We investigate optimal partnership of rearrangement-invariant Banach func- tion spaces for the Hilbert transform and the Riesz potential. We establish sharp theorems which characterize optimal action of these operators on such spaces. These results enable us to construct optimal domain (i.e. the largest) and op- timal range (i.e. the smallest) partner spaces when the other space is given. We illustrate the obtained results by non-trivial examples involving Generalized Lorentz-Zygmund spaces with broken logarithmic functions. The method is pre- sented in such a way that it should be easily adaptable to other appropriate operators. 1

We characterise the higher order Riesz transforms on the Heisenberg group and also show that they satisfy dimension-free bounds under some assumptions on the multipliers. We also prove the boundedness of the higher order Riesz transforms associated to the Hermite operator. Using transference theorems, we deduce boundedness theorems for Riesz transforms on the reduced Heisenberg group and hence also for the Riesz transforms associated to special Hermite and Laguerre expansions. Next we study the Riesz transforms associated to the Grushin operator G = - Δ - |x|2@t2 on Rn+1. We prove that both the first order and higher order Riesz transforms are bounded on Lp(Rn+1): We also prove that norms of the first order Riesz transforms are independent of the dimension n.

Cette thèse est consacrée à l’étude de systèmes de particules modélisant des particules chargées en interaction, ou les valeurs propres de matrices aléatoires. On s’intéresse aux gaz de particules avec interaction logarithmique en dimension 1 et 2, et aux interactions de Coulomb/Riesz en dimension générale. On étudie leur comportement microscopique à travers un principe de grandes déviations satisfait par la loi des champs empiriques et gouverné par une fonctionnelle d’énergie libre qui met en évidence la dépendance en la température. Parmi les minimiseurs de cette énergie libre, on compte les processus ponctuels Sine-beta définis dans le contexte des matrices aléatoires. On démontre la convergence vers un processus de Poisson à haute température et, en dimension 1, on prouve la cristallisation du système dans la limite de basse température. Dans le cas des interactions logarithmiques en dimension 2, on montre une loi locale qui contrôle les fluctuations à toute échelle mésoscopique. On traite aussi le cas du gaz de Coulomb 2D avec des charges de signes opposés. / This thesis is devoted to the study of statistical physics systems which can represent charged interacting particles or eigenvalues of random matrices. We are interested in particle gases with logarithmic interaction in dimension 1 and 2 and with Coulomb/Riesz interactions in general dimension. We study the microscopic behavior by establishing a large deviation principle for the law of the empirical fields, governed by a free energy functional in which the temperature dependence appears. Minimizers of this free energy include the Sine-beta point processes defined in random matrix theory. We show the convergence to a Poisson point process at high temperature and in dimension 1 we prove crystallization in the zero temperature limit. For two-dimensional log-gases we establish a local law which bounds the fluctuations at any mesoscopic scale. We also treat the case of a 2D Coulomb gas with charges of opposite sign.

