L'objet de cette thèse est l'étude mathématique et numérique d'un système de compétition de plusieurs espèces pour une ressource dans un milieu hétérogène. Lorsque le milieu est homogène, il est connu qu'un tel système, appelé système de chemostat, vérifie le principe d'exclusion compétitive : au plus une espèce peut survivre. Nous proposons deux modèles spatialement structurés et étudions le rôle de l'hétérogénéité spatiale dans les phénomènes de coexistence. Le premier modèle est un système d'équations matricielles et le second un système de réaction-diffusion. Notre première contribution est de montrer que les solutions du système de réaction-diffusion sont uniformément bornées en temps et en espace en norme L infini. Nous étudions ensuite le cas des petits taux de migration dans le modèle discret et montrons que la coexistence est possible. Dans le cas des grands taux de migration, nous montrons à l'aide du théorème de la variété centrale que pour chacun des deux modèles, le principe d'exclusion compétitive est vérifié. Nous construisons finalement des solutions stationnaires de coexistence pour deux espèces à l'aide d'une méthode de bifurcations globales. Cette construction nous amène à définir la notion de domaine de coexistence dans l'espace des paramètres. Dans les derniers chapitres, nous illustrons et étendons numériquement les résultats précédents. Nous montrons en particulier comment le domaine de coexistence dépend du taux de migration et de l'hétérogénéité spatiale.

Un automorphisme non-symplectique d'ordre fini n sur une surface X de type K3 est un automorphisme σ ∈ Aut(X) qui satisfait σ*(ω) = λω où λ est une racine primitive n-ième de l'unité et ω est le générateur de H2,0(X). Dans cette thèse on s’intéresse aux automorphismes non-symplectiques d'ordre 8 et 16 sur les surfaces K3. Dans un premier temps, nous classifionsles automorphismes non-symplectiques σ d'ordre 8 quand le lieu fixe de sa quatrième puissance σ⁴ contient une courbe de genre positif, on montre plus précisément que le genre de la courbe fixée par σ est au plus un. Ensuite nous étudions le cas où le lieu fixe de σ contient au moins une courbe et toutes les courbes fixées par sa quatrième puissance σ⁴ sont rationnelles. Enfin nous étudions le cas où σ et son carré σ² agissent trivialement sur le groupe de Néron-Severi. Nous classifions toutes les possibilités pour le lieu fixe de σ et de son carré σ² dans ces trois cas. Nous obtenons la classification complète pour les automorphismes non-symplectiques d'ordre 8 sur les surfaces K3. Dans la deuxième partie de la thèse, nous classifions les surfaces K3 avec automorphisme non-symplectique d'ordre 16 en toute généralité. Nous montrons que le lieu fixe contient seulement courbes rationnelles et points isolés et nous classifions complètement les sept configurations possibles. Si le groupe de Néron-Severi a rang 6, alors il y a deux possibilités et si son rang est 14, il y a cinq possibilités. En particulier si l'action de l'automorphisme est trivial sur le groupe de Néron-Severi, alors nous montrons que son rang est six. Enfin, nous construisons des exemples qui correspondent à plusieurs cas dans la classification des automorphismes non-symplectiques d'ordre 8 et nous donnons des exemples pour chaque cas dans la classification des automorphismes non-symplectiques d'ordre 16. / A non-symplectic automorphism of finite order n on a K3 surface X is an automorphism σ ∈ Aut(X) that satisfies σ*(ω) = λω where λ is a primitive n−root of the unity and ω is a generator of H2,0(X). In this thesis we study the non-symplectic automorphisms of order 8 and 16 on K3 surfaces. First we classify the non-symplectic automorphisms σ of order eight when the fixed locus of its fourth power σ⁴ contains a curve of positive genus, we show more precisely that the genus of the fixed curve by σ is at most one. Then we study the case of the fixed locus of σ that contains at least a curve and all the curves fixed by its fourth power σ⁴ are rational. Finally we study the case when σ and its square σ² act trivially on the Néron-Severi group. We classify all the possibilities for the fixed locus of σ and σ² in these three cases. We obtain a complete classifiction for the non-symplectic automorphisms of order 8 on a K3 surfaces.In the second part of the thesis, we classify K3 surfaces with non-symplectic automorphism of order 16 in full generality. We show that the fixed locus contains only rational curves and isolated points and we completely classify the seven possible configurations. If the Néron-Severi group has rank 6, there are two possibilities and if its rank is 14, there are five possibilities. In particular ifthe action of the automorphism is trivial on the Néron-Severi group, then we show that its rank is six.Finally, we construct several examples corresponding to several cases in the classification of the non-symplectic automorphisms of order 8 and we give an example for each case in the classification of the non-symplectic automorphisms of order 16.

