This works has been organized in three parts. The first (Chapter 1 to 5) is dedicated to the development and study of a procedure for the accurate computation of frequencies, as well ans the related Fourier coefficients, of a quasi-periodical funcition. The second part of the work (Chapters 6 to 7) is devoted to the study to the dynamics in the vicinity of the collinear equilibrium points of the three-dimensional RTBP fo the Earth-Moon mass parameter. The third part consists in several appendices, which give some additional results that have been taken apart from the main text in order to improve its readability.

La memòria recull contribucions a diversos aspectes del problema de l'estabilitat en sistemes hamiltonians quasi-integrables. Aquests aspectes inclouen resultats d'estabilitat efectiva, que comporten el confinament de trajectòries durant un interval de temps molt gran, i també resultats que estableixen l'existència de tors invariants, entre els quals distingim els tors KAM i tors de dimensió inferior.Considerem un sistema hamiltonià quasi-integrable, amb n graus de llibertat, en el qual la mida de la pertorbació és "Epsilon". Malgrat la possibilitat de difusió en aquest tipus de sistemes, els teoremes de Nekhoroshev i KAM (Kolmogorov-Arnol'd-Moser) són resultats molt valuosos que asseguren certs tipus d'estabilitat. Amb tot, les proves habituals d'aquests teoremes no posen en relleu la profunda relació que existeix entre els diferents tipus d'estabilitat a què donen lloc. Gran part de la memòria és dedicada doncs a donar un enfocament unificat per als dos teoremes.Després d'un capítol d'introducció, al capítol 2 descrivim el mètode seguit per a la prova d'ambdós teoremes, consistent a construir iterativament una transformació canònica que porti el hamiltonià de partida a una forma normal que depengui de menys angles. Per a l'obtenció de la forma normal fem ús del formalisme de les sèries de Lie, que descrivim a la secció 2.1. Aquest és un procediment molt apropiat per a aplicacions pràctiques, perquè permet dur a terme càlculs explícits en exemples concrets, i pot ésser directament implementat en ordinadors. Per tal d'evitar l'efecte causat pels petits divisors, prop de la ressonància associada a un mòdul fixat acceptem que la forma normal pugui dependre de certes combinacions d'angles. De fet només cal considerar ressonàncies fins a un ordre finit apropiat, ja que l'efecte de les ressonàncies d'ordre més alt és exponencialment petit. Basant-nos en el mètode de les sèries de Lie, construïm el procés iteratiu, el qual és finit en la prova del teorema de Nekhoroshev i infinit per al teorema KAM (en aquest darrer cas, sempre prenem el mòdul nul). De fet, descrivim un algorisme lineal i un de quadràtic. Tot i que l'algorisme lineal és d'aparença més senzilla, mostrem que el càlcul explícit de la forma normal podria ésser una mica més ràpid usant l'algorisme quadràtic.A les seccions 2.3 i 2.4 obtenim les versions lineal i quadràtica del lema iteratiu, que ens donen les fites per a un pas concret del procés iteratiu en cadascun dels dos algorismes. Utilitzem una norma per a camps vectorials hamiltonians (introduïda a la secció 2.2), la qual ens permet d'optimitzar les fites respecte les d'altres autors. Duent a terme un nombre adequat de passos, i aplicant reiteradament el lema iteratiu (en qualsevol de les seves dues versions), obtenim a la secció 2.5 el teorema de la forma normal, en el qual la fita de la resta és exponencialment petita. La prova d'aquest resultat esdevé molt simple degut al fet que el lema iteratiu ha estat optimitzat.Al capítol 3 obtenim, a partir del teorema de la forma normal, la prova del teorema de Nekhoroshev en el cas quasiconvex. En primer lloc, donem a les seccions 3.1 i 3.2 fites d'estabilitat vàlides sobre regions no ressonants i regions ressonants, respectivament (per al cas ressonant imposem la condició de quasiconvexitat). A la secció 3.3 recobrim tot l'espai de fases amb una família de conjunts, que reben el nom de blocs, associats a diferents mòduls de ressonàncies. Així obtenim a la secció 3.4 un temps d'estabilitat exponencialment gran en 1/Epsilon. per a totes les trajectòries, completant la prova del teorema de Nekhoroshev amb l'exponent òptim 1/2n.Obtenim també al capítol 3 altres resultats sobre estabilitat efectiva. Hem considerat a la secció 3.1 una pertorbació d'un sistema de n oscil·ladors harmònics amb freqüències satisfent una condició diofàntica. En aquest cas l'exponent de les fites és 1/(Tau + 1), essent Tau l'exponent de la condició diofàntica. A la secció 3.5 veiem que podem millorar les fites de Nekhoroshev si ens restringim a un entorn de la ressonància associada a un mòdul fixat, i obtenim uns exponents d'estabilitat particulars, que depenen de la dimensió del mòdul. A més, apliquem aquestes fites al conegut exemple d'Arnol'd.Al capítol 4 provem la versió isoenergèica de teorema KAM de manera directa sense usar aplicació de Poincaré) i introduïm la noció de tor quasi-invariant. Comencem veient a la secció 4.1 les dificultats que sorgeixen en el cas isoenergètic, i les resolem amb els lemes tècnics que donem a la secció 4.2. El mètode iteratiu que usem per a provar el teorema KAM isoenergètic és paral·lel, en línies generals, al que usa Arnol'd en el cas ordinari. A la secció 4.3 donem fites per a un pas concret