Nous étudions les relations qui existent entre des aspects de la géométrie sous-riemannienne et une diversité de singularités typiques dans ce contexte.Avec les théorèmes de Whitney sous-riemanniens, nous conditionnons l’existence de prolongements globaux de courbes horizontales définies sur des fermés à des hypothèses de non-singularité de l’application point-final dans l’approximation nilpotente de la variété.Nous appliquons des méthodes perturbatives pour obtenir des asymptotiques sur la longueur de courbes localement minimisantes perdant leur optimalité proche de leur point de départ dans le cas des variétés sous-riemanniennes de contact de dimension arbitraire. Nous décrivons la géométrie du lieu singulier et prouvons sa stabilité dans le cas des variétés de dimension 5.Nous introduisons une construction permettant de définir des champs de directions à l’aide de couples de champs de vecteurs. Ceci fournit une topologie naturelle pour analyser la stabilité des singularités de champs de directions sur des surfaces. / We investigate the relationship between features of of sub-Riemannian geometry and an array of singularities that typically arise in this context.With sub-Riemannian Whitney theorems, we ensure the existence of global extensions of horizontal curves defined on closed set by requiring a non-singularity hypothesis on the endpoint-map of the nilpotent approximation of the manifold to be satisfied.We apply perturbative methods to obtain asymptotics on the length of short locally-length-minimizing curves losing optimality in contact sub-Riemannian manifolds of arbitrary dimension. We describe the geometry of the singular set and prove its stability in the case of manifolds of dimension 5.We propose a construction to define line fields using pairs of vector fields. This provides a natural topology to study the stability of singularities of line fields on surfaces.

Ce manuscrit est consacré à l’étude de la méthode du développement en singularités (SEM) appliquée aux antennes. Dans la première partie de ce travail, trois méthodes d’extraction des pôles de résonance sont présentées et comparées : les méthodes de Prony et Matrix Pencil dans le domaine temporel et la méthode de Cauchy dans le domaine fréquentiel. Une procédure est établie pour optimiser l’extraction avec chaque méthode et une étude de robustesse montre que la méthode Matrix Pencil permet d’obtenir plus de pôles et avec une meilleure précision que les deux autres méthodes en présence de bruit. Dans un second temps, la méthode Matrix Pencil est appliquée sur des réponses d’antennes, obtenues en rayonnement et en Surface Equivalente Radar (SER), et les pôles de résonance extraits sont identiques pour les deux approches. Cette étude valide donc la possibilité d’extraire les pôles de résonance d’une antenne directement à partir de sa SER. La variation de la position des pôles de résonance en fonction des dimensions et de la charge de deux antennes est ensuite étudiée et met en évidence le lien entre l’impédance d’entrée de l’antenne et ses pôles de résonance. Enfin, les mesures de la SER de trois antennes valident expérimentalement l’extraction des pôles de résonance à partir de la SER d’une antenne. Ce travail pose donc les bases de la caractérisation d’antennes à l’aide de la SEM appliquée à la SER de l’antenne. / This manuscript deals with the Singularity Expansion Method (SEM) applied to antenna characterization. In the first part of this work, three resonant poles extraction methods are presented and compared: the Prony and Matrix Pencil methods in the transient domain and the Cauchy method in the frequency domain. A procedure is defined to optimize the extraction with each method and a robustness study shows that Matrix Pencil method allows obtaining more physical poles with a better accuracy than the two other methods in presence of noise. In a second part, the Matrix Pencil algorithm is applied on radiated and backscattered antenna responses. Extracted resonant poles from both responses are exactly the same. This study validates the possibility to extract poles directly from its backscattered response. The position of resonant poles is analyzed with respect to antenna’s dimension and its load for two different cases. This emphasizes the link between antenna poles and antenna input impedance. Finally, RCS measurements of three antennas validate antenna poles extraction directly from its RCS. This work lays the foundations of antenna characterization using the SEM applied to RCS measurements.

