Orientador: Marta Cilene Gadotti / Banca: Wladimir Seixas / Banca: Luiz Augusto de Costa Ladeira / Resumo: Neste trabalho apresentamos as principais aplicações das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem especialmente o estudo de dinâmica populacional e modelos decritos por equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, destacando o modelo da catenária. Descrevemos a teoria básica sobre sistemas lineares com respeito à existência de solução e apresentamos o modelo do oscilador harmônico / Abstract: In this work we presented the main applications of first order ordinary differential equations, specially the study of population dynamics and models described by second order differential equations, including the catenary model. We described the basic theory about linear systems with respect to existence of solutions and we presented the harmonic oscillator model / Mestre

Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Banca: André Luiz Flores / Banca: Tatiana Bertoldi Carlos / Resumo: Dado um ideal A do anel dos inteiros algébricos de um corpo de números, tem-se que a imagem deste ideal via o homomorfissmo de Minkowski é um reticulado no Rn, chamado de reticulado algébrico. Deste modo, o principal objetivo do presente trabalho é a construção de reticulados algébricos no Rn que sejam versões rotacionadas de reticulados conhecidos na literatura, e trabalhamos de modo particular até a dimensão 8. Além disso, vimos também reticulados obtidos via perturbações do homomorfismo de Minkowski. / Abstract: We stablished that the image of an ideal A of the algebraic integer ring of a number field by the Minkowski homomorphism is a lattice in Rn, named algebraic lattice. In this way, the main goal of this work is the construction of algebraic lattices in Rn that be rotated versions of known lattices in the literature, and particularly we worked in dimensions up to 8. We also studied lattices obtained by perturbations of Minkowski homomorphism. / Mestre

Orientador: Marcelo Messias / Banca: Messias Meneguette Júnior / Banca: Claudio Gomes Pessoas / Resumo: Neste trabalho fazemos o estudo de uma classe de sistemas diferenciais polinomiais quadráticos definidos em R3 que possui um cilindro como superfície algébrica invariante. Mais especificamente, fizemos o estudo da estabilidade e das bifurcações locais dos pontos singulares, utilizando para isto a estrutura do espaço de fase, ou seja, a restrição geométrica dada pela existência do cilindro invariante. Provamos que ocorre uma bifurcação de Hopf sobre o cilindro, que leva a criação de um ciclo limite estável, para determinados valores dos parâmetros. Mostramos também a existência de órbitas homoclínicas, heteroclínicas e centros, contidos nestes cilindros. O estudo apresentado visa contribuir para o entendimento do complicado comportamento dinâmico dos sistemas diferenciais (ou campos vetoriais) polinomiais definidos em R3 / In this work we study a class of quadratic polynomial differential systems defined in R3 which has a cylinder as invariant algebraic surface. More specifically, we study the stability and local bifurcations of singular points, using for this the structure of the phase space, that is, the geometric constraint provided by the existence of the invariant cylinder. We prove that there is a Hopf bifurcation on the cylinder, which leads to the creation of a stable limit cycle, for certain parameter values. We also show the existence of homoclinic orbits, heteroclinic orbits and centers, contained in these cylinders. These elements are key ingredients to understand the complicated dynamic behavior of small perturbations of these differential systems in R3 / Mestre

Orientador: Trajano Pires da Nóbrega Neto / Banca: André Luiz Flores / Banca: Antonio Aparecido de Andrade / Resumo: O propósito deste trabalho é abordar as cúbicas galoisianas as quais, pelo Teorema de Kronecker-Weber, estão contidas em uma extensão ciclotômica Q(dn), para algum n. Estudamos a representação geométrica do seu anel dos inteiros algébricos, que são reticulados de posto 3. Visando calcular a densidade de centro de tais reticulados, é necessário o estudo do discriminante dessas cúbicas e a minimização da função traço. / Abstract: The purpose of this work is to deal with the galoisian cubics which, by Kronecker-Weber Theorem, are contained in a cyclotomic extension Q(dn); for some n. We study the geometric representation of their algebraic integer ring, which are lattices with rank 3. For calculating the center density of these lattices, it is necessary to study the discriminant of those cubics and the minimization of trace form. / Mestre

