Le scanner laser est un périphérique permettant d'analyser un objet réel et d'extraire des informations de sa surface. Grâce à cet outil, il est possible d'obtenir la représentation numérique de tout ou partie de la surface frontière d'un objet réel. Les scanners laser sont livrés avec un logiciel permettant de faire l'acquisition des données brutes, le recalage des différentes parties acquises et la reconstruction de la surface. Cette suite d'opérations permet de construire le modèle numérique et est communément appelée pipeline 3D d'acquisition. Dans cette thèse, nous développons notre pipeline, que nous nommons A2RI, et y ajoutons une étape d'impression. Ce pipeline permet la reproduction d'un objet à partir de son acquisition au scanner laser. Nous veillons particulièrement à quantifier et maîtriser l'erreur commise dans chaque maillon de la chaîne grâce à des mesures euclidiennes et géodésiques sur l'objet réel et le modèle numérique. / Abstract

Dans l'objectif d'améliorer et d'automatiser la chaîne de reproductiond'objet qui va de l'acquisition à l'impression 3D. Nous avons cherché à caractériserde la saillance sur les objets 3D modélisés par la structure d'un maillage 3D.Pour cela, nous avons fait un état de l'art des méthodes d'estimation des proprié-tés différentielles, à savoir la normale et la courbure, sur des surfaces discrètes sousla forme de maillage 3D. Pour comparer le comportement des différentes méthodes,nous avons repris un ensemble de critères de comparaison classique dans le domaine,qui sont : la précision, la convergence et la robustesse par rapport aux variations duvoisinage. Pour cela, nous avons établi un protocole de tests mettant en avant cesqualités. De cette première comparaison, il est ressorti que l'ensemble des méthodesexistantes présentent des défauts selon ces différents critères. Afin d'avoir une estimationdes propriétés différentielles plus fiable et précise nous avons élaboré deuxnouveaux estimateurs. / With the aim to improve and automate the object reproduction chainfrom acquisition to 3D printing .We sought to characterize the salience on 3D objectsmodeled by a 3D mesh structure. For this, we have a state of the art of estimatingdifferential properties methods, namely normal and curvature on discrete surfaces inthe form of 3D mesh. To compare the behavior of different methods, we took a set ofclassic benchmarks in the domain, which are : accuracy, convergence and robustnesswith respect to variations of the neighbourhood. For this, we have established atest protocol emphasizing these qualities. From this first comparision, it was foundthat all the existing methods have shortcomings as these criteria. In order to havean estimation of the differential properties more reliable and accurate we developedtwo new estimators.

La reconstruction de surface, à partir de données échantillonnées, est un thème de recherche important et très actif depuis quelques années. L'enjeu est de pouvoir générer toute sorte de géométries et de topologies. Le but de ce travail est de trouver une surface régulière Gamma (typiquement de classe C2), passant au plus près de tous les points d'un échantillon V donné, c'est-à-dire telle que la distance euclidienne d(x, Gamma) soit minimale pour tout x dans V. Pour cela, on formule le problème à l'aide d'une équation aux dérivées partielles qui va caractériser l'évolution d'une surface Gamma(t). Cette EDP est composée d'un terme d'attraction, qui permet à Gamma(t) d'avancer jusqu'à V, et d'un terme de tension de surface, dont le rôle est de préserver la régularité de Gamma(t) au cours du temps. On montre d'abord que le problème est bien posé, c'est-à-dire que sa solution existe et qu'elle est unique. Cette EDP est ensuite résolue numériquement à l'aide de la méthode des lignes de niveau, et grâce à des schémas numériques spécifiques (avec approximation des dérivées d'ordre un et deux en espace en chaque noeud du maillage), sur des triangulations adaptées et anisotropes (pour améliorer la précision du résultat). D'un point de vue analyse, on montre que ces schémas sont consistants et stables en norme L2. Des exemples d'applications sont présentés pour illustrer l'efficacité de notre approche.

