A deep and analytical understanding of the human metabolism grabbed attention of scientists from biology, medicine and pharmacy. Mathematical models of metabolic pathways offer several advances for this deep and analytical understanding due to their incompensable potential in predicting metabolic processes and anticipating appropriate interventions when required. This thesis concerns mathematical modeling analysis and simulation of metabolic pathways. These pathways include intracellular and extracellular compounds such as enzymes, metabolites, nucleotides and cofactors. Experimental data and available knowledge on metabolic pathways are used in constituting a mathematical model. The models are either in the form of nonlinear ordinary differential equations (ode&#039 / s) or differential algebraic equations (dae&#039 / s). These equations are composed of kinetic parameters such as kinetic rate constants, initial rates and concentrations of metabolites. The non-linear nature of enzymatic reactions and large number of parameters cause trouble in efficient simulation of those reactions. Metabolic engineering tries to simplify these equations by reducing the number of parameters. In this work, enzymatic system which includes Creatine Kinase, Hexokinase and Glucose 6-Phosphate Dehydrogenase (CK-HK-G6PDH) is modeled in the form of dae&#039 / s, solved numerically and the system parameters are estimated. The numerical results are compared with the results from an existing work in literature. We demonstrated that, our solution method based on direct solution of the CK-HK-G6PDH system significantly from simplified solutions. We also showed that genetic algorithm(GA) for parameter estimation, provides much clear results to the experimental values of the metabolite, especially with NADPH. Keywords: metabolic engineering, kinetic modelling, biochemical reactions, enzymatic reactions, differential algebraic equations, parameter estimation, genetic algorithm.

Orientador: Prof. Dr. André Ricardo Oliveira da Fonseca / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Esse trabalho aborda o ensino e aprendizagem das Equações Algébricas na educação básica estadual paulista, tema que compõe o currículo oficial do Estado de São Paulo, mais especificamente, o segundo bimestre do terceiro ano do ensino médio. Discorre sobre os aspectos históricos das equações algébricas, as deduções de fórmulas resolutivas das equações até o quarto grau e a impossibilidade de haver fórmulas resolutivas para as equações de grau superior a quatro. Discute-se ainda alternativas para encontrar soluções de equações de grau superior a dois, sem a utilização de fórmulas resolutivas, a partir da pesquisa das possíveis raízes racionais, se existirem, e da diminuição do grau da equação, quando se conhece algumas de suas raízes. Disserta também sobre como o estudo das equações é tratado no material disponibilizado aos alunos do ensino público paulista. Traz, finalmente, algumas sugestões de atividades sobre o tema proposto, além de um estudo de caso realizado com alunos do terceiro ano do ensino médio, em que se faz uma análise dos conhecimentos trazidos por eles de estudos realizados em anos anteriores e uma avaliação formativa durante e após a aplicação das atividades. / This work addresses the teaching and learning of Algebraic Equations in São Paulo state basic education, a subject that makes up the official curriculum of the State of São Paulo, more specifically, the second quarter of the third year of high school. It discusses the historical aspects of algebraic equations, deductions from resolving formulas equations to the fourth degree and the impossibility of resolving formulas for equations of degree higher than four. It is also discussed alternatives to find equations of degree solutions higher than two, without the use of resolving formulas, from the research of the possible rational roots, if any, and the decrease in the degree of the equation when you know some of its roots . It also talks about how the study of equations is treated in the material available to students of the São Paulo public education. It brings finally some suggestions of activities on the theme, as well as a case study in the third year of high school students, in which an analysis of the knowledge brought by them studies in previous years and formative assessment during and after the implementation of activities.