Orientadora: Carina Alves / Banca: Cintya Wikn de Oliveira Benedito / Banca: Fernando Eduardo Torres Orihuela / Resumo: Com os avanços da computação, a matemática discreta passou a ser objeto de novas e mais complexas pesquisas. Uma das razões é que os fundamentos da computação encontram-se nos princípios da matemática discreta. No que se refere aos centros de pesquisa, cada vez são mais numerosos e avanlçdos os trabalhos que visam dar sistematicidade e rigor aos princípios da matemática discreta como aqueles já conquistados pela matemática contínua. Nesse contexto, nossa proposta no presente trabalho, ao atuar na formação de base relativa ao ensino da matemática discreta no ensino médio, foi apresentar um texto que ao mesmo tempo compilasse tópicos que jé existe a respeito e, também, introduzisse novas questões e teorias que colocassem em compasso ensino médio com os significativos avanços da matemática discreta produzida nos grandes centros mundiais. Dentro dessas novas questões e teorias, privilegiamos a introdução das funções geradoras como assunto a ser abordado no ensino médio como aprendizado para eventuais desenvolvimentos posteriores no ensino superior, tanto das faculdades de matemática quanto das faculdades de computação. O presente trabalho apresenta-se como obra de base, redigida em linguagem acessível a professores e alunos do ensino médio, sem abrir mão do rigor necessário próprio dos estudos matemáticos / Abstract: Not available / Mestre

Orientadora: Marta Cilene Gadotti / Banca: Renata Zotin Gomes de Oliveira / Banca: Andréa Cristina Prokopczyk Arita / Resumo: O objetivo principal deste trabalho é o estudo da teoria de sistemas de equações diferenciais ordinárias autônomas e suas aplicações em modelos matemáticos, enfatizando os sistemas bidimensionais / Abstract: The main objective of this work is to study the theory of autonomous ordinary differential equations and their applications in mathematical models, emphasing the two-dimensional systems / Mestre

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:22Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-01-28Bitstream added on 2014-06-13T20:27:10Z : No. of bitstreams: 1 silva_da_me_rcla.pdf: 285082 bytes, checksum: 0877e2cc26aa383bde73c36de9c7be5e (MD5) / O objetivo desta dissertação é fazer uma exposição elementar sobre a irracionalidade de certos números reais, a construção de um número transcendente, além disso, demonstrar a irracionalidade e transcendência do número π. Entre outras ferramentas, utilizamos o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável. / The purpose of this dissertation is to present an elementary statement about irrationality of certain real numbers, the construction of a transcendental number, furthermore demonstrate the irrationality and transcendence of the π number. Among other tools, we have made use the Di erential and Integral Calculus of one variable.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 773765 bytes, checksum: b63ba4fb3ff15c5a4aef5a708fce596e (MD5) Previous issue date: 2012-12-20 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The goal this work is to understand the local cohomology functor, and some of its properties. We show that this functor has a relation with the functor Ext. Furthermore, we show the followings theorems: Grothendieck's Vanishing Theorem, Hartshorne's Vanishing Theorem, Grothendieck's Non-Vanishing Theorem and Hartshorne-Linchenbaum's Vanishing Theorem. / O objetivo desta dissertação é entender o funtor de Cohomologia Local, assim como algumas de suas propriedades. Mostramos que este funtor tem uma relação com o funtor Ext. Além disso, expomos os seguintes teoremas: Teorema do Anulamento de Grothendieck, Teorema do Anulamento de Hartshorne, Teorema do Não Anulamento de Grothendieck e o Teorema do Anulamento de Hartshorne-Linchtenbaum.