Cette thèse est consacrée aux études théoriques et numériques des problèmes sui- vants qui sont liés à l'adaptation de maillage anisotrope : Les métriques et estimateurs d'erreur, les modifications locales de maillages hexaédriques et quadrilatéraux. Nous procédons à la mise en oeuvre de nouveaux algorithmes, schémas numériques et méthodes dans ces deux parties ; notamment en codant dans le logiciel Freefem++ de nouvelles méthodes de reconstruction d'estimateurs d'erreur et de construction de métriques. Nous étudions trois des méthodes de reconstruction de la matrice hessienne, estimateur d'erreur d'interpolation de Lagrange à l'ordre deux qui sont : La reconstruction de la matrice hessienne par moindres carrés, la méthode basée sur la formule de Green, l'approximation locale de la fonction par un polynôme du second degré. Nous proposons une nouvelle approche basée sur l'interpolation polynomiale locale par maille et un schéma aux différences finies. Nous établissons des propriétés de sta- bilité et de convergence ainsi que des résultats numériques en dimension deux. Nous étudions aussi la reconstruction des dérivées troisièmes par moindres carrés. Nous pro- posons également de nouvelles estimations d'erreur d'interpolation de Lagrange grâce à un développement de Taylor à l'ordre trois sans calcul direct de dérivées troisièmes. Il est aussi proposé un algorithme de construction de métriques à partir d'une estima- tion d'erreur pouvant être représentée localement par une courbe fermée, applicable à l'erreur d'interpolation polynomiale d'ordre supérieur. Enfin, nous proposons de nouvelles façons de raffiner ou dé-raffiner localement les maillages hexaédriques. Nous faisons une étude des techniques existantes en proposant de nouvelles caractérisations des transformations locales de maillages quadrilatéraux et hexaédriques.

Cette dernière décennie a vu apparaître et se développer toute une théorie sur l'échantillonnage des surfaces lisses. L'objectif était de trouver des conditions d'échantillonnage qui assurent une bonne reconstruction d'une surface lisse S à partir d'un sous-ensemble fini E de points de S. Parmi ces conditions, l'une des plus importantes est sans conteste la condition d'e-échantillonnage, introduite par Amenta et Bern, qui stipule que tout point p de S doit être à distance de E au plus e fois lfs(p), où lfs(p) désigne la distance de p à l'axe médian de S. Amenta et Bern ont montré qu'il est possible d'extraire de la triangulation de Delaunay d'un e-échantillon E une surface affine par morceaux qui approxime S du point de vue topologique (isotopie) et géométrique (distance de Hausdorff). Néanmoins restaient ouvertes les questions cruciales de pouvoir vérifier si un ensemble de points donné est un e-échantillon d'une part, et de construire des e-échantillons d'une surface lisse donnée d'autre part. De plus, les conditions d'échantillonnage proposées jusque là n'offraient des garanties que dans le cas lisse, puisque lfs s'annule aux points où la surface n'est pas différentiable. Dans cette thèse, nous introduisons le concept d'e-échantillon lâche, qui peut être vu comme une version faible de la notion d'e-échantillon. L'avantage majeur des e-échantillons lâches sur les e-échantillons classiques est qu'ils sont plus faciles à vérifier et à construire. Plus précisément, vérifier si un ensemble fini de points est un e-échantillon lâche revient à regarder si les rayons d'un nombre fini de boules sont suffisamment petits. Quand la surface S est lisse, nous montrons que les e-échantillons sont des e-échantillons lâches et réciproquement, à condition que e soit suffisamment petit. Il s'ensuit que les e-échantillons lâches offrent les mêmes garanties topologiques et géométriques que les e-échantillons. Nous étendons ensuite nos résultats au cas où la surface échantillonnée est non lisse en introduisant une nouvelle grandeur, appelée rayon Lipschitzien, qui joue un rôle similaire à lfs dans le cas lisse, mais qui s'avère être bien défini et positif sur une plus large classe d'objets. Plus précisément, il caractérise la classe des surfaces Lipschitziennes, qui inclut entre autres toutes les surfaces lisses par morceaux pour lesquelles la variation des normales aux abords des points singuliers n'est pas trop forte. Notre résultat principal est que, si S est une surface Lipschitzienne et E un ensemble fini de points de S tel que tout point de S est à distance de E au plus une fraction du rayon Lipschitzien de S, alors nous obtenons le même type de garanties que dans le cas lisse, à savoir : la triangulation de Delaunay de E restreinte à S est une variété isotope à S et à distance de Hausdorff O(e) de S, à condition que ses facettes ne soient pas trop aplaties. Nous étendons également ce résultat aux échantillons lâches. Enfin, nous donnons des bornes optimales sur la taille de ces échantillons. Afin de montrer l'intérêt pratique des échantillons lâches, nous présentons ensuite un algorithme très simple capable de construire des maillages certifiés de surfaces. Etant donné une surface S compacte, Lipschitzienne et sans bord, et un paramètre positif e, l'algorithme génère un e-échantillon lâche E de S de taille optimale, ainsi qu'un maillage triangulaire extrait de la triangulation de Delaunay de E. Grâce à nos résultats théoriques, nous pouvons garantir que ce maillage triangulaire est une bonne approximation de S, tant sur le plan topologique que géométrique, et ce sous des hypothèses raisonnables sur le paramètre d'entrée e. Un aspect remarquable de l'algorithme est que S n'a besoin d'être connue qu'à travers un oracle capable de détecter les points d'intersection de n'importe quel segment avec la surface. Ceci rend l'algorithme assez générique pour être utilisé dans de nombreux contextes pratiques et sur une large gamme de surfaces. Nous illustrons cette généricité à travers une série d'applications : maillage de surfaces implicites, remaillage de polyèdres, sondage de surfaces inconnues, maillage de volumes.

