L'objectif de ce thèse est l'étude des systèmes dynamiques avec interaction à longue portée. La complexité de leur dynamique met en évidence des propriétés contre-intuitives et inattendues, comme l'existence d'états stationnaires hors-équilibre (QSS). Dans le QSS on peut observer des propriétés particulières: chaleur spécifique négative, inéquivalence des ensembles statistiques et phénomènes d'auto-organisation. Les théories des interactions LR ont été appliquées pour décrire la dynamique des systèmes auto-gravitants, de tourbillons bidimensionnels, de systèmes avec interactions onde-particule et des plasmas chargés. Mon travail s'est tout d'abord consacré à l'extension de la solution de Lynden-Bell pour le modèle HMF, en généralisant l'analyse à des conditions initiales de «water-bag" à plusieurs niveaux, qui approchent des conditions initiales continues. En suite je me suis intéressé à la caractérisation formelle de la thermodynamique des QSS dans l'ensemble statistique canonique. En appliquant la théorie standard, il est possible de mesurer une chaleur spécifique "cinétique'' négative. Cette propriété inattendue amène à la violation du second principe de la thermodynamique. Un tel résultat nous pousse à reconsidérer l'applicabilité de la théorie thermodynamique actuelle aux systèmes LR. En suite j'ai étudié, pour le modèle α-HMF, la persistance des caractéristiques typiques du régime LR, dans le limite dynamique à courte portée. Les résultats suggèrent une généralisation de la définition des systèmes LR. Le dernier chapitre est consacré à la caractérisation d'un nouveau modèle LR, extension naturelle du précédent α-HMF et d'intérêt potentiel applicatif. / The scope of this thesis is the study of systems with long-range interactions (LR). The complexity of their dynamics evidences counter-intuitive and unexpected properties, as for instance the existence of out-of-equilibrium stationary states (QSS). Considering a system in the QSS, one may observe peculiar properties, as negative specific heat, statistical ensemble inequivalence and phenomena of self-organizations. The main theories of long-range interactions have been applied to describing self-gravitating systems, two-dimensional vortices, systems with wave-particle interactions and charged plasmas. My work has been initially dedicated to extending the Lynden-Bell solution for the HMF model, generalizing the analysis to multi-level water-bag initial condition that could approximate continuous distributions. Then I concentrated to the formal characterization of the thermodynamics of QSS in the canonical statistical ensemble. By applying the standard theory, it is possible to measure negative “kinetic” specific heat. This latter unexpected property leads to a violation of the second principle of thermodynamics. Such result forces us to reconsider the applicability of the accepted thermodynamic theory to LR systems. Afterwards I studied, in the context of the α-HMF model, the persistence of the typical characteristics of the LR regime in the limit of short-range dynamics. The results obtained suggests a generalization of the definition of LR systems. The last chapter is dedicated to the characterization of a novel LR model, a natural extension of α-HMF and of potential applicability.

In this work we study the existence of nontrivial weak solutions for some Hamiltonian elliptic systems in dimension two, involving a potential function and nonlinearities which possess maximal growth with respect to a critical curve (hyperbola). We consider four different cases. First, we study Hamiltonian systems in bounded domains with potential function identically zero. The second case deals with systems of equations on the whole space, the potential function is bounded from below for some positive constant and satisfies some integrability conditions, while the nonlinearities involve weight functions containing a singulatity at the origin. In the third case, we consider systems with coercivity potential functions and nonlinearities with weight functions which may have singularity at the origin or decay at infinity. In the last case, we study Hamiltonian systems, where the potential can be unbounded or can vanish at infinity. To establish the existence of solutions, we use variational methods combined with Trudinger-Moser type inequalities for Lorentz-Sobolev spaces and a finite-dimensional approximation. / Neste trabalho estudamos a existência de soluções fracas não triviais para sistemas hamiltonianos do tipo elíptico, em dimensão dois, envolvendo uma função potencial e não linearidades tendo crescimento exponencial máximo com respeito a uma curva (hipérbole) crítica. Consideramos quatro casos diferentes. Primeiramente estudamos sistemas de equações em domínios limitados com potencial nulo. No segundo caso, consideramos sistemas de equações em domínio ilimitado, sendo a função potencial limitada inferiormente por alguma constante positiva e satisfazendo algumas de integrabilidade, enquanto as não linearidades contêm funções-peso tendo uma singularidade na origem. A classe seguinte envolve potenciais coercivos e não linearidades com funções peso que podem ter singularidade na origem ou decaimento no infinito. O quarto caso é dedicado ao estudo de sistemas em que o potencial pode ser ilimitado ou decair a zero no infinito. Para estabelecer a existência de soluções, utilizamos métodos variacionais combinados com desigualdades do tipo Trudinger-Moser em espaços de Lorentz-Sobolev e a técnica de aproximação em dimensão finita.

