En esta tesis investigamos la clase de los qM3 retículos y la de los mM3−retículos o M3−retículos monádicos, que son M3−retículos dotados de un cuantificador existencial, en el primer caso, y en el segundo de dos cuantificadores: existencial y universal. También estudiamos la clase de los M3−retículos k–cíclicos, que son M3−retículos dotados de un automorfismo de período k. Hemos organizado el trabajo en cinco capítulos, divididos a su vez en secciones y subsecciones en algunos casos. El Capítulo 1 está dividido en cuatro secciones. En las primeras, repasamos resultados principales sobre retículos distributivos y exponemos distintos conceptos de álgebra universal y espacios de Priestley. Todos los resultados indicados son conocidos. Los hemos incluído tanto para facilitar la lectura posterior, como para fijar las definiciones. En la última sección, introducimos los M3−retículos definidos por A. V. Figallo a sugerencia de A. Monterio en Los M3-Reticulados [14], Rev. Colombiana de Matemática, XXI, 1987. En la primera sección del Capítulo 2, indicamos una dualidad topológica para los M3−retículos. En la segunda sección, utilizando la dualidad, caracterizamos el retículo de las congruencias de estas álgebras y determinamos las álgebras simples y subdirectamente irreducibles, reencontrando los resultados que Figallo había establecido de manera algebraica, de una forma diferente, vía la topología. Luego nos dedicamos al estudio de las congruencias principales y booleanas, demostrando que ambas coinciden, están definidas ecuacionalmente (CPDE) y son congruencias regulares y uniformes. Además probamos que la variedad M3, es a congruencias conmutativas, que es una variedad filtral y discriminadora y tiene la propiedad de extensión de congruencias (PEC). El Capítulo 3, está dividido en cuatro secciones. La primera, está dedicada al estudio del sistema determinante de unM3−retículo finito, mostrando que el conjunto ordenado de sus elementos primos, determina la estructura del mismo. En la segunda y tercera sección, indicamos un método para construir los M3−automorfismos y los M3−epimorfismos, cuando se trata de M3−retículos finitos, y determinamos en cada caso el número de los mismos. En la cuarta sección, referida a los M3−retículos k–cíclicos, probamos que la variedad es semisimple y determinamos el cardinal del álgebra libre finitamente generada. Comprobamos con esos resultados que dicha variedad es finitamente generada y localmente finita. Concluimos la sección estableciendo el número de estructuras cíclicas, no isomorfas, que se pueden definir sobre un M3−retículo finito. En el Capítulo 4, en la primera sección definimos los qM3−retículos y estudiamos algunas propiedades válidas en esta clase. En particular, determinamos cómo a partir de una familia especial de subálgebras de un M3−retículo, podemos obtener un cuantificador existencial de modo que lo transforme en un qM3−retículo. En la segunda sección, extendemos la dualidad de Priestley realizada para los M3−retículos con último elemento, al caso de los qM3−retículos acotados. Empleando esta dualidad, en la tercera sección, probamos que la variedad es semisimple y obtenemos una caracterización funcional de los qM3−retículos simples. De igual modo nos abocamos al estudio de las congruencias principales y booleanas, indicando sus propiedades más destacadas. El Capítulo 5, está dedicado a los M3−retículos monádicos. En la primera sección, mostramos propiedades de los mismos y exhibimos la relación existente entre estas álgebras y los M3−retículos k–cíclicos. En la segunda y tercera sección, presentamos una dualidad topológica que nos facilita describir las congruencias, probar que la variedad es semisimple y obtener una caracterización funcional de los mM3−retículos simples. En la última sección, mostramos, con técnicas topológicas, que se puede interrelacionar ambos cuantificadores, a pesar que en estas lgebras no es posible hacerlo de la manera clásica, puesto que la negación de las mismas no se comporta como una negación de De Morgan; lo que nos permite afirmar que todo qM3−retículo es un M3−retículo monádico. / In this thesis, we study qM3−lattices and mM3−lattices or M3−monadic lattices that are M3−lattices provided with an existential quantifier in the first case, and, in the second case, they are provided with two quantifiers, existential and universal. We also study k–cyclic M3−lattices, which are M3−lattices provided with an automorphism of k period. We have organized this thesis into five chapters, divided into sections and subsections. Chapter 1 is divided into four sections. In the first sections, we review main results on distributive lattices and we expose different universal algebra and Priestley spaces concepts. All the indicated results are well-known. We have included these concepts not only to facilitate the reading of the following sections but also to establish definitions. In the last section, we introduce M3−lattices defined by A.V. Figallo, at suggestion of A. Monteiro in Los M3-Reticulados [14], Rev. Colombiana de Matem´atica, XXI, 1987. In the first section of Chapter 2, we indicate a topological duality for M3-lattices. In the second section, using this duality, we characterize the lattice of congruences of these algebras and we determine simple and subdirectly irreducible algebras, re-finding the results that Figallo had established in algebraic manner, in a different way, by means of topology. Then, we studied principal congruences and Boolean congruences, demonstrating that such congruences coincide, they are equationally defined (EDPC) and they are regular and uniform congruences. We further prove what the M3 variety is to commutative congruencies; that it is a filter and discriminating variety, and that it has the property of congruencies extension (CEP). Chapter 