Ce travail concerne l'étude mathématique et l'analyse numérique d'une méthode de résolution du problème de Cauchy basée sur la minimisation d'une fonctionnelle énergétique. Depuis les travaux de J. Hadamard, le problème de Cauchy est connu pour être mal posé et les méthodes de résolution de ce type de problèmes présentent une importante instabilité numérique dans le cas de données bruitées. Dans le premier chapitre, le problème de Cauchy est introduit et des résultats théoriques classiques sont donnés. La méthode énergétique et le problème de minimisation associé sont présentés, la théorie du contrôle optimal est utilisée pour l'étude mathématique de ce problème de minimisation. Le deuxième chapitre est consacré à l'application de la méthode énergétique pour l'équation de la chaleur stationnaire. Une fois le cadre variationnel défini, la discrétisation éléments finis de la méthode et des estimations d'erreur a priori tenant compte des données bruitées sont données. Lorsque les données sont bruitées, l'erreur atteint une valeurs minimale avant d'exploser numériquement tandis que la fonctionnelle atteint assymptotiquement un seuil dépendant du taux de bruit. Une estimation du seuil atteint par la fonctionnelle en fonction du bruit est donnée et aboutit à la proposition d'un critère d'arrêt pour le processus de minimisation permettant de contrôler l'explosion numérique due au bruit. Enfin, les résultats théoriques sont validés numériquement, la robustesse et l'efficacité du critère d'arrêt proposé sont illustrées par différents tests numériques. La méthode énergétique est ensuite appliquée à l'équation de la chaleur en régime transitoire et est analysée en suivant la méthodologie introduite dans le cas stationnaire.

Dans cette thèse nous étudions le problème de Cauchy en relativité générale. Motivés par la conjecture de censure cosmique faible formulée par Penrose, nous analysons le problème aux données initiales pour les équations d'Einstein dans le vide en faible régularité. Nous démontrons les deux résultats suivants. o Premièrement, nous nous intéressons aux équations de contrainte pour les données initiales et mettons en place une procédure de prolongement. Plus précisément, étant donné des données initiales pour les équations d'Einstein sur la boule unité dans R3, nous les prolongeons de manière continue en des données globales, asymptotiquement plates sur R3. Les équations de contrainte forment un système couplé d'équations non-lineaires sous-determinées géométriques. La preuve de notre procédure de prolongement repose sur un schéma iteratif où nous séparons ce système en deux problèmes de prolongement decouplés et solubles. Enfin, le résultat de prolongement pour les équations de contrainte est obtenu par un argument de point fixe. o Deuxièment, nous prouvons une version localisée du théorème de courbure L2 de Klainerman-Rodnianski-Szeftel. Nous montrons que, étant données des données initiales pour les équations d'Einstein sur une variété compacte avec bord, le temps d'existence de la solution des équations d'Einstein dans le domaine de dépendance de ces données initiales ne dépend que de normes de basse régularité des données initiales. En particulier, notre résultat est un critère localisé de continuité pour les équations d'Einstein. Notre preuve utilise un argument de localisation où, tout d'abord, nous généralisons la théorie de Cheeger-Gromov de convergence pour les variétés Riemanniennes à notre cas de régularité faible, et ensuite nous appliquons la procédure de prolongement pour les équations de contrainte mentionnée ci-dessus avec un argument de changement d’échelle. / In this thesis we study the Cauchy problem of general relativity. Motivated by the weak cosmic censorship conjecture formulated by Penrose, we analyse the initial value problem for the Einstein vacuum equations in low regularity. We prove the following two results. First, we consider the constraint equations of the initial data and demonstrate an extension procedure. More precisely, given small initial data for the Einstein equations on the unit ball in R3, we continuosly extend it to global, asymptotically flat initial data on R3. The constraint equations for the Einstein vacuum equations are a coupled system of non-linear under-determined geometric elliptic equations. The proof of our extension procedure is based on an iterative scheme where we split this system into two decoupled, solvable extension problems. The extension result for the constraint equations follows then by a fix point argument. Second, we prove a localised version of the bounded L2-curvature theorem by Klainerman-Rodnianski-Szeftel. We show that given low regularity initial data to the Einstein equations on a compact manifold with boundary, the time of existence of the solution to the Einstein equations in the domain of dependence of the initial data depends only on low regularity geometric data. In particular, this result is a localised continuation criterion for the Einstein vacuum equations. Our proof uses a localisation argument where we first generalise the known Cheeger-Gromov convergence theory for Riemannian manifolds to our low regularity setting, and then apply the above extension procedure for the constraint equations with a scaling argument.