Le but principal de cette thèse de doctorat est l'étude de l'anneau de cohomologie du complément d'une courbe algébrique réduite dans le plan projectif pondéré complexe dont les composantes irréductibles sont des courbes rationnelles (avec ou sans points singuliers). En particulier, des représentants holomorphes (rationnels) sont obtenus pour les classes de cohomologie. Pour atteindre notre objectif, il est nécessaire de développer une théorie algébrique des courbes sur des surfaces avec des singularités quotient et d'étudier des techniques pour calculer certains invariants particulièrement utiles à travers des Q-résolutions plongées. / The main goal of this PhD thesis is the study of the cohomology ring of the complement of a reduced algebraic curve in the complex weighted projective plane whose irreducible components are all rational (possibly singular) curves. In particular, holomorphic (rational) representatives are found for the cohomology classes. In order to achieve our purpose one needs to develop an algebraic theory of curves on surfaces with quotient singularities and study techniques to compute some particularly useful invariants by means of embedded Q-resolutions.

La première partie concerne un problème de théorie des nombres, pour laquel nous développons une approche géométrique basé sur des outils provenant de la géométrie algébrique et de la géométrique combinatoire. Introduites par M. Kontsevich et D. Zagier en 2001, les périodes sont des nombres complexes obtenus comme valeurs des intégrales d'une forme particulier, où le domaine et l'intégrande s'expriment par des polynômes avec coefficients rationnels. La conjecture de périodes de Kontsevich-Zagier affirme que n'importe quelle relation polynomiale entre périodes peut s'obtenir par des relations linéaires entre différentes représentations intégrales, exprimées par des règles classiques du calcul intégrale. En utilisant des résolutions de singularités, on introduit une réduction semi-canonique de périodes en se concentrant sur le fait d'obtenir une méthode algorithmique et constructive respectant les règles classiques de transformation intégrale: nous prouvons que n'importe quelle période non nulle, représentée par une certaine intégrale, peut être exprimée sauf signe comme le volume d'un ensemble semi-algébrique compact. La réduction semi-canonique permet une reformulation de la conjecture de périodes de Kontsevich-Zagier en termes de changement de variables préservant le volume entre ensembles semi-algébriques compacts. Via des triangulations et méthodes de la géométrie-PL, nous étudions les obstructions de cette approche comme la généralisation du 3ème Problème de Hilbert. Nous complétons les travaux de J. Wan dans le développement d'une théorie du degré pour les périodes, basée sur la dimension minimale de l'espace ambiance nécessaire pour obtenir une telle réduction compacte, en donnant une première notion géométrique sur la transcendance de périodes. Nous étendons cet étude en introduisant des notions de complexité géométrique et arithmétique pour le périodes basées sur la complexité polynomiale minimale parmi les réductions semi-canoniques d'une période. La seconde partie s'occupe de la compréhension d'objets provenant de la géométrie algébrique avec une forte connexion avec la géométrique combinatoire, pour lesquels nous avons développé une approche dynamique. Les champs de vecteurs logarithmiques sont un outils algébro-analytique utilisés dans l'étude des sous-variétés et des germes dans des variétés analytiques. Nous nous sommes concentré sur le cas des arrangements de droites dans des espaces affines ou projectifs. On s'est plus particulièrement intéressé à comprendre comment la combinatoire d'un arrangement détermine les relations entre les champs de vecteurs logarithmiques associés: ce problème est connu sous le nom de conjecture de Terao. Nous étudions le module des champs de vecteurs logarithmiques d'un arrangement de droites affin en utilisant la filtration induite par le degré des composantes polynomiales. Nous déterminons qu'il n'existent que deux types de champs de vecteurs polynomiaux qui fixent une infinité de droites. Ensuite, nous décrivons l'influence de la combinatoire de l'arrangement de droites sur le degré minimal attendu pour ce type de champs de vecteurs. Nous prouvons que la combinatoire ne détermine pas le degré minimal des champs de vecteurs logarithmiques d'un arrangement de droites affin, en présentant deux pairs de contre-exemples, chaque qu'un d'eux correspondant à une notion différente de combinatoire. Nous déterminons que la dimension des espaces de filtration suit une croissance quadratique à partir d'un certain degré, en dépendant uniquement de la combinatoire de l'arrangement. A fin d'étudier de façon calculatoire une telle filtration, nous développons une librairie de fonctions sur le software de calcul formel Sage. / The first part concerns a problem of number theory, for which we develop a geometrical approach based on tools coming from algebraic geometry and combinatorial geometry. Introduced by M. Kontsevich and D. Zagier in 2001, periods are complex numbers expressed as values of integrals of a special form, where both the domain and the integrand are expressed using polynomials with rational coefficients. The Kontsevich-Zagier period conjecture affirms that any polynomial relation between periods can be obtained by linear relations between their integral representations, expressed by classical rules of integral calculus. Using resolution of singularities, we introduce a semi-canonical reduction for periods focusing on give constructible and algorithmic methods respecting the classical rules of integral transformations: we prove that any non-zero real period, represented by an integral, can be expressed up to sign as the volume of a compact semi-algebraic set. The semi-canonical reduction permit a reformulation of the Kontsevich-Zagier conjecture in terms of volume-preserving change of variables between compact semi-algebraic sets. Via triangulations and methods of PL–geometry, we study the obstructions of this approach as a generalization of the Third Hilbert Problem. We complete the works of J. Wan to develop a degree theory for periods based on the minimality of the ambient space needed to obtain such a compact reduction, this gives a first geometric notion of transcendence of periods. We extend this study introducing notions of geometric and arithmetic complexities for periods based in the minimal polynomial complexity among the semi-canonical reductions of a period. The second part deals with the understanding of particular objects coming from algebraic geometry with a strong background in combinatorial geometry, for which we develop a dynamical approach. The logarithmic vector fields are an algebraic-analytic tool used to study sub-varieties and germs of analytic manifolds. We are concerned with the case of line arrangements in the affine or projective space. One is interested to study how the combinatorial data of the arrangement determines relations between its associated logarithmic vector fields: this problem is known as the Terao conjecture. We study the module of logarithmic vector fields of an affine line arrangement by the filtration induced by the degree of the polynomial components. We determine that there exist only two types of non-trivial polynomial vector fields fixing an infinitely many lines. Then, we describe the influence of the combinatorics of the arrangement on the expected minimal degree for these kind of vector fields. We prove that the combinatorics do not determine the minimal degree of the logarithmic vector fields of an affine line arrangement, giving two pair of counter-examples, each pair corresponding to a different notion of combinatorics. We determine that the dimension of the filtered spaces follows a quadratic growth from a certain degree, depending only on the combinatorics of the arrangements. We illustrate these formula by computations over some examples. In order to study computationally these filtration, we develop a library of functions in the mathematical software Sage.