3 is divided into four sections. The first section is dedicated to the study of the determining the system of a finite M3−lattice, proving that the ordered set of its prime elements determines its structure. In the second and third section, we indicate a method to construct the M3−automorphisms and the M3−epimorphisms, when it is about of finite M3−lattices, and we also determine their number in both cases. The fourth section is dedicated to the study of the k–cyclic M3−lattices. First, we prove that the variety is semisimple and we determine the cardinal of finitely generated free algebra. Afterward, we prove with these results that the variety is finitely generated and locally finite. To conclude this section, we determine the number of cyclic structures, non-isomorphic, that can be defined on a finite M3−lattice. In Chapter 4, in the first section we define qM3−lattices and we study some valid properties of such lattices. In particular, we determine how, from a special family of subalgebras of an M3−lattice, we can obtain an existential quantifier in a way that transforms it into a qM3−lattice. In the second section, we extend the Priestley duality for M3-lattices with a last element, in the case of bounded qM3−lattices. By using this duality, in the third section, we prove that the variety is semisimple and we also obtained a functional characterization of the simple qM3−lattices. In the same way, we focus on the study of the principal and Boolean congruences, indicating their most outstanding properties. Chapter 5 is dedicated to the study of monadic M3−lattices. In the first section, we prove properties of the latter mentioned and we exhibit the relationship existing between these algebras and the k–cyclicM3−lattices. In the second and third section, we establish a topological duality that facilitates us to describe the congruences, to prove that the variety is semisimple and to obtain a functional characterization of the simple mM3−lattices. In the fourth section, we demonstrate that, with topological techniques, it is possible to interrelate both quantifiers, although it is not possible to do it in the classic manner in these algebras, since their negation does not behave as a De Morgan negation; which allows us to state that every qM3−lattice is a monadic M3−lattices.

En el estudio de la teoría de deformaciones se observa que hay por lo menos tres tipos distintos, estos tipos aparecen en análisis, algebra y geometría algebraica. La teoría de deformaciones es una idea que proviene desde Riemann con el estudio de las deformaciones de estructuras complejas de variedades Riemannianas. Por otro lado, las deformaciones en el área de la geometría algebraica datan casi desde la aparición de esta área, ya que los objetos algebro-geométricos pueden ser “deformados” con una variación de los coeficientes de sus ecuaciones de definición. En el estudio de la teoría de deformaciones formales de algebras aparecen algunas preguntas que aún se encuentran abiertas. Es en el caso particular de algebras asociativas donde aparece un problema, no resuelto en general. Para explicar de que trata este problema debemos partir de la definición de deformación de un álgebra asociativa. Es a partir de la condición de asociatividad, donde se observa que el “infinitesimal” de una deformación es un cociclo de Hochschild. Se plantea entonces la pregunta “¿Dado un cociclo de Hochschild, resulta ser este cociclo el “infinitesimal” de una deformación?”. Desglosaremos el problema en una construcción recursiva de deformaciones truncadas. La obstrucción a extender una deformación truncada de grado n a una de grado n+1 es un cociclo de Hochschild. Este resultado que es uno de los resultados principales en la teoría de deformaciones, se probara en la Proposición 10. 2. Para ello empleamos la teoría de algebras graduadas y conceptos como anillos de Lie y pre-Lie graduados así como sistemas pre-Lie. En el desarrollo de este trabajo se mostrará, además del resultado, la manera de trabajar con distintos conceptos y como trabajar con operadores que aparecerán a lo largo del desarrollo. / In the study of the theory of deformations it is observed that there are at least three different types, these types appear in analysis, algebra and algebraic geometry. The theory of deformations is an idea that comes from Riemann with the study of deformations of complex structures of Riemannian varieties. On the other hand, deformations in the area of algebraic geometry date almost from the appearance of this area since algebro-geometric objects can be "deformed" with a variation of the coefficients of their defining equations. In the study of the theory of formal deformations of algebras, some questions remain open. In the particular case of associative algebras a problem appears that is not solved in general. To explain what this problem is about, we must start from the definition of deformation of an associative algebra. Considering the condition of associativity, where it is observed that the "infinitesimal" of a deformation is a Hochschild cocycle, the question arises "Given a Hochschild cocycle, does this cocycle happens to be the "infinitesimal" of a deformation?". One can decompose the problem into a recursive construction of truncated deformations. The obstruction to extending a truncated deformation of degree n to a truncated deformation of degree n+1, is a Hochschild cocyle. This result, wich is one of the most important results in deformation theory, is proven in Prop.10.2. For this purpose, the theory of graded algebras and concepts such as graded Lie and pre-Lie rings, pre-Lie systems will be used used. In the development of this work we will also show, the ways of working with these different concepts and how to work with operators that will appear throughout the development.

