Wir fixeren einen Körper k, der bezüglich eines nicht-archimedischen Absolutbetrags vollständig ist. In Kapitel 1 konstruieren wir eine Algebra U bestehend aus überkonvergenten Funktionen. Sie ist eine Unteralgebra der Tate-Algebra, wobei mittels einer sogenannten Filterfunktion, eine zusätzliche Wachstumsbedingung an die Koeffizienten der Potenzreihen in U gestellt wird. In diesem Kontext beweisen wir das folgende Resultat: U ist ein Noetherscher, Jacobsonscher, faktorieller Integritätsbereich, der bezüglich der Norm vollständig ist, und jedes Ideal in U ist abgeschlossen in der induzierten Topologie. In Kapitel 2 definieren wir die Kategorie der NMK-Algebren als die Kategorie der Quotienten der U. Indem wir in der größeren Kategorie der Frèchet-Räume arbeiten, beweisen wir die Noethernormalisierung und untersuchen die Morphismen zwishen NMK-Algebren. Schließlich zeigen wir, dass die Kategorie der NMK-Algebren abgeschlossen ist unter vervollständigten Tersorprodukten. In Kapitel 3 untersuchen wir geometrische Aspekte der Algebren U nämlich Eigenschaften der maximalen Ideale und die Regularität von U. Abschließend zeigen wir, dass für jedes U der assoziierte algebraische v exact in positiven Graden ist. / We fix a complete field k with respect to a non-Archimedean absolute value. In Chapter 1, we build the overconvergent function algebra U to be the subalgebra of the Tate algebra by putting a growth condition on the coefficients of the power series using a decreasing function which we call a filter function (satisfying certain conditions). With this setting we prove the following result: U is a Noetherian, Jacobson, unique factorization domain and it is complete with respect to the norm on it, moreover every ideal of U is closed with respect to the induced topology. In Chapter 2, we define a category of NMK-algebras as the category of all quotients of U. Working in the larger category of Frèchet spaces, we establish Noether normalization and investigate the morphisms between NMK-algebras. Finally, we show that the category of NMK-algebras is closed under completed tensor products. We investigate certain geometric aspects of the algebra U in Chapter 3, such as the properties of maximal ideals and regularity of U. Further, we show that for each U the associated algebraic de Rham complex is exact in positive degrees.

Algebro-Differentialgleichungen (engl. differential-algebraic equations - DAEs) sind implizite singuläre gewöhnliche Differentialgleichungen, die restringierte dynamische Prozesse beschreiben. Sie unterscheiden sich von expliziten gewöhnlichen Differentialgleichungen dahingehend, dass Anfangswerte nicht beliebig vorgegeben werden können. Weiterhin sind in einer DAE neben Integrations- auch Differentiationsaufgaben involviert. Der Differentiationsindex gibt an, wieviele Differentiationen zur Lösung notwendig sind. Seit den 1980er Jahren wird vorwiegend an der Charakterisierung und Klassifizierung regulärer DAEs und der Konstruktion nebst Fundierung von Integrationsmethoden gearbeitet. I. Higueras, R. März und C. Tischendorf haben gezeigt, dass man lineare DAEs mit properem Hauptterm, A(t)(D(t)x(t))'' + B(t)x(t) = q(t), die regulär mit Traktabilitätsindex 2 sind, zuverlässig numerisch integrieren kann - im Unterschied zu linearen DAEs in Standardform. In Publikationen von R. Riaza und R. März wird die Klassifizierungen kritischer Punkten von linearen DAEs an die Verletzung bestimmter Rangbedingungen von Matrixfunktionen im Rahmen des Traktabilitätsindexes geknüpft. Im wesentlichen heißt ein kritischer Punkt harmlos, wenn der durch die inhärente Differentialgleichung beschriebene Fluß nicht tangiert ist. Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind lineare quasi-proper formulierte DAEs. Es werden Index 2 DAEs mit harmlosen kritischen Punkten charakterisiert. Unter Verwendung von quasi-zulässigen Projektorfunktionen können neben DAEs, die fast überall gleiche charakteristische Werte haben, nun erstmalig auch solche mit Indexwechseln behandelt werden. Der Hauptteil der Arbeit besteht im Nachweis von Durchführbarkeit, Konvergenz und nur schwacher Instabilität von numerischen Integrationsmethoden (BDF, IRK(DAE)) für lineare Index 2 DAEs mit harmlosen kritischen Punkten, sowie in der Entwicklung von Fehlerschätzern und Schrittweitensteuerung. / Differential-algebraic equations (DAEs) are implicit singular ordinary differential equations, which describe dynamical processes that are restricted by some constraints. In contrast to explicit regular ordinary differential equations, for a DAE not any value can be imposed as an initial condition. Furthermore, DAEs involve not only integration problems but also differentiation problems. The