Este estudo situa-se no campo da aprendizagem da Matemática. O objetivo da pesquisa aqui proposta foi identificar a existência de relação entre a competência cognitiva, o uso de estratégias metacognitivas e a compreensão do erro, na resolução de problemas matemáticos com equações algébricas do 1º grau. Para isso, investigou-se 38 alunos do 8º ano do Ensino Fundamental de uma escola municipal da região metropolitana de Porto Alegre, selecionados aleatoriamente em duas turmas. Adotando o método misto de pesquisa, utilizou-se como instrumentos o Whimbey Analytical Skills Inventory (WASI), como avaliador da competência cognitiva e divisor dos grupos com alto e baixo nível de competência cognitiva, tendo como referência a média geral de acertos do grupo; e a Escala de Estratégias Metacognitivas na Resolução de Problemas (E-EMRP). Realizaram-se também Observações e Entrevistas Clínicas com base na solução da Tarefa de Resolução de Problemas com Equações Algébricas do 1º Grau (TRPEA). O tratamento estatístico, realizado por meio dos testes de Correlação de Pearson e t-Student, demonstrou a existência de correlação estatisticamente significativa entre o WASI e a TRPEA, evidenciando a existência de relação entre a competência cognitiva e o desempenho na resolução de problemas e compreensão do erro pelo estudante. Verificou-se também uma diferença significativa entre os estudantes com alto e baixo nível de competência cognitiva, em relação ao desempenho na resolução dos problemas e compreensão dos erros, comprovando que estudantes com maiores níveis de competência cognitiva apresentaram melhor desempenho, cometendo menos erros e compreendendo com maior frequência os erros cometidos. Verificou-se ainda a existência de relação entre o uso de estratégias metacognitivas e a compreensão do erro, bem como em relação à competência cognitiva - por meio da observação e entrevista clínica - evidenciando que, apesar do uso das estratégias não ocorrer em todos os momentos da resolução do problema (antes, durante e após a leitura do enunciado e durante e após a resolução do problema) com a mesma frequência, os estudantes com maiores níveis de competência cognitiva demonstraram utilizar um maior conjunto de estratégias, compreendendo melhor a necessidade de sua utilização correta em todas as etapas da resolução, do que os estudantes com baixos níveis de competência cognitiva. Esses resultados alertam para a necessidade de desenvolver-se em sala de aula, atividades que tenham como propósito o treinamento do uso correto de estratégias metacognitivas, visando o aprimoramento da capacidade de resolução de problemas matemáticos, assim como a prevenção e compreensão dos erros cometidos. / This study belongs to the field of mathematics learning. The research aimed to confirm the existence of a relationship among cognitive ability, usage of metacognitive strategies and comprehension of error, in mathematical problem solving 1st degree algebraic equations. For this purpose, 38 students attending the 8th year of primary education in a public school in the metropolitan area of Porto Alegre (Brazil), were randomly divided into two groups. A mixed method research was adopted, in which the tools chosen were: Whimbey Analytical Skills Inventory (WASI), used as a measure of cognitive competence and also as criteria for splitting the group according to cognitive competence level (high and low), considering the overall average of the group's score as guideline, and Metacognitive Strategies Scale in Problem Solving (MSSPS). The method included observations and clinic interviews based on solution of Problem Solving 1st Degree Algebraic Equations (PSAET) as well. Statistical procedure, through Pearson correlation and Student’s t-tests, showed a statistically significant correlation between WASI and PSAET, which demonstrated the existence of relationship between cognitive ability and performance in problem solving and comprehension of error by the student. In addition, there was detected a significant difference between students with high and low levels of cognitive ability, referent to the performance in problem solving and comprehension of errors, proving that students with higher levels of cognitive ability showed best performance, by making fewer errors and comprehending them more frequently. Furthermore, there was confirmed the existence of a relationship between the use of metacognitive strategies and comprehension of the error, and relatively to cognitive competence - through observation and clinical interview. This is an evidence that, despite the strategies were not employed at all stages of problem solving (before, during and after reading the statement and during and after the resolution of the problem) with the same frequency, students with higher levels of cognitive competence demonstrated using a larger set of strategies, aware of the need to the right utilization at all stages of resolution, compared to students with low levels of cognitive competence. These results emphasized the importance of developing classroom activities with purpose of training the correct usage of metacognitive strategies, in order to improve the ability to solve mathematical problems, besides prevention and understanding of errors.

Extensões de Ore são anéis de polinômios, denotados por R[x o &], nos quais a variável x e os elementos de R não comutam necessariamente. Algebras de Hopf fracas são algebras que tamb em são coálgebras e satisfazem um conjunto de axiomas de compatibilidade entre essas estruturas. Neste trabalho investigamos extensões de Ore cujo anel base e uma algebra de Hopf fraca. Mais especi camente, dada uma algebra de Hopf fraca R, estudamos sob quais condições R[x o &] e uma algebra de Hopf fraca com uma estrutura que estende a estrutura de R. Sob certas hipóteses, obtemos condições necessárias e su cientes para que a extensão de Ore seja uma álgebra de Hopf fraca, obtendo assim um resultado que generaliza um teorema de Panov para o contexto de algebras de Hopf fracas. / Ore extensions are polynomial rings, denoted by R[x o &], in which the variable x and the elements of R do not commute necessarily. Weak Hopf algebras are algebras which are also coalgebras and satisfy a set of axioms of compatibility betweem these structures. In this work, we investigate Ore extensions whose base ring is a weak Hopf algebra. More speci cally, if R is a weak Hopf algebra then we study under what conditions R[xo &] is a weak Hopf algebra extending the structure of R. Under certain hypotheses, we obtain necessary and su cient conditions for an Ore extension to be a weak Hopf algebra, obtaining a result that generalizes a Panov's theorem to the setting of weak Hopf algebras.