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Nous étudions les séries aléatoires définies sur R^D par F(t) = Σ n^(-α/D)G(n^(1/D)(t − Xn)) , où α > 0, G est une "bosse élémentaire" et (Xn)n>1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi. Nous commençons par discuter l'existence de séries plus générales, appelées fonctions de bosses, en soulignant le rôle de chacun des paramètres. C'est dans ce cadre que sont établies des conditions suffisantes d'intégrabilité, d'existence et de continuité. Nous poursuivons l'étude de la régularité presque sûre des trajectoires du modèle standard et déterminons en particulier un exposant de Hölder uniforme. Nous nous intéressons alors naturellement aux dimensions fractales de son graphe. Pour cela, nous développons des outils d'analyse généraux permettant de traiter les fonctions uniformément höldériennes. Nous énonçons des résultats concernant l'estimation des dimensions de boîte et de régularisation, et, plus généralement, d'une large classe d'indices dimensionnels, certains liés à l'analyse multifractale. Nous calculons ensuite<br />la dimension de Hausdorff du graphe de F . La seconde partie de notre thèse est consacrée à l'application des fonctions de bosses à la modélisation de profils rugueux. On met en évidence de nouvelles propriétés théoriques, notamment à l'aide des fonctions de structure. Celles-ci donnent<br />naissance à des diagrammes logarithmiques, les courbes de structure, qui permettent d'analyser un signal en tenant compte des contraintes expérimentales. Elles sont utilisées pour l'identification d'une fonction de bosses et l'estimation de ses paramètres. Nous proposons pour cela de nombreuses méthodes en construisant des estimateurs adaptés. Il est alors possible de modéliser un signal donné par une fonction de bosses. Les courbes de structure servent encore à l'élaboration de critères de conformité. Des exemples de données théoriques et expérimentales illustrent notre propos.

Les fonctions de Laguerre discrètes, paramétrées par un pseudo-facteur d'échelle, forment une base de fonctions orthogonales à temps discret. Leur allure semblable à des transitoires oscillants amortis confère à cette base de fonctions une grande efficacité pour la représentation de signaux physiques relativement amortis. Cette représentation a conduit à de nombreuses applications pratiques, dans des domaines tels que la modélisation et l'identification de systèmes et le contrôle de processus. Celles-ci montrent que la représentation de signaux et de systèmes sur la base des fonctions orthogonales de Laguerre possède un effet bénéfique de filtrage du bruit, qui conduit notamment à une robustesse des systèmes de contrôle basés sur cette représentation. En revanche, peu de recherches ont été menées d'une part sur les propriétés de ces fonctions de Laguerre discrètes et d'autre part sur la transformation associée à ces fonctions. Nous avons tenté d'y remédier en faisant une étude théorique de cette transformation de Laguerre discrète. Dans un premier temps nous avons établi de nouvelles propriétés des fonctions de Laguerre discrètes. Dans un second temps, nous avons déterminé la relation existant entre la transformation en z et la transformation de Laguerre discrète. Par la suite, nous avons démontré diverses propriétés de cette transformation et donné les correspondances de fonctions usuelles. Par ailleurs, nous avons aussi développé une méthode permettant de choisir le paramètre principal des fonctions de Laguerre discrètes afin de réduire l'erreur d'approximation. Cette méthode de choix du paramètre a été généralisée à toute une gamme de fonctions orthogonales dépendant d'un paramètre similaire. Enfin nous avons présenté quelques nouvelles applications des fonctions de Laguerre discrètes.

Un entier naturel est dit $y$-friable lorsque son plus grand facteur premier n'excède pas $y$. Ce travail est consacré à l'étude des entiers friables dans le cadre de la théorie analytique et probabiliste des nombres. La première partie est dévolue à un problème posé par Davenport en 1937, qui consiste à déterminer les conditions de validité de diverses généralisations de son développement de la fonction sinus en série de parties fractionnaires. Ces généralisations peuvent être décrites par un couple de fonctions arithmétiques, liées par la relation de convolution $f=g*\1$. Nous traitons le cas où $g$ est la fonction de Piltz d'ordre $z\in\CC$. La deuxième partie est consacrée à l'étude du comportement asymptotique de la constante optimale dans une version friable de l'inégalité de Turán-Kubilius. Précisant des résultats récents de La Bretèche et Tenenbaum, nous généralisons au cas friable une formule asymptotique de la variance d'une fonction arithmétique additive, établie par Hildebrand en 1983.

Nous étudions les fonctions sommatoires des suites digitales. Ces suites sont obtenues en "promenant une fenêtre" sur le développement des entiers en base q, et sont une sous- classe des suites q-régulières. Le comportement asymptotique des fonctions sommatoires est précisé, avec la mise en évidence d'une oscillation "fractale", qui fait intervenir une fonction continue nulle part dérivable. Dans la dernière partie nous nous intéressons à des suites d'entiers à la Cantor, qui s'écrivent dans une base donnée en évitant certains chiffres.