La dynamique semi-classique d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété est l'analogue quantique du flot classique de son symbole principal sur la variété . Cette dynamique semi-classique est décrite par l'équation de Schrödinger de l'opérateur ; alors que le flot classique hamiltonien est, lui, donné par les équations d'Hamilton associées a la fonction . Le spectre de l'opérateur pseudo-différentiel permet donc de pouvoir décrire les solutions générales en fonction du temps de l'équation de Schrödinger associée. Le comportement en temps long de la dynamique semi-classique donnée par ces solutions reste cependant sur bien des points mystérieux. La dynamique semi-classique dépend donc directement du spectre de l'opérateur et aussi par conséquent de la géométrie sous jacente dans induite par la fonction symbole classique . Dans cette thèse, on décrit d'abord la dynamique semi-classique en temps long dans le cas de la dimension 1 avec une fonction symbole n'ayant pas de singularité ou bien avec une singularité non-dégénérée de type elliptique : le feuilletage dans de est alors elliptique. Les règles de Bohr-Sommerfeld régulières fournissent alors le spectre d'un tel opérateur. On traite aussi le cas de la dimension 2 qui nous amène à quelques discussions de théorie de nombres. Pour finir, on s'intéresse au cas d'un opérateur pseudo-différentiel avec une singularité non-dégénérée de type hyperbolique : le feuilletage dans de est alors un ”huit hyperbolique ” (modèle difféomorphe au Schrödinger avec un potentiel double puits).