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Optimal Control Problems (OCP), also known as Dynamic Optimization Problems, consist of an Objective Function to be maximized or minimized, associated with a set of differential and algebraic equations which include equality and inequality constraints in the state or control variables and characterize a system of Differential-Algebraic Equations (DAE). The differential-algebraic approach of numerical solution widely used in process simulation due the guarantee of attendance of the implicit algebraic constraints in the original formulation and the elimination of the necessary manipulations to transform the original problem into a purely differential system,was extended to OCP characterizing the called Differential-Algebraic Optimal Control Problem (DAOCP). A category of DAOCP of special interest includes inequality constraints, due the necessity of previous knowledge of the activations and deactivations sequence of these constraints along the trajectory and also of the instants where they occur, named Events. This DAOCPs with inequality constraints is equivalent to a class of hybrid dynamic optimization problems, where continuous and discrete behaviors are associated (FEEHERY, 1998). A particular type of hybrid OCP is that one where continuous state does not present jumps in the Events, called Switched OCP, for which Xu e Antsaklis (2004) considers a solution methodology based on the parameterization of Events with a previous specification of active subsystems sequence, resulting in the solution of a two-point boundary value differential-algebraic problem, formed by the state, co-state and stationarity equations, boundary and continuity conditions and its differentiations, called sensitivity equations. In this work, this indirect approach for Switched OCP was extended for DAOCP with inequality constraints, with the objective to estimate the Events, along the control, state and adjoint variables. The developed approach for Switched OCP described by Xu e Antsaklis (2004) was implemented in a specific code using Maple 9.5, called EVENTS, with the objective to symbolically generate the equations based on the parameterization of Events. This code was incorporated in a interface named OpCol, that collect characterization tools of DAE systems and generation of the optimality conditions extended Pontryagin s Principle for PCOAD of different types. The characterization tools are the INDEX of Murata (1996) that symbolically identifies the index, the resolubility and the consistency of initial conditions and the ACIG of Cunha e Murata (1999) that implements the Gear s algorithm for the index reduction and the index 1 equivalent system generation. The OTIMA (GOMES, 2000; LOBATO, 2004) generates the Euler-Lagrange equations for DAOCP. These tools had been implemented initially in different versions of Maple and all had been update to 9.5 version using the Maplets package that allows the data entry through interactive windows with the user, demanding a little knowledge of the Maple syntax. The OpCol interface was tested for four cases and for each tool a example data bank with typical problems of literature was created to assist the user in its use. Moreover, the direct method implemented in DIRCOL code was extended for multi-phases formulation with estimates of Events and the indirect method with Events Parameterization and differential-algebraic approach implemented in a Matlab code had been used for the numerical solution of three cases: a switched OCP and 2 DAOCP of batch reactors where the control variable is the feed rate of the component B - the first one has parallel reactions and selectivity constraints with 3 phases of index 1, 3 and 1 and the second a safety constraint with 2 phases of index 2 and 1 respectively and had been described by Srinivasan et al. (2003). The methodology used by this authors was applied to attained analytical expressions for the control variable in each phase necessary in indirect method, composing the called Switching Functions, from the optimality conditions based in the Pontryagin s Principle - specifically from the stationarity condition and the active constraint identification that will allow the control variable determination - and of the physical analysis of the problem in order to discard not appropriate activations/deactivations sequences. The results obtained by indirect and direct methods are compared for the 3 cited problems, showing the viability as much of the multiphase formulation using the DIRCOL and also the satisfactory performance of the indirect method with estimates of Events, beyond the utility of the tools of characterization of EADs, of attainment of optimality conditions and parameterization of Events available in Opcol interface. / Os Problemas de Controle Ótimo, também chamados Problemas de Otimização Dinâmica, são formados por uma Função Objetivo a ser maximizada ou minimizada, associada a conjuntos de equações algébricas e diferenciais que incluem restrições de igualdade e de desigualdade nas variáveis de estado e de controle que caracterizam um sistema de Equações Algébrico-Diferenciais (EADs). A extensão do ponto de vista algébricodiferencial de solução numérica aos PCOs, já amplamente utilizado na simulação de processos devido à garantia de atendimento às restrições algébricas originais e implícitas na formulação e à eliminação das manipulações necessárias para transformar o problema original num sistema de equações puramente diferenciais, caracteriza o chamado Problema de Controle Ótimo Algébrico-Diferencial (PCOAD). Uma categoria de