L'objet de cette thèse est d'étudier les propriétés mathématiques de quelques modèles utilisés entraitement d'image. Suivant S. J. Osher, L. Rudin et E. Fameti, nous décomposons une image f de L² en une somme u+v où u appartient à un espace de Banach fonctionnel E et v appartient à L². L'espace E doit modéliser les objets contenus dans l'image et la décomposition optimale minimise l'énergie J(u)=||u||_E+\lambda||f-u||^2_2. La difficulté majeure est de choisir un espace E adapté. Les choix classiques sont E=\dot{B}^{1,1}_1(\R^2), qui conduit au célèbre "wavelet thresholding" de Donoho, ou E=BV(\R^2), l'espace des fonctions à variations bornées. Le dernier choix définit l'algorithme d'Osher-Rudin-Fatemi. Ces deux choix ont des défauts. Le premier efface les bords nets. Le second ne conduit pas à un seuillage des coefficients d'ondelettes. Nous proposons alors de prendre E=\B1inf(\R^2), qui conserve les bords nets et conduit à un seuillage des coefficients d'ondelette. Ce sont les deux premières parties de la thèse. Dans la troisième partie, nous étudions les propriétés mathématiques de l'algorithme 'Osher-Vese qui traite mieux les composantes texturées.

Ce mémoire concerne l'étude de la stabilité en temps fini et de la stabilisation de systèmes dynamiques non linéaires, décrits par des équations différentielles ordinaires ou des inclusions différentielles ordinaires ou des équations fonctionnelles retardées. Après un chapitre d'introduction avec quelques rappels sur la stabilité et la stabilisation des systèmes dynamiques, la première partie est consacrée à l'étude de la stabilité en temps fini qui est un cas particulier de la stabilité asymptotique où les solutions d'un système atteignent en temps fini l'équilibre de ce système. Le travail présenté utilise les fonctions de Lyapunov pour obtenir des conditions de stabilité en temps fini. <br />La deuxième partie de ce mémoire est consacrée à la stabilisation en utilisant les fonctions de Lyapunov contrôlées. Une large part est dédiée à la stabilisation en temps fini.

Nous nous intéressons au nombre de points rationnels des variétés algébriques projectives sur un corps fini. Nous déterminons notamment la fonction zêta (et plus précisément les polynômes caractéristiques de l'endomorphisme de Frobenius sur les espaces de cohomologie étale l-adique) des courbes algébriques projectives sans autre hypothèse de lissité ou d'irréductibilité. Nous montrons la divisibilité de ces polynômes dans un revêtement plat de courbes connexes, que l'on peut interpréter comme un analogue de la conjecture d'holomorphie d'Artin sur les fonctions zêta de Dedekind des corps de nombres. Nous obtenons des bornes sur le nombre de points rationnels sur un corps fini dans un revêtement plat entre courbes algébriques projectives connexes, généralisant les bornes connues et notamment celle de Weil. Nous nous sommes également intéressé au problème du nombre de classes dans les corps de fonctions à une variable sur un corps fini. Nous avons établi un théorème de finitude en ce qui concerne les extensions totalement imaginaires d'extensions totalement réelles dont le nombre de classes d'idéaux du corps imaginaire est fixé . Dans le cas où ces extensions sont quadratiques, nous donnons une formule du nombre de classes relatif en terme de fonction L, ainsi qu'une formule liant cette fonction L à une somme de caractères de type Legendre dans le cas du nombre de classe 1. Si l'on suppose de plus que le groupe de Galois d'une telle extension est isomorphe au groupe de Klein, via la théorie du corps de classes ainsi que des factorisations de fonctions zêta et des estimations de régulateurs, nous déterminons ces corps via les extensions d'Artin-Schreier et les jacobiennes.

Notre travail est motivé par le problème de l'évaluation du déterminant de Fredholm d'un opérateur intégral. Cet opérateur apparait dans l'expression de la probabilité pour qu'un intervalle [?s, s] (s > 0) ne contienne aucune valeur propre d'une matrice aléatoire hermitienne gaussienne. Cet opérateur commute avec un opérateur différentiel de second ordre dont les fonctions propres sont les fonctions d'ondes sphéroïdales de l'ellipsoïde alongé. Plus généralement nous considérons l'opérateur de Legendre perturbé. Nous montrons qu'il existe un opérateur de translation généralisée associé à cet opérateur. En?n, par une méthode d'approximation des solutions de certaines équations différentielles, dite méthode WKB, nous avons obtenu le comportement asymptotique des fonctions d'ondes sphéroïdales de l'ellipsoïde alongé Il s'exprime à l'aide des fonctions de Bessel et d'Airy. Par la même méthode nous avons obtenu le comportement asymptotique des fonctions propres de l'opérateur dfférentiel d'Airy.