del procés a partir del lema iteratiu. A la secció 4.4 completem la prova del teorema KAM isoenergètic, veient que les restes tendeixen ràpidament cap a zero i obtenint tors invariants n-dimensionals (tors KAM), però només sobre un conjunt cantorià que ve donat per freqüències diofàntiques.A més, obtenim a la secció 4.5 un resultat d'estabilitat que constitueix un pont entre els teoremes KAM i de Nekhoroshev. Cal considerar les freqüències que satisfan aproximadament una condició diofàntica, fins una precisió donada r. Aquestes freqüències donen lloc a tors quasi-invariants, noció que expressa que les trajectòries que parteixen d'un d'aquests tors hi romanen a prop durant un temps exponencialment gran en 1/r. Així, la precisió r passa a constituir el paràmetre de pertorbació (per a r = 0 tenim els tors KAM). Obtenim aquest resultat dins del mateix esquema iteratiu usat per al teorema KAM però aturant-lo en el moment adequat, en comptes de dur-lo fins al límit. El resultat és molt proper, des del punt de vista quantitatiu, al teorema KAM. Qualitativament, sacrifiquem l'estabilitat perpètua dels tors KAM però, en canvi, tenim un resultat més significatiu des del punt de vista pràctic, ja que per tal d'associar un tor quasi-invariant a una freqüència donada només cal comprovar la condició diofàntica aproximadament. Aquest resultat és lleugerament diferent dels d'altres autors, que estableixen que els tors KAM són "enganxosos" (prenent com a paràmetre la distància a un tor KAM fixat). El nostre resultat és més útil a la pràctica, car no requerim l'existència prèvia d'un tor KAM.Estudiem a la secció 4.6 l'existència de tors invariants per a un hamiltonià a l'entorn d'un punt fix el·líptic. Sota les condicions adequades, el teorema KAM ens diu que en un entorn de radi r existeix un gran nombre de tors invariants. Fins i tot, si les freqüències del punt el·líptic satisfan una condició diofàntica, llavors la mesura del complementari dels tors invariants és exponencialment petita en 1/r.Al capítol 5 estudiem els tors invariants de dimensió inferior prop de la ressonància associada a un mòdul de dimensió d < n. La localització d'aquests tors, especialment els tors hiperbòlics, és important com a primer pas per a establir l'existència de difusió d'Arnol'd al llarg d'una cadena de transició. En primer lloc, posem el hamiltonià en forma normal respecte el mòdul fixat i la resta és petita. Fent un canvi canònic lineal (secció 5.2), podem suposar que la part en forma normal només depèn de d angles. Menyspreant la resta, fem un estudi de la forma normal, la qual constitueix un sistema intermedi entre el hamiltonià no pertorbat i el hamiltonià pertorbat. A la secció 5.1 donem condicions per tal que la forma normal tingui tors invariants de dimensio n-d, els quals poden ésser el·líptics, hiperbòlics i d'altres categories. Considerem a la secció 5.3 el cas d'una ressonància simple (d=1), en el qual la forma normal és integrable i per tant podem dur a terme un estudi complet de les varietats invariants dels tors hiperbòlics i les connexions homoclíniques que tenen lloc. Remarquem que, si bé l'existència dels tors hiperbòlics per al sistema original ha estat establerta per altres autors, cal esperar que aquests tors es trobin molt a prop dels de la forma normal si aquesta ha estat obtinguda fins un ordre prou alt. Llavors podem obtenir més informació sobre les varietats invariants. / The main results concerning stability in nearly-integrable Hamiltonian systems are revisited: Nekhoroshev theorem (effective stability) and KAM theorem (existence of invariant tori). We prove both theorems using a common method, which allows to stress the close relationship between them.The method consists of bringing our Hamiltonian to normal form using an iterative procedure based on Lie series. We describe two algorithms (linear and quadratic) which can both be directly implemented in computers. To give estimates for the remainder of the normal form along the iterative process, we use a vectorfield norm which allows to optimize the estimates.Iterating these estimates an appropiate (finite) number of steps, we get an exponentially small remainder. Assuming quasiconvexity, we get Nekhoroshev theorem (with the optimal exponent). Further results on effective stability are also obtained.We prove the isoenergetic version of KAM theorem in a direct way (without using a Poincaré map). In this case, in order to make the remainder tend to zero, we consider an infinite iterative process. In this way the majority of trajectories lie in invariant tori, but these tori fill a Cantorian set given by Diophantine frequencies. Moreover, we introduce the notion of nearly-invariant torus by stopping the process at an appropiate step. We associate a nearly-invariant torus to the frequencies satisfying, up to a given precision, a Diophantine condition (the precision becomes the parameter of perturbation). We also prove the existence of a large number of invariant tori near an elliptic fixed point with Diophantine frequencies: we give for the complement of the invariant tori an exponentially small estimate.Finally, we study low dimensional tori near resonances and the invariant manifolds of hyperbolic tori near simple resonances. This constitutes a first step towards finding Arnol'd diffusion in nearly-integrable Hamiltonian systems.

