Der Laplace-Operator auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten besitzt eine natürliche Verallgemeinerung auf kompakte Riemannsche Orbifolds und das Spektrum des so gewonnenen Operators besteht ausschließlich aus Eigenwerten endlicher Vielfachheit. Die Feststellung, dass das Spektrum Informationen über die Geometrie einer Mannigfaltigkeit (oder, allgemeiner, einer Orbifold) enthält, begründete ein ganzes Teilgebiet der Mathematik. Es ist eine offene Frage der sogenannten Spektralgeometrie, ob eine Mannigfaltigkeit und eine singuläre Orbifold isospektral sein (d.h., dasselbe Spektrum mitsamt den Vielfachheiten der Eigenwerte besitzen) können. Angesichts diverser Obstruktionen zur Existenz eines solchen Beispiels für die bekannten Beispiele isospektraler guter Orbifolds, soll diese Arbeit die Spektralgeometrie schlechter Orbifolds erhellen. Zu diesem Zweck geben wir die ersten Beispiele für isospektrale Metriken auf schlechten Orbifolds an. Diese basieren auf bestimmten gewichteten projektiven Räumen, auf denen wir mittels einer Verallgemeinerung von Schüths Version der Torus-Methode nicht-trivial isospektrale Metriken konstruieren. / The Laplace Operator on compact Riemannian manifolds naturally generalizes to compact Riemannian orbifolds and the spectrum of the resulting operator consists only of eigenvalues with finite multiplicities. The observation that the spectrum contains information about the geometry of a manifold (and, more generally, an orbifold) gave rise to a whole field of mathematics. It is an open question of so-called spectral geometry, whether a manifold and a singular orbifold can be isospectral (i.e., have the same spectrum with the same multiplicities of the eigenvalues). Given the various obstructions to the existence of such an example for the known examples of isospectral good orbifolds, this work is an attempt to shed light on the spectral geometry of bad orbifolds by giving the first examples of isospectral Riemannian metrics on bad orbifolds. In our case these are particular fixed weighted projective spaces equipped with non-trivially isospectral metrics obtained by a generalization of Schüth''s version of the torus method.

Die vorliegende Dissertation befasst sich mit der mathematischen Modellierung semi-klassischer Licht-Materie-Interaktion. Im semiklassischen Bild wird Materie durch eine Dichtematrix "rho" beschrieben. Das Konzept der Dichtematrizen ist quantenmechanischer Natur. Auf der anderen Seite wird Licht durch ein klassisches elektromagnetisches Feld "(E,H)" beschrieben. Wir stellen einen mathematischen Rahmen vor, in dem wir systematisch dissipative Effekte in die Liouville-von-Neumann-Gleichung inkludieren. Bei unserem Ansatz sticht ins Auge, dass Lösungen der resultierenden Gleichung eine intrinsische Liapunov-Funktion besitzen. Anschließend koppeln wir die resultierende Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen und erhalten ein neues selbstkonsistentes, dissipatives Modell vom Maxwell-Bloch-Typ. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der intensiven mathematischen Studie des dissipativen Modells vom Maxwell-Bloch-Typ. Da das Modell Lipschitz-Stetigkeit vermissen lassen, kreieren wir eine regularisierte Version des Modells, das Lipschitz-stetig ist. Wir beschränken unsere Analyse im Wesentlichen auf die Lipschitz-stetige Regularisierung. Für regularisierte Versionen des dissipativen Modells zeigen wir die Existenz von Lösungen des zugehörigen Anfangswertproblems. Der Kern des Existenzbeweises besteht aus einem Resultat von ``compensated compactness'''', das von P. Gérard bewiesen wurde, sowie aus einem Lemma vom Rellich-Typ. In Teilen folgt dieser Beweis dem Vorgehen einer älteren Arbeit von J.