Dans une première partie, nous considérons des problèmes de Cauchy pour des équations et systèmes hyperboliques du premier ordre. Nous donnons une représentation de l'opérateur solution comme produit infini d'opérateurs intégraux de Fourier à phase complexe. Nous démontrons la convergence de cette représentation dans les espaces de Sobolev, ainsi que celle du front d'onde. Pour les systèmes, nous traitons les cas symétriques et symétrisables. La représentation proposée conduit naturellement à des schémas numériques pour la résolution des problèmes de Cauchy. Nous présentons des applications de cette méthode dans le domaine de l'imagerie sismique. Dans ce cadre, grâce à des approximations microlocales nous obtenons des schémas efficaces. D'autres applications de l'analyse microlocale à la sismologie sont présentées.<br />Dans une seconde partie, nous étudions la contrôlabilité aux trajectoires pour des équations paraboliques linéaires et semi-linéaires. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas d'opérateurs sous forme divergentielle où le coefficient de la partie principale est non continu. Nous prouvons tout d'abord une inégalité de Carleman, en dimension un d'espace, pour un coefficient $C^1$ par morceaux. Par un passage à la limite dans l'inégalité de Carleman, ce résultat est étendu au cas d'un coefficient $BV$. Avec ces résultats, nous prouvons la contrôlabilité de ces équations paraboliques en dimension un d'espace sans faire d'hypothèse de compatibilité entre la région de contrôle et les signes des sauts du coefficient discontinu. De plus, nous exhibons un cas en dimension supérieure pour lequel la même conclusion est obtenue. Finalement, nous utilisons une inégalité de Carleman afin d'identifier le coefficient discontinu à partir de mesures faites sur la solution.

Ce mémoire présente les travaux réalisés au cours de ma thèse dans le but d'étudier la contrôlabilité de quelques équations aux dérivées partielles. La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de la contrôlabilité de quelques équations cinétiques en différents régimes. Dans un régime collisionnel, nous étudions la contrôlabilité de l'équation de Kolmogorov, un modèle de type Fokker-Planck cinétique, posée dans l'espace de phases $R^d times R^d$. Nous obtenons la contrôlabilité à zéro de cette équation grâce à l'utilisation d'une inégalité spectrale associée à l'opérateur Laplacien dans tout l'espace. Dans un régime non-collisionnel, nous étudions la contrôlabilité de deux systèmes de couplage fluide-cinétique, les systèmes de Vlasov-Stokes et de Vlasov-Navier-Stokes, comportant des non-linéarités dues au terme de couplage. Dans ces cas, l'approche repose sur la méthode du retour.Dans la deuxième partie nous étudions la contrôlabilité d'une famille d'équations paraboliques dégénérées 1-D par la méthode de platitude, qui permet la constructions de contrôles explicites. La troisième partie porte sur le problème de la contrôlabilité de l'équation de Schrödinger par la forme du domaine, c'est-à-dire, en utilisant le domaine comme variable de contrôle. Nous obtenons un résultat de ce type dans le cas du disque unité bidimensionnel. Nos méthodes sont basées sur un résultat de contrôle exact local autour d'une certaine trajectoire, obtenu grâce au théorème d'inversion locale. / This memoir presents the results obtained during my PhD, whose goal is the study of the controllability of some Partial Differential Equations.The first part of this thesis is concerned with the study of the controllability of some kinetic equations undergoing different regimes. Under a collisional regime, we study the controllability of the Kolmogorov equation, a particular case of kinetic Fokker-Planck equation, in the phase space $R^d times R^d$. We obtain the null-controllability of this equation thanks to the use of a spectral inequality associated to the Laplace operator in the whole space. Under a non-collisional regime, we study the controllability of two fluid-kinetic models, the Vlasov-Stokes system and the Vlasov-Navier-Stokes system, which exhibe nonlinearities due to the coupling terms. In those cases, the strategy relies on the Return method.In the second part, we study the controllability of a family of 1-D degenerate parabolic equations by the flatness method, which allows the construction of explicit controls.The third part is focused on the problem of the controllability of the Schrödinger equation via domain deformations, i.e., using the domain as a control. We obtain a result of this kind in the case of the two-dimensional unit disk, for radial data. Our methods are based on a local exact controllability result around a certain trajectory, obtained thanks to the Inverse Mapping theorem.