Se consideran familias de difeomorfismos con un punto fijo parabólico para el valor cero del parámetro y un punto fijo hiperbólico para valores mayores que cero que tengan en este caso puntos homoclínicos asociados a las variedades invariantes del punto hiperbólico. Para estas familias se estudia la separación máxima entre estas variedades en una región fijada la cual da una medida cuantitativa de la falta de integrabilidad del difeomorfismo. En el caso diferenciable se obtiene que la separación es del orden de una potencia adecuada del parámetro (que se explicita). En el caso infinitamente diferenciable es del orden de cualquier potencia del parámetro y en el caso analítico conservativo es menor que una función exponencialmente decreciente cuyos parámetros se relacionan con singularidades complejas.Además se hace un estudio del comportamiento de las variedades invariantes de un punto fijo hiperbólico de difeomorfismos diferenciables cercanos a la identidad y se da un tratamiento uniforme de la forma normal de Birkmoff alrededor de un punto fijo hiperbólico para familias de difeomorfismos conservativos analíticos que contengan la identidad.

In this work we study several topics concerning quasi-periodic time-dependent perturbations of ordinary differential equations. This kind of equations appear as models in many applied problems of Celestial Mechanics, and we have used, as an illustration, the study of the behaviour near the equilateral libration points of the real Earth-Moon system. Let us introduce this problem as a motivation. As a first approximation, suppose that the Earth and Moon arc revolving in circular orbits around their centre of masses, neglect the effect of the rest of the solar system and neglect the spherical terms coming from the Earth and Moon (of course, all the effects minor than the above mentioned) as the relativistic corrections, must be neglected). With this, we can write the equations of motion of an infinitesimal particle (by infinitesimal we mean that the particle is influenced by the Earth and Moon, but it does not affect them) by means of Newton's Jaw. The study of the motion of that particle is the so-called Restricted Three Body Problem (RTBP). Usually, in order to simplify the equations, the units of length, time and mass are chosen so that the angular velocity of rotation, the sum of masses of the bodies and the gravitational constant are all equal to one. With these normalized units, the distance between the bodies is also equal to one. If these equations of motion are written in a rotating frame leaving fixed the Earth and Moon (these main bodies are usually called primaries), it is known that the system has five equilibrium points. Two of them can be found as the third vertex of equilateral triangles having the Earth and Moon as vertices, and they are usually called equilateral libration points.It is also known that, when the mass parameter "mi" (the mass of the small primary in the normalized units) is less than the Routh critical value "mi"(R) = 1/2(1 - square root (23/27) = 0.03852 ... (this is true in the Earth-Moon case) these points are linearly stable. Applying the KAM theorem to this case we can obtain that there exist invariant tori around these points. Now, if we restrict the motion of the particle to the plane of motion of the primaries we have that, inside each energy level, these tori split the phase space and this allows to prove that the equilateral points are stable (except for two values, "mi" = "mi"2 and "mi"= "mi"3 with low order resonances). In the spatial case, the invariant tori do not split the phase space and, due to the possible Arnold diffusion, these points can be unstable. But Arnold diffusion is a very slow phenomenon and we can have small neighbourhoods of "practical stability", that is, the particle will stay near the equilibrium point for very long time spans.Unfortunately, the real Earth-Moon system is rather complex. In this case, due to the fact that that the motions of the Earth and the Moon are non circular (even non elliptical) and the strong influence of the Sun, the libration points do not exist as equilibrium points, and we need to define "instantaneous" libration points as the ones forming an equilateral triangle with the Earth and the Moon at each instant. If we perform some numerical integrations starting at (or near) these points we can see that the solutions go away after a short period of time, showing that these regions are unstable.Two conclusions can be obtained from this fact. First: if we are interested in keeping a spacecraft there, we will need to use some kind of control. Second: the RTBP is not a good model for this problem} because the behaviour displayed by it is different from the one of the real system.For these reasons, an improved model has been developed in order to study this problem. This model includes the main perturbations (due to the solar effect and to the noncircular motion of the Moon), assuming that they are quasi-periodic. This is a very good approximation for time spans of some thousands of years. It is not clear if this is true for longer time spans, but this matter will not be considered in this work. This model is in good agreement with the vector field of the solar system directly computed by means of the JPL ephemeris, for the time interval for which the JPL model is available.The study of this kind of models is the main purpose of this work.First of all, we have focused our attention on linear differential equations with constant coefficients, affected by a small quasi-periodic perturbation. These equations appear as variational equations along a quasi-periodic solution of a general equation and they also serve as an introduction to nonlinear problems.The purpose is to reduce those systems to constant coefficients ones by means of a quasi-periodic change of variables, as the classical Floquet theorem does for periodic systems. It is also interesting to nave a way to compute this constant matrix, as well as the change of variables. The most interesting case occurs when the unperturbed system is of elliptic type. Other cases, as the hyperbolic one, have already been studied. We have added a parameter ("epsilon") in the system, multiplying the perturbation, such that if "epsilon" is equal to zero we recover the unperturbed system. In this case we have found that, under suitable hypothesis of non-resonance, analyticity and non-degeneracy with respect to "epsilon", it is possible to reduce the system to constant coefficients, for a cantorian set of values of "epsilon". Moreover, the proof is constructive in an iterative way. This means that it is possible to find approximations to the reduced matrix as well as to the change of variables that performs such reduction. These results are given in Chapter 1.The nonlinear case is now going to be studied. We have then considered an elliptic equilibrium point of an autonomous ordinary differential equation, and we have added a small quasi-periodic perturbation, in such a way that the equilibrium point does not longer exist. As in the linear case, we have put a parameter ("epsilon") multiplying the perturbation. There is some "practical" evidence that there exists a quasi-periodic orbit, having the same basic frequencies that the perturbation, such that, when the perturbation goes to zero, this orbit goes to the equilibrium point. Our results show that, under suitable hypothesis, this orbit exists for a cantorian set of values of "epsilon". We have also found some results related to the stability of this orbit. These results are given in Chapter 2.A remarkable case occurs when the system is Hamiltonian. Here it is interesting to know what happens