Afin d'étendre à un cadre singulier des résultats de la théorie du polynôme de Bernstein-Sato, nous étudions ici les polynômes de Bernstein d'une fonction analytique f associée aux sections du module de cohomologie locale algébrique R à support une intersection complète locale X définie par un morphisme analytique g. En effet, il résulte de la construction algébrique des cycles évanescents que les racines de ces polynômes sont étroitement liées aux valeurs propres de la monodromie locale de f sur X.<br /><br />Après avoir donné des résultats sur les polynômes de Bernstein associés aux sections d'un D-Module holonome, nous faisons l'étude du cas g lisse à l'origine, puis f lisse et X hypersurface. Nous étudions ensuite l'existence de polynômes de Bernstein génériques et relatifs des sections de R associées à une déformation analytique, reliant ces questions à la géométrie d'espaces conormaux.<br /><br />Reprenant des idées de B. Malgrange, nous donnons ensuite une construction adaptée à l'étude des polynômes de Bernstein des sections de R lorsque les morphismes g et (f,g) définissent des intersections complètes à singularité isolée à l'origine. Cette construction impose notamment la quasi-homogénéité de g et nécessite des calculs d'annulateurs. Nous nous consacrons enfin aux calculs de polynômes de Bernstein basés sur ces résultats. Nous donnons d'abord un algorithme de calcul lorsque en plus des hypothèses adéquates, nous supposons que la partie initiale de f définit une singularité isolée sur X. Quand de plus f est quasi-homogène, nous obtenons des formules explicites. Nous terminons notre étude par des exemples de calculs lorsque X est un cône quadratique non dégénéré.

Cette étude a pour cadre l'analyse de mouvements fluides dans des séquences d'images et s'articule autour de deux axes. Nous traitons en premier lieu le problème de l'estimation du mouvement. Dans un contexte d'imagerie fluide, la luminance des images fait parfois apparaître de fortes distorsions spatiales et temporelles, rendant délicate l'utilisation de techniques standard issues de la Vision par Ordinateur, originalement conçues pour des mouvements rigides et reposant sur une hypothèse d'invariance de la fonction de luminance. Nous proposons un estimateur de mouvement modélisé au moyen d'une formulation énergétique et spécialement dédié à l'estimation du mouvement fluide. La fonctionnelle considérée est composée d'un terme d'attache aux données original issu de l'équation de continuité de la mécanique des fluides. Ce nouveau modèle de données, spécifié pour être aisément intégré dans un schéma multirésolution, est associé à une régularisation de type ``div-curl''. Les performances de cet estimateur sont expérimentalement démontrées sur des images synthétiques et réelles météorologiques. Une validation de la méthode sur un écoulement expérimental représentant une ``couche de mélange'' est par ailleurs présentée. L'intérêt de l'étude est en second lieu porté sur l'analyse d'un champ de déplacement préalablement estimé, relatif à un mouvement fluide. Nous proposons une méthode visant à extraire les vortex et puits/sources de l'écoulement en s'appuyant sur le modèle de Rankine. Ce problème est essentiel dans de nombreuses applications comme par exemple la détection d'importants événements météorologiques (dépressions, cellules convectives, ...) ou la caractérisation d'écoulements expérimentaux. La connaissance de telles structures autorise par ailleurs une représentation paramétrique de l'écoulement. La méthode que nous proposons s'appuie sur une représentation analytique du champ des vitesses e permet d'extraire d'autres informations pertinentes relatives à l'écoulement (fonctions de potentiels, décomposition selon Helmholtz de l'écoulement, points singuliers, ...). L'approche présentée sera expérimentalement étudiée sur des écoulement représentant divers phénomènes physiques.