La méthode d'intégration produit a été proposée pour résoudre des équations linéaires de Fredholm de deuxième espèce singulières dont la solution exacte est régulière, au moins continue. Dans ce travail on adapte cette méthode à des équations dont la solution est juste intégrable. On étudie également son extension au cas non linéaire posé dans l'espace des fonctions intégrables. Ensuite, on propose une autre manière de mettre en oeuvre la méthode d'intégration produit : on commence par linéariser l'équation par une méthode de type Newton puis on discrétise les itérations de Newton par la méthode d'intégration produit / The product integration method has been proposed for solving singular linear Fredholm equations of the second kind whose exact solution is smooth, at least continuous. In this work, we adapt this method to the case where the solution is only integrable. We also study the nonlinear case in the space of integrable functions. Then, we propose a new version of the method in the nonlinear framework : we first linearize the eqaution by a Newton type method and then discretize the Newton iterations by the product integration method

Die Reichhaltigkeit und breite Anwendbarkeit der Theorie der holomorphen Funktionen in der komplexen Ebene ist stark motivierend eine ähnliche Theorie für höhere Dimensionen zu entwickeln. Viele Forscher waren und sind in diese Aufgaben involviert, insbesondere in der Entwicklung der Quaternionenanalysis. In den letzten Jahren wurde die Quaternionenanalysis bereits erfolgreich auf eine Vielzahl von Problemen der mathematischen Physik angewandt. Das Ziel der Dissertation besteht darin, holomorphe Strukturen in höheren Dimensionen zu studieren. Zunächst wird ein neues Holomorphiekonzept vorgelegt, was auf der Theorie rechtsinvertierbarer Operatoren basiert und nicht auf Verallgemeinerungen des Cauchy-Riemann-Systems wie üblich. Dieser Begriff umfasst die meisten der gut bekannten holomorphen Strukturen in höheren Dimensionen. Unter anderem sind die üblichen Modelle für reelle und komplexe quaternionenwertige Funktionen sowie Clifford-algebra-wertige Funktionen enthalten. Außerdem werden holomorphe Funktionen mittels einer geeignete Formel vom Taylor-Typ durch spezielle Funktionen lokal approximiert. Um globale Approximationen für holomorphe Funktionen zu erhalten, werden im zweiten Teil der Arbeit verschiedene Systeme holomorpher Basisfunktionen in drei und vier Dimensionen mittels geeigneter Fourier-Entwicklungen explizit konstruiert. Das Konzept der Holomorphie ist verbunden mit der Lösung verallgemeinerter Cauchy-Riemann Systeme, deren Funktionswerte reellen Quaternionen bzw. reduzierte Quaternionen sind. In expliziter Form werden orthogonale holomorphe Funktionensysteme konstruiert, die Lösungen des Riesz-Systems bzw. des Moisil-Teodorescu Systems über zylindrischen Gebieten im R3, sowie Lösungen des Riesz-Systems in Kugeln des R4 sind. Um konkrete Anwendungen auf Randwertprobleme realisieren zu können wird eine orthogonale Zerlegung eines Rechts-Quasi-Hilbert-Moduls komplex-quaternionischer Funktionen unter gegebenen Bedingungen studiert. Die Ergebnisse werden auf die Behandlung von Maxwell-Gleichungen mit zeitvariabler elektrischer Dielektrizitätskonstante und magnetischer Permeabilität angewandt. / The richness and widely applicability of the theory of holomorphic functions in complex analysis requires to perform a similar theory in higher dimensions. It has been developed by many researchers so far, especially in quaternionic analysis. Over the last years, it has been successfully applied to a vast array of problems in mathematical physics. The aim of this thesis is to study the structure of holomorphy in higher dimensions. First, a new concept of holomorphy is introduced based on the theory of right invertible operators, and not by means of an analogue of the Cauchy-Riemann operator as usual. This notion covers most of the well-known holomorphic structures in higher dimensions including real, complex, quaternionic, Clifford analysis, among others. In addition, from our operators a local approximation of a holomorphic function is attained by the Taylor type formula. In order to obtain the global approximation for holomorphic functions, the second part of the thesis deals with the construction of different systems of basis holomorphic functions in three and four dimensions by means of Fourier analysis. The concept of holomorphy is related to the null-solutions of generalized Cauchy-Riemann systems, which take either values in the reduced quaternions or real quaternions. We obtain several explicit orthogonal holomorphic function systems: solutions to the Riesz and Moisil-Teodorescu systems over cylindrical domains in R3, and solutions to the Riesz system over spherical domains in R4. Having in mind concrete applications to boundary value problems, we investigate an orthogonal decomposition of complex-quaternionic functions over a right quasi-Hilbert module under given conditions. It is then applied to the treatment of Maxwell’s equations with electric permittivity and magnetic permeability depending on the time variable.

