreuses méthodes de l'état de l'art, s'appuyant sur ces représentations d'images à base d'arbres, consistent à analyser cet espace de forme. Une première conséquence de ce changement de point de vue est notre proposition d'un détecteur de caractéristiques locales, appelé les « tree-based Morse regions » (TBMR). Cette approche peut être considérée comme une variante de la méthode des MSER. La sélection des TBMRs est basée sur des informations topologiques, et donc extrait les régions indépendamment du contraste, ce qui la rend vraiment invariante aux changements de contraste; de plus, la méthode peut être considérée sans paramètres. La précision et la robustesse de l'approche TBMR sont démontrées par le test de reproductibilité et par des applications au recalage d'image et à la reconstruction 3D, en comparaison des méthodes de l'état de l'art. L'idée de base de la proposition principale dans cette thèse est d'appliquer les opérateurs connexes à l'espace des formes. Un tel traitement est appelé la morphologie basée sur la forme. Ce cadre polyvalent traite des représentations d'images à base de région. Il a trois conséquences principales. 1) Dans un but de filtrage, il s'agit d'une généralisation des opérateurs connexes à base d'arbres. En effet, le cadre englobe les opérateurs connexes classiques par attributs. En outre, il permet également de proposer deux nouvelles classes d'opérateurs connexes: nivellements inférieurs/supérieurs à base de forme et shapings. 2) Ce cadre peut être utilisé pour la détection/segmentation d'objets en sélectionnant les points pertinents dans l'espace des formes. 3) Nous pouvons également utiliser ce cadre pour transformer les hiérarchies en utilisant les valeurs d'extinction, obtenant ainsi une simplification/segmentation hiérarchique. Afin de montrer l'utilité de l'approche proposée, plusieurs applications sont développées. Les applications à l'analyse d'images rétinenne de filtrage basé sur la forme montrent qu'une simple étape de filtrage, comparée à des traitements plus évolués, réalise des résultats au niveau de l'état de l'art. Une application de shaping pour la simplification d'image est proposée, fondée sur une minimisation de la fonctionnelle de Mumford-Shah subordonnée à l'arbre de formes. Pour la détection/segmentation d'objets, nous proposons un estimateur de l'énergie basée sur le contexte. Cet estimateur est approprié pour caractériser la signification d'objet. Enfin, nous étendons le cadre de la connectivité contrainte en utilisant l'aspect de transformation de hiérarchie / In a large number of applications, the processing relies on objects or area of interests, and the pixel-based image representation is notwell adapted. These applications would benefit from a region-based processing. Early examples of region-based processing can be found in the area of image segmentation, such as the quad tree. Recently, in mathematical morphology, the connected operators have received much attention. They are region-based filtering tools that act by merging flat zones. They have good contour preservation properties in the sense that they do not create any new boundaries, neither do they shift the existing ones. One popular implementation for connected operators relies on tree-based image representations, notably threshold decomposition representations and hierarchical representations. Those tree-based image representations are widely used in many image processing and computer vision applications. Tree-based connected operators consist in constructing a set of nested or disjoint connected components, followed by a filtering of these connected components based on an attribute function characterizing each connected component. Finally, the filtered image is reconstructed from the simplified tree composed of the remaining connected components. In the work presented in this thesis, we propose to expand the ideas of tree-based connected operators. We introduce the notion of tree-based shape spaces, built from tree-based image representations. Many state-of-the-art methods relying on tree-based image representations consist of analyzing this shape space. A first consequence of this change of point of view is our proposition of a local feature detector, called the tree-based Morse regions (TBMR). It can be seen as a variant of the MSER method. The selection of TBMRs is based on topological information, and hence it extracts the regions independently of the contrast, which makes it truly contrast invariant and quasi parameters free. The accuracy and robustness of the TBMR approach are demonstrated by the repeatability test and by applications to image registration and 3D reconstruction, as compared to some state-of-the-art methods. The basic idea of the main proposition in this thesis is to apply connected filters on the shape space. Such a processing is called the framework of shape-based morphology. It is a versatile framework that deals with region-based image representations. It has three main consequences. 1) For filtering purpose, it is a generalization of the existing tree-based connected operators. Indeed, the framework encompasses classical existing connected operators by attributes. Besides, It also allows us to propose two classes of novel connected operators: shape-based lower/upper levelings and shapings. 2) This framework can be used to object detection/segmentation by selecting relevant points in the shape space. 3) We can also use this framework to transform the hierarchies using the extinction values, so that a hierarchical simplification or segmentation is obtained. Some applications are developed using the framework of shape-based morphology to demonstrate its usefulness. The applications of the shape-based filtering to retinal image analysis show that a mere filtering step that we compare to more evolved processings, achieves state-of-the-art results. An efficient shaping used for image simplification is proposed by minimizing Mumford-Shah functional subordinated to the topographic map. For object detection/segmentation, we proposed a context-based energy estimator that is suitable to characterize object meaningfulness. Last, we extend the hierarchy of constrained connectivity using the aspect of hierarchy transformation of constrained connectivity using the aspect ofhierarchy transformation.