PCOAD de especial interesse é a dos que incluem restrições de desigualdade, devido à necessidade de conhecimento prévio da seqüência de ativações e desativações destas restrições ao longo da trajetória e também dos instantes em que elas ocorrem, chamados Eventos. As ativações/desativações das restrições causam flutuações no índice diferencial e no número de graus de liberdade dinâmicos do PCOAD, exigindo técnicas especiais de redução deste índice até um e o emprego de métodos numéricos eficientes que garantam a convergência e estabilidade da solução. Estes PCOADs com restrições de desigualdade são equivalentes a uma classe de problemas de otimização dinâmica híbridos, que associam comportamentos contínuos e discretos (FEEHERY, 1998). Um tipo particular de PCO híbrido é aquele cujo estado contínuo não apresenta saltos nos Eventos, chamado PCO Chaveado, para o qual Xu e Antsaklis (2004) propõem uma metodologia de solução baseada na parametrização dos Eventos com a especificação prévia da seqüência de subsistemas ativos, resultando na solução de um problema de valor no contorno algébrico-diferencial em dois pontos, formado pelas equações de estado, co-estado e de estacionariedade, condições de contorno e de continuidade e suas diferenciações, chamadas equações de sensibilidade. Neste trabalho, esta abordagem indireta empregada para PCO Chaveados foi estendida para PCOAD com restrições de desigualdade, com o objetivo de estimar também os Eventos, além das variáveis de controle, de estado e adjuntas. A abordagem desenvolvida por Xu e Antsaklis (2004) para PCO Chaveados foi implementada num código específico utilizando o Maple 9.5, chamado EVENTS, com o objetivo de gerar simbolicamente as equações baseadas na parametrização dos Eventos. Este código foi incorporado a uma interface chamada OpCol, que reúne ferramentas de caracterização de sistemas de EAD e de geração das condições de otimalidade segundo o Princípio de Pontryagin estendidas para PCOAD de diferentes classes. As ferramentas de caracterização são o INDEX de Murata (1996) que identifica simbolicamente o índice, a resolubilidade e a consistência das condições iniciais e o ACIG de Cunha e Murata (1999) que implementa o algoritmo de Gear para a redução do índice e geração do sistema equivalente de índice 1. O OTIMA (GOMES, 2000; LOBATO, 2004) gera as equações de Euler-Lagrange para PCOAD. Estas ferramentas foram inicialmente implementadas em diferentes versões do Maple e todas foram atualizadas para a versão 9.5 utilizando o pacote Maplets que permite a entrada de dados através de janelas interativas com o usuário, exigindo dele pouco conhecimento da sintaxe Maple. A interface OpCol foi testada para quatro casos e para cada ferramenta foi criado um banco de exemplos com problemas típicos da literatura que auxiliam o usuário na sua utilização. Além disto, o método direto implementado no código DIRCOL estendido para formulações multifásicas com estimativa dos Eventos e o método indireto com Parametrização dos Eventos e abordagem algébrico-diferencial implementado num código MATLAB foram utilizados na solução numérica de três estudos de casos: um PCO chaveado e 2 PCOAD de reatores batelada onde a variável de controle é a taxa de alimentação do componente B: o primeiro tem reações paralelas e restrições de seletividade com 3 fases de índices 1, 3 e 1 e o segundo restrições de segurança com 2 fases de índices 2 e 1 e respectivamente e foram descritos por Srinivasan et al. (2003). A mesma metodologia utilizada por estes autores foi empregada na obtenção de expressões analíticas para a variável de controle em cada fase necessárias no método indireto, compondo as chamadas Funções Identificadoras de Fase (FIF), a partir das condições de otimalidade baseadas no Princípio de Pontryagin - especificamente a partir da condição de estacionariedade e da identificação da restrição ativa que permitirá a determinação da variável de controle - e da análise física do problema de modo a descartar seqüências de ativação/desativação não apropriadas. Os resultados obtidos pelo método indireto e pelo método direto são comparados entre si para os 3 problemas citados, mostrando a viabilidade tanto da formulação multifásica empregando o DIRCOL quanto o desempenho satisfatório do método indireto com estimativa de Eventos, além da utilidade das ferramentas de caracterização de EADs, de obtenção das condições de otimalidade e de parametrização dos eventos disponibilizadas na interface Opcol. / Mestre em Engenharia Química

