Este trabalho propõe direcionar o estudo de involuções para dois ramos de pesquisa dentro da teoria das Singularidades e de Sistemas Dinâmicos. Mais precisamente, tratamos sua interligação com diagramas divergentes de dobras e seu aparecimento nos sistemas dinâmicos discretos reversíveis. No primeiro, tratamos da importante relação entre a classificação de diagramas divergentes de dobras, digamos de s dobras, e a classificação de s-uplas de involuções associadas a estes diagramas. No segundo contexto, o estudo se volta para a questão sobre condições para a linearização simultânea de uma classe de pares de involuções e a obtenção de formas normais desses pares / This work proposes to address the study of involutions for two branches of research into the theory of Singularities and Dynamical Systems. More precisely, we treat its interconnection with divergent diagrams of folds and their appearance in discrete reversible dynamical systems. First, we treat the important relationship between the classification of divergent diagrams of folds, say s folds, and the classification of s-tuples of involutions associated with these diagrams. In the second context, the study turns to the question of conditions for simultaneous linearization of a class of pairs of involutions and the deduction of the normal forms of these pairs

In the past few years, intensive research efforts have been devoted to studying new approaches to controlling the photon emission of quantum emitters (QEs), especially for telecommunication applications. These approaches rely on tailoring the QE\'s radiation, usually assessed via well-known figures-of-merit such as lifetime (τ) and quantum efficiency (η). Controlling the QE\'s photon emission is important because the faster its photons are emitted, the greater is the number of times it returns to the excited state per second. Therefore, it is crucial to create additional decay channels to reduce τ, which necessarily requires increasing the Purcell factor (P). One of the most promising approaches to increase P involves a new class of metamaterials, known as hyperbolic metamaterials (HMM). This class of materials exhibits pronounced anisotropy, with the parallel and perpendicular permittivity tensor elements (with respect to the anisotropy axis) presenting opposite signs, resulting in an open hyperboloidal isofrequency surface (IS). This unusual IS shape leads to the most outstanding feature of HMMs, namely, the existence of photonic modes with wavenumber (k) much larger than those in free-space (k0), known as high-k modes. By engineering these modes, it is possible to manipulate the HMM photonic density of states (PDoS), thus controlling the QE\'s radiation parameters. The simplest approach to designing HMM is by means of a planar stack of alternating thin metal and dielectric layers. However, the finite thickness of these layers induces spatial dispersion, making the extraction of effective parameters (homogenization) of these media a challenging task. In this context, we propose in this thesis a new constitutive parameter retrieval approach that takes spatial dispersion into account for all electromagnetic parameters of the medium. We demonstrate that the real part of the dispersion curve flattens out (correspondingly with a large imaginary part) because of the absence of propagating modes inside the metamaterial. This flat region is strongly dependent on the layer thicknesses and is a direct manifestation of spatial dispersion. Moreover, we demonstrate that the QE\'s lifetime calculation is overestimated if this effect is not taken into account in the homogenization procedure, which is detrimental for telecommunication applications. Moreover, we demonstrate how to enhance P by a factor greater than 100 with the use of HMMs. However, most of the QE dissipated power couples into the HMM as high-k modes (which do not propagate in free-space). Therefore, the energy is thermally dissipated inside the HMM with a consequent reduction of η . Some authors have resorted to nano-patterned HMMs (NPHM) to convert the high-k modes into free-space modes (k≤k0) aiming at increasing η. However, much