De faibles quantités de polymères flexibles de haut poids moléculaire induisent des effets significatifs sur les propriétés d'écoulement de fluides. Cette thèse présente une étude expérimentale détaillée de l'interaction Polymère -Ecoulement dans deux situations modèles : La première se focalise sur un processus singulier : le détachement d'une goutte d'un capillaire. Le caractère purement élongationnel que présente l'approche du point de rupture, permet de mettre en évidence une inhibition abrupte de cette singularité en temps fini. Ceci donne lieu, lorsque les taux d'élongation sont de l'ordre de l'inverse du temps de relaxation des polymères, à la formation de filaments s'amicissant exponentiellement et qui sont associés à des viscosités élongationnelles non stationnaires extrêmement importantes. La seconde expérience quant à elle, utilise des films de savon afin de générer un écoulement quasi-bidimensionnel turbulent. La présence de polymères induit alors une suppression des transferts d'énergie vers les grandes échelles par le biais d'une réduction des forts taux d'élongation présents dans l'écoulement. La dynamique des fluctuations d'épaisseur du film qui joue le rôle d'un scalaire passif de l'écoulement se trouve également profondément modifiée. Mots-Clés : Physique des Polymères, Instabilité interfaciale, Singularités en temps fini, Rhéologie, Viscosité élongationnelle Turbulence bidimensionnelle, Films de savon, Réduction de Traînée turbulente, Scalaire passif.

Ce mémoire est consacré à` l'étude expérimentale, numérique et analytique d'exemples de membranes élastiques ou capillaires. Les grandes déformations des plaques élastiques conduisent en général à la concentration de l'énergie autour de zones presque singulières qui sont linéaires (plis) ou ponctuelles (cônes). Ces singularités sont bien comprises seulement quand elles sont isolées. Nous considérons deux situations modèles présentant plusieurs plis et cônes. Des simulations des équations complètes, ainsi que des calculs analytiques utilisant l'énergie élastique des singularités et des arguments géométriques, sont en accord quantitatif avec les expériences. Les films formés d'un liquide visqueux se déforment aux temps courts comme des plaques élastiques. L'analogie entre l'écoulement d'un fluide visqueux et les déformations d'un solide élastique nous permet d'exhiber un nouveau type de singularité conique sur un film visqueux. Aux temps longs, les films liquides évoluent vers des formes qui minimisent leur énergie capillaire : des surfaces minimales. Nous déterminons les surfaces minimales qui s'appuient sur une double hélice et nous étudions leur stabilité à l'aide de leurs spectres de vibration. Si l'on force une surface minimale solide à vibrer, elle répond de façon notable seulement si la fréquence d'excitation est proche de l'une de ses fréquences propres. Un film de savon à l'équilibre prend la forme d'une surface minimale. Par contre, nous avons constaté que, quand on force le film, son amplitude de vibration varie peu avec la fréquence d'excitation car sa distribution spatiale d'épaisseur s'adapte au forçage. Nous considérons un équivalent mécanique, une masselotte qui coulisse sur une corde vibrante, et montrons que l'ajout d'un degré de liberté (l'épaisseur du film ou la position de la masselotte) à un système vibrant rend celui-ci auto-adaptatif : il répond à toute fréquence de forçage.

Dans cette thèse, nous introduisons et étudions une nouvelle représentation implicite des hypersurfaces rationelles et des courbes rationnelles plongées dans un espace projectif de dimension arbitraire. Nous illustrons les avantages de cette représentation matricielle en abordant plusieurs problèmes importants intervenant en conception géométriqueassistée par ordinateur: les problèmes d'intersection entre deux courbes, entre une courbe et une surface ou bien encore entre deux surfaces, le problème d'appartenance d'un point à une courbe ou une surface, le problème du calcul de la pré-image d'un point donné par une paramétrisation et enfin le problème du calcul des singularités d'une courbe rationnelle. L'approche développée dans ce travail de thèse est basée sur la combinaison de méthodes symboliques et numériques. En effet, un première étape symbolique consiste à transformer le problème considérer en un pinceau de matrices. La deuxième étape consiste alors à calculer les valeurs propres généralisées de ce pinceau à l'aide de méthodes numériques. Pour cela, un algorithme d'extraction de la partie régulière d'un pinceau univarié, respectivement bivarié, de matrices non carrées est présenté. Une implémentation de ces travaux dans les systèmes de calcul formel Mathemagix et Maple est présentée en appendice. Le dernier chapitre est conscré à un algorithme qui, étant donné un ensemble de polynômes univariés f1 , ..., fs construit un ensemble de polynômes u1 , ..., us dont les degrés sont prescrits, tels que le degré du pgcd(f1 + u1 , ..., fs + us ) est supérieur ou égal à un entier donné sous des hypothèses de généricité.