O objetivo desse trabalho à apresentar explanaÃÃes e estratÃgias de resoluÃÃo das equaÃÃes algÃbricas do primeiro, segundo e terceiro graus, uma vez que o ensino relativo à resoluÃÃes dessas equaÃÃes tem se restringido praticamente a apresentaÃÃo da fÃrmula resolutiva e as relaÃÃes entre seus coeficientes e suas raÃzes. Desta maneira procuramos demonstrar e atà mesmo justificar todas as formas apresentadas para se resolver equaÃÃes atà o terceiro grau atravÃs de mÃtodos puramente algÃbricos ou geomÃtricos, como tambÃm, exemplificar todos os mÃtodos que foram exibidos no intuito de satisfazer as expectativas dos leitores, por isso, o texto foi produzido em uma linguagem simples, acessÃvel à professores e alunos. Nesse contexto, espera-se que essa proposta de trabalho estimule os professores de MatemÃtica do Ensino BÃsico a realizarem essa abordagem diferenciada das equaÃÃes algÃbricas em questÃo, pois acredita-se que com essa abordagem ocorram reflexos positivos no processo de ensino e aprendizagem das equaÃÃes e da MatemÃtica. / The aim of this paper is to present explanations and solving strategies of algebraic equations of the first, second and third degrees, since the relative teaching on the resolutions of these equations has been restricted practically the presentation of solving formula and the relationships between its coefficients and its roots. In this way we try to demonstrate and even justify all forms presented to solve equations to the third degree by purely algebraic or geometric methods, but also exemplify all methods that were displayed in order to meet the expectations of readers, so the text was produced in simple language, accessible to teachers and students. In this context, it is expected that this work proposal stimulate the mathematics teachers of Basic Education to perform this differentiated approach to algebraic equations in question, since it is believed that with this approach occur positive reflexes in the teaching and learning of equations and of Mathematics.

Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2015-01-30T10:49:22Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação_Eduardo Koiti Hirota - 2014.pdf: 894506 bytes, checksum: 39a1f1c9a2e91954ecfdd1ef0513c5c0 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-30T13:05:19Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação_Eduardo Koiti Hirota - 2014.pdf: 894506 bytes, checksum: 39a1f1c9a2e91954ecfdd1ef0513c5c0 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-01-30T13:05:19Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação_Eduardo Koiti Hirota - 2014.pdf: 894506 bytes, checksum: 39a1f1c9a2e91954ecfdd1ef0513c5c0 (MD5) Previous issue date: 2014-10-09 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Phenomenon that occur in the nature are essentially nonlinear and the dynamical systems theory aims to obtain a mathematical model that best represents the real physical systems, then nothing more coherent than the description or analysis of these natural phenomenon using models and techniques. In this dissertation, the technique of direct expansion for the development of two differential equations order to solve a nonlinear equation and the approximate determination of the roots of order algebraic equation higher or equal to two, was used. For this purpose, it was initially shown the development of a differential equation of motion subjected to a nonlinear damping, which is represented by the equation of Duffing – Van der Pol. Generally, it’s not easy to obtain an approximated analytical solution for this type equation, but this study was done with the purpouse of illustrating the technique used in the work, solving type solving a problem in which these techniques are routinely used to obtain a solution. Studied for application in basic education, it presents a way to obtain the approximate roots of equations of second and third degrees, using the technique of direct expansion for the sake of comparison. Since there are formulas for resolving this, It was proved that is possible to determine the roots of high-order equations by using the same technique. / Os fenômenos que ocorrem na natureza são essencialmente não lineares e a teoria de sistemas dinâmicos tem como objetivo obter um modelo matemático que represente melhor os sistemas físicos reais, então nada mais coerentes que a descrição ou análise desses fenômenos naturais usando modelos e técnicas não lineares. Nesta dissertação, foi utilizada a técnica da expansão direta para o desenvolvimento de equações diferenciais de ordem dois para resolução de uma equação não linear e na determinação aproximada de raízes de equações algébricas de ordem maior ou igual a dois. Com esse intuito, mostrou-se, inicialmente, o desenvolvimento de uma equação diferencial do movimento sujeito a um amortecimento não linear, que é representado pela equação de Duffing – Van der Pol. Geralmente, não é fácil obter uma solução analítica aproximada para esse tipo de equação, porém, este estudo é feito com a finalidade de ilustrar a técnica empregada no trabalho, resolvendo um tipo de problema no qual essas técnicas são corriqueiramente utilizadas para obter uma solução. Visando a aplicabilidade no ensino básico, apresenta-se uma forma de se obter as raízes aproximadas de equações do segundo e terceiro graus usando a técnica da expansão direta para efeito de comparação uma vez que existem fórmulas resolutivas para isso, provouse que é possível determinar as raízes de equações de ordem maior por meio da mesma técnica.