of the NPHMs designs still rely on computationally costly three dimensional (3D) numerical simulations. Thus, we also propose in this thesis a new semi-analytical method to model, both in two- and three-dimensions (2D and 3D, respectively), the radiation emission of QEs interacting with nano-patterned structures. The low computational cost of this method makes it attractive for mapping P and η as function of the QE and NPHM relative position. This mapping is a helpful tool to understand the decay behavior of the whole system since QEs are arbitrarily distributed and oriented inside the NPHM. The analytically calculated decay curve allows the systems effective quantum efficiency (ηeff) and Purcell factor (Peff) to be directly obtained assuming multiple arbitrarily distributed electromagnetic sources. In this sense, we propose here a new procedure to optimize the NPHM geometrical parameters to maximize ηeff while achieving the desired Peff. We apply the proposed model to an NPHM composed of nine Ag/SiO2 layers, with the polymer host layer embedded with Rhodamine 6G, to maximize ηeff for a specified tenfold increase of Peff. This procedure allowed ηeff to be increased by 69% and 170% for one- and two-dimensional nano-patterning, respectively. Moreover, the time required to build the P and η maps (used in the calculation of the decay behavior) is reduced by approximately 96% when compared to those numerically calculated via FDTD. This procedure paves the way to the realization of new high-speed and efficient light sources for telecommunication applications. / Nos últimos anos, intensivo esforço tem sido devotado para o estudo de novas método para o controla da missão de fótons de emissores quânticos (EQs), especialmente para aplicações em telecomunicações. Estes métodos dependem da adaptação da radiação dos EQs, geralmente avaliadas por meio das bem conhecidas figuras de mérito, como o tempo de meia vida (τ) e a eficiência quântica (η). O controle da emissão de fótons é importante pois quanto mais rápido os fótons são emitidos, maior é o número de vezes que o EQ retorna ao seu estado excitado por segundo. Portanto, é crucial criar canais de decaimento adicionais para reduzir τ, o que necessariamente requer o aumento do fator de Purcell (P). Uma das abordagens mais promissoras para aumentar P envolve uma nova classe de metamateriais, conhecida como metamateriais hiperbólicos (MHs). Esta classe de materiais apresenta pronunciada anisotropia, onde os elementos paralelo e perpendicular do tensor de permissividade (em relação ao eixo de anisotropia) apresentam sinais opostos, resultando em uma superfície de isofrequência (SI) hiperboloidal aberta (IS). Essa forma incomum de SI leva à característica mais marcante dos MHs, a existência de modos fotônicos com número de onda (k) muito maior do que aqueles no espaço livre (k0), conhecidos como modos alto-k. Ao manipular esses modos, é possível manipular a densidade de estados fotônicos (DES) dos MHs, controlando assim os parâmetros de radiação do QE. A abordagem mais simples para a criação de MHs é por meio de uma pilha plana de camadas metálicas e dielétricas alternadas. Entretanto, a espessura finita dessas camadas induz a dispersão espacial, tornando a extração de parâmetros efetivos (homogeneização) destes meios uma tarefa desafiadora. Neste contexto, propomos nesta tese uma nova abordagem de recuperação de parâmetros constitutivos a dispersão espacial de todos os parâmetros eletromagnéticos do meio é levada em consideração. Nós demonstramos que a parte real da curva de dispersão se aplaina (correspondentemente com uma grande parte imaginária) devido à ausência de modos propagantes dentro do metamaterial. Esta região plana é fortemente dependente das espessuras das camadas e é uma manifestação direta da dispersão espacial Além disso, nós mostramos que se a dispersão espacial não for corretamente considerada no processo de homogeneização, o tempo de meia vida do EQ pode ser superestimado, o que é prejudicial para aplicações de telecomunicações. Além disso, demonstramos como melhorar P por um fator maior que 100 com o uso de MHs. a maior parte