-L. Joly, G. Métivier und J. Rauch. / This thesis deals with the mathematical modeling of semi-classical matter-light interaction. In the semi-classical picture, matter is described by a density matrix "rho", a quantum mechanical concept. Light on the other hand, is described by a classical electromagnetic field "(E,H)". We give a short overview of the physical background, introduce the usual coupling mechanism and derive the classical Maxwell-Bloch equations which have intensively been studied in the literature. Moreover, We introduce a mathematical framework in which we state a systematic approach to include dissipative effects in the Liouville-von-Neumann equation. The striking advantage of our approach is the intrinsic existence of a Liapunov function for solutions to the resulting evolution equation. Next, we couple the resulting equation to the Maxwell equations and arrive at a new self-consistent dissipative Maxwell-Bloch type model for semi-classical matter-light interaction. The main focus of this work lies on the intensive mathematical study of the dissipative Maxwell-Bloch type model. Since our model lacks Lipschitz continuity, we create a regularized version of the model that is Lipschitz continuous. We mostly restrict our analysis to the Lipschitz continuous regularization. For regularized versions of the dissipative Maxwell-Bloch type model, we prove existence of solutions to the corresponding Cauchy problem. The core of the proof is based on results from compensated compactness due to P. Gérard and a Rellich type lemma. In parts, this proof closely follows the lines of an earlier work due to J.-L. Joly, G. Métivier and J. Rauch.

Das Hauptanliegen dieser Arbeit ist der asymptotische Vergleich verschiedener nichtparametrischer adaptiver Schätzer des Mittelwertvektors in einer Regressionssituation mit wachsender Anzahl von Wiederholungen an festen Versuchspunkten. Da die adaptiven Schätzer nicht mehr linear in den Beobachtungen sind, wird ihre mittleren quadratischen Fehler durch ihre Risiken höherer Ordnung approximiert und dadurch wird ein Vergleich unter Annahme normalverteilter Beobachtungsfehlern ermöglicht. Es wird gezeigt, daß der Plug-In Schätzer des unbekannten Mittelwertvektors in dritter Ordnung besser ist als die anderen adaptiven Schätzer und, daß die mit Hilfe der Full Cross-validation Idee konstruierte Schätzer des Mittelwertvektors besser ist als die Schätzung mit Cross-validation, falls die unbekannte Regressionsfunktion "unglatt" ist. In speziellen Situationen ist die Full Cross-validation Adaptation besser als die Adaptationen mit Hilfe der in der Arbeit betrachteten "automatischen" Kriterien. Es wird außerdem einen Schätzer des Mittelwertvektors mit einer Plug-In Idee konstruiert, dessen Risiken zweiter Ordnung kleiner sind als die Risiken zweiter Ordnung der anderen adaptiven Schätzer. Wenn aber eine Vermutung vorliegt, daß die unbekannte Regressionsfunktion "sehr glatt" ist, wird bewiesen daß der Projektionsschätzer den kleinsten mittleren quadratischen Fehler liefert. / The main objective of this thesis is the asymptotic comparison of various nonparametric adaptive estimators of the mean vector in a regression situation with increasing number of replications at fixed design points. Since the adaptive estimators are no longer linear in the observations, one approximates their mean square errors by their heigher order risks and a comparison under the assumption of normal distributed errors of the observations will be enabled. It is shown that the Plug-In estimators of the unknown mean vector is better in third order than the others adaptive estimators and that the estimator defined with the full cross-validation idea is better than the estimator with cross-validation, if the unknown regression function is "non smooth". In some special situations, the full cross-validation adaptation will be better than the adaptations using a minimizer of the "automatic" criteria considered in this thesis. Additionally, an estimator of the mean vector is proposed, whose second order risk is smaller than the second order risks of the other adaptive estimators. If however one presumes that the unknown regression function is "very smooth", then it is shown that the projection estimator gives the smallest mean square error.