differentiation index of a DAE indicates the number of differentiations required in order to solve a DAE. Since the 1980th, research focuses primarily on the characterization and classification of regular problem classes and the construction and foundation of integration methods for simulation software. I. Higueras, R. Maerz, and C. Tischendorf have shown that one can reliably integrate a general linear DAE with a properly stated leading term, A(t)(D(t)x(t))'' + B(t)x(t) = q(t), which is regular with tractability index 2 - in contrast to linear standard form DAEs. The first classification of critical points of linear DAEs has been published by R. Riaza and R. Maerz. Based on the tractability index, critical points are classified according to failures of certain rank conditions of matrix functions. Essentially, a critical point is said to be harmless, if the flow described by the inherent differential equation is not affected. The subject of this work are quasi-proper linear DAEs. Index-2 DAEs with harmless critical points are characterized. Under the application of quasi-admissible projector functions. Besides DAEs which have almost everywhere the same characteristic values, DAEs with index changes can now be discussed for the first time. The main part of the work is to provide a proof of feasibility, convergence, and only weak instability of numerical integration methods (BDF, IRK (DAE)) for linear index-2 DAEs with harmless critical points, as well as the development and testing of error estimators and stepsize control.

In dieser Arbeit wird die Smallest-Accepted Methode als neue Lepski-Typ Methode für Modellwahl im geordneten Fall eingeführt. In einem ersten Schritt wird die Methode vorgestellt und im Fall von Schätzproblemen mit bekannter Fehlervarianz untersucht. Die Hauptkomponenten der Methode sind ein Akzeptanzkriterium, basierend auf Modellvergleichen für die eine Familie von kritischen Werten mit einem Monte-Carlo-Ansatz kalibriert wird, und die Wahl des kleinsten (in Komplexität) akzeptierten Modells. Die Methode kann auf ein breites Spektrum von Schätzproblemen angewandt werden, wie zum Beispiel Funktionsschätzung, Schätzung eines linearen Funktionals oder Schätzung in inversen Problemen. Es werden allgemeine Orakelungleichungen für die Methode im Fall von probabilistischem Verlust und einer polynomialen Verlustfunktion gezeigt und Anwendungen der Methode in spezifischen Schätzproblemen werden untersucht. In einem zweiten Schritt wird die Methode erweitert auf den Fall einer unbekannten, möglicherweise heteroskedastischen Fehlerstruktur. Die Monte-Carlo-Kalibrierung wird durch eine Bootstrap-basierte Kalibrierung ersetzt. Eine neue Familie kritischer Werte wird eingeführt, die von den (zufälligen) Beobachtungen abhängt. In Folge werden die theoretischen Eigenschaften dieser Bootstrap-basierten Smallest-Accepted Methode untersucht. Es wird gezeigt, dass unter typischen Annahmen unter normalverteilten Fehlern für ein zugrundeliegendes Signal mit Hölder-Stetigkeits-Index s > 1/4 und log(n) (p^2/n) klein, wobei n hier die Anzahl der Beobachtungen und p die maximale Modelldimension bezeichnet, die Anwendung der Bootstrap-Kalibrierung anstelle der Monte-Carlo-Kalibrierung theoretisch gerechtfertigt ist. / In this thesis, the Smallest-Accepted method is presented as a new Lepski-type method for ordered model selection. In a first step, the method is introduced and studied in the case of estimation problems with known noise variance. The main building blocks of the method are a comparison-based acceptance criterion relying on Monte-Carlo calibration of a set of critical values and the choice of the model as the smallest (in complexity) accepted model. The method can be used on a broad range of estimation problems like function estimation, estimation of linear functionals and inverse problems. General oracle results are presented for the method in the case of probabilistic loss and for a polynomial loss function. Applications of the method to specific estimation problems are studied. In a next step, the method is extended to the case of an unknown possibly heteroscedastic noise structure. The Monte-Carlo calibration step is now replaced by a bootstrap-based calibration. A new set of critical values is introduced, which depends on the (random) observations. Theoretical properties of this bootstrap-based Smallest-Accepted method are then studied. It is shown for normal errors under typical assumptions, that the replacement of the Monte-Carlo step by bootstrapping in the Smallest-Accepted method is valid, if the underlying signal is Hölder-continuous with index s > 1/4 and log(n) (p^2/n) is small for a sample size n and a maximal model dimension p.

Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Untersuchung einer Klasse von Diskretisierungsmethoden für nichtlineare optimale Steuerungsprobleme mit gewöhnlichen Differentialgleichungen und Steuerungsbeschränkung sowie die Durchführung von numerischen Experimente. Die theoretischen Untersuchungen basieren aus einem gekoppeltes Parametrisierungs-Diskretisierungsschema aus stückweise polinomialen Ansatz für die Steuerung und einen Runge-Kutta-Verfahren zur Integration der Zustands-Differentialgleichung. Die Konvergenzordnung der Lösung wird unter Regularitätsbedingung und Optimalitätsbedingung 2.Ordnung ermittelt. Außerdem wird eine Möglichkeit zur numerischen Berechnung der Gradienten über internen numerischen Differentiation erläutert. Schließlich werden einige numerischen Resultate gegeben und die Abhängigkeiten zur den theoretischen Konvergenzresultate diskutiert. / The focal point of this work is the investigation of a class of discretization methods for nonlinear optimal control problems governed by ordinary differential equations with control restrictions, as well as the implementation of some numerical experiments. The theoretical investigations are based on a coupledparameterization-discretization pattern, a piecewise linear parameterization representation of the control, and the application of a Runge Kutta method for the integration of the differential state equation. The rate of convergence of the solution is obtained with the help of regularity conditions and the second order optimality conditions. Furthermore, we also present in this paper a possibility of the numerical computation of the gradients via numerical differentiation. Finally some numerical results are given and their relationship to the theoretical convergence results are discussed.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Nutzenoptimierungs- und stochastischen Kontrollproblemen unter mehreren Gesichtspunkten. Wir untersuchen die Parameterunsicherheit solcher Probleme im Sinne des Robustheits- und des Sensitivitätsparadigma. Neben der Betrachtung dieser problemen widmen wir uns auch einem Zweiagentenproblem, bei dem der eine dem anderen das Management seines Portfolios vertraglich überträgt. Wir betrachten das robuste Nutzenoptimierungsproblem in Finanzmarktmodellen, wobei wir Bedingungen für seine Lösbarkeit formulieren, ohne jegliche Kompaktheit der Unsicherheitsmenge zu fordern, welche die Maße enthält, auf die der Optimierer robustifiziert. Unsere Bedingungen sind über gewisse Funktionenräume beschrieben, die allgemein Modularräume sind, mittels dennen wir eine Min-Max-Gleichung und die Existenz optimalen Strategien beweisen. In vollständigen Märkten ist der Raum ein Orlicz, und nachdem man seine Reflexivität explizit überprüft hat, erhält man zusätzlich die Existenz einer Worst-Case-Maße, die wir charakterisieren. Für die Parameterabhängigkeit stochastischer Kontrollprobleme entwickeln wir einen Sensitivitätsansatz. Das Kernargument ist die Korrespondenz zwischen dem adjungierten Zustand zur schwachen Formulierung des Pontryaginschen Prinzips und den Lagrange-Multiplikatoren, die der Kontrollgleichung assoziiert werden, wenn man sie als eine Bedingung betrachtet. Der Sensitivitätsansatz wird dann auf konvexe Probleme mit additiver oder multiplikativer Störung angewendet. Das Zweiagentenproblem formulieren wir in diskreter Zeit. Wir wenden in größter Verallgemeinerung die Methoden der bedingten Analysis auf den Fall linearer Verträge an und zeigen, dass sich die Mehrheit der in der Literatur unter sehr spezifischen Annahmen bekannten Ergebnisse auf eine deutlich umfassenderer Klasse von Modellen verallgemeinern lässt. Insbesondere erhalten wir die Existenz eines first-best-optimalen Vertrags und dessen Implementierbarkeit. / In this thesis we deal with utility maximization and stochastic optimal control through several points of view. We shall be interested in understanding how such problems behave under parameter uncertainty under respectively the robustness and the sensitivity paradigms. Afterwards, we leave the single-agent world and tackle a two-agent problem where the first one delegates her investments to the second through a contract. First, we consider the robust utility maximization problem in financial market models, where we formulate conditions for its solvability without assuming compactness of the densities of the uncertainty set, which is a set of measures upon which the maximizing agent performs robust investments. These conditions are stated in terms of functional spaces wich generally correspond to Modular spaces, through which we prove a minimax equality and the existence of optimal strategies. In complete markets the space is an Orlicz one, and upon explicitly granting its reflexivity we obtain in addition the existence of a worst-case measure, which we fully characterize. Secondly we turn our attention to stochastic optimal control, where we provide a sensitivity analysis to some parameterized variants of such problems. The main tool is the correspondence between the adjoint states appearing in a (weak) stochastic Pontryagin principle and the Lagrange multipliers associated to the controlled equation when viewed as a constraint. The sensitivity analysis is then deployed in the case of convex problems and additive or multiplicative perturbations. In a final part, we proceed to Principal-Agent problems in discrete time. Here we apply in great generality the tools from conditional analysis to the case of linear contracts and show that most results known in the literature for very specific instances of the problem carry on to a much broader setting. In particular, the existence of a first-best optimal contract and its implementability by the Agent is obtained.