da potência dissipada pelos EQs são acopladas nos MHs como modos de alto-k (que não se propagam no espaço livre). Portanto, a energia é dissipada termicamente no interior do MH, resultando em uma redução de η. Alguns autores recorreram a MHs nano-estruturados (MHNE) para converter os modos alto-k em modos de espaço livre (k≤k0) visando o aumento de η. No entanto, muitos dos projetos do NPHM ainda dependem de simulações numéricas tridimensionais (3D) computacionalmente dispendiosas. Assim, também propomos nesta tese um novo método semi-analítico para modelar, tanto em duas como em três dimensões (2D e 3D, respectivamente), a emissão de radiação de EQs interagindo com estruturas nano-estruturadas. O baixo custo computacional deste método faz com que seja atrativo para o mapeamento de P e η em função da posição relativa do EQ e do MHNE. Esse mapeamento é uma ferramenta útil para entender o comportamento de decaimento de todo o sistema, já que os EQs são arbitrariamente distribuídos e orientados dentro do MHNE. A curva de decaimento calculada analiticamente permite que a eficiência quântica efetiva do sistema (ηeff) e o fator de Purcell (Peff) sejam obtidos diretamente, assumindo múltiplas fontes eletromagnéticas arbitrariamente distribuídas. Neste sentido, propomos aqui um novo procedimento para otimizar os parâmetros geométricos do MHNE visando a maximização de ηeff enquanto Peff é aumentado à um valor desejado. Aplicamos o modelo proposto a um MHNE composto por nove camadas de Ag/SiO2, com a camada de polímero embutida com Rodamina 6G, visando maximizar ηeff para um aumento de dez vezes de Peff. Este procedimento permitiu que o ηeff fosse incrementado em 69% e 170% para nano-estruturas uni e bidimensionais, respectivamente. Além disso, o tempo necessário para construir os mapas P e η (utilizados no cálculo da curva de decaimento) é reduzido em aproximadamente 96% quando comparado com os calculados numericamente via FDTD. Este procedimento abre caminho para o desenvolvimento de novas fontes de luz de alta velocidade e eficiência para aplicações de telecomunicações.

[pt] Seja S uma superfície fechada orientável, de gênero > 2 e sem pontos conjugados. Seja F uma folheação no fibrado tangente unitário de S, de codimensão 1, invariante pelo fluxo geodésico e de classe C2. Então, a curvatura de S é constante < 0. A demonstração é conseqüência dos dois seguintes resultados, que têm interesse por si mesmos. O primeiro é que se T1S admite uma folheação contínua de codimensão 1 por folhas C1 invariantes pelo fluxo geodésico então a superfície não tem pontos conjugados e a folheação coincide com a folheação centro-estável ou com a centro-instável. O segundo resultado é o seguinte. Seja S uma superfície fechada orientável, de gênero > 2 e sem pontos conjugados. Então, a folheação centro-estável Fcs de T1S é conjugada à folheação centro-estável da métrica hiperbólica em S. Esta conjugação é da mesma classe de diferenciabilidade de Fcs . Portanto, se Fcs é de classe C2, uma extensão da teoria de Godbillon-Vey implica que a curvatura da superfície é constante negativa. / [en] Lets be a orientable closed surface with no conjugate points. Let F be a foliation in the unitary tangent fiber bundle of S, of codimension 1, invariant by the geodesic flow and of class C2. Then, the curvature of S is constant < 0 . The demonstration is a consequence of the two following results, which are of interest by themselves. The first one is that if T1S admits a continuous foliation of codimension 1 by leaves C1 invariants by the geodesic flow, then the surface is with no conjugate points, and the foliation coincides with either the center stable foliation or the center unstable foliation. The second result is the following. Let S be a orientable closed surface of genus > 2 and with no conjugate points. Then, the center unstable foliation Fcs of T1S is conjugate to the center stable foliation of the hyperbolic metric in S. This conjugation is of the same class of differentiability of Fcs. Therefore, if Fcs is of class C2, an extension of the Godbillon-Vey theory implies that the curvature of the surface is constant negative.