Cette thèse se consacre à l’étude des propriétés qualitatives d’équations elliptiques dégénérées où la diffusion est purement non locale, et s’est réalisée dans le cadre de la théorie des solutions visqueuses. La première partie de la thèse traite de l’étude des propriétés de compacité d’une famille d’opérateurs non locaux d’ordre zéro. Ces opérateurs sont d’opérateurs elliptiques non locaux définis par le biais d’une mesure bornée. On considère une famille d’opérateurs uni-paramétrique d’ordre zéro de la forme \begin{eqnarray*} \mathcal{I}_\epsilon(u, x) = \int_{\mathbb{R}^N} [u(x + z) - u(x)]K_\epsilon(z)dz, \end{eqnarray*} où, pour chaque S\epsilon \in (0,1)$, $K_\epsilon \in L^I(\mathbb{R}^N)$ est une fonction radialement symétrique et positive. On configure notre problème de sorte que $\mathcal{I}_\epsilon$ tende vers du Laplacien fractionnaire quand $\epsilon \to 0^+$, ce qui implique que la norme $L^1S des $K_\epsilon$ n’est pas bornée lorsque $\epsilon \to 0^+$. Un premier résultat de cette partie est un module de continuité dans l’espace-temps pour la famille des solutions bornées de l’équation de la chaleur non-locale dans le plan associé à $\matbcal{I}_\epsilon$, indépendante de $\epsilon \in (0,1)$. Le second résultat de cette partie considère le problème de Dirichlet sur un domaine borné \Omega \subset \R^N$ associé à $mathcal{I}_\epsilon$, et conclut à la compacité de la famille de solutions bornées ${u_\epsilon }_\epsilon$ pour ces problèmes de Dirichlet, en exhibant un module de continuité commun sur $\bar(\Omega)$ pour $\{ u_\epsilon \}_\epsilon$, indépendant de $\epsilon$. / This thesis is devoted to the study of qualitative properties of degenerate elliptic equations where the diffusion is purely nonlocal, and it is carried out in the framework of the theory of viscosity solutions. The first part of the thesis is focused in the study of compactness properties of a family of \textsl{zero-th order nonlocal operators], that is, elliptic nonlocal operators defined though a finite measure. We consider a one parameter family of zero-th order operator with the form \begin{eqnarray*} \mathcal{I}_\epsilon(u, x) = \int_{\mathbb{R}^N} [u(x + z) - u(x)]K_\epsilon(z)dz, \end{eqnarray*} where, for each $\epsilon ‘sin (0,1)$, $K_\epsilon Mn L^1(\mathbb{R^N})$ is a radially symmetric, positive function. We set our problem in such a way $\mathcal{l}_\epsilon$ approaches the fractional Laplacian as $\epsilon \to 0^+$, implying that the $L^1$-norm of $K_\epsilon$ blows up as $\epsilon \to 0^+$. In the first result of this part we provide a common space-time modulus of continuity independent of $\epsilon Mn (0,1)$, for the family of bounded solutions of the nonlocal Heat equation in the plane associated to $\mathcal{I}_\epsilon$. The second result of this part considers a Dirichlet problem in a bounded domain $\Omega \subset $\mathbb{R}^N$ associated to $mathcaI{I}_\epsilon$, and we conclude the compactness of the family of bounded solutions $\{u_\epsilon \}_\epsilon$ to these Dirichlet problems by finding a common modulus of continuity in $\bar{\Omega}$ for ${ u_\epsilon \}_\epsilon$, which is independent of $\epsilon$.