Diese Dissertation betrachtet das Problem der nichtparametrischen Schätzung der Diffusionskoeffizienten eines ein-dimensionalen und zeitlich homogenen Itô-Diffusionsprozesses. Dabei werden verschiedene diskrete Sampling Regimes untersucht. Im ersten Teil zeigen wir, dass eine Variante des von Gobet, Hoffmann und Reiß konstruierten Niedrigfrequenz-Schätzers auch im Fall von zufälligen Beobachtungszeiten verwendet werden kann. Wir beweisen, dass der Schätzer optimal im Minimaxsinn und adaptiv bezüglich der Verteilung der Beobachtungszeiten ist. Außerdam wenden wir die Lepski Methode an um einen Schätzer zu erhalten, der zusätzlich adaptiv bezüglich der Sobolev-Glattheit des Drift- und Volatilitätskoeffizienten ist. Im zweiten Teil betrachten wir das Problem der Volatilitätsschätzung für äquidistante Beobachtungen. Im Fall eines stationären Prozesses, mit kompaktem Zustandsraum, erhalten wir einen Schätzer, der sowohl bei hochfrequenten als auch bei niedrigfrequenten Beobachtungen die optimale Minimaxrate erreicht. Die Konstruktion des Schätzers beruht auf spektralen Methoden. Im Fall von niedrigfrequenten Beobachtungen ist die Analyse des Schätzers ähnlich wie diejenige in der Arbeit von Gobet, Hoffmann und Reiß. Im hochfrequenten Fall hingegen finden wir die Konvergenzraten durch lokale Mittelwertbildung und stellen daubt eine Verbindung zum Hochfrequenzschätzer von Florens-Zmirou her. In der Analyse unseres universalen Schätzers benötigen wir scharfe obere Schranken für den Schätzfehler von Funktionalen der Occupation time für unstetige Funktionen. Wir untersuchen eine auf Riemannsummen basierende Approximation der Occupation time eines stationären, reversiblen Markov-Prozesses und leiten obere Schranken für den quadratischen Fehler her. Im Fall von Diffusionsprozessen erhalten wir Konvergenzraten für Sobolev Funktionen. / In this thesis, we consider the problem of nonparametric estimation of the diffusion coefficients of a scalar time-homogeneous Itô diffusion process from discrete observations under various sampling assumptions. In the first part, the low-frequency estimation method proposed by Gobet, Hoffmann and Reiß is modified to cover the case of random sampling times. The estimator is shown to be optimal in the minimax sense and adaptive to the sampling distribution. Moreover, Lepski''s method is applied to adapt to the unknown Sobolev smoothness of the drift and volatility coefficients. In the second part, we address the problem of volatility estimation from equidistant observations without a predefined frequency regime. In the case of a stationary diffusion with compact state space and boundary reflection, we introduce a universal estimator that attains the minimax optimal convergence rates for both low and high-frequency observations. Being based on the spectral method, the low-frequency analysis is similar to the study conducted by Gobet, Hoffmann and Reiß. On the other hand, the derivation of the convergence rates in the high-frequency regime requires local averaging of the low-frequency estimator, which makes it mimic the behaviour of the classical high-frequency estimator introduced by Florens-Zmirou. The analysis of the universal estimator requires tight upper bounds on the estimation error of the occupation time functional for non-continuous functions. In the third part of the thesis, we thus consider the Riemann sum approximation of the occupation time functional of a stationary, time-reversible Markov process. Upper bounds on the squared mean estimation error are provided. In the case of diffusion processes, convergence rates for Sobolev regular functions are obtained.