Le but de cette thèse est d'étudier et de développer des méthodes permettant de résoudre deux types de problèmes d'identification portant sur des équations elliptiques. Ces problèmes étant connus pour leur caractère fortement instable, les méthodes proposées s'accompagnent de procédures de régularisation, qui permettent d'assurer que la solution obtenue conserve un sens physique.Dans un premier temps, on étudie la résolution du problème de Cauchy (identification de conditions aux limites) par la méthode de Steklov-Poincaré. On commence par proposer quelques améliorations basées sur le solveur de Krylov utilisé, en introduisant notamment une méthode de régularisation consistant à tronquer la décomposition de Ritz de l'opérateur concerné. Par la suite, on s'intéresse à l'estimation d'incertitude en utilisant des techniques issues de l'inversion Bayésienne. Enfin, on cherche à résoudre des problèmes plus exigeants, à savoir un problème transitoire en temps, un cas non-linéaire, et on donne des éléments pour effectuer des résolutions sur des géométries ayant un très grand nombre de degrés de liberté en s'aidant de la décomposition de domaine.Pour ce qui est du problème d'identification de fissures par la méthode de l'écart à la réciprocité, on commence par proposer et tester numériquement différents moyens de stabiliser la résolution (utilisation de fonctions-tests différentes, minimisation des gradients a posteriori ou régularisation de Tikhonov). Puis on présente une autre variante de la méthode de l'écart à la réciprocité, qui est applicable aux cas pour lesquels les mesures sont incomplètes. Cette méthode, basée sur une approche de Petrov-Galerkine, est confrontée entre autres à un cas expérimental. Enfin, on s'intéresse à certaines idées permettant d'étendre la méthode de l'écart à la réciprocité à l'identification de fissures non planes. / The goal of this thesis is to study and to develop some methods in order to solve two types of identification problems in the framework of elliptical equations. As those problems are known to be particularly unstable, the proposed methods are accompanied with regularization procedures, that ensure that the obtained solutions keep a physical meaning.Firstly, we study the resolution of the Cauchy problem (boundary conditions identification) by the Steklov-Poincaré method. We start by proposing some improvements based on the used Krylov solver, especially by introducing a regularization method that consists in truncating the Ritz values decomposition of the operator in question. We study afterwards the estimation of uncertainties by the mean of techniques stemming from Bayesian inversion. Finally, we aim at solving more demanding problems, namely a time-transient problem, a non-linear case, and we give some elements to carry out resolutions on geometries that have a very high number of degrees of freedom, with help of domain decomposition.As for the problem of crack identification by the reciprocity gap method, we firstly propose and numerically test some ways to stabilize the resolution (use of different test-functions, a posteriori minimization of the gradients or Tikhonov regularization). Then we present an other variant of the reciprocity gap method, that is applicable on cases for which the measurements are incomplete. This method, based on a Petrov-Galerkin approach, is confronted, among others, with an experimental case. Finally, we investigate some ideas that allow to extend the reciprocity gap method for the identification of non-plane cracks.