Die vorliegende Dissertation befasst sich mit der mathematischen Modellierung semi-klassischer Licht-Materie-Interaktion. Im semiklassischen Bild wird Materie durch eine Dichtematrix "rho" beschrieben. Das Konzept der Dichtematrizen ist quantenmechanischer Natur. Auf der anderen Seite wird Licht durch ein klassisches elektromagnetisches Feld "(E,H)" beschrieben. Wir stellen einen mathematischen Rahmen vor, in dem wir systematisch dissipative Effekte in die Liouville-von-Neumann-Gleichung inkludieren. Bei unserem Ansatz sticht ins Auge, dass Lösungen der resultierenden Gleichung eine intrinsische Liapunov-Funktion besitzen. Anschließend koppeln wir die resultierende Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen und erhalten ein neues selbstkonsistentes, dissipatives Modell vom Maxwell-Bloch-Typ. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der intensiven mathematischen Studie des dissipativen Modells vom Maxwell-Bloch-Typ. Da das Modell Lipschitz-Stetigkeit vermissen lassen, kreieren wir eine regularisierte Version des Modells, das Lipschitz-stetig ist. Wir beschränken unsere Analyse im Wesentlichen auf die Lipschitz-stetige Regularisierung. Für regularisierte Versionen des dissipativen Modells zeigen wir die Existenz von Lösungen des zugehörigen Anfangswertproblems. Der Kern des Existenzbeweises besteht aus einem Resultat von ``compensated compactness'''', das von P. Gérard bewiesen wurde, sowie aus einem Lemma vom Rellich-Typ. In Teilen folgt dieser Beweis dem Vorgehen einer älteren Arbeit von J.-L. Joly, G. Métivier und J. Rauch. / This thesis deals with the mathematical modeling of semi-classical matter-light interaction. In the semi-classical picture, matter is described by a density matrix "rho", a quantum mechanical concept. Light on the other hand, is described by a classical electromagnetic field "(E,H)". We give a short overview of the physical background, introduce the usual coupling mechanism and derive the classical Maxwell-Bloch equations which have intensively been studied in the literature. Moreover, We introduce a mathematical framework in which we state a systematic approach to include dissipative effects in the Liouville-von-Neumann equation. The striking advantage of our approach is the intrinsic existence of a Liapunov function for solutions to the resulting evolution equation. Next, we couple the resulting equation to the Maxwell equations and arrive at a new self-consistent dissipative Maxwell-Bloch type model for semi-classical matter-light interaction. The main focus of this work lies on the intensive mathematical study of the dissipative Maxwell-Bloch type model. Since our model lacks Lipschitz continuity, we create a regularized version of the model that is Lipschitz continuous. We mostly restrict our analysis to the Lipschitz continuous regularization. For regularized versions of the dissipative Maxwell-Bloch type model, we prove existence of solutions to the corresponding Cauchy problem. The core of the proof is based on results from compensated compactness due to P. Gérard and a Rellich type lemma. In parts, this proof closely follows the lines of an earlier work due to J.-L. Joly, G. Métivier and J. Rauch.

We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.

We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.

In the past few years, intensive research efforts have been devoted to studying new approaches to controlling the photon emission of quantum emitters (QEs), especially for telecommunication applications. These approaches rely on tailoring the QE\'s radiation, usually assessed via well-known figures-of-merit such as lifetime (&tau;) and quantum efficiency (&eta;). Controlling the QE\'s photon emission is important because the faster its photons are emitted, the greater is the number of times it returns to the excited state per second. Therefore, it is crucial to create additional decay channels to reduce &tau;, which necessarily requires increasing the Purcell factor (P). One of the most promising approaches to increase P involves a new class of metamaterials, known as hyperbolic metamaterials (HMM). This class of materials exhibits pronounced anisotropy, with the parallel and perpendicular permittivity tensor elements (with respect to the anisotropy axis) presenting opposite signs, resulting in an open hyperboloidal isofrequency surface (IS). This unusual IS shape leads to the most outstanding feature of HMMs, namely, the existence of photonic modes with wavenumber (k) much larger than those in free-space (k0), known as high-k modes. By engineering these modes, it is possible to manipulate the HMM photonic density of states (PDoS), thus controlling the QE\'s radiation