Esta tesis estudia la clasificación de los productos tensoriales torcidos de dos álgebras asociativas con unidad A y B, es decir, las estructuras de álgebra que puede adoptar el producto tensorial de espacios vectoriales subyacentes A B, compatibles con las estructuras de A y B. En primer lugar desarrollamos la teoría básica que se encuentra dispersa en varios artículos de investigación y establecemos como primer resultado propio, la dualidad que existe entre las aplicaciones de torcimiento de un producto tensorial torcido y su álgebra opuesta. Este resultado parece haber sido conocido entre los expertos del área sin embargo no se encuentra ninguna prueba en la literatura. Luego estudiamos el caso en que uno de los factores del producto tensorial torcido tiene dimensión finita. Por ejemplo si A tiene dimensión finita, se establece que bajo estas condiciones definir una aplicación de torcimiento de A con B es equivalente a definir un par de representaciones matriciales (p , ph), una de B y otra de Aop. La primera tiene coeficientes en A y la segunda tiene coeficientes en Endk(B). Además, obtenemos una representación matricial el del producto tensorial torcidos en Mn(B). Estas representaciones constituyen el resultado principal propio en el segundo capítulo. Como aplicación describimos los productos tensoriales torcidos estudiados por Cibils, Jara et al. y Guccione et al. en términos del par de representaciones (p , ph) y deducimos las condiciones que permiten a los autores en cada uno de los casos lograr una clasificación (parcial o total). A continuación nos enfocamos en las aplicaciones de torcimiento de Kn con Km. Establecemos una caracterización de estas aplicaciones de torcimiento en términos de matrices con coeficientes en K, la cual se debe a que ambas álgebras son conmutativas y de dimensión finita. Tal caracterización nos permite clasificar completamente las aplicaciones de torcimiento de rango reducido 1 que en nuestro lenguaje se ve muy diferente de la clasificación alcanzada por Jara et al.. Luego desarrollamos herramientas para el estudio de dos familias de productos tensoriales torcidos: las estándar y las casi-estándar. Estas herramientas permiten estudiar la relación entre las aplicaciones de torcimiento estándar, y casi-estándar, con las álgebras de camino de Quivers, y establecen una generalización del resultado obtenido por Cibils para n = 2. Para analizar utilizamos todos de los resultados obtenidos para clasificar los productos tensoriales torcidos en el caso de dimensiones bajas, incluyendo todas las aplicaciones de torcimiento de K3 con K3.

Neste trabalho classificamos, a menos de isomorfismos, as álgebras de Bol de dimensão 2 sobre um corpo de característica 0. Também determinamos suas álgebras de Lie envolvente e, mostramos que existem álgebras de Bol não isomorfas cujas álgebras de Lie envolventes coorrespondentes são isomorfas. Calculamos os grupos algébricos (locais) correspondentes a cada uma das álgebras de Lie envolventes e provamos que todo loop de Bol analítico (algébrico) global de dimensão 2 sobre um corpo de característica 0 é um grupo. Exibimos exemplos de loops de Bol algébricos globais de dimensão n, para todo n > 2, e fornecemos uma condição necessária e suciente para a existência de um loop de Bol algébrico global quando a álgebra de Bol tem uma álgebra de Lie envolvente nilpotente de índice 2 sobre um corpo de característica diferente de 2. / In this work, we classify up to isomorphism, the Bol algebras of dimension 2 over a eld of characteristic 0. We also determine their enveloping Lie algebras and we exhibit two non-isomorphic Bol algebras which have isomorphic enveloping Lie algebras. We determine the (local) correspondent algebraic groups of each of those enveloping Lie algebras and we show that every global analytic (algebraic) Bol loop of dimension 2 over a eld of characteristic 0 is a group. We exhibit examples of non-nilpotent solvable algebraic Bol loops in dimension n for every n > 2, and we were able to give a necessary and sucient condition to decide if a local algebraic Bol loop is global when its enveloping Lie algebra is nilpotent of index 2 and char(F) 6= 2:

A complexidade de um módulo M, sobre uma álgebra de dimensão finita R, é a medida do crescimento da dimensão de suas sizigias. No nosso trabalho, estudamos esse conceito, nos concentrando muito mais no caso das álgebras autoinjetiva. Relacionamos esse crescimento com o comportamento da componente do carcás de Auslander-Reiten, a qual o módulo M pertence. Em particular, estudamos, com bastante cuidado, o caso em que a complexidade é 1, o que significa que a dimensão das sizigias são eventualmente constante. Surpreendentemente, o comportamento de todos os módulos numa mesma componente é muito parecido. / The complexity of a module M under a finite dimensional algebra R is the measure of the growth of its syzygies\' dimension. In our work, we study this concept concentrating on the case of the selfinjective algebras. We relate this growth with the behavior of the Auslander-Reiten component containing this module. In particular, we study, carefully, the case in which the complexity is 1. Surprisingly, the behavior of every module in the same component as M is very similar.