Cette thèse porte sur l’étude des systèmes de lois de conservation couplés par une interface mobile. Un modèle dynamique d’un procédé d’extrusion obtenu à partir des bilans de masse, de taux d’humidité et d’énergie est proposé. Ce modèle exprime le transport de la matière et de la chaleur dans une extrudeuse par des systèmes d’équations hyperboliques définis sur deux domaines complémentaires variant dans le temps. L’évolution des domaines est dictée par une Equation aux Dérivées Ordinaires (EDO) issue du bilan de masse total dans une extrudeuse. Par le principe des applications contractantes l’existence et l’unicité de la solution pour cette classe de système sont prouvées. Le problème de stabilisation de l’interface mobile est aussi abordé en utilisation le formalisme des systèmes à retard. La méthode des caractéristiques permet de représenter le système composé des équations issues du bilan de masse par un système à retard sur l’entrée. Au moyen d’un contrôleur prédictif la position de l’interface est stabilisée autour d’un point équilibre. La dernière partie de ce travail est dédiée à l’étude des systèmes Hamiltoniens à ports frontière couplés par une interface mobile. Ces systèmes augmentés de variables couleur qui sont des fonctions caractéristiques du domaine peuvent s’exprimer comme des systèmes Hamiltoniens à ports frontière / This thesis is devoted to the analysis of Partial Differential Equations (PDEs) which are coupled through a moving interface. The motion of the interface obeys to an Ordinary Differential Equation (ODE) which arises from a conservation law. The first part of this thesis concerns the modelling of an extrusion process based on mass, moisture content and energy balances. These balances laws express heat and homogeneous material transport in an extruder by hyperbolic PDEs which are defined in complementary time-varying domains. The evolution of the coupled domains is given by an ODE which is derived from the conservation of mass in an extruder. In the second part of the manuscript, a mathematical analysis has been performed in order to prove the existence and the uniqueness of solution for such class of systems by mean of contraction mapping principle. The third part of the thesis concerns the transformation of an extrusion process mass balance equations into a particular input delay system framework using characteristics method. Then, the stabilization of the moving interface by a predictor-based controller has been proposed. Finally, an extension of the analysis of moving interface problems to a particular class of systems of conservations laws has been developed. Port-Hamiltonian formulation of systems of two conservation laws defined on two complementary time-varying intervals has been studied. It has been shown that the coupled system is a port-Hamiltonian system augmented with two variables being the characteristic functions of the two spatial domains

Nous élaborons des modèles macroscopiques d'EDP pour les mélanges gazeux réactifs ionisés et nous effectuons diverses études mathématiques puis quelques simulations numériques. On détermine les équations macroscopiques ainsi que des expressions des flux de<br />transport à partir d'un modèle de type Boltzmann par un développement de Enskog. Nous étudions alors les propriétés de symétrie apportées par l'entropie de ces équations couplées avec celles de Maxwell pour obtenir un théorème d'existence locale en temps d'une solution bornée et régulière pour le problème de Cauchy. Nous étudions ensuite un modèle de plasma ambipolaire en considérant la masse de l'électron comme un paramètre. Nous démontrons que la solution globale dépend continument de la masse de l'électron lorsque celle-ci s'annule. Nous calculons enfin des flammes ionisées planes et étirées d'un mélange hydrogène-air et obtenons des structures de flammes typiques avec un faible impact de l'ionisation.

Ce travail se compose de deux parties. Dans la première, nous considérons l'équation de Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK) $(u_t - u u_x -\beta u_{xx})_x -\gamma \Delta_y u =0$ dans les espaces de Sobolev des fonctions p\ériodiques sur $x$ de valeur moyenne nulle. La déivation de l'\équation KZK à partir des équations de Navier-Stokes isentropiques non linéaires et de l'approximation de leurs solutions (pour les cas visqueux et non visqueux), les résultats de l'existence, de l'unicité, de la stabilité et du blow-up de la solution de KZK sont obtenus ainsi qu'un résultat sur l'existence d'une solution régulière du syst\éme de Navier-Stokes dans le demi espace avec conditions aux limites péiodiques en temps et de valeur moyenne nulle. Dans la deuxième partie, nous prouvons la contrôabilitélocale des moments de deux systèmes décrits par une équation non-linéaire d'evolution dans un espace de Banach et par une équation non-linéaire de la chaleur quand le contrôle est un multiplicateur du membre de droite. Pour les deux systémes avec une surdétermination intégrale nous obtenons des conditions suffisantes sur la taille du voisinage duquel nous pouvons prendre la fonction de la condition de surdétermination de sorte que le problème inverse ait une solution unique. Nous prouvons également le résultat de contrôlabilité pour l'équation KZK linéarisée.