P. Broussous and S. Stevens studierten für die Konstruktion einfacher Typen unitärer p-adischer Gruppen Abbildungen zwischen erweiterten Bruhat-Tits-Gebäuden, die die Moy-Prasad-Filtrierungen respektieren (CLF). Im ersten Teil der Doktorarbeit wird deren Arbeit zu solchen Abbildungen um den Quaternionenalgebrafall erweitert. Genauer, es sei k0 ein p-adischer Körper mit einer von 2 verschiedenen Restcharakteristik und beta ein eine halbeinfache k0-Algebra erzeugendes, k0-rationales Element der Lie-Algebra einer über k0 definierten unitaren Gruppe G=U(h) zu einer epsilon-hermitischen Form h. Es sei H der Zentralisator von beta in G. Es wird bewiesen, dass eine affine H(k0)-equivariante CLF-Abbildung j vom erweiterten Bruhat-Tits-Gebäude B^1(H,k0) nach B^1(G,k0) existiert. Wie von Broussous vermutet, stellt sich in der Doktorarbeit heraus, dass j durch die CLF-Eigenschaft eindeutig bestimmt wird, falls kein Faktor von H k0-isomorph zur isotropen orthogonalen Gruppe vom k0-Rank 1 ist und alle Faktoren unitäre Gruppen sind. Desweiteren wird bei abgeschwächter Äquivarianzeigenschaft bewiesen, dass j als affine und bezüglich dem Zentrum von H^0(k0) equivariante CLF-Abbildung bis auf eine Translation von B^1(H,k0) eindeutig bestimmt ist. Im zweiten Teil wird der von Broussous und M. Grabitz studierte Einbettungstyp mit Hilfe einer CLF-Abbildung entschlüsselt. Wir betrachten einen Schiefkörper von endlichem Index und p-adischem Zentrum F. Die Konstruktion einfacher Typen für GLn(D) nach der Methode von Bushnell und Kutzko bedurfte der Analyse sogenannter Strata, die eine Starrheitseingenschaft erfüllen mussten. Teil eines Stratums ist insbesondere ein Paar (E,a) bestehend aus einer Körpererweiterung E|F in Mn(D) und einer erblichen Ordnung a, welche von E^x normalisiert wird. Broussous und Grabitz klassifizierten diese Paare mit Hilfe von Invarianten. Im zweiten Teil werden diese Invarianten mit Hilfe der Geometrie einer CLF-Abbildung berechnet. / P. Broussous and S. Stevens studied maps between enlarged Bruhat-Tits buildings to construct types for p-adic unitary groups. They needed maps which respect the Moy-Prasad filtrations. That property is called (CLF), i.e. compatibility with the Lie algebra filtrations. In the first part of this thesis we generalise their results on such maps to the Quaternion-algebra case. Let k0 be a p-adic field of residue characteristic not two. We consider a semisimple k0-rational Lie algebra element beta of a unitary group G:=U(h) defined over k0 with a signed hermitian form h. Let H be the centraliser of beta in G. We prove the existence of an affine H(k0)-equivariant CLF-map j from the enlarged Bruhat-Tits building B^1(H,k0) to B^1(G,k0). As conjectured by Broussous the CLF-property determines j, if none of the factors of H is k0-isomorphic to the isotropic orthogonal group of k0-rank one and all factors are unitary groups. Under the weaker assumption that the affine CLF-map j is only equivariant under the center of H^0(k0) it is uniquely determined up to a translation of B^1(H,k0). The second part is devoted to the decoding of embedding types by the geometry of a CLF-map. Embedding types have been studied by Broussous and M. Grabitz. We consider a division algebra D of finite index with a p-adic center F. The construction of simple types for GLn(D) in the Budhnell-Kutzko framework required an investigation of strata which had to fulfil a rigidity property. Giving a stratum especially means to fix a pair (E,a) consisting of a field extension E|F in Mn(D) and a hereditary order a which is stable under conjugation by E^x, in other words we fix an embedding of E^x into the normalizer of a. Broussous and Grabitz classified these pairs with invariants. We describe and prove a way to decode these invariants using the geometry of a CLF-map.