parameters. The simplest approach to designing HMM is by means of a planar stack of alternating thin metal and dielectric layers. However, the finite thickness of these layers induces spatial dispersion, making the extraction of effective parameters (homogenization) of these media a challenging task. In this context, we propose in this thesis a new constitutive parameter retrieval approach that takes spatial dispersion into account for all electromagnetic parameters of the medium. We demonstrate that the real part of the dispersion curve flattens out (correspondingly with a large imaginary part) because of the absence of propagating modes inside the metamaterial. This flat region is strongly dependent on the layer thicknesses and is a direct manifestation of spatial dispersion. Moreover, we demonstrate that the QE\'s lifetime calculation is overestimated if this effect is not taken into account in the homogenization procedure, which is detrimental for telecommunication applications. Moreover, we demonstrate how to enhance P by a factor greater than 100 with the use of HMMs. However, most of the QE dissipated power couples into the HMM as high-k modes (which do not propagate in free-space). Therefore, the energy is thermally dissipated inside the HMM with a consequent reduction of &eta; . Some authors have resorted to nano-patterned HMMs (NPHM) to convert the high-k modes into free-space modes (k&#8804;k0) aiming at increasing &eta;. However, much of the NPHMs designs still rely on computationally costly three dimensional (3D) numerical simulations. Thus, we also propose in this thesis a new semi-analytical method to model, both in two- and three-dimensions (2D and 3D, respectively), the radiation emission of QEs interacting with nano-patterned structures. The low computational cost of this method makes it attractive for mapping P and &eta; as function of the QE and NPHM relative position. This mapping is a helpful tool to understand the decay behavior of the whole system since QEs are arbitrarily distributed and oriented inside the NPHM. The analytically calculated decay curve allows the systems effective quantum efficiency (&eta;eff) and Purcell factor (Peff) to be directly obtained assuming multiple arbitrarily distributed electromagnetic sources. In this sense, we propose here a new procedure to optimize the NPHM geometrical parameters to maximize &eta;eff while achieving the desired Peff. We apply the proposed model to an NPHM composed of nine Ag/SiO2 layers, with the polymer host layer embedded with Rhodamine 6G, to maximize &eta;eff for a specified tenfold increase of Peff. This procedure allowed &eta;eff to be increased by 69% and 170% for one- and two-dimensional nano-patterning, respectively. Moreover, the time required to build the P and &eta; maps (used in the calculation of the decay behavior) is reduced by approximately 96% when compared to those numerically calculated via FDTD. This procedure paves the way to the realization of new high-speed and efficient light sources for telecommunication applications. / Nos últimos anos, intensivo esforço tem sido devotado para o estudo de novas método para o controla da missão de fótons de emissores quânticos (EQs), especialmente para aplicações em telecomunicações. Estes métodos dependem da adaptação da radiação dos EQs, geralmente avaliadas por meio das bem conhecidas figuras de mérito, como o tempo de meia vida (&tau;) e a eficiência quântica (&eta;). O controle da emissão de fótons é importante pois quanto mais rápido os fótons são emitidos, maior é o número de vezes que o EQ retorna ao seu estado excitado por segundo. Portanto, é crucial criar canais de decaimento adicionais para reduzir &tau;, o que necessariamente requer o aumento do fator de Purcell (P). Uma das abordagens mais promissoras para aumentar P envolve uma nova classe de metamateriais, conhecida como metamateriais hiperbólicos (MHs). Esta classe de materiais apresenta pronunciada anisotropia, onde os elementos paralelo e perpendicular do tensor de permissividade (em relação ao eixo de anisotropia) apresentam sinais opostos, resultando em uma superfície de isofrequência (SI) hiperboloidal aberta (IS). Essa forma incomum de SI leva à característica mais marcante dos MHs, a existência de modos fotônicos com número de onda (k) muito maior do que aqueles no espaço livre (k0), conhecidos como modos alto-k. Ao manipular esses modos, é possível manipular a densidade de estados fotônicos (DES) dos MHs, controlando assim os parâmetros de radiação do QE. A abordagem mais simples para a criação de MHs é por meio de uma pilha plana de camadas metálicas e dielétricas alternadas. Entretanto, a espessura finita dessas