Nous nous intéressons dans ce mémoire à des équations d'évolution associées aux fonctionnelles de Ginzburg-Landau, de nature parabolique. Notre but est de décrire le comportement temporel de la limite des solutions quand un petit paramètre de pénalisation tend vers 0.Dans le premier chapitre, nous retraçons de manière synthétique l'étude remarquable due à Bethuel, Orlandi et Smets sur l'équation de Ginzburg-Landau parabolique en dimension 2 : l'évolution des points vortex est gouvernée par le flot gradient de la fonctionnelle de Kirchoff-Onsager modifié par un terme de drift; elle est régulière hors des temps de collision ou de séparation de vortex ;ces phénomènes sont soumis à la conservation du degré local et à la dissipation d'énergie.Dans le second chapitre, nous considérons le problème de Cauchy pour des systèmes d'équations paraboliques semi-linéaires. Motivés par l'exemple des vortex, nous construisons, pour des nonlinéarités défocalisantes, des solutions globales de l'équation intégrale associée ayant des données initiales non bornées en espace (croissant comme exp(x^2)). Dans le cas de nonlinéarités focalisantes, nous montrons un phénomène d'explosion instantanée.Dans le troisième chapitre, nous revenons à l'équation de Ginzburg-Landau parabolique en dimension quelconque. Nous remplaçons la borne sur l'énergie de Bethuel, Orlandi et Smets, par une borne locale en espace, qui permet de traiter des configurations générales de vortex sans avoir recours aux « vortex évanescents ». Nous étendons leur analyse, et montrons des résultats de décomposition de l'énergie renormalisée, et du mouvement par courbure moyenne de la mesure d'énergie concentrée. / We are interested in this thesis in evolution equations related to the Ginzburg-Landau functionals, of parabolic nature. Our goal is to describe the temporal behavior of limiting solutions as a small penalisation parameter tends to 0.In the first chapter, we retrace in a synthetic way the remarkable study by Bethuel, Orlandi and Smets on the parabolic Ginzburg-Landau equation in dimension 2 : the evolution of point vortices is governed by the gradient flow of the Kirchoff-Onsager functionnal modified by a drift term ; it is smooth away from the merging and splitting times ; these phenomenon are subject to conservation of the local degree and energy dissipation.In the second chapter, we consider the Cauchy problem for systems of semi-linear parabolic equations. Motivated by the example of the vortices, we construct, for defocusing nonlinearities, global solutions to the associated integral equation with intial data unbounded in space (allowed to grow like exp(x^2)). In the case of focusing nonlinearities, we show a phenomenon of instantaneous blow-up.In the third chapter, we go back to the parabolic Ginzburg-Landau equation. We replace the energy bound of Bethuel, Orlandi et Smets by a local-in-space bound on the energy. This allows to consider general configurations of vortices without the help of « vanishing vortices ». We extend their analysis, and show various results of decomposition of the renormalized energy, and that the concentrated energy moves according to the mean curvature flow.

Dans cette thèse, nous étudions la contrôlabilité à zéro de quelques systèmes paraboliques continus et semi-discrétisés. Nous considérons tout d'abord des systèmes en cascade d'équations paraboliques de la forme ∂t −(∂xγ∂x +q). La variable spatiale évolue dans un intervalle réel borné et ce système est semi-discrétisé en espace par un schéma aux différences finies. En appliquant la méthode des moments, nous démontrons des résultats de contrôlabilité à zéro et de φ(h) contrôlabilité à zéro, suivant les hypothèses formulées sur le maillage et les fonctions γ et q. Puis nous étendons ces résultats lorsque la variable d'espace évolue dans un domaine cylindrique, la zone de contrôle se situant dans une partie d'une section au bord du cylindre. Ce domaine cylindrique se décompose en un produit de deux espaces. Sur le premier, de dimension 1, nous appliquons les résultats décrits précédemment. Sur le second, nous appliquons la méthode de Lebeau-Robbiano. Cette approche permet à la fois de montrer que le problème discrétisé est φ(h) contrôlable à zéro et de retrouver un résultat de contrôlabilité à zéro sur le système continu. Dans une autre partie, nous nous intéressons au temps minimal de contrôle à zéro de l'équation de Grushin posée sur un domaine rectangulaire dont le domaine de contrôle est une bande verticale. L'étude se ramène à une infinité dénombrable, indexée par le paramètre de Fourier $n$, de problèmes de contrôle à zéro d'équations paraboliques, traitée, ici encore, à l'aide de la méthode des moments. / In this thesis, we study the null controllability of some continous and semi discretized parabolic systems. We first consider cascade systems of parabolic equations of the form ∂t −(∂xγ∂x +q). The space variable belongs to a real and bounded interval and this system is semi-discretized in space by a finite differences scheme. Applying the so called moments method, we prove null controllability and φ(h) null controllability results, depending on the hypotheses on the mesh and on functions γ and q. Then, we extend this results when the space variable belongs to a cylindrical domain which control zone is in a section at the border of the cylinder. This cylindrical domain is decomposed into a product of two spaces. On the first, of dimension 1, we apply the results described previously. On the second, we use the Lebeau-Robbiano's procedure. In this framework, we prove φ(h) null controllability results on the discretized domain as well as null controllability results on the continous problem. In another section, we investigate the computation of minimal time of null controllability of Grushin's equation defined on a rectangular domain which control region is a vertical strip. This problem of control amounts to study a countably infinite family, indexed by the Fourier parameter $n$, of null control problems of parabolic equations, tackled, once again, with the moments method.