Klassische Methoden für die direkte Berechnung von Hopf Punkten und andere Singularitaten basieren auf der Auswertung und Faktorisierung der Jakobimatrix. Dieses stellt ein Hindernis dar, wenn die Dimensionen des zugrundeliegenden Problems gross genug ist, was oft bei Partiellen Diferentialgleichungen der Fall ist. Die betrachteten Systeme haben die allgemeine Darstellung f ( x(t), α) für t grösser als 0, wobei x die Zustandsvariable, α ein beliebiger Parameter ist und f glatt in Bezug auf x und α ist. In der vorliegenden Arbeit wird ein Matrixfreies Schema entwicklet und untersucht, dass ausschliesslich aus Produkten aus Jakobimatrizen und Vektoren besteht, zusammen mit der Auswertung anderer Ableitungsvektoren erster und zweiter Ordnung. Hiermit wird der Grenzwert des Parameters α, der zuständig ist für das Verlieren der Stabilität des Systems, am Hopfpunkt bestimmt. In dieser Arbeit wird ein Gleichungssystem zur iterativen Berechnung des Hopfpunktes aufgestellt. Das System wird mit einer skalaren Testfunktion φ, die aus einer Projektion des kritischen Eigenraums bestimmt ist, ergänzt. Da das System f aus einer räumlichen Diskretisierung eines Systems Partieller Differentialgleichungen entstanden ist, wird auch in dieser Arbeit die Berechung des Fehlers, der bei der Diskretisierung unvermeidbar ist, dargestellt und untersucht. Zur Bestimmung der Hopf-Bedingungen wird ein einzelner Parameter gesteuert. Dieser Parameter wird unabhängig oder zusammen mit dem Zustandsvektor in einem gedämpften Iterationsschritt neu berechnet. Der entworfene Algorithmus wird für das FitzHugh-Nagumo Model erprobt. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, wie für einen kritischen Strom, das Membranpotential eine fortschreitende Welle darstellt. / Classical methods for the direct computation of Hopf bifurcation points and other singularities rely on the evaluation and factorization of Jacobian matrices. In view of large scale problems arising from PDE discretization systems of the form f( x (t), α ), for t bigger than 0, where x are the state variables, α are certain parameters and f is smooth with respect to x and α, a matrix-free scheme is developed based exclusively on Jacobian-vector products and other first and second derivative vectors to obtain the critical parameter α causing the loss of stability at the Hopf point. In the present work, a system of equations is defined to locate Hopf points, iteratively, extending the system equations with a scalar test function φ, based on a projection of the eigenspaces. Since the system f arises from a spatial discretization of an original set of PDEs, an error correction considering the different discretization procedures is presented. To satisfy the Hopf conditions a single parameter is adjusted independently or simultaneously with the state vector in a deflated iteration step, reaching herewith both: locating the critical parameter and accelerating the convergence rate of the system. As a practical experiment, the algorithm is presented for the Hopf point of a brain cell represented by the FitzHugh-Nagumo model. It will be shown how for a critical current, the membrane potential will present a travelling wave typical of an oscillatory behaviour.