São estudados alguns aspectos das álgebras alternativas, como o bar-radical de uma álgebra bárica alternativa e as identidades de grau 4 e 5 nas álgebras de Cayley-Dickson. Neste estudo fazemos uso da decomposição de Peirce e de diversas propriedades importantes das álgebras alternativas. Concluímos mostrando que as únicas identidades de grau 4 são as triviais e as de grau 5 são conseqüência de outras duas identidades conhecidas / We studied some aspects of alternative algebras, in special the bar radical of an alternative baric algebra and identities of degree 4 and 5 of Cayley-Dickson algebras. We made significant use of the Peirce decomposition and several properties of the alternative algebras, in order to show that the only identities of degree four are the trivial ones, and the identities of degree five are consequences of other two known identities.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-22T14:49:45Z No. of bitstreams: 1 CARLOS DAVID DE CARVALHO LOBÃO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2009..pdf: 418073 bytes, checksum: b2deb42599e396408cd91ddf1721d8eb (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-22T14:49:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 CARLOS DAVID DE CARVALHO LOBÃO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2009..pdf: 418073 bytes, checksum: b2deb42599e396408cd91ddf1721d8eb (MD5) Previous issue date: 2009-03 / As álgebras verbalmente primas são bem conhecidas em característica 0. Já sobre corpos de característica p > 2 pouco sabemos sobre elas. Apresentamos modelos genéricos e calcularemos a dimensão de Gelfand-kirillov para as álgebras E⊗E, Aa,b, Ma,b(E)⊗E e Ma,b(E)⊗E. Como consequência, obteremos a prova de não PI-equivalência entre álgebras importantes para PI-Teoria em características positiva. / The verbally prime algebras are well understood in characteristic 0 while over a field of characteristic p > 2 little is known about them. In this work we discuss some sharp differents between these two generics cases for the characteristc. We exhibit constructions of generic models. By using these models we compute the Gelfand-Kirillov dimension of the relatively free algebras of rank m in the varieties generated by E⊗E, Aa,b, Ma,b(E)⊗E e Ma,b(E)⊗E. As consequence we obtain the PI non equivalence of important algebras for the PI theory in positive characteristic.

Submitted by Alison Vanceto (alison-vanceto@hotmail.com) on 2016-09-21T11:54:01Z No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2016-09-21T12:02:05Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2016-09-21T12:02:16Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-21T12:12:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) Previous issue date: 2015-08-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / The objective of this dissertation is descrive formally the irreducible representations of finitedimensional semisimple Lie algebras g over a field F algebraically closed with characteristic zero, as also get some multiplicity formulas that allow compute the dimension of the weight space in the representation and also the quantity of weight. In this regard, the newness of this work is the study of a new characters formula, recently published by Schützer [Sch12], and this based in one combinatory given only in terms of not simple positive roots of the Lie algebra. The main results of this dissertation are reviewed and clarified. / O objetivo deste trabalho é descrever formalmente as representações irredutíveis das álgebras de Lie semissimples g de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero, como também obter algumas fórmulas de multiplicidades que permitem calcular a dimensão dos espaços de peso da representação e também a quantidade de pesos. Nesse sentido, a novidade deste trabalho é o estudo de uma nova fórmula de Caracteres, recentemente encontrada por Schützer [Sch12], e que se baseia em uma combinatória dada apenas em termos das raízes positivas não simples da álgebra de Lie. Os principais resultados desse artigo são revistos e clarificados.