camadas induz a dispersão espacial, tornando a extração de parâmetros efetivos (homogeneização) destes meios uma tarefa desafiadora. Neste contexto, propomos nesta tese uma nova abordagem de recuperação de parâmetros constitutivos a dispersão espacial de todos os parâmetros eletromagnéticos do meio é levada em consideração. Nós demonstramos que a parte real da curva de dispersão se aplaina (correspondentemente com uma grande parte imaginária) devido à ausência de modos propagantes dentro do metamaterial. Esta região plana é fortemente dependente das espessuras das camadas e é uma manifestação direta da dispersão espacial Além disso, nós mostramos que se a dispersão espacial não for corretamente considerada no processo de homogeneização, o tempo de meia vida do EQ pode ser superestimado, o que é prejudicial para aplicações de telecomunicações. Além disso, demonstramos como melhorar P por um fator maior que 100 com o uso de MHs. a maior parte da potência dissipada pelos EQs são acopladas nos MHs como modos de alto-k (que não se propagam no espaço livre). Portanto, a energia é dissipada termicamente no interior do MH, resultando em uma redução de &eta;. Alguns autores recorreram a MHs nano-estruturados (MHNE) para converter os modos alto-k em modos de espaço livre (k&#8804;k0) visando o aumento de &eta;. No entanto, muitos dos projetos do NPHM ainda dependem de simulações numéricas tridimensionais (3D) computacionalmente dispendiosas. Assim, também propomos nesta tese um novo método semi-analítico para modelar, tanto em duas como em três dimensões (2D e 3D, respectivamente), a emissão de radiação de EQs interagindo com estruturas nano-estruturadas. O baixo custo computacional deste método faz com que seja atrativo para o mapeamento de P e &eta; em função da posição relativa do EQ e do MHNE. Esse mapeamento é uma ferramenta útil para entender o comportamento de decaimento de todo o sistema, já que os EQs são arbitrariamente distribuídos e orientados dentro do MHNE. A curva de decaimento calculada analiticamente permite que a eficiência quântica efetiva do sistema (&eta;eff) e o fator de Purcell (Peff) sejam obtidos diretamente, assumindo múltiplas fontes eletromagnéticas arbitrariamente distribuídas. Neste sentido, propomos aqui um novo procedimento para otimizar os parâmetros geométricos do MHNE visando a maximização de &eta;eff enquanto Peff é aumentado à um valor desejado. Aplicamos o modelo proposto a um MHNE composto por nove camadas de Ag/SiO2, com a camada de polímero embutida com Rodamina 6G, visando maximizar &eta;eff para um aumento de dez vezes de Peff. Este procedimento permitiu que o &eta;eff fosse incrementado em 69% e 170% para nano-estruturas uni e bidimensionais, respectivamente. Além disso, o tempo necessário para construir os mapas P e &eta; (utilizados no cálculo da curva de decaimento) é reduzido em aproximadamente 96% quando comparado com os calculados numericamente via FDTD. Este procedimento abre caminho para o desenvolvimento de novas fontes de luz de alta velocidade e eficiência para aplicações de telecomunicações.

Ce travail de thèse a pour but d'étudier des écoulements non stationnaires de fluides incompressibles Newtoniens et non isothermes. Le problème est décrit par les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie. Nous nous intéressons au couplage entre le système de Navier-Stokes et l’équation de la chaleur hyperbolique (le résultat de la combinaison entre la loi de conservation d'énergie et la loi de Cattaneo). Cette dernière est une modification de la loi de Fourier utilisée habituellement, elle permet de surmonter « le paradoxe de la chaleur » et d'obtenir une description plus précise de la propagation de la chaleur. Le système couplé est un problème hyperbolique-parabolique dont la viscosité dépend de la température, alors que la capacité thermique et le terme de dissipation dépendent de la vitesse. Afin d’obtenir un résultat d'existence de solutions du problème couplé, nous démontrons d'abord l'existence et l'unicité de la solution du problème hyperbolique puis nous introduisons une discrétisation en temps et nous étudions la convergence des solutions approchées vers celles du problème original. Dans un deuxième temps nous étudions l'existence et l'unicité de la solution du système de Navier-Stokes muni des conditions aux limites de type Tresca puis de type Coulomb en dimension 2 et 3. Dans le chapitre 3, nous proposons une discrétisation en temps du problème d'écoulement dans le cas de la condition au limite de type Tresca et nous établissons la convergence des solutions approchées. Le dernier chapitre de ce mémoire est consacré à l'étude du problème couplé dans le cas de conditions