Les équipements de communications numériques intègrent de plus en plus de standards. La commutation d’un standard à l’autre doit pouvoir se faire au prix d’un surcoût matériel modéré, ce qui impose l’utilisation de ressources communes dans des instanciations différentes. La plateforme matérielle nécessaire à l’exécution d’une couche physique multistandard est le segment du système présentant le plus de contraintes par rapport à la reconfiguration : réactivité, consommation et occupation de ressources matérielles. Nos travaux se focalisent sur la paramétrisation qui vise une implémentation multistandards efficace. L’objectif de cette technique est d’identifier des traitements communs entre les standards, voire entre blocs de traitement au sein d’un même standard, afin de définir des blocs génériques pouvant être réutilisés facilement. Nous définissons le management d’opérateurs mutualisés (opérateurs communs) et nous étudions leur implémentation en se basant essentiellement sur des évaluations de complexité pour quelques standards utilisant la modulation OFDM. Nous proposons en particulier l’architecture d’un opérateur commun permettant la gestion efficace des ressources matérielles entre les algorithmes FFT et décodage de Viterbi. L’architecture, que nous avons proposé et implémenté sur FPGA, permet d’adapter le nombre d’opérateurs communs alloués à chaque algorithme et donc permet l’accélération des traitements. Les résultats montrent que l’utilisation de cette architecture commune offre des gains en complexité pouvant atteindre 30% dans les configurations testées par rapport à une implémentation classique avec une réduction importante de l’occupation mémoire. / Today's telecommunication systems require more and more flexibility, and reconfiguration mechanisms are becoming major topics especially when it comes to multistandard designs. In typical hardware designs, the communication standards are implemented separately using dedicated instantiations which are difficult to upgrade for the support of new features. To overcome these issues, we exploit a parameterization approach called the Common Operator (CO) technique that can be considered to build a generic terminal capable of supporting a large range of communication standards. The main principle of the CO technique is to identify common elements based on smaller structures that could be widely reused across signal processing functions. This technique aims at designing a scalable digital signal processing platform based on medium granularity operators, larger than basic logic cells and smaller than signal processing functions. In this thesis, the CO technique is applied to two widely used algorithms in wireless communication systems: Viterbi decoding and Fast Fourier Transform (FFT). Implementing the FFT and Viterbi algorithms in a multistandard context through a common architecture poses significant architectural constraints. Thus, we focus on the design of a flexible processor to manage the COs and take advantage from structural similarities between FFT and Viterbi trellis. A flexible FFT/Viterbi processor was proposed and implemented on FPGA and compared to dedicated hardware implementations. The results show a considerable gain in flexibility. This gain is achieved with no complexity overhead since the complexity if even decreased up to 30% in the considered configurations.

Cette thèse est constituée de deux volets principaux, le premier volet est consacré à l'étude des opérateurs de Hankel de symboles antiméromorphes, plus précisément, on s'intéresse à la possibilité d'obtenir des opérateurs de Hankel bornés (resp. compacts, dans les classes de Schatten) dont les symboles ne sont pas nécessairement des polynômes.Nous allons donner dans un premier temps, des conditions nécessaires et suffisantes pour que l'opérateur H_{f} définit sur une couronne dans le plan complexe, soit borné (resp. compact, dans la p-ième classe de Schatten) et nous allons traiter des exemples sur les quels nous montrons que les opérateurs de Hankel H_{f} et H_{Uf} sont bornés simultanément (resp. compacts, dans les classes de Schatten) si et seulement si f est un polynôme de Laurent et les conditions établies portent sur son L-degré.Le deuxième volet traite les propriétés spectrales en commun des opérateurs A et B vérifiant l'équation A²=ABA et B²=BAB. Nous allons généraliser les résultats de Christopher Schmoeger sur l'égalité des différents spectres de ces opérateurs, ensuite nous allons élargir le champ d'étude de ces opérateurs dans la direction de la théorie spectrale locale (Propriété de l'extension unique, décomposabilité...). / This thesis consists of two main parts, the first part is devoted to the study of Hankel operators of antiméromorphes symbols, more precisely, we are interested in the possibility of obtaining Hankel operators bounded (resp. compact, in Schatten classes) which the symbols are not necessarily polynomials.We will give in first step, the necessary and sufficient conditions for the operator H_ {f} defined on a ring in the complex plane is bounded (resp. compact in the p-th Schatten class) and we treat examples on which we show that the Hankel operators H_ {f} and H_ {Uf} are simultaneously bounded (resp. compact, in the Schatten classes) if and only if f is a Laurent polynomial and conditions set relate to its L-degree.The second part deals with common spectral properties of operators A and B satisfying the equation A ² = ABA and B ² = BAB. We will generalize the results of Christopher Schmoeger on equality different spectra of these operators, then we will expand the field of study of these operators in the direction of the local spectral theory (SVEP, Decomposability).