to the invariant tori near these points when the perturbation is added. Note that the KAM theorem can not be applied directly due to the fact that the Hamiltonian is degenerated, in the sense that it has some frequencies (the ones of the perturbation) that have fixed values and they do not depend on actions in a diffeomorphic way. In this case, we have found that some tori still exist in the perturbed system. These tori come from the ones of the unperturbed system whose frequencies are non-resonant with those of the perturbation. The perturbed tori add these perturbing frequencies to the ones they already had. This can be described saying that the unperturbed tori are "quasi-periodically dancing" under the "rhythm" of the perturbation. These results can also be found in Chapter 2 and Appendix C.The final point of this work has been to perform a study of the behaviour near the instantaneous equilateral libration points of the real Earth-Moon system. The purpose of those computations has been to find a way of keeping a spacecraft near these points in an unexpensive way. As it has been mentioned above in the real system these points are not equilibrium points, and their neighbourhood displays unstability. This leads us to use some control to keep the spacecraft there. It would be useful to have an orbit that was always near these points, because the spacecraft could be placed on it. Thus, only a station keeping would be necessary. The simplest orbit of this kind that we can compute is the one that replaces the equilibrium point. In Chapter 3, this computation has been carried out first for a planar simplified model and then for a spatial model. Then, the solution found for this last model has been improved, by means of numerical methods, in order to have a real orbit of the real system (here, by real system we mean the model of solar system provided by the JPL tapes). This improvement has been performed for a given (fixed) time-span. That is sufficient for practical purposes. Finally, an approximation to the linear stability of this refined orbit has been computed, and a very mild unstability has been found, allowing for an unexpensive station keeping. These results are given in Chapter 3 and Appendix A.Finally, in Appendix B the reader can find the technical details concerning the way of obtaining the models used to study the neighbourhood of the equilateral points. This has been jointly developed with Gerard Gomez, Jaume Llibre, Regina Martinez, Josep Masdemont and Carles Simó.We study several topics concerning quasi-periodic time-dependent perturbations of ordinary differential equations. This kind of equations appear in many applied problems of Celestial Mechanics, and we have used, as an illustration, the study of the behaviour near the Lagrangian points of the real Earth-Moon system. For this purpose, a model has been developed. It includes the main perturbations (due to the Sun and Moon), assuming that they are quasi-periodic.Firstly, we deal with linear differential equations with constant coefficients, affected by a small quasi-periodic perturbation, trying to reduce then: to constant coefficients by means of a quasi-periodic change of variables. The most interesting case occurs when the unperturbed system is of elliptic type. We have added a parameter "epsilon" in the system, multiplying the perturbation, such that if "epsilon" is equal to zero we recover the unperturbed system. In this case, under suitable hypothesis of non-resonance, analyicity and non degeneracy with respect to "epsilon", it is possible to reduce the system to constant coefficients, for a cantorian set of values of "epsilon".In the nonlinear case, we have considered an elliptic equilibrium point of an autonomous differential equation, and we have added a small quasi-periodic perturbation, in such a way that the equilibrium point does not exist. As in the linear case, we have put a parameter ("epsilon") multiplying the perturbation. Then, for a cantorian set of "epsilon", there exists a quasi-periodic orbit having the same basic frequencies as the perturbation, going to the equilibrium point when t: goes to zero. Some results concerning the stability of this orbit are stated. When the system is Hamiltonian, we have found that some tori still exist in the perturbed system. These tori come from the ones of the unperturbed system whose frequencies are non-resonant with those of the perturbation, adding these perturbing frequencies to the ones they already had.Finally, a study of the behaviour near the Lagrangian points of the real Earth-Moon system is presented. The purpose has been to find the orbit replacing the equilibrium point. This computation has been carried out first for the model mentioned above and then it has been improved numerically, in order to have a real orbit of the real system. Finally, a study of the linear stability of this refined orbit has been done.

En aquesta tesis s’estudia l’aplicació de la tècnica Extremum Seeking Control per extreure la màxima potència de generadors fotovoltaics. Es realitza una anàlisi detallada d’aquesta tècnica per tal d’ajustar els paràmetres de l’algoritme i aconseguir així les prestacions desitjades. Per a millorar aquestes prestacions de l’algoritme de la dependència de la curvatura de la característica V-P del panel. El segon vol millorar les prestacions mitjançant la sincronització de senyals amb l’addició d’una unitat de processament de fase. Finalment, es limiten els transitoris dels elements dinàmics del generador fotovoltaic mitjançant un saturador que aportem al llaç de control. Amb totes aquestes millores i el correcte ajustament dels paràmetres de control es poden assolir temps d’establiment de l’ordre de milisegons i rendiments del control per sobre del 99.5%. / En esta tesis se estudia la aplicación de la técnica Extremum Seeking Control para extraer la máxima potencia de generadores fotovoltaicos. Se realiza un análisis detallado de esta técnica con el fin de ajustar los parámetros del algoritmo para conseguir las prestaciones deseadas. Para mejorar estas prestaciones se implementa la adición de diferentes bloques al algoritmo ESC. El primero de ellos se trata de un estimador del hessiano que permite desvincular las prestaciones del algoritmo de la dependencia de la curvatura de la característica V-P del panel. El segundo pretende mejorar las prestaciones mediante la sincronización de señales con la adición de una unidad de procesamiento de fase. Finalmente, se limitan los transitorios de los elementos dinámicos del generador fotovoltaico mediante un saturador que aportamos al lazo de control. Con todas estas mejoras y el correcto ajuste de los parámetros de control se puede alcanzar tiempos de establecimiento de la orden de milisegundos y rendimientos del control por encima del 99.5%. / n this thesis the application of the Extremum Seeking Control technique is studied to extract the maximum power of photovoltaic generators. A detailed analysis of this technique is carried out in order to adjust the algorithm parameters to achieve desired performances. To improve these benefits different blocks are added to ESC algorithm. The first one is an estimate of the Hessian that allows decoupling algorithm performances dependence on the curvature of the V-P characteristic of the panel. The second one aims to improve the performances by synchronizing signals with the addition of a phase processing unit. Finally, transients dynamic elements of the PV array are limited by a saturator added to the control loop. With all these improvements and the correct setting of the control parameters can be setup times achieving the order of milliseconds and returns control over 99.5%.