Made available in DSpace on 2016-08-17T14:52:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Carlos Enrique Portugal Poma.pdf: 930704 bytes, checksum: 1e44612726c21248a8ea95ec5cc5ebe8 (MD5) Previous issue date: 2005-04-29 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The present work investigates and compares the computational performance of numerical techniques, selected from specialized literature and applied to the solution of large-scale algebraic and differential equations. Among the considered techniques, emphasis was given to the method known as MEBDF (Modified Extended Backward Differentiation Formulae), because it presents properties that the conventional BDF (Backward Differentiation Formulae) methods do not have, and these properties may improve its computational performance in certain applications. The numerical methods considered in this research are available as computational numerical codes, known as solvers, and they are of public domain. The ones considered here are the MEBDFSD, MEBDFI, DASSL and RADAU. The computational tests considering these numerical codes are related to simulations of power system transient angular stability and long-term voltage stability in the time domain. The main objective was to check the efficiency of these numerical techniques under two aspects, namely, the computational efficiency and numerical accuracy. The computational aspect is related to the simulation CPU time, and accuracy is related to the obtained numerical results, since these methods use, in general, approximation techniques. A conventional stability program was used to validate the results. Computational analysis was performed using the following test systems: IEEE118 buses with 54 generators, IEEE145 buses with 50 generators, and an equivalent south-southeast Brazilian power system. The obtained results indicate that the MEBDFSD performance is better rather than the other methods considered here. / O presente trabalho investiga e compara o desempenho computacional de técnicas numéricas selecionadas na literatura especializada aplicadas na solução de sistemas de equações diferenciais e algébricas de grande-porte. Entre os métodos considerados, foi dada maior ênfase ao método conhecido como MEBDF (Método de Diferenciação Regressiva Modificado Estendido), por este apresentar propriedades que os BDF (Método de Diferenciação Regressiva) convencionais não apresentam, sendo que estas propriedades podem resultar em melhorias no seu desempenho computacional em certas aplicações. Os métodos numéricos considerados neste trabalho estão disponíveis sob a forma de códigos numéricos computacionais (solvers) de domínio público, sendo estes o MEBDFSD, MEBDFI, DASSL e RADAU. Os testes computacionais considerando estes códigos envolvem simulações no domínio do tempo de fenômenos de estabilidade em sistemas de energia elétrica de curta-, e de longa-duração (angular e de tensão, respectivamente). O objetivo principal foi verificar a eficiência dessas técnicas numéricas sob dois aspectos, computacional e precisão. O aspecto computacional está relacionado com o tempo de cpu gasto nas simulações. Já o aspecto precisão está relacionado com os valores numéricos obtidos já que estes métodos utilizam, em geral, técnicas de aproximação. Um programa convencional de estabilidade foi usado para validar a precisão numérica dessas técnicas. Nas análises computacionais, foram usados os seguintes sistemas-testes: IEEE118 barras com 54 geradores, IEEE150 barras com 50 geradores e uma configuração de um sistema brasileiro equivalente sul-sudeste com 44 geradores. Os resultados comprovaram a melhor eficiência do MEBDFSD em comparação com as demais técnicas consideradas neste trabalho.