Cette thèse est motivée par un problème aéronautique: le ballottement du carburantdans des réservoirs d’ailes d’avion très flexibles. Les vibrations induites par le couplagedu fluide avec la structure peuvent conduire à des problèmes tels que l’inconfort des passagers,une manoeuvrabilité réduite, voire même provoquer un comportement instable. Cette thèse apour objectif de développer de nouveaux modèles d’interaction fluide-structure, en mettant enoeuvre la théorie des systèmes Hamiltoniens à ports d’interaction (pHs). Le formalisme pHsfournit d’une part un cadre unifié pour la description des systèmes multi-physiques complexeset d’autre part une approche modulaire pour l’interconnexion des sous-systèmes grâce auxports d’interaction. Cette thèse s’intéresse aussi à la conception de contrôleurs à partir desmodèles pHs. Des modèles pHs sont proposés pour les équations de ballottement du liquide en partantdes équations de Saint Venant en 1D et 2D. L’originalité du travail est de donner des modèlespHs pour le ballottement dans des réservoirs en mouvement. Les ports d’interaction sont utiliséspour coupler la dynamique du ballottement à la dynamique d’une poutre contrôlée par desactionneurs piézo-électriques, celle-ci étant préalablement modélisée sous forme pHs. Aprèsl’écriture des équations aux dérivées partielles dans le formalisme pHs, une approximation endimension finie est obtenue en utilisant une méthode pseudo-spectrale géométrique qui conservela structure pHs du modèle continu au niveau discret. La thèse propose plusieurs extensionsde la méthode pseudo-spectrale géométrique, permettant la discrétisation des systèmesavec des opérateurs différentiels du second ordre d’une part et avec un opérateur d’entrée nonborné d’autre part. Des essais expérimentaux ont été effectués sur une structure constituéed’une poutre liée à un réservoir afin d’assurer la validité du modèle pHs du ballottementdu liquide couplé à la poutre flexible, et de valider la méthode pseudo-spectrale de semi-discrétisation.Le modèle pHs a finalement été utilisé pour concevoir un contrôleur basé surla passivité pour réduire les vibrations du système couplé. / This thesis is motivated by an aeronautical issue: the fuel sloshing in tanksof very flexible wings. The vibrations due to these coupled phenomena can lead to problemslike reduced passenger comfort and maneuverability, and even unstable behavior. Thisthesis aims at developing new models of fluid-structure interaction based on the theory ofport-Hamiltonian systems (pHs). The pHs formalism provides a unified framework for thedescription of complex multi-physics systems and a modular approach for the coupling ofsubsystems thanks to interconnection ports. Furthermore, the design of controllers using pHsmodels is also addressed. PHs models are proposed for the equations of liquid sloshing based on 1D and 2D SaintVenant equations and for the equations of structural dynamics. The originality of the workis to give pHs models of sloshing in moving containers. The interconnection ports are used tocouple the sloshing dynamics to the structural dynamics of a beam controlled by piezoelectricactuators. After writing the partial differential equations of the coupled system using thepHs formalism, a finite-dimensional approximation is obtained by using a geometric pseudospectralmethod that preserves the pHs structure of the infinite-dimensional model at thediscrete level. The thesis proposes several extensions of the geometric pseudo-spectral method,allowing the discretization of systems with second-order differential operators and with anunbounded input operator. Experimental tests on a structure made of a beam connected to atank were carried out to validate both the pHs model of liquid sloshing in moving containersand the pseudo-spectral semi-discretization method. The pHs model was finally used to designa passivity-based controller for reducing the vibrations of the coupled system.

We investigate chaotic ionization of highly excited hydrogen atom in crossed electric and magnetic fields (Rydberg atom) and intra-molecular relaxation in planar carbonyl sulfide (OCS) molecule. The underlying theoretical framework of our studies is dynamical systems theory and periodic orbit theory. These theories offer formulae to compute expectation values of observables in chaotic systems with best accuracy available in given circumstances, however they require to have a good control and reliable numerical tools to compute unstable periodic orbits. We have developed such methods of computation and partitioning of the phase space of hydrogen atom in crossed at right angles electric and magnetic fields, represented by a two degree of freedom (dof) Hamiltonian system. We discuss extensions to a 3-dof setting by developing the methodology to compute unstable invariant tori, and applying it to the planar OCS, represented by a 3-dof Hamiltonian. We find such tori important in explaining anomalous relaxation rates in chemical reactions. Their potential application in Transition State Theory is discussed.