Die vorliegende Dissertation befasst sich mit der mathematischen Modellierung semi-klassischer Licht-Materie-Interaktion. Im semiklassischen Bild wird Materie durch eine Dichtematrix "rho" beschrieben. Das Konzept der Dichtematrizen ist quantenmechanischer Natur. Auf der anderen Seite wird Licht durch ein klassisches elektromagnetisches Feld "(E,H)" beschrieben. Wir stellen einen mathematischen Rahmen vor, in dem wir systematisch dissipative Effekte in die Liouville-von-Neumann-Gleichung inkludieren. Bei unserem Ansatz sticht ins Auge, dass Lösungen der resultierenden Gleichung eine intrinsische Liapunov-Funktion besitzen. Anschließend koppeln wir die resultierende Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen und erhalten ein neues selbstkonsistentes, dissipatives Modell vom Maxwell-Bloch-Typ. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der intensiven mathematischen Studie des dissipativen Modells vom Maxwell-Bloch-Typ. Da das Modell Lipschitz-Stetigkeit vermissen lassen, kreieren wir eine regularisierte Version des Modells, das Lipschitz-stetig ist. Wir beschränken unsere Analyse im Wesentlichen auf die Lipschitz-stetige Regularisierung. Für regularisierte Versionen des dissipativen Modells zeigen wir die Existenz von Lösungen des zugehörigen Anfangswertproblems. Der Kern des Existenzbeweises besteht aus einem Resultat von ``compensated compactness'''', das von P. Gérard bewiesen wurde, sowie aus einem Lemma vom Rellich-Typ. In Teilen folgt dieser Beweis dem Vorgehen einer älteren Arbeit von J.-L. Joly, G. Métivier und J. Rauch. / This thesis deals with the mathematical modeling of semi-classical matter-light interaction. In the semi-classical picture, matter is described by a density matrix "rho", a quantum mechanical concept. Light on the other hand, is described by a classical electromagnetic field "(E,H)". We give a short overview of the physical background, introduce the usual coupling mechanism and derive the classical Maxwell-Bloch equations which have intensively been studied in the literature. Moreover, We introduce a mathematical framework in which we state a systematic approach to include dissipative effects in the Liouville-von-Neumann equation. The striking advantage of our approach is the intrinsic existence of a Liapunov function for solutions to the resulting evolution equation. Next, we couple the resulting equation to the Maxwell equations and arrive at a new self-consistent dissipative Maxwell-Bloch type model for semi-classical matter-light interaction. The main focus of this work lies on the intensive mathematical study of the dissipative Maxwell-Bloch type model. Since our model lacks Lipschitz continuity, we create a regularized version of the model that is Lipschitz continuous. We mostly restrict our analysis to the Lipschitz continuous regularization. For regularized versions of the dissipative Maxwell-Bloch type model, we prove existence of solutions to the corresponding Cauchy problem. The core of the proof is based on results from compensated compactness due to P. Gérard and a Rellich type lemma. In parts, this proof closely follows the lines of an earlier work due to J.-L. Joly, G. Métivier and J. Rauch.