Wir studieren optimale Handelsstrategien für einen risikoaversen Investor, der bis zu einem Zeitpunkt T ein Portfolio aufzulösen hat. Dieser kann auf einem traditionellen Markt (dem "Primärmarkt") handeln, wodurch er den Preis beeinflusst, und gleichzeitig Aufträge in einem Dark Pool erteilen. Dort ist die Liquidität nicht öffentlich bekannt, und es findet keine Preisfindung statt: Aufträge werden zum Preis des Primärmarkts abgewickelt. Deshalb haben sie keinen Preiseinfluss, die Ausführung ist aber unsicher; es muss zwischen den Preiseinflusskosten am Primärmarkt und den indirekten Kosten durch die Ausübungsunsicherheit im Dark Pool abgewogen werden. In einem zeitdiskreten Handelsmodell betrachten wir ein Kostenfunktional aus erwarteten Preiseinfluss- und Marktrisikokosten. Für linearen Preiseinfluss ist dieses linear-quadratisch und wir erhalten eine Rekursion für die optimale Handelsstrategie. Eine Position in einem einzelnen Wertpapier wird langsam am Primärmarkt abgebaut während der Rest im Dark Pool angeboten wird. Für eine Position in mehreren Wertpapieren ist dies wegen der Korrelation der Wertpapiere nicht optimal. Tritt im eindimensionalen Fall adverse Selektion auf, so wird die Attraktivität des Dark Pools verringert. In stetiger Zeit impliziert die Liquidationsbedingung eine Singularität der Wertfunktion am Endzeitpunkt T. Diese wird im linear-quadratischen Fall ohne adverse Selektion durch den Grenzwert einer Folge von Lösungen einer Matrix Differentialgleichung beschrieben. Mit Hilfe einer Matrixungleichung erhalten wir Schranken für diese Lösungen, die Existenz des Grenzwertes sowie ein Verifikationsargument mittels HJB Gleichung. Tritt adverse Selektion auf, ergeben umfangreiche heuristische Betrachtungen eine ungewöhnliche Struktur der Wertfunktion: Sie ist ein quadratisches "Quasi-Polynom", dessen Koeffizienten in nicht-trivialer Weise von der Position abhängen. Wir bestimmen dieses semi-explizit und führen ein Verifikationsargument durch. / We study optimal trading strategies of a risk-averse investor who has to liquidate a portfolio within a finite time horizon [0,T]. The investor has the option to trade at a traditional exchange (the "primary venue") which yields price impact and to place orders in a dark pool. The liquidity in dark pools is not openly displayed and dark pools do not contribute to the price formation process: orders are executed at the price of the primary venue. Hence, they have no price impact, but their execution is uncertain. The investor thus faces the trade-off between the price impact costs at the primary venue and the indirect costs resulting from the execution uncertainty in the dark pool. In a discrete-time market model we consider a cost functional which incorporates the expected price impact costs and market risk costs. For linear price impact, it is linear-quadratic and we obtain a recursion for the optimal trading strategy. For single asset liquidation, the investor trades out of her position at the primary venue, with the remainder being placed in the dark pool. For multi asset liquidation this is not optimal because of the correlation of the assets. In the presence of adverse selection in the one dimensional setting the dark pool is less attractive. In continuous time the liquidation constraint implies a singularity of the value function at the terminal time T. In the linear-quadratic case without adverse selection it is described by the limit of a sequence of solutions of a matrix differential equation. By means of a matrix inequality we obtain bounds of these solutions, the existence of the limit and a verification argument via HJB equation. In the presence of adverse selection the value function has an unusual structure, which we obtain via extensive heuristic considerations: it is a "quasi-polynomial" whose coefficients depend on the asset position in a non-trivial way. We characterize the value function semi-explicitly and carry out a verification argument.