Dans le domaine de la simulation numérique en électromagnétisme, l'évaluation d'erreur en régime magnétodynamique n'a pas trouvée de réponse pleinement satisfaisante jusqu'à maintenant. Après avoir introduit la méthode des éléments finis à partir d'une approche thermodynamique de l'électromagnétisme, nous proposons un nouveau critère d'erreur énergétique, qui permet d'évaluer l'erreur dans les parties conductrices sièges de courants de Foucault. Les caractéristiques de ce critère en fonction de la formulation et de l'ordre des éléments sont détaillées. Nous présentons ensuite une procédure de maillage adaptatif reposant sur ce critère appliquée à un cas en régime magnéto-harmonique 2D. Une extension aux régimes transitoires est introduite. La convergence des grandeurs énergétiques globales valide la pertinence du critère d'erreur proposé.

L'électroencéphalographie (E.E.G.) et la magnétoencéphalographie (M.E.G.) permettent de mesurer à la surface de la tête des champs électromagnétiques résultant des activités neuronales du cerveau. La localisation des sources d'activités neuronales à partir des signaux mesurés à la surface de la tête nécessite de modéliser la propagation des champs électromagnétiques à l'intérieur des tissus de la tête. Cette modélisation consiste à résoudre les équations de Maxwell pour toutes les configurations de sources neuronales possibles par des techniques de calcul numérique (intégrale de surface, différence finies et éléments finis), qui nécessitent de disposer d'un maillage surfacique ou volumique des tissus et d'affecter à chaque élément du maillage une valeur de conductivité électrique du tissu correspondant. L'objectif de cette thèse est de construire des modèles réalistes des tissus de la tête sous forme de maillages tétraédriques adaptés aux méthodes d'éléments finis. Ces maillages tétraédriques sont construits à partir de données anatomiques individuelles obtenues en imagerie par résonance magnétique (I.R.M.). Nous montrons, tout d'abord, l'importance que revêt une modélisation volumique des tissus de la tête, en particulier pour la M.E.G. et l'E.E.G. Ainsi, nous mettons en évidence les contraintes géométriques et topologiques que doit respecter un maillage voumique pour la résolution du problème direct en M.E.G. et E.E.G. à partir de la méthode des éléments finis. Dans ce cadre, nous proposons alors de développer une méthode de maillage volumique fondée sur une décomposition spatiale du domaine d'interêt suivie de transformations préservant la topologie. Dans les méthodes aux éléments finis, la qualité des tétraèdres influence la précision du calcul numérique. En effet, des tétraèdres avec un mauvais rapport de forme produisent des matrices mal conditionnées. Nous montrons qu'il est possible de construire des tétraédrisations presques régulières (T.P.R.) de l'espace où tous les tétraèdres sont identiques et ont des arêtes presque égales. Nous introduisons, ensuite, une caractérisation originale des déformations homotopiques d'un objet discret s'appuyant sur un maillage tétraédrique. Nous avons étendu la notion d'éléments simples par rapport aux trames discrètes classiques (pixels et voxels) des images numériques en appliquant des résultats issus de la théorie de l'homologie au cas des maillages tétraédriques. De nombreux outils locaux peuvent être utilisés à des fins d'adaptation de maillages tétraédriques. C'est pourquoi, nous présentons une adaptation fondée sur des modifications locales d'une T.P.R. et contrôlant la taille des arêtes. La dernière partie de ce manuscrit présente une méthode de maillage volumique des tissus de la tête s'appuyant sur les propriétés topologiques et géométriques que nous avons exposées précédemment. Ainsi, nous construisons d'abord une T.P.R. à partir d'une I.R.M. segmentée des tissus de la tête dont le nombre d'éléments est compatible avec le coût d'une F.E.M. puis nous effectuons un étiquetage homotopique du maillage où nous attribuons à chaque tétraèdre une étiquette optimale fonction de son contenu tissulaire et des contraintes topologiques. Une des originalités de notre méthode de maillage volumique réside dans la notion de région homotopiquement déformable qui permet d'injecter dans un maillage volumique des connaissances a priori topologiques sur les objets à mailler. Ces maillages permettent également de construire des maillages surfaciques adaptés aux méthodes d'intégrales de frontière sans risques d'intersection entre les surfaces de tissus proches. Des premiers tests effectués à la Pitié-Salpétrière ont d'ailleurs montré l'adéquation entre les maillages proposés et la résolution du problème direct en M.E.G. et E.E.G.