Les couplages sont des outils mathématiques introduits par André Weil en 1948. Ils sont un sujet très en vogue depuis une dizaine d'années en cryptographie asymétrique. Ils permettent en effet de réaliser des opérations cryptographiques impossible à réaliser simplement autrement tel que la signature courte et la cryptographie basée sur l'identité. Ces dernières années, le calcul des couplages est devenu plus facile grâce à l'introduction de nouvelles méthodes de calculs mathématiques particulièrement efficaces sur les courbes elliptiques dites les courbes bien adaptées aux couplages. Aujourd'hui, nous sommes au stade de transfert de cette technologie, de la théorie vers la mise en œuvre pratique, sur des composants électroniques. Ce transfert soulève de nombreuses problématiques qui s'avèrent difficile à surmonter à cause de la différence de culture scientifique entre mathématiciens et micro-électroniciens. Dans le présent document, en premier lieu, nous avons étudié le problème de l'implémentation du couplage dans des environnements restreints. En effet, le calcul du couplage de Tate, ou aussi de l'une de ses variantes, nécessite plusieurs variables pour être implémenté, par conséquent, il nécessite une bonne partie de la mémoire du composant électronique sur lequel nous souhaitons implémenter un tel couplage.Dans ce contexte, en faisant des optimisations mathématiques, nous avons pu implémenté ces couplages dans des environnements retreints. Le deuxième problème que nous avons traité dans cette thèse est celui de la sécurité des protocoles cryptographiques basés sur les couplages. Dans ce contexte, puisque les couplages sur les courbes elliptiques sont censés d'être matériellement attaqués, nous devons le protéger contre ces attaques. Nous avons étudié les attaques sur les couplages et nous avons proposé une contre-mesure. / Les couplages sont des outils mathématiques introduits par André Weil en 1948. Ils sont un sujet très en vogue depuis une dizaine d'années en cryptographie asymétrique. Ils permettent en effet de réaliser des opérations cryptographiques impossible à réaliser simplement autrement tel que la signature courte et la cryptographie basée sur l'identité. Ces dernières années, le calcul des couplages est devenu plus facile grâce à l'introduction de nouvelles méthodes de calculs mathématiques particulièrement efficaces sur les courbes elliptiques dites les courbes bien adaptées aux couplages. Aujourd'hui, nous sommes au stade de transfert de cette technologie, de la théorie vers la mise en œuvre pratique, sur des composants électroniques. Ce transfert soulève de nombreuses problématiques qui s'avèrent difficile à surmonter à cause de la différence de culture scientifique entre mathématiciens et micro-électroniciens. Dans le présent document, en premier lieu, nous avons étudié le problème de l'implémentation du couplage dans des environnements restreints. En effet, le calcul du couplage de Tate, ou aussi de l'une de ses variantes, nécessite plusieurs variables pour être implémenté, par conséquent, il nécessite une bonne partie de la mémoire du composant électronique sur lequel nous souhaitons implémenter un tel couplage.Dans ce contexte, en faisant des optimisations mathématiques, nous avons pu implémenté ces couplages dans des environnements retreints. Le deuxième problème que nous avons traité dans cette thèse est celui de la sécurité des protocoles cryptographiques basés sur les couplages. Dans ce contexte, puisque les couplages sur les courbes elliptiques sont censés d'être matériellement attaqués, nous devons le protéger contre ces attaques. Nous avons étudié les attaques sur les couplages et nous avons proposé une contre-mesure.

La description et l’estimation des modèles aussi bien univariés que multivariés impliquantdes distributions à queue lourde est un enjeu applicatif majeur. Les L-moments sontdevenus des outils classiques alternatifs aux moments centraux pour décrire les comportementsen dispersion, asymétrie, kurtosis d’une distribution univariée à queue lourde. Eneffet, contrairement aux moments centraux correspondants, ils sont bien définis dès quel’espérance de la distribution d’intérêt est finie. Les L-moments peuvent être vus comme laprojection de la fonction quantile sur une famille orthogonale de polynômes, récupérant lalinéarité inhérente aux quantiles. Nous estimerons dans un premier temps les paramètresde modèles semi paramétriques définis par des contraintes sur ces L-moments par des méthodesde minimisation de divergences.Nous proposons dans un second temps une généralisation des L-moments aux distributionsmultivariées qui passe par la définition d’un quantile multivarié défini comme untransport entre la distribution uniforme sur [0; 1]d et la distribution d’intérêt. Cela nouspermet de proposer des descripteurs pour des distributions multivariées adaptés à l’étudedes queues lourdes. Nous détaillons leurs expressions dans le cadre de modèles possédantdes paramètres de rotation.Enfin, nous proposons des M-estimateurs de la matrice de dispersion des distributions complexeselliptiques. Ces dernières forment un modèle multivarié semi-paramétrique contenantnotamment des distributions à queue lourde. Des M-estimateurs spécifiques adaptésaux distributions elliptiques avec une hypothèse supplémentaire de stationnarité sont égalementproposés. Les performances et la robustesse des estimateurs sont étudiées.Les signaux radar provenant de fouillis tels les fouillis de mer ou les fouillis de sol sontsouvent modélisés par des distributions elliptiques. Nous illustrerons les performances dedétecteurs construits à partir de l’estimation de la matrice de dispersion par les méthodesproposées pour différents scénarios radar pour lesquels la robustesse de la procédure d’estimationest cruciale. / The description and the estimation of univariate and multivariate models whose underlyingdistribution is heavy-tailed is a strategic challenge. L-moments have becomeclassical tools alternative to central moments for the description of dispersion, skewnessand kurtosis of a univariate heavy-tailed distribution. Indeed, contrary to correspondingcentral moments, they are well defined since the expectation of the distribution of interestis finite. L-moments can be seen as projections of the quantile function on a family oforthogonal polynomials. First, we will estimate parameters of semi-parametric modelsdefined by constraints on L-moments through divergence methods.We will then propose a generalization of L-moments for multivariate distributions using amultivariate quantile function defined as a transport of the uniform distribution on [0; 1]dand the distribution of interest. As their univariate versions, these multivariate L-momentsare adapted for the study of heavy-tailed distributions. We explicitly give their formulationsfor models with rotational parameters.Finally, we propose M-estimators of the scatter matrix of complex elliptical distributions.The family of these distributions form a multivariate semi-parametric model especiallycontaining heavy-tailed distributions. Specific M-estimators adapted to complex ellipticaldistribution with an additional assumption of stationarity are proposed. Performancesand robustness of introduced estimators are studied.Ground and sea clutters are often modelized by complex elliptical distributions in the fieldof radar processing. We illustrate performances of detectors built from estimators of thescatter matrix through proposed methods for different radar scenarios.