Ce mémoire est consacré à des résultats d'analyse harmonique réelle dans des cadres géométriques discrets (graphes) ou continus (groupes de Lie).Soit $\Gamma$ un graphe (ensemble de sommets et d'arêtes) muni d'un laplacien discret $\Delta=I-P$, où $P$ est un opérateur de Markov.Sous des hypothèses géométriques convenables sur $\Gamma$, nous montrons la continuité $L^p$ de fonctionnelles de Littlewood-Paley fractionnaires. Nous introduisons des espaces de Hardy $H^1$ de fonctions et de $1$-formes différentielles sur $\Gamma$, dont nous donnons plusieurs caractérisations, en supposant seulement la propriété de doublement pour le volume des boules de $\Gamma$. Nous en déduisons la continuité de la transformée de Riesz sur $H^1$. En supposant de plus des estimations supérieures ponctuelles (gaussiennes ou sous-gaussiennes) sur les itérées du noyau de l'opérateur $P$, nous obtenons aussi la continuité de la transformée de Riesz sur $L^p$ pour $1<p<2$.Nous considérons également l'espace de Besov $B^{p,q}_\alpha(G)$ sur un groupe de Lie unimodulaire $G$ muni d'un sous-laplacien $\Delta$. En utilisant des estimations du noyau de la chaleur associé à $\Delta$, nous donnons plusieurs caractérisations des espaces de Besov, et montrons une propriété d'algèbre pour $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$, pour $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ et $1\leq q\leq +\infty$. Les résultats sont valables en croissance polynomiale ou exponentielle du volume des boules. / This thesis is devoted to results in real harmonic analysis in discrete (graphs) or continuous (Lie groups) geometric contexts.Let $\Gamma$ be a graph (a set of vertices and edges) equipped with a discrete laplacian $\Delta=I-P$, where $P$ is a Markov operator.Under suitable geometric assumptions on $\Gamma$, we show the $L^p$ boundedness of fractional Littlewood-Paley functionals. We introduce $H^1$ Hardy spaces of functions and of $1$-differential forms on $\Gamma$, giving several characterizations of these spaces, only assuming the doubling property for the volumes of balls in $\Gamma$. As a consequence, we derive the $H^1$ boundedness of the Riesz transform. Assuming furthermore pointwise upper bounds for the kernel (Gaussian of subgaussian upper bounds) on the iterates of the kernel of $P$, we also establish the $L^p$ boundedness of the Riesz transform for $1<p<2$.We also consider the Besov space $B^{p,q}_\alpha(G)$ on a unimodular Lie group $G$ equipped with a sublaplacian $\Delta$.Using estimates of the heat kernel associated with $\Delta$, we give several characterizations of Besov spaces, and show an algebra property for $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$ for $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ and $1\leq q\leq +\infty$.These results hold for polynomial as well as for exponential volume growth of balls.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère complexes ainsi que des équations hessiennes complexes dans un domaine borné de Cn. Dans le premier chapitre, on donne des rappels sur la théorie du pluripotentiel. Dans le deuxième chapitre, on étudie le module de continuité des solutions du problème de Dirichlet pour les équations de Monge-Ampère lorsque le second membre est une mesure à densité continue par rapport à la mesure de Lebesgue dans un domaine strictement hyperconvexe lipschitzien. Dans le troisième chapitre, on prouve la continuité hölderienne des solutions de ce problème pour certaines mesures générales. Dans le quatrième chapitre, on considère le problème de Dirichlet pour les équations hessiennes complexes plus générales où le second membre dépend de la fonction inconnue. On donne une estimation précise du module de continuité de la solution lorsque la densité est continue. De plus, si la densité est dans Lp , on démontre que la solution est Hölder-continue jusqu'au bord. / In this thesis we study the regularity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations and also for complex Hessian equations in a bounded domain of Cn. In the first chapter, we give basic facts in pluripotential theory. In the second chapter, we study the modulus of continuity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations when the right hand side is a measure with continuous density with respect to the Lebesgue measure in a bounded strongly hyperconvex Lipschitz domain. In the third chapter, we prove the Hölder continuity of solutions to this problem for some general measures. In the fourth chapter, we consider the Dirichlet problem for complex Hessian equations when the right hand side depends on the unknown function. We give a sharp estimate of the modulus of continuity of the solution as the density is continuous. Moreover, for the case of Lp-density we demonstrate that the solution is Hölder continuous up to the boundary.