L'étude de la stabilité et de l'instabilité des systèmes hamiltoniens proches de systèmes intégrables est un problème ancien et difficile en systèmes dynamiques.<br /><br /> Il y a deux types de théorèmes :<br /><br /> i) Les résultats of stabilité sur des temps infinis obtenus avec la théorie K.A.M. qui sont valables sur un ensemble de Cantor de grande mesure mais on a très peu d'informations sur les autres trajectoires et même une instabilité importante peut se développer.<br /><br /> ii) D'autre part, des résultats de stabilité sur des ensembles ouverts mais seulement sur un temps exponentiellement long par rapport à la taille de la perturbation.<br /><br /> Ce deuxième type de résultats est du à N.N. Nekhorochev qui a établi en 1977 un théorème de stabilité global en temps exponentiellement long dans le cas où le hamiltonien non perturbé (intégrable) est escarpé. C'est à dire s'il vérifie certaines conditions de transversalité qui sont génériquement satisfaites par les fonctions infiniment différentiables. Notamment, les fonctions convexes sont escarpées. L'étude de cette notion et ses conséquences n'a pas été reprise depuis la démonstration originale de Nekhorochev malgrés la densité de la classe des fonctions escarpées et différents exemples issus de la physique où le hamiltonien intégrable considéré est escarpé mais pas convexe.<br /><br /> Dans ce mémoire, on présente tout d'abord une démonstration notablement simplifiée du théorème de Nekhorochev. Ceci permet d'obtenir des estimations raffinées sur les temps de stabilité qui sont essentiellement optimales dans le cas convexe.<br /><br /> D'autre part, Y. Ilyashenko a donné une caractérisation géométrique des fonctions escarpées dans le cas holomorphe. On reprend cette étude à l'aide d'outils de géométrie sous analytique réelle (lemme de sélection de courbe et exposants de Lojaciewicz). Ceci permet d'étendre le résultat d'Ilyashenko au cas réel et de montrer clairement que les hypothèses d'escarpement sont presques minimales pour assurer la stabilité effective des systèmes hamiltoniens proches d'un système intégrable. On en déduit aussi des méthodes de calcul explicites des constantes intervenant dans ce type de théorème.<br /><br /> Enfin, on montre un théorème de stabilité en temps exponentiellement long pour des systèmes hamiltoniens presques-intégrables avec une condition de non-dégénérescence sur le hamiltonien non perturbé strictement plus faible que la raideur. L'intérêt de ce raffinement vient du fait qu'il permet d'établir un résultat de stabilité générique avec des exposants fixes. Il s'agit de généricité au sens de la mesure (ensembles prévalents suivant la terminologie de Kaloshin) parmi les fonctions réelle-analytiques. Ce résultat est obtenu grâce à l'application d'une version quantitative du théorème de Sard due à Yomdin.

Το κύριο μέρος της διατριβής αρχίζει στο Κεφάλαιο 4 όπου παρουσιάζονται πρωτότυπα ερευνητικά αποτελέσματα της διατριβής που αφορούν στην κανονική και χαοτική δυναμική Χαμιλτώνιων συστημάτων λίγων βαθμών ελευθερίας. Περιγράφονται αποτελέσματα πάνω στη συμπεριφορά δεικτών διάκρισης οργανωμένης και χαοτικής δυναμικής στα συστήματα αυτά και γίνεται σύγκριση με τα αντίστοιχα της διεθνούς βιβλιογραφίας. Τέλος, αναφέρονται αποτελέσματα από τη θεωρία και την εφαρμογή της μεθόδου του Γενικευμένου Δείκτη Ευθυγράμμισης GALI, που αποτελεί ένα από τα πιο βασικά νέα στοιχεία της διατριβής, σε μη ολοκληρώσιμα Χαμιλτώνια συστήματα δύο και τριών βαθμών ελευθερίας. Το Κεφάλαιο 5 ασχολείται με την παρουσίαση πρωτότυπων ερευνητικών αποτελεσμάτων σε Χαμιλτώνια δυναμικά συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας. Εδώ, εισάγονται νέες μέθοδοι για την μελέτη των περιοχών κανονικής και χαοτικής συμπεριφοράς συστημάτων πολλών βαθμών ελευθερίας με σκοπό να κατανοηθεί η συμπεριφορά των συστημάτων αυτών στο θερμοδυναμικό όριο και να δοθεί μια απάντηση στο καίριο ερώτημα αν οι νόμοι της Στατιστικής Μηχανικής ισχύουν στην περίπτωση των πολυδιάστατων Χαμιλτώνιων συστημάτων που εξετάζονται εδώ. Ελέγχεται πως αυξάνουν οι χαοτικές περιοχές γύρω από ασταθείς Απλές Περιοδικές Λύσεις (ΑΠΛ) στον χώρο φάσεων, μετά από μία