Para grupos topológicos abelianos maximalmente casi periódicos (en el sentido de von Neumann) es sencillo describir su compactación de Bohr, bG. En este caso puede identificarse bG con el conjunto de homomorfismos del dual de G en el toro de dimensión 1. La topología que G hereda como subgrupo de bG es la topología de Bohr de G. Resulta que la topología de Bohr es una topología totalmente acotada generada por el grupo de caracteres continuos de G. Con ese punto de partida y, utilizando el concepto de grupos en dualidad introducido por Varopoulos, se estudian diversas propiedades topológicas para la topología débil de una dualidad. Se obtiene con ello una caracterización de la débil realcompacidad en términos similares a los obtenidos por otros autores para espacios de Banach, espacios vectoriales topológicos localmente convexos y grupos abelianos localmente compactos. Además se obtienen caracterizaciones para la realcompacidad hereditaria y la pseudocompacidad. Diversos autores han considerado también el problema de la preservación de la compacidad, así como de otras propiedades topológicas, al pasar a la topología de Bohr. En esta tesis se introduce una nueva clase de grupos, los g-grupos, que aglutina a muchas otras clases de grupos topológicos: los grupos abelianos localmente compactos, los grupos aditivos de espacios vectoriales topológicos y los grupos nucleares, entre otros. Para esta nueva clase se obtiene una caracterización de la preservación de la compacidad que engloba y unifica las aproximaciones obtenidas separadamente para cada una de las clases mencionadas anteriormente. El estudio anterior se particulariza para los grupos metrizables, consiguiendo nuevas caracterizaciones estrechamente relacionadas con el trabajo de van Douwen para grupos discretos. En particular, se obtiene una caracterización para los grupos aditivos de espacios de Banach y se muestra, con un ejemplo de Bourgain, que ésta díficilmente puede ser refinada.

Avui en dia la conversió DC-AC té una important aplicació pràctica en el camp dels sistemes de potència ininterrompuda (SPI). Els convertidors commutats bàsics (el buck, lineal, i el boost i el buck-boost, no lineals) presenten una estructura molt simple, i al llarg dels últims quinze anys s'ha estudiat la possibilitat d'usar-los en esquemes de conversió DC-AC. L'objectiu de la tesi és aconseguir que els convertidors DC-DC de potència bàsics puguin seguir referències alternes mitjançant el voltatge de sortida. També es desenvolupen esquemes robustos per tal d'eliminar l'efecte de possibles pertorbacions en la tasca de seguiment. Els modes de lliscament s'usen com a tècnica de control, i es presenten resultats de simulació.La tesi s'organitza en capítols. El primer i el segon contenen una introducció i una revisió de la literatura existent. Els continguts i distribució de la resta de capítols segueix a continuació. El capítol 3 tracta el seguiment exacte i asimptòtic d'una referència variable en el temps per part del voltatge de sortida d'un convertidor reductor, controlat indirectament via el corrent d'entrada. A partir de l'estudi del problema del seguiment en sistemes lineals amb guanys fixos -mitjançant la teoria de mòduls- s'obtenen restriccions sobre els possibles senyals a seguir. A més, es proporciona una estratègia de control lliscant per aconseguir el seguiment, consistent en un procediment per modificar una superfície de lliscament inicialment bona en tasques de regulació i una llei de control. Una adequada elecció de variables d'estat permet que les possibles pertorbacions de la resistència de càrrega satisfacin la condició de superposició. En el capítol 4 s'usa un procediment basat en inversió per aconseguir el seguiment exacte de referències periòdiques amb la resistència de càrrega dels convertidors no lineals boost i buck-boost. També s'obtenen condicions suficients per a possibles senyals a seguir. Es presenta també un marc general per a un tractament via inversió del problema de seguiment exacte en una certa classe de sistemes bilineals de segon ordre: aquells en els quals el problema d'inversió dóna lloc a una EDO del tipus Abel. El capítol 5 estudia l'ús del mètode de Galerkin -una generalització del mètode del Balanç Harmònic- en la solució aproximada del problema invers aparegut al capítol anterior, així com l'efecte que té la seva utilització en el control del sistema. Es demostra l'existència d'una successió de solucions aproximades de l'EDO que representa l'esmentat problema invers. També es prova que aquesta successió convergeix uniformement cap a la solució periòdica de l'EDO, i s'obté una cota d'error. La sortida del sistema presenta un comportament periòdic i asimptòticament estable quan es fa anar la successió d'aproximacions de Galerkin en el control del sistema. A l'hora, la successió de sortides periòdiques presenta convergència uniforme cap a la funció desitjada sota una hipòtesi raonable. També s'obtenen en aquest cas cotes d'error. En el capítol 6 s'aconsegueix seguiment asimptòtic aproximat per a convertidors no lineals bàsics que presenten pertorbacions de càrrega. Això es fa mitjançant un control adaptatiu que estima el paràmetre pertorbat i una aproximació de Galerkin de primer ordre que incorpora l'actualització on-line a una superfície de lliscament apropiada. El capítol 7 proposa exercir un control directe del voltatge de sortida en convertidors boost i buck-boost bidireccionals, tot aprofitant