Das Hauptanliegen dieser Arbeit ist der asymptotische Vergleich verschiedener nichtparametrischer adaptiver Schätzer des Mittelwertvektors in einer Regressionssituation mit wachsender Anzahl von Wiederholungen an festen Versuchspunkten. Da die adaptiven Schätzer nicht mehr linear in den Beobachtungen sind, wird ihre mittleren quadratischen Fehler durch ihre Risiken höherer Ordnung approximiert und dadurch wird ein Vergleich unter Annahme normalverteilter Beobachtungsfehlern ermöglicht. Es wird gezeigt, daß der Plug-In Schätzer des unbekannten Mittelwertvektors in dritter Ordnung besser ist als die anderen adaptiven Schätzer und, daß die mit Hilfe der Full Cross-validation Idee konstruierte Schätzer des Mittelwertvektors besser ist als die Schätzung mit Cross-validation, falls die unbekannte Regressionsfunktion "unglatt" ist. In speziellen Situationen ist die Full Cross-validation Adaptation besser als die Adaptationen mit Hilfe der in der Arbeit betrachteten "automatischen" Kriterien. Es wird außerdem einen Schätzer des Mittelwertvektors mit einer Plug-In Idee konstruiert, dessen Risiken zweiter Ordnung kleiner sind als die Risiken zweiter Ordnung der anderen adaptiven Schätzer. Wenn aber eine Vermutung vorliegt, daß die unbekannte Regressionsfunktion "sehr glatt" ist, wird bewiesen daß der Projektionsschätzer den kleinsten mittleren quadratischen Fehler liefert. / The main objective of this thesis is the asymptotic comparison of various nonparametric adaptive estimators of the mean vector in a regression situation with increasing number of replications at fixed design points. Since the adaptive estimators are no longer linear in the observations, one approximates their mean square errors by their heigher order risks and a comparison under the assumption of normal distributed errors of the observations will be enabled. It is shown that the Plug-In estimators of the unknown mean vector is better in third order than the others adaptive estimators and that the estimator defined with the full cross-validation idea is better than the estimator with cross-validation, if the unknown regression function is "non smooth". In some special situations, the full cross-validation adaptation will be better than the adaptations using a minimizer of the "automatic" criteria considered in this thesis. Additionally, an estimator of the mean vector is proposed, whose second order risk is smaller than the second order risks of the other adaptive estimators. If however one presumes that the unknown regression function is "very smooth", then it is shown that the projection estimator gives the smallest mean square error.

P. Broussous and S. Stevens studierten für die Konstruktion einfacher Typen unitärer p-adischer Gruppen Abbildungen zwischen erweiterten Bruhat-Tits-Gebäuden, die die Moy-Prasad-Filtrierungen respektieren (CLF). Im ersten Teil der Doktorarbeit wird deren Arbeit zu solchen Abbildungen um den Quaternionenalgebrafall erweitert. Genauer, es sei k0 ein p-adischer Körper mit einer von 2 verschiedenen Restcharakteristik und beta ein eine halbeinfache k0-Algebra erzeugendes, k0-rationales Element der Lie-Algebra einer über k0 definierten unitaren Gruppe G=U(h) zu einer epsilon-hermitischen Form h. Es sei H der Zentralisator von beta in G. Es wird bewiesen, dass eine affine H(k0)-equivariante CLF-Abbildung j vom erweiterten Bruhat-Tits-Gebäude B^1(H,k0) nach B^1(G,k0) existiert. Wie von Broussous vermutet, stellt sich in der Doktorarbeit heraus, dass j durch die CLF-Eigenschaft eindeutig bestimmt wird, falls kein Faktor von H k0-isomorph zur isotropen orthogonalen Gruppe vom k0-Rank 1 ist und alle Faktoren unitäre Gruppen sind. Desweiteren wird bei abgeschwächter Äquivarianzeigenschaft bewiesen, dass j als affine und bezüglich dem Zentrum von H^0(k0) equivariante CLF-Abbildung bis auf eine Translation von B^1(H,k0) eindeutig bestimmt ist. Im zweiten Teil wird der von Broussous und M. Grabitz studierte Einbettungstyp mit Hilfe einer CLF-Abbildung entschlüsselt. Wir betrachten einen Schiefkörper von endlichem Index und p-adischem Zentrum F. Die Konstruktion einfacher Typen für GLn(D) nach der Methode von Bushnell und Kutzko bedurfte der Analyse sogenannter Strata, die eine Starrheitseingenschaft erfüllen mussten. Teil eines Stratums ist insbesondere ein Paar (E,a) bestehend aus einer Körpererweiterung E|F in Mn(D) und einer erblichen Ordnung a, welche von E^x normalisiert wird. Broussous und Grabitz klassifizierten diese Paare mit Hilfe von Invarianten. Im zweiten Teil werden diese Invarianten mit Hilfe der Geometrie einer CLF-Abbildung berechnet. / P. Broussous and S. Stevens studied maps between enlarged Bruhat-Tits buildings to construct types for p-adic unitary groups. They needed maps which respect the Moy-Prasad filtrations. That property is called (CLF), i.e. compatibility with the Lie algebra filtrations. In the first part of this thesis we generalise their results on such maps to the Quaternion-algebra case. Let k0 be a p-adic field of residue characteristic not two. We consider a semisimple k0-rational Lie algebra element beta of a unitary group G:=U(h) defined over k0 with a signed hermitian form h. Let H be the centraliser of beta in G. We prove the existence of an affine H(k0)-equivariant CLF-map j from the enlarged Bruhat-Tits building B^1(H,k0) to B^1(G,k0). As conjectured by Broussous the CLF-property determines j, if none of the factors of H is k0-isomorphic to the isotropic orthogonal group of k0-rank one and all factors are unitary groups. Under the weaker assumption that the affine CLF-map j is only equivariant under the center of H^0(k0) it is uniquely determined up to a translation of B^1(H,k0). The second part is devoted to the decoding of embedding types by the geometry of a CLF-map. Embedding types have been studied by Broussous and M. Grabitz. We consider a division algebra D of finite index with a p-adic center F. The construction of simple types for GLn(D) in the Budhnell-Kutzko framework required an investigation of strata which had to fulfil a rigidity property. Giving a stratum especially means to fix a pair (E,a) consisting of a field extension E|F in Mn(D) and a hereditary order a which is stable under conjugation by E^x, in other words we fix an embedding of E^x into the normalizer of a. Broussous and Grabitz classified these pairs with invariants. We describe and prove a way to decode these invariants using the geometry of a CLF-map.