Ce mémoire porte sur l'étude des équations d'évolution sur des variétés à coubure non nulle, plus particulièrement l'équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact. Des propriétés de dispersion des solutions du problème de Cauchy homogène sont démontrées. Ces propriétés sont ensuite utilisées pour établir des estimations dites estimations de Strichartz. L'examen de ces estimées permet de déduire que le problème de Cauchy non linéaire avec des non-linéarités de type puissance est globalement bien posé pour des données initiales petites et localement bien posé pour des données arbitraires. Après un chapitre introductif dédié aux définitions, propriétés algébriques et géométriques des espaces symétriques et à quelques aspects élémentaires d'analyse harmonique sphérique sur ces espaces, un article est présenté : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. Cet article contient nos résultats principaux. Dans le dernier chapitre nous présentons en détail deux problèmes ouverts qui prolongent nos travaux. Il s'agit respectivement d'établir le lien entre le comportement asymptotique des estimées et les orbites nilpotentes, et l'étude de l'équation des ondes pour les formes différentielles sur les espaces symétriques.

Cette thèse est consacrée à la théorie spectrale de quelques opérateurs de transport et le comportement asymptotique (pour les temps grands) des solutions des problèmes de Cauchy gouvernés par ces derniers. Dans la première partie, on s'est intéressé aux propriétés spectrales des opérateurs d'advection et de transport des neutrons dans le cadre multidimensionnel pour des conditions aux limites générales. Après avoir établi un résultat de compacité de type lemmes de moyenne indispensable dans notre analyse, on a donné entre autre une description fine du spectre asymptotique de l'opérateur de transport. Ce travail a été complété par l'étude des propriétés de régularité et le comportement asymptotique de la solution du problème de Cauchy gouverné par l'opérateur de transport étudié précédemment pour des conditions aux limites de type bounce-back plus un opérateur compact dans l'espace L^1. Ensuite, on a étudié le caractère bien posé et le comportement asymptotique de la solution d'une équation de transport des neutrons avec des sections efficaces non bornées. Contrairement à la première partie, l'analyse de ce problème nécessite l'usage d'une théorie de perturbation de Miyadera-Voigt pour les opérateurs non bornés. La dernière partie de ce travail porte sur un problème linéaire issu d'un modèle introduit en 1974 par Lebowitz et Rubinow décrivant la prolifération d'une population de cellules structuré par l'âge et la longueur du cycle. Notre analyse a porté sur le cas où la longueur du cycle maximale est infinie. / This thesis is devoted to the spectral theory and the time asymptotic behavior of the solution to Cauchy problems governed by various transport operators. In the first part, we discussed the spectral properties of streaming and transport operators in finite bodies with general boundary conditions. After establishing a compactness result essential to our analysis, we gave a fine description of the asymptotic spectrum of the transport operator. We also derive the regularity and the asymptotic behavior of the solution to Cauchy problem governed by the transport operator supplemented by bounce-back boundary conditions plus a compact operator in the space L^1. In the second part, we discussed the well-posedness and the asymptotic behavior of the solution to Cauchy problem governed by a singular transport operator. Unlike the first part, the analysis of this problem requires the use of Miyadera-Voigt perturbation theory for unbounded operators. In the last part of this work, a Cauchy problem governed by a linear operator introduced by Lebowitz and Rubinow describing a proliferating cell population structured by age and the cycle length was considered. Here our analysis was devoted to the case where the maximum cycle length is infinite.