Ziel dieser Dissertation ist die Untersuchung der asymptotischen Stabilität numerischer Verfahren für Index-2-Algebro-Differentialgleichungen. Es werden Anfangswertaufgaben für quasilineare Algebro-Differentialgleichungen (ADGln). Die meisten anwendungsrelevanten Aufgaben können damit behandelt werden. Zuerst werden einige Stabilitätsbegrife und Aussagen vorgestellt, die das Fundament für den Rest der Arbeit darstellen. Dies erstreckt sich sowohl auf den kontinuierlichen als auch auf den diskreten Fall. Insbesondere werden Kontraktivitätskonzepte eingeführt und Beziehungen zwischen der Kontraktivität der ADGl und derer der Anwendung eines numerischen Verfahrens. Die eingeführte Kontraktivitätsbegriffe erweitern oder verallgemeinern die bereits bekannten Konzepte. Als wichtigste Aussage in dem Kontraktivitätskontext geht ein Theorem hervor, das allgemeine Bedingungen aufstellt, damit die Anwendung eines IRK(DAE)-Verfahrens auf eine ADGl stabil ist. Bekannte Aussagen für gewöhnliche und Algebro-Differntialgleichungen können als Sonderfälle dieses Ergebnisses gesehen werden. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird anhand von neuartigen Index-2-Entkopplungs- und Indexreduktionstechniken die Stabilität von Diskretisierungsverfahren untersucht. Die durchgeführte Analyse erbringt neue Ergebnisse, die eine Verbesserung des Kenntnissstandes in diesem Gebiet darstellen. Die erzielte Aussagen stellen hinreichende Bedingungen, damit ein BDF- oder IRK-Verfahren für eine ADGl das gleiche Stabilitätsverhalten wie für eine gewöhnliche Differentialgleichung besitzt. Diese Ergebnisse werden durch numerishce Beispiele veranschaulicht. Weiterhin stellt man fest, dass eine der gefundenen Voraussetzungen für die Kontraktivität der Anwendung eines algebraisch stabilen IRK(DAE)-Verfahrens, auf eine ebenfalls kontraktive ADGl, genügt. Dieses Ergebnis wurde durch die Anwendung der im ersten Teil dieser Arbeit erzielten Kontraktivitätsaussagen ermöglicht. Die Konsequenzen der soeben genannten Aussage für bestimmte Modelle der Schaltkreissimulation werden ebenfalls erläutert. Aus der oben genannten Analyse, ebenso wie aus der Fachliteratur, geht hervor, dass bei manchen ADGl-Aufgaben die Diskretisierungsverfahren Stabilitätsprobleme aufweisen. Um solche Probleme zu behandeln sind bereits einige Ansätze bekannt. Im letzten Teil der Arbeit werden zwei repräsentativen Ansätze betrachtet und ihre Aussichtschancen für Index-2-Aufgaben anhand eines kritischen Beispieles evaluiert. Des Weiteren wird eine Verallgemeinerung für vollimplizite lineare ADGln des Gear-Gupta-Leimkuhler-Ansatzes (GGL) vorgeschlagen. Der Rest der Arbeit beschäftigt sich mit der Stabilitätsuntersuchung der GGL-Formulierung und der auf sie angewandten numerischen Verfahren. Dafür werden Aussagen dieser Arbeit eingesetzt und man kommt zu der Schlussfolgerung, dass sowohl für die IRK(DAE)- als auch für die BDF-Verfahren die Integration der GGL-Formulierung, natürlich unter bestimmten Voraussetzungen, stabil ist. Dieses Ergebniss wird durch ein numerisches Beispiel belegt. Dabei handelt es um eine Gleichung, die mit einer direkten Anwendung eines Verfahrens Instabilitäten aufweist. Jedoch ist die Integration der entsprechenden GGL stabil. / The purpose of the present PhD work is the asymptotic stability investigation of numerical methods for index 2 differential algebraic equations. Initial value problems are considered for quasi linear differential algebraic equations (DAEs) that cover the most important applications. First some stability concepts and related results are presented, which represent the basis for further investigations. This background concerns both, the continuous and the discreet case. Especially contractivity concepts are introduced and the relationship between the asymptotic stability of the DAE and the numerical method applied to it is established. The new contractivity concepts extend or generalize the already known concepts. The most important result in this context is a theorem that establishes general conditions under which the application of an algebraic stable IRK(DAE) method to a DAE is contractive. Well-known assertions for ordinary and differential algebraic equations can be considered as special cases of this general result. Later on the stability of numerical discretizations applied to index-2 DAEs is investigated. This is made possible by the introduction of new