aux limites de type Tresca. L'existence d'une solution est obtenue par un argument théorique de point fixe en dimension 2 et également par une méthode de discrétisation en temps qui conduit à résoudre sur chaque sous intervalle de temps un problème découplé pour la vitesse et la pression d'une part et la température d'autre part / The main objective of this thesis is to study nonstationary flows of incompressible Newtonian and non isothermal fluids. The problem is described by the laws of conservation of mass, momentum and energy. We consider the coupling between the Navier-Stokes system and the hyperbolic heat equation (the result of combination between the law of conservation of energy and the Cattaneo’s law). This one is a modification of the commonly used Fourier's law, it overcomes "the heat paradox" and gives a more accurate description of heat propagation. The coupled system is an hyperbolic-parabolic problem where the viscosity depends on the temperature but the thermal capacity and the dissipative term depend on the velocity. To obtain an existence result for the coupled system, we first prove the existence and uniqueness of the solution of the hyperbolic problem then we introduce a time discretization and we study the convergence of the approximate solutions to those of the original problem. In the second chapter, we study the existence and uniqueness of the solution of Navier-Stokes system with Tresca or Coulomb boundary conditions in dimension 2 and 3. In the third chapter, we propose a time discretization of the flow problem in the case of Tresca boundary conditions and we establish the convergence of the approximate solutions. The last chapter is devoted to the study of the coupled problem in the case of Tresca free boundary conditions. The existence of a solution is obtained by a theoretical argument (fixed-point theorem) in dimension 2 and also by a method of time discretization leading, on each time subinterval, to a decoupled problem for the velocity and pressure of a hand and the temperature of the other hand

Les systèmes d'Equations aux Dérivées Partielles Hyperboliques Linéaires du Premier Ordre (EDPs HLPO) permettent de modéliser de nombreux systèmes de lois de conservation. Ils apparaissent, par exemple, lors de la modélisation de problèmes de trafic routier, d'échangeurs de chaleurs, ou de problèmes multiphasiques. Différentes approches ont été proposées pour stabiliser ou observer de tels systèmes. Parmi elles, la méthode de backstepping consiste à transformer le système originel en un système découplé pour lequel la synthèse de la loi de commande est plus simple. Les contrôleur obtenus par cette méthode sont explicites.Dans la première partie de cette thèse, nous présentons des résultats généraux de théorie des systèmes. Plus précisément, nous résolvons les problèmes de stabilisation en temps fini pour une classe générale d'EDPs HLPO. Le temps de convergence minimal atteignable dépend du nombre d'actionneurs disponibles. Les observateurs associés à ces contrôleurs (nécessaires pour envisager une utilisation industrielle de tels contrôleurs) sont obtenus via une approche duale. Un des avantages importants de l'approche considérée dans cette thèse est de montrer que l'espace généré par les solutions de l'EDPs HLPO considérée est isomorphe à l'espace généré par les solutions d'une système neutre à retards distribués.Dans la seconde partie de cette thèse, nous montrons la nécessité d'un changement de stratégie pour résoudre les problèmes de contrôle robuste. Ces questions surviennent nécessairement lorsque sont considérées des applications industrielles pour lesquelles les différents paramètres du système peuvent être mal connus, pour lesquelles des dynamiques peuvent avoir été négligées, de même que des retards agissant sur la commande ou sur la mesure, ou encore pour lesquels les mesures sont bruitées. Nous proposons ainsi quelques modifications sur les lois de commande précédemment développées en y incorporant plusieurs degrés de liberté permettant d'effectuer un compromis entre performance et robustesse. L'analyse de stabilité et de robustesse sous-jacente est rendue possible en utilisant l'isomorphisme précédemment introduit. / Linear First-Order Hyperbolic Partial Differential Equations (LFOH PDEs) represent systems of conservation and balance law and are predominant in modeling of traffic flow, heat exchanger, open channel flow or multiphase flow. Different control approaches have been tackled for the stabilization or observation of such systems. Among them, the backstepping method consists to map the original system to a simpler system for which the control design is easier. The resulting controllers