Cette thèse comporte deux volets indépendants mais tous deux motivés par la modélisation mathématique et la simulation numérique de procédés photovoltaïques. La Partie I traite de systèmes d’équations aux dérivées partielles de diffusion croisée, modélisant l’évolution de concentrations ou de fractions volumiques de plusieurs espèces chimiques ou biologiques. Nous présentons dans le chapitre 1 une introduction succincte aux résultats mathématiques connus sur ces systèmes lorsqu’ils sont définis sur des domaines fixes. Nous présentons dans le chapitre 2 un système unidimensionnel que nous avons introduit pour modéliser l’évolution des fractions volumiques des différentes espèces chimiques intervenant dans le procédé de déposition physique en phase vapeur (PVD) utilisé pour la fabrication de cellules solaires à couches minces. Dans ce procédé, un échantillon est introduit dans un four à très haute température où sont injectées les différentes espèces chimiques sous forme gazeuse, si bien que des atomes se déposent petit à petit sur l’échantillon, formant une couche mince qui grandit au fur et à mesure du procédé. Dans ce modèle sont pris en compte à la fois l’évolution de la surface du film solide au cours du procédé et l’évolution des fractions volumiques locales au sein de ce film, ce qui aboutit à un système de diffusion croisée défini sur un domaine dépendant du temps. En utilisant une méthode récente basée sur l’entropie, nous montrons l’existence de solutions faibles à ce système et nous étudions leur comportement asymptotique dans le cas où les flux extérieurs imposés à la surface du film sont supposés constants. De plus, nous prouvons l’existence d’une solution à un problème d’optimisation sur les flux extérieurs. Nous présentons dans le chapitre 3comment ce modèle a été adapté et calibré sur des données expérimentales. La Partie II est consacrée à des questions reliées au calcul de la structure électronique de matériaux cristallins. Nous rappelons dans le chapitre 4 certains résultats classiques relatifs à la décomposition spectrale d’opérateurs de Schrödinger périodiques. Dans le chapitre 5, nous tentons de répondre à la question suivante : est-il possible de déterminer un potentiel périodique tel que les premières bandes d’énergie de l’opérateur de Schrödinger associé soient aussi proches que possible de certaines fonctions cibles ?Nous montrons théoriquement que la réponse à cette question est positive lorsque l’on considère la première bande de l’opérateur et des potentiels unidimensionnels appartenant à un espace de mesures périodiques bornées inférieurement en un certain sens. Nous proposons également une méthode adaptative pour accélérer la procédure numérique de résolution du problème d’optimisation. Enfin, le chapitre 6 traite d’un algorithme glouton pour la compression de fonctions de Wannier en exploitant leurs symétries. Cette compression permet, entre autres, d’obtenir des expressions analytiques pour certains coefficients de tight-binding intervenant dans la modélisation de matériaux 2D / This thesis includes two independent parts, both motivated by mathematical modeling and numerical simulation of photovoltaic devices. Part I deals with cross-diffusion systems of partial differential equations, modeling the evolution of concentrations or volume fractions of several chemical or biological species. We present in Chapter 1 a succinct introduction to the existing mathematical results about these systems when they are defined on fixed domains. We present in Chapter 2 a one-dimensional system that we introduced to model the evolution of the volume fractions of the different chemical species involved in the physical vapor deposition process (PVD) used in the production of thin film solar cells. In this process, a sample is introduced into a very high temperature oven where the different chemical species are injected in gaseous form, so that atoms are gradually deposited on the sample, forming a growing thin film. In this model, both the evolution of the film surface during the process and the evolution of the local volume fractions within this film are taken into account, resulting in a cross-diffusion system defined on a time dependent domain. Using a recent method based on entropy estimates, we show the existence of weak solutions to this system and study their asymptotic behavior when the external fluxes are assumed to be constant. Moreover, we prove the existence of a solution to an optimization problem set on the external fluxes. We present in Chapter3 how was this model adapted and calibrated on experimental data. Part II is devoted to some issues related to the calculation of the electronic structure of crystalline materials. We recall in Chapter 4 some classical results about the spectral decomposition of periodic Schrödinger operators. In text of Chapter 5, we try to answer the following question: is it possible to determine a periodic potential such that the first energy bands of the associated periodic Schrödinger operator are as close as possible to certain target functions? We theoretically show that the answer to this question is positive when we consider the first energy band of the operator and one-dimensional potentials belonging to a space of periodic measures that are lower bounded in certain ness. We also propose an adaptive method to accelerate the numerical optimization procedure. Finally, Chapter 6 deals with a greedy algorithm for the compression of Wannier functions into Gaussian-polynomial functions exploiting their symmetries. This compression allows, among other things, to obtain closed expressions for certain tight-binding coefficients involved in the modeling of 2D materials