Klassische Methoden für die direkte Berechnung von Hopf Punkten und andere Singularitaten basieren auf der Auswertung und Faktorisierung der Jakobimatrix. Dieses stellt ein Hindernis dar, wenn die Dimensionen des zugrundeliegenden Problems gross genug ist, was oft bei Partiellen Diferentialgleichungen der Fall ist. Die betrachteten Systeme haben die allgemeine Darstellung f ( x(t), α) für t grösser als 0, wobei x die Zustandsvariable, α ein beliebiger Parameter ist und f glatt in Bezug auf x und α ist. In der vorliegenden Arbeit wird ein Matrixfreies Schema entwicklet und untersucht, dass ausschliesslich aus Produkten aus Jakobimatrizen und Vektoren besteht, zusammen mit der Auswertung anderer Ableitungsvektoren erster und zweiter Ordnung. Hiermit wird der Grenzwert des Parameters α, der zuständig ist für das Verlieren der Stabilität des Systems, am Hopfpunkt bestimmt. In dieser Arbeit wird ein Gleichungssystem zur iterativen Berechnung des Hopfpunktes aufgestellt. Das System wird mit einer skalaren Testfunktion φ, die aus einer Projektion des kritischen Eigenraums bestimmt ist, ergänzt. Da das System f aus einer räumlichen Diskretisierung eines Systems Partieller Differentialgleichungen entstanden ist, wird auch in dieser Arbeit die Berechung des Fehlers, der bei der Diskretisierung unvermeidbar ist, dargestellt und untersucht. Zur Bestimmung der Hopf-Bedingungen wird ein einzelner Parameter gesteuert. Dieser Parameter wird unabhängig oder zusammen mit dem Zustandsvektor in einem gedämpften Iterationsschritt neu berechnet. Der entworfene Algorithmus wird für das FitzHugh-Nagumo Model erprobt. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, wie für einen kritischen Strom, das Membranpotential eine fortschreitende Welle darstellt. / Classical methods for the direct computation of Hopf bifurcation points and other singularities rely on the evaluation and factorization of Jacobian matrices. In view of large scale problems arising from PDE discretization systems of the form f( x (t), α ), for t bigger than 0, where x are the state variables, α are certain parameters and f is smooth with respect to x and α, a matrix-free scheme is developed based exclusively on Jacobian-vector products and other first and second derivative vectors to obtain the critical parameter α causing the loss of stability at the Hopf point. In the present work, a system of equations is defined to locate Hopf points, iteratively, extending the system equations with a scalar test function φ, based on a projection of the eigenspaces. Since the system f arises from a spatial discretization of an original set of PDEs, an error correction considering the different discretization procedures is presented. To satisfy the Hopf conditions a single parameter is adjusted independently or simultaneously with the state vector in a deflated iteration step, reaching herewith both: locating the critical parameter and accelerating the convergence rate of the system. As a practical experiment, the algorithm is presented for the Hopf point of a brain cell represented by the FitzHugh-Nagumo model. It will be shown how for a critical current, the membrane potential will present a travelling wave typical of an oscillatory behaviour.