We study the regularization problem for linear, constant coefficient descriptor systems $E x^. = AX + Bu, y_1 = Cx, y_2=\Gamma x^.$ by proportional and derivative mixed output feedback. Necessary and sufficient conditions are given, which guarantee that there exist output feedbacks such that the closed-loop system is regular, has index at most one and $E +BG\Gamma$ has a desired rank, i.e. there is a desired number of differential and algebraic equations. To resolve the freedom in the choice of the feedback matrices we then discuss how to obtain the desired regularizing feedback of minimum norm and show that this approach leads to useful results in the sense of robustness only if the rank of E is decreased. Numerical procedures are derived to construct the desired feedbacks gains. These numerical procedures are based on orthogonal matrix transformations which can be implemented in a numerically stable way.

The goal of this project is to develop virtual surgical simulation software in order to simulate the suturing and knot tying processes associated with surgical thread. State equations are formulated using Lagrangian mechanics, which is useful for the conservation of energy. Solver methods are developed with theory based in Differential Algebraic Equations (DAEs) which concern governing Ordinary Differential Equations (ODEs) that are constraint with Algebraic Equations (AE). An implicit integration scheme and Newton's method is used to solve the system in each step. Furthermore, a collision response process based on the Linear Complementarity Problem (LCP) is implemented to handle collisions and measure their forces. Models have been developed to represent the different types of objects. A spline model is used to represent the suture and mass-spring model for the tissue. They were both selected for their efficiency and base on real physical properties. The spline model was also chosen as it is continuous and can be evaluated at any point along the length. Other objects are also defined such as rigid bodies. The Lagrangian multiplier method is used to define the constraints in the model. This allows for the construction of complex models. An important constraint is the suturing constraint, which is created when a sufficient force is applied by the suture tip on to the tissue. This constraint allows only a sliding point along the suture to pass through a specific point on the tissue. This results in a virtual suturing model which can be built on for use in surgical simulations. Further investigations would be interesting to increase performance, accuracy and scope of the simulator. / Det här projektet syftar till att utveckla mjukvara för virtuell simulering av kirurgi som involverar knytande av suturtråd. Lagranges ekvationer används för att härleda energibevarande tillståndsekvationer. Lösningsmetoderna grundar sig i teori från området Differential-Algebraiska Ekvationer (DAEer), som avser att kontrollera Ordinära Differentialekvationer (ODEer) med algebraiska bivillkor. Ett implicit integrationsschema och Newtons metod används för att lösa systemet i varje steg. Utöver det så implementeras en kollisionsrespons-process baserad på det linjära komplementaritetsproblemet (LCP) för att hantera kollisioner och mäta deras krafter. Modeller har utvecklats för att representera olika typer av objekt. En spline-modell används för att representera suturtråden och ett mass-fjäder system för vävnaden. Valet baserades på deras höga prestanda samt starka anknytning till objektens fysiska egenskaper. Spline-modellen valdes också då dess kontinuitet innebär att den går att evaluera för en godtycklig punkt inom dess domän. Andra objekt, såsom stela kroppar, finns också definierade. Lagrangemultiplikator används för att definiera bivillkor i modellen. Detta tillåter konstruktionen av komplexa modeller. Ett viktigt bivillkor är sutur-bivillkoret som uppstår när tillräcklig kraft från spetsen på den kirurgiska nålen appliceras på vävnaden. Detta bivillkor tillåter att endast en glidande punkt längsmed suturen passerar genom en specifik punkt på vävnaden. Detta resulterar i en virtuell modell för stygn som kan byggas vidare på för användning i kirurgiska simulationer. Det vore intressant med ytterligare undersökningar för att förbättra prestandan, precisionen och simulatorns omfattning.