la robustesa davant pertorbacions externes que ofereix aquest tipus de control. Es segueixen referències periòdiques mentre el voltatge de sortida es regula independentment a un nivell prefixat. / Nowadays, DC-to-AC conversion has an important practical application in the field of uninterruptible power systems (UPS). Basic DC-to-DC switch mode power converters (the buck, which is linear, and the boost and buck-boost, which are nonlinears) possess a very simple structure, and during the last fifteen years the possibility of using them in DC-to-AC conversion schemes has been studied. The aim of this thesis is to achieve that the output voltage of the DC-to-DC buck, boost and buck-boost power converters can track periodic references. Robust schemes to eliminate disturbance effects in the tracking task are also developed. Sliding modes are used as the control technique, and the obtained results are validated by numeric simulation.The thesis is organized in chapters. The first and the second one contain an introduction and a review of the existing literature. The contents and contributions of the other chapters follow below. Chapter 3 deals with the exact and asymptotic tracking of a time varying reference by the load voltage of a step-down converter, indirectly controlled through the input current. Departing from the study of the tracking problem in linear systems with fixed gains with the aid of module theory, conditions over possible reference signals have been obtained. Moreover, a sliding mode strategy to achieve the control target, consisting in a procedure to modify a switching surface initially good for regulation tasks and a control law, is provided. An approppriate choice of state variables allows possible load perturbations to satisfy the matching condition. In chapter 4, an inversion-based indirect control is used to reach exact tracking of periodic references with the load resistance of nonminimum phase, nonlinear boost and buck-boost converters. Sufficient conditions for candidate references are also obtained. A general frame for an inversion-based treatment of the perfect tracking problem in a certain class of nonminimum phase, second order bilinear systems is proposed: those in which the inversion problem gives raise to an ODE of the Abel type. Chapter 5 studies the use of the Galerkin method -a generalization of the Harmonic Balance method- in the approximate solution of the inverse problem stated in the former chapter, as well as the effect of its use on the control of the system. The existence of a sequence of approximate solutions for the ODE that represents the quoted inverse problem is proved. This sequence is also proved to converge uniformly to the periodic solution of the ODE, and an error bound has been derived. The system output exhibits a periodic and asymptotically stable behavior when the indirect control using the sequence of Galerkin approximations is performed. In turn, the sequence of periodic outputs is shown to exhibit uniform convergence to the original target function under a reasonable hypothesis. Error bounds have also been obtained. In chapter 6, approximate asymptotic tracking is achieved for load perturbed, basic, nonlinear power converters. This is done by means of an adaptive control that estimates the perturbation parameter and a first order Galerkin approximation that incorporates the on-line updating into an appropriate sliding surface. Chapter 7 propounds to exert a direct control of the output voltage in bidirectional boost and buck-boost converters, thus taking advantage of the insensitiveness to external disturbances offered by this type of control. Periodic references are followed, while the unstable inductor current is independently regulated at a prescribed level.

És un fet ben conegut que les solucions quasi-periòdiques juguen un paper rellevant a l'hora d'entendre la dinàmica de problemes amb formulació hamiltoniana, els quals apareixen en una gran quantitat d'aplicacions en astrodinàmica, dinàmica molecular, física de d'acceleradors/plasmes o mecànica celest.De forma imprecisa i imcomplerta, hom pot dir que la teoria KAM recull una serie de tècniques i metodologies per estudiar solucions quasi-periòdiques (és a dir, funcions dependents d'un conjunt de freqüències) d'equacions diferencials típicament amb formulació hamiltoniana. Tot i que la teoria KAM és ben coneguda (veure [1]), els mètodes clàssics presenten inconvenients i dificultats a l'hora d'aplicar els resultats abstractes a exemples o models concrets. Nogensmenys, a [2] es va desenvolupar un nou mètode, sense usar transformacions ni coordenades acció-angle, amb el que es poden superar molts dels inconvenients de les tècniques clàssiques. Aquest mètode fou introduit per a tors de dimensió màxima i, en la actualitat, hom considera de gran interés la seva extensió a altres contextos, com ara l'estudi de tors "sense torsió' a [4] o l'estudi de tors de dimensió inferior normalment hiperbòlics a [3]. Un dels objectius d'aquesta tesi doctoral ha estat adaptar aquests mètodes per demostrar l'existència de tors de dimensió inferior normalment el·liptics i reductibles. Les dificultats tècniques que calen superar deriven de les ressonàncies que tenen lloc entre les freqüències internes del tor i les frequències d'oscil·lació de les "direccions normals', que cal caracteritzar (mitjançant reductibilitat) per tal d'obtenir les propietats geomètriques que es fan servir