Ce travail concerne l'étude mathématique et l'analyse numérique d'une méthode de résolution du problème de Cauchy basée sur la minimisation d'une fonctionnelle énergétique. Depuis les travaux de J. Hadamard, le problème de Cauchy est connu pour être mal posé et les méthodes de résolution de ce type de problèmes présentent une importante instabilité numérique dans le cas de données bruitées. Dans le premier chapitre, le problème de Cauchy est introduit et des résultats théoriques classiques sont donnés. La méthode énergétique et le problème de minimisation associé sont présentés, la théorie du contrôle optimal est utilisée pour l'étude mathématique de ce problème de minimisation. Le deuxième chapitre est consacré à l'application de la méthode énergétique pour l'équation de la chaleur stationnaire. Une fois le cadre variationnel défini, la discrétisation éléments finis de la méthode et des estimations d'erreur a priori tenant compte des données bruitées sont données. Lorsque les données sont bruitées, l'erreur atteint une valeurs minimale avant d'exploser numériquement tandis que la fonctionnelle atteint assymptotiquement un seuil dépendant du taux de bruit. Une estimation du seuil atteint par la fonctionnelle en fonction du bruit est donnée et aboutit à la proposition d'un critère d'arrêt pour le processus de minimisation permettant de contrôler l'explosion numérique due au bruit. Enfin, les résultats théoriques sont validés numériquement, la robustesse et l'efficacité du critère d'arrêt proposé sont illustrées par différents tests numériques. La méthode énergétique est ensuite appliquée à l'équation de la chaleur en régime transitoire et est analysée en suivant la méthodologie introduite dans le cas stationnaire. / The purpose of this work is the mathematical study and the numerical convergence analysis of a method based on minimization of an energy-like functional for solving Cauchy problem. Since J. Hadamard's works, the Cauchy problem is known to be ill-posed and many resolution methods for this kind of problem present an important numerical instability in the case of noisy data. In the first chapter, we give the Cauchy problem and report classical theoretical results. The energy-like method and the related minimization problem are introduced, the optimal control theory is used for the mathematical study of this minimization problem. The second chapter is devoted to the application of the method for the steady state heat transfer equation. Afterwards the variational framework has been defined, the discretization of the method and a priori error estimates taking into account noisy data are given. When noise is introduced on the Cauchy data, we observe during the optimization process that the error reaches a minimum before increasing very fast and leading to a numerical explosion. At the same time, the energy-like functional attains asymptotically a minimal threshold depending on the noise. An estimation is given for the threshold reached by the functional and leads to a stopping criterion wich allows to control the numerical explosion due to noise. Finally, numerical validation of theoretical results is performed, robustness and efficiency of the proposed stopping criterion are illustrated by different numerical experiments. Then, the energy-like method is applied to the time dependent heat transfer equation and analysed following the methodology introduced in the stationary case.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique de quelques modèles d'évolution non-linéaires issus de la mécanique des fluides. Nous distinguons trois parties indépendantes. La première partie de la thèse traite essentiellement de l'existence des poches de tourbillon en rotation uniforme (appelées aussi V-states) pour un modèle quasi-géostrophique non visqueux. Notre étude est répartie sur deux chapitres où les poches présentent des structures topologiques différentes. Dans le premier chapitre nous étudions le cas simplement connexe et nous validons l'existence de ces structures dans un voisinage du tourbillon de Rankine en utilisant des techniques de bifurcation. Dans le deuxième chapitre nous abordons le cas doublement connexe où la poche admet un seul trou. Plus précisément, proche d'un anneau donné, nous décrivons cette famille par des branches dénombrables bifurquant de cet anneau à certaines valeurs explicites des vitesses angulaires liées aux fonctions de Bessel. Notre étude théorique a été complétée par des simulations numériques portant sur les V-states limites et un bon nombre de constatations ont été formulées ouvrant la porte à de nouvelles perspectives de recherche. La seconde partie concerne l'étude du problème de Cauchy pour le système de Boussinesq non visqueux 2D avec des données initiales de type Yudovich. Le problème est dans un certain sens critique à cause de quelques termes comportant la transformée de Riesz dans la formulation tourbillon-densité. Nous donnons une réponse positive pour une sous-classe comprenant les poches de tourbillon régulières et singulières. Dans la dernière partie nous analysons le problème de la limite incompressible pour les équations d'Euler isentropiques 2D associées à des données initiales très mal préparées et pour lesquelles les tourbillons ne sont pas forcément bornés mais appartiennent plutôt à des espaces de type ''BMO'' à poids. On utilise principalement deux ingrédients: d'un côté les estimations de Strichartz pour contrôler la partie acoustique. D'un autre côté, on se sert de la structure de transport compressible du tourbillon et on démontre une estimation de propagation linéaire dans l'esprit d'un travail récent de Bernicot et Keraani mené dans le cas incompressible. / In this dissertation, we are concerned with the study of some non-linear evolution models arising in fluid mechanics. We distinguish three independent parts. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case.