Denna kvalitativa studie syftar till att få större insikt i hur lärare kan arbeta för att möta och minska den problematik och de svårigheter som elever kan uppvisa med algebraiska ekvationer i grundskolans årskurs 4-6. Studien är baserad på klassrumsobservationer i två klasser i årskurs 6 och en semistrukturerad intervju med en yrkesverksam matematiklärare. Detta är därmed en fallstudie som grundar sig i teorin om algebrans fem stora idéer samt de fem olika undervisningsstrategierna enligt Trigwell och Prosser, vilka är antingen elev- eller lärarfokuserade. Resultatet från undersökningen visar att den deltagande läraren är medveten om många av de svårigheter som elever har med algebraiska ekvationer, där särskilt stor vikt läggs på likhetstecknets innebörd. Vidare visar resultatet att läraren bemöter dessa, och andra, svårigheter på olika sätt och med varierande metoder baserat på intentionen med undervisningen. Däremot finns ingen djupare kunskap om algebrans fem stora idéer hos läraren, något som kan påverka undervisningsmöjligheterna och i sin tur elevernas inlärning. Det blir därmed relevant att överväga om det är något som bör ingå i de lärarutbildningar som ges vid olika universitet. / This qualitative study aims to gain greater insight into how teachers can work to meet and reduce the problems and difficulties that students may have with algebraic equations in primary school grades 4-6. The study is based on classroom observations in two classes in grade 6 and a semi-structured interview with a mathematics teacher. This is thus a case study based on the theory of the five big ideas of algebra and the five different teaching strategies according to Trigwell and Prosser, which are either student- or teacher-focused. The results of the study show that the participating teacher is aware of many of the difficulties that students have with algebraic equations, where particular emphasis is placed on the meaning of the equal sign. Furthermore, the results show that the teacher addresses these, and other, difficulties in different ways and with varying methods based on the intention of the teaching. However, the teacher has no deeper knowledge of the five big ideas of algebra, which can affect the teaching possibilities and in turn the students' learning. Therefore it becomes relevant to consider whether it is something that should be included in the teacher education programs offered at various universities.

Modelling and simulation of complex and multi-domain mechanical systems has become of major importance in the last few years to address energy and fuel consumption performance evaluation. The goal is to unify the available modelling languages aiming to improve scalability and easiness of handling complex multi-domain models. Modelica Modelling Language was born in 1997. It has three main features: object-oriented, equation based with non-causal design structure and multi-domain environment. This thesis aims to give an overview of using Modelica on Modelon Impact software to model and simulate a complete 3D wheel loader dynamic system. The project wants to show how the model has been developed focusing on each sub-system implementation. The 3D wheel loader model is designed following the top-down and bottom-up design approaches and focusing on the powertrain sub-system with the engine, transmission and driveline blocks. The combination of the two logics is used to smooth the modelling path and exploit all the benefits. For the simulation experiments, test rig models are implemented to verify the dynamics of individual sub-systems. The model is simulated giving a set of input signals and solving the dynamic equations using different numerical solvers and comparing the elapsed simulation time. The simulation results show that the Radau5ODE explicit solver achieves faster simulation with stable solution given by the variable step size parameter. However, more studies and specific background are needed to update the complexity of the model and compare it with the already existing one. / Modellering och simulering av komplexa mekaniska system med flera domäner har fått stor betydelse under de senaste åren för att utvärdera energi och bränsleförbrukning. Målet är att förena de tillgängliga modelleringsspråken för att förbättra skalbarheten och underlätta hanteringen av komplexa modeller med flera områden. Modelica-modelleringsspråket föddes 1997. Det har tre huvudfunktioner: objektorienterat, ekvationsbaserat med icke-kausal designstruktur och en miljö med flera områden. Syftet med denna avhandling är att ge en översikt över användningen av Modelica i programvaran Modelon Impact för att modellera och simulera ett komplett dynamiskt 3D-system för hjullastare. Projektet vill visa hur modellen har utvecklats med fokus på varje delsystems genomförande. 3D-modellen för hjullastaren har utformats enligt top-down och bottom-up principerna och fokuserar på delsystemet drivlina med motor, transmission och drivlina. Kombinationen av de två logikerna används för att jämna ut modelleringsvägen och utnyttja alla fördelar. För simuleringsförsöken har testriggmodeller införts för att kontrollera dynamiken hos enskilda delsystem. Modellen simuleras med en uppsättning insignaler och de dynamiska ekvationerna löses med hjälp av olika numeriska lösare, varefter den förflutna simuleringstiden jämförs. Simuleringsresultaten visar att den explicita lösaren Radau5ODE ger en snabbare simulering med en stabil lösning som ges av parametern variabel stegstorlek. Det behövs dock fler studier och mer specifik bakgrund för att uppdatera modellens komplexitet och jämföra den med redan existerande modeller.