en la demostració.Per altra banda, a l'hora d'estudiar un tor invariant amb dinàmica quasi-periòdica, hom pot obtenir molta informació coneixent el seu vector de freqüències. És per això que el càlcul numèric d'aquests objectes ha esdevingut un tema de molt interés durant els darrers anys i ha portat al desenvolupament de diversos mètodes. Recentment s'ha desenvolupat a [5] un mètode molt eficient per calcular nombres de rotació per aplicacions del cercle. Hom pot identificar aquest problema amb el càlcul de la freqüència d'un tor unidimensional escrit en unes bones coordenades. Bona part de la recerca realitzada en la meva tesi doctoral continua la linea de treball encetada a [5]. Concretament, donada una família paramètrica de difeomorfismes del cercle, aquesta metodología s'ha adaptat en per a calcular derivades del nombre de rotació respecte de paràmetres. Mitjançant aquesta informació hom pot implementar esquemes tipus Newton per calcular corbes invariants. Com s'ha remarcat abans, hom pot aplicar aquestes tècniques a l'estudi de corbes invariants sempre que es pugui construir una aplicació del cercle amb la mateixa dinàmica. A tal efecte, hem desenvolupat un mètode sòlidament justificat que permet evitar la dificultat pràctica de buscar unes bones coordenades pel tor, extenent així els mètodes a contextes més generals com ara aplicacions "sense torsió" o senyals quasi-periodiques.[1] R. de la Llave. A tutorial on KAM theory. In Smooth ergodic theory and its applications, volume 69 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 175-292. Amer. Math. Soc., 2001.[2] R. de la Llave, A. Gonzàlez, À. Jorba, and J. Villanueva. KAM theory without action-angle variables. Nonlinearity, 18(2):855-895, 2005.[3] E. Fontich, R. de la Llave, and Y. Sire. Construction of invariant whiskered tori by a parametrization method. Part I: Maps and flows in finite dimensions. J. Differential Equations, 246:3136-3213, 2009.[4] R. de la Llave , A. González and A Haro. Non-twist KAM theory. In preparation.[5] T.M. Seara and J. Villanueva. On the numerical computation of Diophantine rotation numbers of analytic circle maps. Phys. D, 217(2):107-120, 2006. / It is well-known that quasi-periodic solutions play a relevant role in order to understand the dynamics of problems with Hamiltonian formulation, which appear in a wide set of applications in Astrodynamics, Molecular Dynamics, Beam/Plasma Physics or Celestial Mechanics.Roughly speaking, we can say that KAM theory gathers a collection of techniques and methodologies to study quasi-periodic solutions (that is, functions depending on a set of frequencies) of differential equations typically with Hamiltonian formulation. Although KAM theory is well-known (see [1]), classical methods present shorcomings and difficulties in order to apply the abstract results to concret examples or models. Nevertheless, in [2] a new method was developed, without using action-angle variables, which allows us avoid most of the shortcomings of classical methods. This method was introduced for tori of maximal dimension and there is a current interest in extending it to other contexts, such us the study of non-twist tori in [4] or normally hyperbolic tori in [3]. One of the goals of this thesis has been to adapt this method to deal with elliptic lower dimensional tori. Theadditional technical difficulties are related to resonances between the basic frequencies of the tori and the oscillations in the "normal directions", which are characterized by means of reducibility in order to obtain the geometric properties that we require in the proof.Furthermore, in order to study quasi-periodic invariant tori, valuable information is obtained from the frequency vector that characterizes the motion. Part of the work in this thesis has been to develop efficient numerical methods for the study of one dimensional quasi-periodic motions in a wide set of contexts. Our methodology is an extension of a recently developed approach to compute rotation numbers of circle maps (see [5]) based on suitable averages of iterates of the map. On the one hand, the ideas of [5] have been adapted to compute derivatives of the rotation number for parametric families of circle diffeomorphisms, thus obtaining powerful tools (for example, we can implement Newton-like methods) for the study of Arnold Tongues and invariant curves for twist maps, if we can build a circle map using suitable coordinates. On the other hand, we have developed a solidly justified method that allows us to avoid the practical difficulty of looking for these coordinates, thus extending the methods to more general contexts such as non-twist maps or quasi-periodic signals.[1] R. de la Llave. A tutorial on KAM theory. In Smooth ergodic theory and its applications, volume 69 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 175-292. Amer. Math. Soc., 2001.[2] R. de la Llave, A. Gonzàlez, À. Jorba, and J. Villanueva. KAM theory without action-angle variables. Nonlinearity, 18(2):855-895, 2005.[3] E. Fontich, R. de la Llave, and Y. Sire. Construction of invariant whiskered tori by a parametrization method. Part I: Maps and flows in finite dimensions. J. Differential Equations, 246:3136-3213, 2009.[4] R. de la Llave , A. González and A Haro. Non-twist KAM theory. In preparation.[5] T.M. Seara and J. Villanueva. On the numerical computation of Diophantine rotation numbers of analytic circle maps. Phys. D, 217(2):107-120, 2006.