E. Bombieri et J. Pila ont introduit une méthode qui donne les bornees sur le nombre de points entiers qui sont appartiennent d'un arc donné (sous les plusieurs hypothèses).Dans la partie algébrique nous généralisons la méthode de Bombieri Pila pour le cas des champs de fonction de genre $0$ avec une variable. Ensuite, nous appliquons le résultat pour calculer le nombre de courbes elliptiques qui sont dans la même classe d'isomorphisme avec leurs coefficients dans une petite boîte.Une fois que nous avons prouvé ça, la question naturelle est de savoir si nous pouvons l'améliorer dans certains cas particuliers. Nous allons étudier le cas des courbes elliptiques en utilisant la partie de conjecture par Birch Swinnerton-Dyer, les propriétés des fonctions de hauteur bien avec les empilements compacts.Après, dans une partie analytique nous donnons la version explicite du théorème de Bombieri Vinogradov. Ce théorème est un résultat important concerne le terme d'erreur dans le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques, pris en moyenne sur les modules $q$ variant jusqu'à $Q$. Notre but est d'améliorer les résultats existant de cette façon (voir cite{Akbary2015}), donc nous pouvons réduire la puissance du facteur logarithmique en utilisant l'inégalité de grand crible et l'identité de Vaughan. / E.Bombieri and J.Pila introduced a method to bound the number of integral points in a small given box (under some conditions). In algebraic part we generalise this method to the case of function fields of genus $0$ in ove variable. Then we apply the result to count the number of elliptic curves falling in the same isomorphic class with coefficients lying in a small box.Once we are done the natural question is how to improve this bound for some particular families of curves. We study the case of elliptic curves and use the fact that the necessary part of Birch Swinnerton-Dyer conjecture holds over function fields. We also use the properties of height functions and results about sphere packing.In analytic part we give an explicit version of Bombieri-Vinogradov theorem. This theorem is an important result that concerns the error term in Dirichlet's theorem in arithmetic progressions averaged over moduli $q$ up to $Q$. We improve the existent result of such type given in cite{Akbary2015}. We reduce the logarithmic power by using the large sieve inequality and Vaughan identity.