decopling and index reduction techniques. The analysis makes new insights in the asymptotic of numerical methods for DAEs possible. The obtained results state sufficient conditions in order that a BDF or an IRK(DAE) method applying to DAEs shows the same asymptotic stability properties as for ODEs. These results are illustrated by some numerical examples. Moreover, it can be realized that one of the found conditions is sufficient in order to show contractivity of the application of an algebraic stable IRK(DAE) method, supposed the DAE is contractive. This assertion is possible based on the general theorem mentioned in the paragraph above. Further some consequences of the mentioned results for electric network models are shown. According to both, the above mentioned analysis and the specialized literature of this field, the application of numerical methods to some special DAEs shows asymptotic stability problems. A few approaches are known to manage such difficult equations. Two exponents of these techniques are considered and their chances of success for index-2 DAEs are evaluated with the application to a critical example. A generalization of the Gear-Gupta-Leimkuhler (GGL) approach is proposed for full implicit linear DAEs. This generalization is investigated in detail in the rest of the paper, concerning both the analytical and the numerical asymptotic stability of the GGL equation and the numerical methods applied to it correspondingly. The result is, that, if some conditions are fulfilled, IRK(DAE) and BDF methods for the GGL equation will produce stable solutions. This result is illustrated by a numerical example. The application of the methods directly to the considered DAE produces unstable solutions. However, the integration of the corresponding GGL formulation is stable. The obtained result opens new possibility for the numerical treatment of instabilities by differential algebraic equations.

In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz für die Analyse von Profile Maximierungsschätzern präsentiert. Es werden die Ergebnisse von Spokoiny (2011) verfeinert und angepasst für die Schätzung von Komponenten von endlich dimensionalen Parametern mittels der Maximierung eines Kriteriumfunktionals. Dabei werden Versionen des Wilks Phänomens und der Fisher-Erweiterung für endliche Stichproben hergeleitet und die dafür kritische Relation der Parameterdimension zum Stichprobenumfang gekennzeichnet für den Fall von identisch unabhängig verteilten Beobachtungen und eines hinreichend glatten Funktionals. Die Ergebnisse werden ausgeweitet für die Behandlung von Parametern in unendlich dimensionalen Hilberträumen. Dabei wir die Sieve-Methode von Grenander (1981) verwendet. Der Sieve-Bias wird durch übliche Regularitätsannahmen an den Parameter und das Funktional kontrolliert. Es wird jedoch keine Basis benötigt, die orthogonal in dem vom Model induzierten Skalarprodukt ist. Weitere Hauptresultate sind zwei Konvergenzaussagen für die alternierende Maximisierungsprozedur zur approximation des Profile-Schätzers. Alle Resultate werden anhand der Analyse der Projection Pursuit Prozedur von Friendman (1981) veranschaulicht. Die Verwendung von Daubechies-Wavelets erlaubt es unter natürlichen und üblichen Annahmen alle theoretischen Resultate der Arbeit anzuwenden. / This thesis presents a new approach to analyze profile M-Estimators for finite samples. The results of Spokoiny (2011) are refined and adapted to the estimation of components of a finite dimensional parameter using the maximization of a criterion functional. A finite sample versions of the Wilks phenomenon and Fisher expansion are obtained and the critical ratio of parameter dimension to sample size is derived in the setting of i.i.d. samples and a smooth criterion functional. The results are extended to parameters in infinite dimensional Hilbert spaces using the sieve approach of Grenander (1981). The sieve bias is controlled via common regularity assumptions on the parameter and functional. But our results do not rely on an orthogonal basis in the inner product induced by the model. Furthermore the thesis presents two convergence results for the alternating maximization procedure. All results are exemplified in an application to the Projection Pursuit Procedure of Friendman (1981). Under a set of natural and common assumptions all theoretical results can be applied using Daubechies wavelets.