Améliorer la connaissance des circulations dans les océans est d'une importance majeure pour la prévision à court et moyen terme de l'évolution du système climatique, ainsi que pour le développement de l'océanographie cotière et de l'océanographie opérationnelle. Les sources d'information disponibles pour accéder à cette connaissance sont, comme en météorologie, les modèles physiques et numériques et les observations. Dans ce contexte, ce mémoire résume l'essentiel de mes travaux de recherche de ces dernieres années, consacrés à la modélisation numérique et l'assimilation de données pour l'océanographie. J'y présente tout d'abord quelques aspects concernant les schémas utilisés dans les modèles numériques. On s'intéresse ensuite au raffinement, éventuellement adaptatif de maillage dans ces modèles, et à son extension naturelle vers le couplage de modèles. Enfin, la dernière partie est consacrée aux méthodes d'assimilation de données, qui visent à fournir un compromis optimal entre observations et prévisions du modèle, et plus particulièrement au développement de méthodes de rang réduit.

Nous avons proposé une modélisation thermomécanique de la coulée continue d'acier en trois dimensions. Notre approche permet d'obtenir la solution thermomécanique stationnaire du procédé, sur toute la machine. Il est alors possible de déduire l'histoire thermique et mécanique du produit en visualisant les cartes de contraintes ou de température. Un des résultats attendus de notre étude concerne les déflections entre les rouleaux qui traduisent le gonflement, à l'origine des ségrégations. Nous avons basé notre étude sur la stratégie globale instationnaire, en adoptant une approche purement lagrangienne. Nous simulons l'apport continuel de matière, grâce à l'introduction d'un outil d'injection situé sur la face supérieure du domaine. La face inférieure du domaine admet la cinématique de l'outil de guidage du procédé. Ainsi, le maillage augmente constamment selon un chemin délimité par les rouleaux. L'évolution du maillage -création de nouveaux noeuds- est gérée de manière locale par une technique de recollement de maillages. D'un point de vue modélisation, nous résolvons les équations instationnaires de conservation de l'énergie, de la matière et de la quantité de mouvement. Le problème mécanique est abordé selon une approche de type milieu monophasé équivalent; nous négligeons les phénomènes de convection naturelle et de macroségrégation, mais les phénomènes de dilatation thermique et de retrait à la solidification sont pris en compte. La zone solide est supposée obéir à un comportement élasto-viscoplastique, dont la rhéologie est donnée par les lois de la littérature. Les zones pâteuse et liquide sont supposées obéir respectivement à un comportement viscoplastique et newtonien. Nous avons validé, avec succès, notre approche sur plusieurs cas et nous l'avons appliqué à deux machine de coulée industrielles.

Ce travail est consacré à la modélisation des macroségrégations et des distorsions se produisant lors de la solidification de pièces métalliques. Un modèle bidimensionnel d'éléments finis est développé pour l'analyse des écoulements de convection thermo-solutale à l'origine des macroségrégations. Dans ce modèle, l'ensemble des équations, moyennées spatialement, de conservation de l'énergie, de la quantité de mouvement, de la masse et des espèces chimiques est résolu en prenant pour modèle de microségrégation la règle des leviers. Plusieurs formulations permettent une résolution avec couplage faible ou fort des différentes résolutions ainsi qu'une approche en système ouvert ou fermé. Dans le but d'augmenter la précision des résultats, un algorithme de remaillage dynamique est également proposé, de façon à enrichir le maillage au voisinage du front de solidification. L'orientation et la norme du gradient de fraction liquide guident le remaillage dans la zone pâteuse, tandis que la distance à l'isotherme liquidus est utilisée dans le liquide. L'approche numérique est validée grâce à un benchmark de macroségrégation tiré de la littérature et portant sur des alliages Pb-Sn. Les influences de la discrétisation spatiale et temporelle et des schémas de couplage sont discutées, notamment par rapport à la capacité de prédiction des canaux ségrégés. En outre, l'efficacité de l'adaptation de maillage est illustrée dans un cas de solidification dirigée, donnant lieu à l'apparition de " freckles ", ainsi que pour la prédiction de bandes ségrégées de type A dans un gros lingot d'acier. La dernière partie du document présente une modélisation thermo-mécanique visant à calculer le développement, pendant le procédé, des contraintes et distorsions dans les zones solidifiées, ainsi que le retrait et les mouvements de thermo-convection affectant les régions liquides. Le comportement de l'alliage est alors considéré comme newtonien à l'état liquide, comme celui d'un milieu continu viscoplastique à l'état pâteux, et comme élasto-visco-plastique à l'état solide. Cette simulation thermo-mécanique est utilisée pour calculer la formation des lames d'air, la génération des déformations, des contraintes et la formation des retassures primaires.