are explicit.In the first part of this thesis, we develop some general results in control theory. More precisely, we solve the problem of finite-time stabilization of a general class of LFOH PDEs using the backstepping methodology. The minimum stabilization time reachable may change depending on the number of available actuators. The corresponding boundary observers (crucial to envision industrial applications) are obtained through a dual approach. An important by-product of the proposed approach is to derive an explicit mapping from the space generated by the solutions of the considered LFOH PDEs to the space generated by the solutions of a general class of neutral systems with distributed delays. This mapping opens new prospects in terms of stability analysis for LFOH PDEs, extending the stability analysis methods developed for neutral systems.In the second part of the thesis, we prove the necessity of a change of strategy for robust control while considering industrial applications, for which the major limitation is known to be the robustness of the resulting control law to uncertainties in the parameters, delays in the loop, neglected dynamics or disturbances and noise acting on the system. In some situations, one may have to renounce to finite-time stabilization to ensure the existence of robustness margins. We propose some adjustments in the previously designed control laws by means of several degrees of freedom enabling trade-offs between performance and robustness. The robustness analysis is fulfilled using the explicit mapping between LFOH PDEs and neutral systems previously introduced.

Grâce au théorème d'hyperbolisation, nous savons précisément quand une variété de dimension trois compacte admet une métrique hyperbolique. Par ailleurs, d'après le théorème de rigidité de Mostow, cette structure géométrique est unique. Cependant, trouver des liens pratiques entre la géométrie et la topologie est un problème difficile. La plupart des résultats décrits dans cette thèse visent à concrétiser ces liens. Toute géodésique fermée orientée dans une surface hyperbolique admet un relèvement canonique dans le fibré tangent unitaire de la surface, et on peut donc le voir comme un nœud dans une variété de dimension trois. Les extérieurs des nœuds ainsi construits admettent une structure hyperbolique. Cette thèse a pour objet d'estimer le volume des extérieurs des relèvements canoniques. Pour toute surface hyperbolique on construit une suite de géodésique sur la surface, tel que les extérieurs associées ne sont pas homéomorphes entre elles et dont la suite des volumes respectifs est bornée. Aussi on minore le volume de l'extérieur à l'aide d'un réel explicite qui décrit une relation entre la géodésique et une décomposition en pantalons de la surface. Ceci donne une méthode pour construire une suite de géodésiques dont les volumes des extérieurs associées sont minorées en termes de la longueur de la géodésique correspondant. Dans le cas particulier de la surface modulaire, on obtient des estimations du volume de l'extérieur en termes de la période de la fraction continue associée à la géodésique. / Due to the Hyperbolization Theorem, we know precisely when does a given compact three dimensional manifold admits a hyperbolic metric. Moreover, by the Mostow's Rigidity Theorem this geometric structure is unique. However, finding effective and computable connections between the geometry and topology is a challenging problem. Most of the results on this thesis fit into the theme of making the connections more concrete. To every oriented closed geodesic on a hyperbolic surface has a canonical lift on the unit tangent bundle of the surface, and we can see it as a knot in a three dimensional manifold. The knot complement given in this way has a hyperbolic structure. The objective of this thesis is to estimate the volume of the canonical lift complement. For every hyperbolic surface we give a sequence of geodesics on the surface, such that the knot complements associated are not homeomorphic with each other and the sequence of the corresponding volumes is bounded. We also give a lower bound of the volume of the canonical lift complement by an explicit real number which describes a relation between the geodesic and a pants decomposition of the surface. This give us a method to construct a sequence of geodesics where the volume of the associated knot complements is bounded from below in terms of the length of the corresponding geodesic. For the particular case of the modular surface, we obtain estimations for the volume of the canonical lift complement in terms of the period of the continuous fraction expansion of the corresponding geodesic.