Es werden spektrale Eigenschaften des zweidimensionalen Schrödinger-Operators mit einem zweifach periodischen Potential und starkem magnetischem Feld untersucht mit Hilfe semiklassischer Methoden. Man beschreibt die spektrale Asymptotik durch Benutzung der Reeb-Graph-Technik. Im Falle des rationalen Flusses konstruiert man semiklassische Magneto-Bloch-Funktionen und beschreibt die Asymptotik des Spektrums auf dem physikalischen Beweisniveau. / Spectral properties of the two-dimensional Schroedinger operator with a two-periodic potential and a strong uniform magnetic field is studied with the help of semiclassical methods. The spectral asymptotics is described using the Reeb graph technique. In the case of the rational flux one constructs semiclassical magneto-Bloch functions and describes the asymptotics of the band spectrum on the physical level of proof.

In dieser Dissertation werden Amerikanischen Optionen in einem unvollst¨andigen Markt und in stetiger Zeit untersucht. Die Dissertation besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil untersuchen wir ein stochastisches Optimierungsproblem, in dem ein konvexes robustes Verlustfunktional ueber einer Menge von stochastichen Integralen minimiert wird. Dies Problem tritt auf, wenn der Verkaeufer einer Amerikanischen Option sein Ausfallsrisiko kontrollieren will, indem er eine Strategie der partiellen Absicherung benutzt. Hier quantifizieren wir das Ausfallsrisiko durch ein robustes Verlustfunktional, welches durch die Erweiterung der klassischen Theorie des erwarteten Nutzens durch Gilboa und Schmeidler motiviert ist. In einem allgemeinen Semimartingal-Modell beweisen wir die Existenz einer optimalen Strategie. Unter zusaetzlichen Kompaktheitsannahmen zeigen wir, wie das robuste Problem auf ein nicht-robustes Optimierungsproblem bezueglich einer unguenstigsten Wahrscheinlichkeitsverteilung reduziert werden kann. Im zweiten Teil untersuchen wir die obere und die untere Snellsche Einhuellende zu einer Amerikanischen Option. Wir konstruieren diese Einhuellenden fuer eine stabile Familie von aequivalenten Wahrscheinlichkeitsmassen; die Familie der aequivalentenMartingalmassen ist dabei der zentrale Spezialfall. Wir formulieren dann zwei Probleme des robusten optimalen Stoppens. Das Stopp-Problem fuer die obere Snellsche Einhuellende ist durch die Kontrolle des Risikos motiviert, welches sich aus der Wahl einer Ausuebungszeit durch den Kaeufer bezieht, wobei das Risiko durch ein kohaerentes Risikomass bemessen wird. Das Stopp-Problem fuer die untere Snellsche Einhuellende wird durch eine auf Gilboa und Schmeidler zurueckgehende robuste Erweiterung der klassischen Nutzentheorie motiviert. Mithilfe von Martingalmethoden zeigen wir, wie sich optimale Loesungen in stetiger Zeit und fuer einen endlichen Horizont konstruieren lassen. / This thesis studies American options in an incomplete financial market and in continuous time. It is composed of two parts. In the first part we study a stochastic optimization problem in which a robust convex loss functional is minimized in a space of stochastic integrals. This problem arises when the seller of an American option aims to control the shortfall risk by using a partial hedge. We quantify the shortfall risk through a robust loss functional motivated by an extension of classical expected utility theory due to Gilboa and Schmeidler. In a general semimartingale model we prove the existence of an optimal strategy. Under additional compactness assumptions we show how the robust problem can be reduced to a non-robust optimization problem with respect to a worst-case probability measure. In the second part, we study the notions of the upper and the lower Snell envelope associated to an American option. We construct the envelopes for stable families of equivalent probability measures, the family of local martingale measures being an important special case. We then formulate two robust optimal stopping problems. The stopping problem related to the upper Snell envelope is motivated by the problem of monitoring the risk associated to the buyer’s choice of an exercise time, where the risk is specified by a coherent risk measure. The stopping problem related to the lower Snell envelope is motivated by a robust extension of classical expected utility theory due to Gilboa and Schmeidler. Using martingale methods we show how to construct optimal solutions in continuous time and for a finite horizon.