Ce mémoire est centré autour de l'analyse numérique de schémas volumes finis pour un modèle simplifié d'écoulement de deux fluides incompressibles en milieu poreux. Ces phénomènes sont souvent qualifiés de phénomènes de convection diffusion à convection dominante (``convection dominated problems'' en anglais). La première partie du mémoire est consacrée à l'approximation numérique d'équations paraboliques hyperboliques faiblement ou fortement dégénérées. Les trois premiers chapitres sont consacrés à l'étude de la convergence de schémas volumes finis. Le dernier chapitre est consacré à l'analyse des résultats numériques obtenus. La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique d'un modèle simplifié d'écoulement diphasique en milieu poreux par deux schémas différents. Le premier schéma dit ``des mathématiciens'' est basé sur la réécriture du système étudié sous la forme d'une équation parabolique hyperbolique sur la saturation et d'une équation elliptique sur la pression, ces deux équations étant couplées par le coefficient de diffusion. Le second schéma dit schéma ``des pétroliers'' est une méthode numérique utilisée en pratique dans l'industrie pétrolière. Les deux schémas sont analysés séparément et ils sont ensuite comparés numériquement.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations et systèmes de réaction-diffusion dans des milieux hétérogènes. Elle est divisée en deux parties. La première est dédiée à l'étude des équations de réaction-diffusion dans des milieux périodiques. Nous nous intéressons en particulier aux équations posées dans des domaines qui ne sont pas l'espace entier $\mathbb{R}^{N}$, mais des domaines périodiques, avec des "obstacles". Dans un premier chapitre, nous étudions l'effet de la géométrie du domaine sur la vitesse d'invasion des solutions. Après avoir dérivé une formule de type Freidlin-Gartner, nous construisons des domaines où la vitesse d'invasion est strictement inférieure à la vitesse critique des fronts. Nous donnons également des critères géométriques qui garantissent l'existence de directions où l'invasion se produit à la vitesse critique. Dans le chapitre suivant, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour garantir que l'invasion ait lieu, après quoi nous construisons des domaines où des phénomènes intermédiaires (blocage, invasion orientée) se produisent. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de modèles décrivant l'influence de lignes à diffusion rapide (une route, par exemple) sur la propagation d'espèces invasives. Il a en effet été observé que certaines espèces, dont le moustique-tigre, envahissent plus rapidement que prévu certaines zones proches du réseau routier. Nous étudions deux modèles : le premier décrit l'influence d'une route courbe sur la propagation. Nous nous intéressons en particulier au cas de deux routes non-parallèles. Le second modèle décrit l'influence d'une route sur une niche écologique, en présence d'un changement climatique. Le résultat principal est que l'effet de la route est ambivalent : si la niche est stationnaire, alors l'effet de la route est délétère. Cependant, si la niche se déplace, suite à un changement climatique, nous montrons que la route peut permettre à une population de survivre. Pour étudier ce second modèle, nous développons une notion de valeur propre principale généralisée pour des systèmes de type KPP, et nous dérivons une inégalité de Harnack, qui est nouvelle pour ce type de systèmes. / This thesis is dedicated to the study of reaction-diffusion equations and systems in heterogeneous media. It is divided into two parts. The first one is devoted to the study of reaction-diffusion equations in periodic media. We pay a particular attention to equations set on domains that are not the whole space $\mathbb{R}^{N}$, but periodic domains, with "obstacles". In a first chapter, we study how the geometry of the domain can influence the speed of invasion of solutions. After establishing a Freidlin-Gartner type formula, we construct domains where the speed of invasion is strictly less than the critical speed of fronts. We also give geometric criteria to ensure the existence of directions where the invasion occurs with the critical speed. In the second chapter, we give necessary and sufficient conditions to ensure that invasion occurs, and we construct domains where intermediate phenomena (blocking, oriented invasion) occur. The second part of this thesis is dedicated to the study of models describing the