L'objectif de cette thèse est de contribuer à l'optimisation de problèmes dynamiques en présence de retard. Le point de vue qui nous intéressera est celui de Pontryagin qui dans son ouvrage publié en 1962 a donné les conditions nécessaires d'existence de solutions pour ce type de problème. Warga dans son ouvrage publié en 1972 a fait un catalogue des solutions possible, Li et al. ont étudié le cas de contrôle périodique. Notre méthode de démonstration est directement inspirée de la démonstration de P. Michel du cas des systèmes gouvernés par des équations différentielles ordinaires. La principale difficulté pour cette approche est l'utilisation de la résolvante de l'équation différentielle fonctionnelle linéarisée de l'équation différentielle fonctionnelle d'évolution qui gouverne le système. Nous traitons aussi de condition d'Euler-Lagrange dans le cadre d'un problème de calcul variationnel avec retard. / In this thesis, we have attempted to contribute to the optimization of dynamical problems with delay in state space. We are specifically interested in the viewpoint of Pontryagin who outlined in his book published in 1962 the necessary conditions required for solving such problems. In his work published in 1972, Warga catalogued the possible solutions. Li and al. analyzed the case of periodic control. We will treat an optimal control problem governed by a Delay Functional Differential Equation. Our method is close to the one of P. Michel on dynamical system governed by Ordinary Differential Equations. The main problem ariving out in this approach is the use of the resolvent of the Delay Functional Differential Equation. We also consider with Euler-Lagrange condition in the framework of variational problems with delay.

Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation de certains systèmes distribués avec contrôle frontière de type dynamique. Nous considérons, d’abord, la stabilisation de l’équation de la poutre de Rayleigh avec un seul contrôle frontière dynamique moment ou force. Nous montrons que le système n’est pas uniformément (autrement dit exponentiellement) stable; mais par une méthode spectrale, nous établissons le taux polynomial optimal de décroissance de l’énergie du système. Ensuite, nous étudions la stabilisation indirecte de l’équation des ondes avec un amortissement frontière de type dynamique fractionnel. Nous montrons que le taux de décroissance de l’énergie dépend de la nature géométrique du domaine. En utilisant la méthode fréquentielle et une méthode spectrale, nous montrons la non stabilité exponentielle et nous établissons, plusieurs résultats de stabilité polynomiale. Enfin, nous considérons l’approximation de l’équation des ondes mono-dimensionnelle avec un seul amortissement frontière de type dynamique par un schéma de différence finie. Par une méthode spectrale, nous montrons que l’énergie discrétisée ne décroit pas uniformément (par rapport au pas du maillage) polynomialement vers zéro comme l’énergie du système continu. Nous introduisons, alors, un terme de viscosité numérique et nous montrons la décroissance polynomiale uniforme de l’énergie de notre schéma discret avec ce terme de viscosité. / This thesis is devoted to the study of the stabilization of some distributed systems with dynamic boundary control. First, we consider the stabilization of the Rayleigh beam equation with only one dynamic boundary control moment or force. We show that the system is not uniformly (exponentially) stable. However, using a spectral method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the system. Next, we study the indirect stability of the wave equation with a fractional dynamic boundary control. We show that the decay rate of the energy depends on the nature of the geometry of the domain. Using a frequency approach and a spectral method, we show the non exponential stability of the system and we establish, different polynomial stability results. Finally, we consider the finite difference space discretization of the 1-d wave equation with dynamic boundary control. First, using a spectral approach, we show that the polynomial decay of the discretized energy is not uniform with respect to the mesh size, as the energy of the continuous system. Next, we introduce a viscosity term and we establish the uniform (with respect to the mesh size) polynomial energy decay of our discrete scheme.