Le chiffrement d'une communication sur un canal quelconque pose un problème de taille. Un émetteur doit en effet transmettre au récepteur une information lui permettant de décoder une communication chiffrée. Le canal d'information n'étant souvent pas physiquement sécurisé, cette information préliminaire doit être transmise sans que les interlocuteurs n'aient à se soucier qu'un autre acteur puisse intercepter cette information. Différents algorithmes ont été développés afin de rendre possible cet échange préliminaire. Parmi les algorithmes communéments utilisés, la cryptographie à courbe elliptique permet de maximiser la sécurité d'une communication avec un minimum d'échange préliminaire d'information. La cryptographie à courbe elliptique repose sur la multiplication d'un point sur cette courbe par un scalaire. Cette opération est relativement lourde au niveau logiciel. Le développement d'un co-processeur spécialisé pour cette opération devient alors pertinent. Ce mémoire résume le développement de pareil co-processeur. Ce dernier a été développé sur FPGA en minimisant les ressources logiques utilisées tout en maximisant la fréquence d'horloge opérationnelle. De plus, le nombre d'opérations sur la courbe elliptique a été minimisé en représentant l'entier multipliant le point sur la courbe elliptique sous sa forme numérique ω-NAF. Ce mémoire propose également une façon inédite pour générer aléatoirement un entier sous sa forme ω-NAF en minimisant les ressources logiques nécessaires pour pareille opération. / The encryption of a communication on a given channel may appear hazardous. An interlocutor must transmit to another one enough information allowing both interlocutors to encrypt or decrypt the communication. Since the communication channel is visible to potentially malicious actors, this preliminary information must be exchanged without worrying about others intercepting it. Several algorithms were developed making that exchange possible. Among the most commonly used algorithms, elliptic curve cryptography provides the highest strength per bit. Elliptic curve cryptography is based on the multiplication of a point on this curve by a scalar. This operation is relatively complex when implemented in software. The use of a specialized co-processor becomes an interesting approach to perform this operation. This thesis describes the development of such a co-processor. It has been developed targeting a FPGA, minimizing the use of logical resources while maximizing the operating frequency. Moreover, the number of operations on the elliptic curve have been minimized by representing the scalar multiplying the point of the elliptic curve in its ω-NAF form. A method randomly generating an integer in its ω-NAF representation is also proposed. This method can be implemented in hardware using a minimum of logical resources.

Dans cette thèse, nous utilisons le degré et la topologie $\tau$ introduits en 1996 par Kryszewski et Szulkin pour généraliser, au cas des fonctionnelles fortement indéfinies, les théorèmes de la fontaine de T. Bartsch (1993), de T. Bartsch et M. Willem (1995) et de W. Zou (2001). Aucune méthode de réduction n'est utilisée. Nous appliquons les nouveaux théorèmes pour prouver l'existence d'une infinité de solutions pour quelques systèmes différentiels.

L'objectif de cette thèse est l'étude du problème de Cauchy pour les solutions faibles de trois problèmes (systèmes paraboliques dégénérés et fortement couplés) modélisant des écoulements diphasiques et compressibles en milieu poreux. La motivation de ce travail est un "benchmark" du GNR MoMaS pour l'étude de l'impact de l'écoulement du gaz d\^{u} à la corrosion des matériaux ferreux dans un site de stockage de déchets radioactifs. Cette thèse est divisée en trois chapitres indépendants. Premièrement, on s'intéresse à l'analyse mathématique d'un problème modélisant l'écoulement de deux phases immiscibles et en considérant qu'une phase est compressible et l'autre est incompressible (eau/gaz). Deuxièmement, on traite le cas général du déplacement de deux fluides compressibles et immiscibles dans un milieu poreux. Enfin, le dernier chapitre est consacré à la construction et à la convergence de la méthode des volumes finis pour le système eau-gaz sous l'hypothèse que la densité du gaz est une fonction de la pression globale.

Les systèmes de réaction-diffusion interviennent pour décrire les transitions de phase dans de nombreux champs d'application. Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de propagation dans des milieux diffusifs, non bornés et hétérogènes, et s'inscrit ainsi dans la lignée d'une recherche particulièrement active. La première partie concerne l'équation simple: on s'y intéressera à la structure interne des fronts, mais on exhibera aussi de nouvelles dynamiques où la vitesse d'un profil de propagation n'est pas unique. Dans la seconde partie, on s'intéresse aux systèmes à deux équations, pour lesquels l'absence de principe du maximum pose de nombreuses difficultés. Ces travaux, en portant sur un vaste éventail de situations, offrent une meilleure compréhension des phénomènes de propagation, et mettent en avant de nouvelles propriétés des problèmes de réaction-diffusion, aidant ainsi à améliorer l'analyse théorique comme alternative à l'approche empirique. / Reaction-diffusion systems arise in the description of phase transitions in various fields of natural sciences. This thesis is concerned with the mathematical analysis of propagation models in some diffusive, unbounded and heterogeneous media, which comes within the scope of an active research subject. The first part deals with the single equation, by looking at the inside structure of fronts, or by exhibiting new dynamics where the profile of propagation may not have a unique speed. In a second part, we take interest in some systems of two equations, where the lack of maximum principles raises many theoretical issues. Those works aim to provide a better understanding of the underlying processes of propagation phenomena. They highlight new features for reaction-diffusion problems, some of them not known before, and hence help to improve the theoretical approach as an alternative to empirical analysis.