El objetivo de esta tesis es desarrollar la interpolación de Birkhoff mediante polinomios lacunarios.En la interpolación algebraica de Birkhoff se determina un polinomio de grado menor que n, para ello se emplean n condiciones que fijan el valor del polinomio o sus derivadas. Los problemas clásicos de interpolación de Lagrange, Taylor, Hermite, Hermite-Sylvester y Abel-Gontcharov son casos particulares de interpolación algebraica de Birkhoff.Un espacio de polinomios lacunarios de dimensión n es el conjunto de los polinomios que pueden generarse por combinación lineal de n potencias distintas de grados, en general, no consecutivos. En particular, cuando tomamos potencias de grados 0,1,.,n-1, se obtiene el espacio de polinomios de grado menor que n, empleado en la interpolación algebraica clásica. En la interpolación algebraica clásica, el número de condiciones determina el espacio de interpolación. En contraste, en la interpolación mediante polinomios lacunarios las condiciones de interpolación determinan únicamente la dimensión del espacio de interpolación y pueden existir una infinidad de espacios sobre los que realizar la interpolación. Esto nos permite construir mejores estrategias de interpolación en ciertos casos, como la interpolación de funciones de gran crecimiento (interpolación de exponenciales y de ramas asintóticas).La aportación de la tesis consiste en la definición de un marco teórico adecuado para la interpolación de Birkhoff mediante polinomios lacunarios y en la extensión al nuevo marco de los principales elementos de la interpolación algebraica de Birkhoff. En concreto, se generaliza la condición de Pólya, se caracteriza la regularidad condicionada, se establecen condiciones suficientes de regularidad ordenada que extienden el teorema de Atkhison-Sharma, se extiende la descomposición normal y se establecen condiciones suficientes de singularidad en los casos indescomponibles.

En esta tesis se presentan aplicaciones del Análisis Intervalar Modal al estudio de problemas diferenciales aplicados básicamente a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería, precedidos de una sucinta revisión de la teoría básica del sistema de intervalos modales y un estudio exhaustivo de la optimalidad parcial de las funciones racionales, incorporando los conceptos de optimalidad equivalente y optimalidad condicionada, que representan una ampliación a la teoría del Análisis Intervalar Modal ya existente.Definiremos los intervalos identificándolos con el conjunto de predicados que aceptan o rechazan predicados sobre la recta real, hecho desde luego, que permite corregir deficiencias estructurales y semánticas del Análisis Intervalar Clásico, pero que sobretodo funda la teoría intervalar en la función básica de los intervalos como referencias al sistema de los números reales compatibles con la inevitable necesidad de truncación que acompaña a cualquier valor numérico experimental. Revisada la teoría básica del análisis intervalar modal, nos proponemos aplicarla a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería. Así, al plantearnos la resolución de problemas incluso elementales, como el de propagación del calor en una dimensión, nos encontramos con problemas de planteo en la aplicación de la teoría intervalar debido a las restricciones que impone la posibilidad de cálculos optimales. Esta situación lleva al estudio de la optimalidad condicionada que se ha presentado en el tercer capítulo de la tesis.Admitiendo restricciones sobre las modalidades de los argumentos de las funciones racionales se obtienen conceptos nuevos como el de modalidad partida o el de optimalidad lateral, que finalmente permiten introducir el concepto de función racional sintácticamente c-conmutativa, que permite obtener un conjunto más amplio de funciones a las que se les puede asociar un cálculo optimal. Sobre el conjunto de los intervalos podemos definir diversos sistemas de operaciones obteniendo por ejemplo el sistema de los intervalos modales dotados de su aritmética fundamental o bien dotados de una aritmética lineal o paralela. Esta última aritmética se introduce en el cuarto capítulo de la tesis. Desde el punto de vista del análisis intervalar modal hemos estudiado ecuaciones en diferencias definidas como solución numérica a ecuaciones diferenciales. El modelo intervalar y los métodos de cálculo numérico son objetivamente distintos: mientras que el cálculo numérico calcula trayectorias singulares aproximadas, el cálculo intervalar calcula haces de trayectorias asociadas a una estrategia determinada por las modalidades de los intervalos. Además, el cálculo intervalar está basado en la inclusividad de las soluciones intervalares y por ello da lugar esencialmente a modelos exactos desde el punto de vista de las semánticas asociadas a la inclusión; frente al caso del cálculo numérico que se apoya esencialmente en el concepto de aproximación.Una propiedad estructuralmente básica del Análisis intervalar es que no es adecuado aprovechar los algoritmos de los métodos numéricos clásicos como algoritmos intervalares, puesto que la estructura intervalar es esencialmente "mayor" que la de los números reales y por lo tanto debemos plantear cada problema intervalar siempre ab initio, en el interior del propio contexto intervalar. Fundamentalmente esto está determinado por el hecho de que no tiene sentido plantear las relaciones de inclusividad en el conjunto de los números reales, por reducirse a la identidad, y no tiene sentido prescindir de ellas en el contexto intervalar.Los capítulos 5, 6, y 7 estudian distintos problemas que plantean las ecuaciones en diferencias intervalares, distinguiendo las situaciones que necesitan un contexto lineal y en consecuencia el soporte aritmético de los intervalos de marcas (comentados en el apéndice B). Se han estudiado también problemas de contorno que se plantean en el cálculo numérico clásico, esencialmente sobre un contexto geométrico lineal. Dado que las operaciones aritméticas básicas de los intervalos modales no son operaciones lineales, no serán las operaciones adecuadas para modelos que pidan linealidad global. Los sistemas con operaciones lineales obligarán a un uso más elaborado de la modalidad, pero mantienen la geometría lineal que usualmente está exigida por el planteo experimental del problema. En la misma consideración de un modelo lineal, sin embargo, y tal como se ha estudiado en el capítulo 6, aparece un problema lógico con la truncación de los intervalos, cuya solución lleva inevitablemente a la aritmética de marcas. En el apéndice A se presenta una biblioteca C++ que implementa la aritmética intervalar modal soportada por los coprocesadores Intel.