Die Reichhaltigkeit und breite Anwendbarkeit der Theorie der holomorphen Funktionen in der komplexen Ebene ist stark motivierend eine ähnliche Theorie für höhere Dimensionen zu entwickeln. Viele Forscher waren und sind in diese Aufgaben involviert, insbesondere in der Entwicklung der Quaternionenanalysis. In den letzten Jahren wurde die Quaternionenanalysis bereits erfolgreich auf eine Vielzahl von Problemen der mathematischen Physik angewandt. Das Ziel der Dissertation besteht darin, holomorphe Strukturen in höheren Dimensionen zu studieren. Zunächst wird ein neues Holomorphiekonzept vorgelegt, was auf der Theorie rechtsinvertierbarer Operatoren basiert und nicht auf Verallgemeinerungen des Cauchy-Riemann-Systems wie üblich. Dieser Begriff umfasst die meisten der gut bekannten holomorphen Strukturen in höheren Dimensionen. Unter anderem sind die üblichen Modelle für reelle und komplexe quaternionenwertige Funktionen sowie Clifford-algebra-wertige Funktionen enthalten. Außerdem werden holomorphe Funktionen mittels einer geeignete Formel vom Taylor-Typ durch spezielle Funktionen lokal approximiert. Um globale Approximationen für holomorphe Funktionen zu erhalten, werden im zweiten Teil der Arbeit verschiedene Systeme holomorpher Basisfunktionen in drei und vier Dimensionen mittels geeigneter Fourier-Entwicklungen explizit konstruiert. Das Konzept der Holomorphie ist verbunden mit der Lösung verallgemeinerter Cauchy-Riemann Systeme, deren Funktionswerte reellen Quaternionen bzw. reduzierte Quaternionen sind. In expliziter Form werden orthogonale holomorphe Funktionensysteme konstruiert, die Lösungen des Riesz-Systems bzw. des Moisil-Teodorescu Systems über zylindrischen Gebieten im R3, sowie Lösungen des Riesz-Systems in Kugeln des R4 sind. Um konkrete Anwendungen auf Randwertprobleme realisieren zu können wird eine orthogonale Zerlegung eines Rechts-Quasi-Hilbert-Moduls komplex-quaternionischer Funktionen unter gegebenen Bedingungen studiert. Die Ergebnisse werden auf die Behandlung von Maxwell-Gleichungen mit zeitvariabler elektrischer Dielektrizitätskonstante und magnetischer Permeabilität angewandt. / The richness and widely applicability of the theory of holomorphic functions in complex analysis requires to perform a similar theory in higher dimensions. It has been developed by many researchers so far, especially in quaternionic analysis. Over the last years, it has been successfully applied to a vast array of problems in mathematical physics. The aim of this thesis is to study the structure of holomorphy in higher dimensions. First, a new concept of holomorphy is introduced based on the theory of right invertible operators, and not by means of an analogue of the Cauchy-Riemann operator as usual. This notion covers most of the well-known holomorphic structures in higher dimensions including real, complex, quaternionic, Clifford analysis, among others. In addition, from our operators a local approximation of a holomorphic function is attained by the Taylor type formula. In order to obtain the global approximation for holomorphic functions, the second part of the thesis deals with the construction of different systems of basis holomorphic functions in three and four dimensions by means of Fourier analysis. The concept of holomorphy is related to the null-solutions of generalized Cauchy-Riemann systems, which take either values in the reduced quaternions or real quaternions. We obtain several explicit orthogonal holomorphic function systems: solutions to the Riesz and Moisil-Teodorescu systems over cylindrical domains in R3, and solutions to the Riesz system over spherical domains in R4. Having in mind concrete applications to boundary value problems, we investigate an orthogonal decomposition of complex-quaternionic functions over a right quasi-Hilbert module under given conditions. It is then applied to the treatment of Maxwell’s equations with electric permittivity and magnetic permeability depending on the time variable.