Submitted by Luciana Sebin (lusebin@ufscar.br) on 2016-10-11T13:29:51Z No. of bitstreams: 1 DissFAN.pdf: 767462 bytes, checksum: 05054cc8952eed4e120838068aee80d8 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2016-10-17T18:50:57Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissFAN.pdf: 767462 bytes, checksum: 05054cc8952eed4e120838068aee80d8 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2016-10-17T18:51:05Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissFAN.pdf: 767462 bytes, checksum: 05054cc8952eed4e120838068aee80d8 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-17T19:06:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissFAN.pdf: 767462 bytes, checksum: 05054cc8952eed4e120838068aee80d8 (MD5) Previous issue date: 2016-02-29 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / This work aims to give a description, under certain hypothesis, of the graded simple algebras and prove that they are determined by their graded identities. For this, we study the papers [3] and [19]. More precisely we will show the following: Let G be a group, F an algebraically closed eld, and R = L g2G Rg a finite dimensional G-graded F-algebra such that the order of each finite subgroup of G is invertible in F. Then R is a G-graded simple algebra if and only if R is isomorphic, as graded algebra, to the tensor product C = Mn(F) F [H], where H is a nite subgroup of G, is a 2-cocycle in H, Mn(F) has an elementary G-grading, F [H] has a canonical grading and C has an induced G-grading by the tensor product. Based on this result, admitting the same assumptions and adding that G is an abelian group, we prove that two graded simple algebras satisfy the same graded identities if and only if they are isomorphic as graded algebras. / Este trabalho tem por objetivo dar uma descrição, sob certas hipóteses, das álgebras graduadas simples e demonstrar que elas são determinadas por suas identidades graduadas. Para isso, estudamos os artigos [3] e [19]. Precisamente mostraremos o seguinte: sejam G um grupo, F um corpo algebricamente fechado e R =Lg2GRg uma F-álgebra G-graduada de dimensão finita, tal que a ordem de todo subgrupo finito de G e invertível em F. Então R é uma álgebra G-graduada simples se, e somente se, R é isomorfa, como álgebra graduada, ao produto tensorial C = Mn(F) F[H], onde H e subgrupo finito de G, e um 2-cociclo em H, Mn(F) tem uma graduação elementar, F[H] tem uma graduação canônica e considera-se em C a G-graduação induzida pelo produto tensorial. Partindo deste resultado, admitindo as mesmas hipóteses e adicionando que G seja um grupo abeliano, provaremos que duas álgebras graduadas simples satisfazem as mesmas identidades graduadas se, e somente se, são isomorfas como álgebras graduadas.

Submitted by Leonardo Cavalcante (leo.ocavalcante@gmail.com) on 2018-04-23T20:47:31Z No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 1433584 bytes, checksum: fb8978802ac3b768c50f569bc4124e5e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-04-23T20:47:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 1433584 bytes, checksum: fb8978802ac3b768c50f569bc4124e5e (MD5) Previous issue date: 2014-03-20 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this dissertation we develop a rst contact with the theory of Banach Algebras and C*-algebras. As usual of a rst contact, we build the Spectral Theory in Banach algebras with unit. We present the characterization theorems of C *-algebras of Gelfand-Naimark and Gelfand-Naimark-Segal, including the GNS construction. Moreover, we prove a theorem which characterizes all complex homomorphisms in the C*-algebra C(X), as point-evaluation homomorphisms. We also present, as a curiosity, a proof of the Fundamental Theorem of Algebra using the Gelfand-Mazur Theorem. As a prerequisite to the Gelfand-Naimark-Segal's characterization of C *-algebras, we further develop, in the background, the theory of the direct sum of any family of Hilbert spaces. . / Nesta dissertação desenvolveremos um primeiro contato com a Teoria de Álgebras de Banach e C*-álgebras. Como tópico de um primeiro contato, construiremos a Teoria Espectral em Álgebras de Banach com unidade. Apresentaremos os Teoremas de Caracterização de C*-álgebras de Gelfand-Naimark, e Gelfand-Naimark-Segal, incluindo a constru c~ao GNS. Al em disso, provamos um teorema que caracteriza todos os homomor smos complexos na C*-álgebra C(X) como sendo homomor smos de avaliação. Apresentaremos também, como curiosidade, uma prova do Teorema Fundamental da Álgebra a partir do Teorema de Gelfand-Mazur. Como um pré requisito a Caracterização de Gelfand-Naimark-Segal de C*-álgebras, desenvolvemos ainda, em segundo plano, a teoria da soma direta de uma familia qualquer de espaços de Hilbert.