influence of lines with fast diffusion (a road, for instance) on the propagation of invasive species. Indeed, it was observed that some species, such as the tiger mosquito, invade faster than expected some areas along the road-network. We study two models : the first one describes the influence of a curved road on the propagation. We study in particular the case of two non-parallel roads. The second model describes the influence of a road on an ecological niche, in presence of climate change. The main result is that the effect of the road is ambivalent: if the niche is stationary, then effect of the road is deleterious. However, if the niche moves, because of a shifting climate, the road can actually help the population to persist. To study this model, we introduce a notion of generalized principal eigenvalue for KPP-type systems, and we derive a Harnack inequality, that is new for this type of systems.

Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité de différentes équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à la méthode de Lebeau-Robbiano pour le contrôle des équations paraboliques linéaires. On étend tout d'abord cette méthode à des opérateurs elliptiques non-autoadjoints, montrant une inégalité spectrale ainsi que la contrôlabilité de l'équation parabolique associée. On prouve ensuite ces deux propriétés pour un modèle de transmission à travers une interface, pour lequel la condition de transmission implique une diffusion tangentielle. La preuve repose sur une inégalité de Carleman, uniforme par rapport au petit paramètre représentant l'épaisseur de l'interface. Dans la deuxième partie, on analyse les propriétés de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires couplées par des termes d'ordre zéro. Après avoir étudié la stabilisation de deux équations d'ondes, dont une seulement est amortie, on montre la contrôlabilité en temps grand d'un système similaire au moyen d'un seul contrôle, sous des conditions géométriques optimales sur les zones de contrôle et de couplage. Par des méthodes d'analyse microlocale, on obtient de plus la contrôlabilité de systèmes d'ondes en cascade, ainsi que l'expression exacte du temps minimal de contrôle. On déduit de ces résultats la contrôlabilité des systèmes paraboliques associés, dans des situations où les zones de contrôle et de couplage sont disjointes. Enfin, dans la troisième partie, on étudie la contrôlabilité uniforme de perturbations visqueuses de lois de conservation scalaires, dans la limite de viscosité évanescente. On montre la contrôlabilité exacte globale aux états constants au moyen de contrôles uniformément bornés lorsque la viscosité tend vers zéro.

Ce mémoire comprend les chapitres : 1) Introduction 2) La généricité et les notions de "presque toujours" 3) Dynamique générique des équations paraboliques 4) Dissipativit é de l'équation des ondes amorties et application au contrôle global 5) Etude de fronts dans des EDP dissipatives

Les résultats présentés dans ce mémoire sont dédiés à l'étude théorique et numérique de modèles en chimiotaxie-fluide motivés par un large éventail de phénomènes biologiques comme la chimiotaxie de populations cellulaires dans un fluide. Les deux premiers chapitres de cette thèse portent sur la chimiotaxie dans un fluide au repos. Au début, on généralise un schéma de volumes finis au cas de modèles isotropes de Keller-Segel avec des coefficients diffusifs scalaires généraux sur des maillages admissibles. Ensuite, on propose et on étudie un schéma monotone combinant les méthodes de volumes finis et d'éléments finis non conformes et permettant une discrétisation efficace et robuste de modèles de Keller-Segel avec des tenseurs diffusifs anisotropes hétérogènes sans imposer des conditions restrictives sur le maillage du domaine en espace. Les deux derniers chapitres sont dédiés à l'étude théorique (existence globale, unicité) et l'étude numérique (extension de la méthode combinée) du système chimiotactisme-fluide complet constitué d'équations chimiotaxiques anisotropes couplées aux équations de Navier-Stokes modélisant un fluide incompressible. Ce couplage s'effectue à travers les termes décrivant d'un part le transport des cellules vivantes et du chimio-attractant par le fluide et d'autre part la force gravitationnelle exercée par ces organismes vivants sur le fluide. Les travaux de cette thèse ont donné lieu à l'écriture d'un code de calcul très développé en Fortran 95 afin de valider nos résultats par des simulations numériques.

Le thème de cette thèse est l'analyse mathématique de modèles décrivant l'intrusion saline dans les aquifères côtiers. On a choisi d'adopter la simplicité de l'approche avec interface nette : il n'y a pas de transfert de masse entre l'eau douce et l'eau salée (resp. entre la zone saturée et la zone sèche). On compense la difficulté mathématique liée à l'analyse des interfaces libres par un processus de moyennisation verticale nous permettant de réduire le problème initialement 3D à un système d'edps définies sur un domaine, Ω, 2D. Un second modèle est obtenu en combinant l'approche 'interface nette' à celle avec interface diffuse ; cette approche est déduite de la théorie introduite par Allen-Cahn, utilisant des fonctions de phase pour décrire les phénomènes de transition entre les milieux d'eau douce et d'eau salée (respectivement les milieux saturé et insaturé). Le problème d'origine 3D est alors réduit à un système fortement couplé d'edps quasi-linéaires de type parabolique dans le cas des aquifères libres décrivant l'évolution des profondeurs des 2 surfaces libres et de type elliptique-parabolique dans le cas des aquifères confinés, les inconnues étant alors la profondeur de l'interface eau salée par rapport à eau douce et la charge hydraulique de l'eau douce. Dans la première partie de la thèse, des résultats d'existence globale en temps sont démontrés montrant que l'approche couplée interface nette-interface diffuse est plus pertinente puisqu'elle permet d'établir un principe du maximum plus physique (plus précisèment une hiérarchie entre les 2 surfaces libres). En revanche, dans le cas de l'aquifère confiné, nous montrons que les deux approches conduisent à des résultats similaires. Dans la seconde partie de la thèse, nous prouvons l'unicité de la solution dans le cas non dégénéré, la preuve reposant sur un résultat de régularité du gradient de la solution dans l'espace Lr (ΩT), r > 2, (ΩT = (0,T) x Ω). Puis nous nous intéressons à un problème d'identification des conductivités hydrauliques dans le cas instationnaire. Ce problème est formulé par un problème d'optimisation dont la fonction coût mesure l'écart quadratique entre les charges hydrauliques expérimentales et celles données par le modèle. / The theme of this thesis is the analysis of mathematical models describing saltwater intrusion in coastal aquifers. The simplicity of sharp interface approach is chosen : there is no mass transfer between fresh water and salt water (respectively between the saturated zone and the area dry). We compensate the mathematical difficulty of the analysis of free interfaces by a vertical averaging process allowing us to reduce the 3D problem to system of pde's defined on a 2D domain Ω. A second model is obtained by combining the approach of 'sharp interface' in that with 'diffuse interface' ; this approach is derived from the theory introduced by Allen-Cahn, using phase functions to describe the phenomena of transition between fresh water and salt water (respectively the saturated and unsaturated areas). The 3D problem is then reduced to a strongly coupled system of quasi-linear parabolic equations in the unconfined case describing the evolution of the DEPTHS of two free surfaces and elliptical-parabolic equations in the case of confined aquifer, the unknowns being the depth of salt water/fresh water interface and the fresh water hydraulic head. In the first part of the thesis, the results of global in time existence are demonstrated showing that the sharp-diffuse interface approach is more relevant since it allows to establish a mor physical maximum principle (more precisely a hierarchy between the two free surfaces). In contrast, in the case of confined aquifer, we show that both approach leads to similar results. In the second part of the thesis, we prove the uniqueness of the solution in the non-degenerate case. The proof is based on a regularity result of the gradient of the solution in the space Lr (ΩT), r > 2, (ΩT = (0,T) x Ω). Then we are interest in a problem of identification of hydraulic conductivities in the unsteady case. This problem is formulated by an optimization problem whose cost function measures the squared difference between experimental hydraulic heads and those given by the model.