κρίσιμη τιμή της ολικής ενέργειας, η δε μετάβαση από περιορισμένο σε εκτεταμένο χάος, προκύπτει από το ότι συχνά σε περιοχές διαφορετικών ασταθών ΑΠΛ συγκλίνουν τα αντίστοιχα φάσματα Lyapunov στην ίδια εκθετική συνάρτηση. Υπολογίζοντας κατόπιν το άθροισμα των θετικών εκθετών Lyapunov, που αντιστοιχεί στην εντροπία Kolmogorov - Sinai και διαπιστώνεται ότι για τα συστήματα που εξετάζονται στη διατριβή αυτή, η εντροπία KS αυξάνει γραμμικά, συναρτήσει των βαθμών ελευθερίας N, επιβεβαιώνοντας έτσι ότι είναι εκτεταμένη ποσότητα της Στατιστικής Μηχανικής. Τέλος εισάγεται η νέα μέθοδος του Δείκτη Γραμμικής Εξάρτησης (LDI) για τον διαχωρισμό χαοτικών και οργανωμένων τροχιών και αναφέρονται τα συγκριτικά της πλεονεκτήματα σε σχέση με τις μεθόδους των Κεφαλαίων 3 και 4. Αξίζει επίσης να αναφερθεί ότι πολλά αποτελέσματα της διατριβής μπορούν να εφαρμοσθούν για τη μελέτη της δυναμικής συμπλεκτικών απεικονίσεων, για τις οποίες ο κ .Αντωνόπουλος ανέπτυξε μια νέα μέθοδο που συνδυάζει τη χρήση δικών του μεθόδων και των λεγόμενων Διαφοροεξελικτικών Αλγορίθμων, για την εύρεση της δυναμικής ακτίνας ευστάθειας συμπλεκτικών απεικονίσεων που περιγράφουν επιταχυντές σωματιδίων υψηλών ενεργειών. / The main part of the thesis begins with Chapter 3, where new research results are presented which concern the regular and chaotic dynamics of Hamiltonian systems of few degrees of freedom. Results are described on the behavior of indices distinguishing organized from chaotic motion in these systems and a comparison is made with corresponding results in the international literature. Then, new findings are reported on the theory and application of the method of the Generalized Alignment Index GALI, which is one of the most basic discoveries of the thesis in nonintegrable Hamiltonian systems of 2 and 3 degrees of freedom. Chapter 5 deals with the presentation of original research results in Hamiltonian systems of many degrees of freedom. Here new methods are introduced for the study of regions of regular and chaotic behavior of multi degree of freedom systems with the primary aim of understanding the behavior of these systems in the thermodynamic limit to give an answer to the crucial question of whether the laws of Statistical mechanics hold in the case of multi dimensional Hamiltonian systems. The author studies how chaotic regions increase in size around unstable Simple Periodic Orbits (SPOs) in phase space, beyond a critical value of the energy, while the transition from limited to widespread chaos is indicated by the fact that in regions of different unstable SPOs the corresponding Lyapunov spectra converge to the same exponential – like function. Computing then the sum of the positive Lyapunov exponents, which corresponds to the so called Kolmogorov – Sinai entropy, it is shown that the systems that are studied in this thesis the KS entropy increases linearly as a function of the number of degrees of freedom N, thus confirming that it is an extensive quantity of Statistical Mechanics. Finally, the new method of the Linear Dependence Index (LDI) is introduced for distinguishing between regular and chaotic orbits and its advantages are described when compared with the methods of Chapters 3 and 4. It is worth mentioning also that many of the results of this thesis can be applied to the study of the dynamics of symplectic mappings, for which Mr. Antonopoulos developed a new method which combines his techniques with those of Evolutionary Algorithms, for determining the dynamical aperture radius for the stability of symplectic maps which describe the dynamics of high energy particle accelerators.

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την κλασική δυναμική ατόμου υδρογόνου σε γενικευμένο δυναμικό Van der Waals. Το πρόβλημα ανήκει στην ευρύτερη κατηγορία των μη γραμμικών Χαμιλτώνιων δυναμικών συστημάτων. Σκοπός της μελέτης είναι η ανάλυση των ιδιομορφιών της κανονικής και χαοτικής κίνησης του συστήματος στο μιγαδικό πεδίο του χρόνου και η εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την ολοκληρωσιμότητα και επιλυσιμότητά του. Εκείνο που θέλουμε να κατανοήσουμε, επίσης, είναι τον ρόλο που παίζει η εμφάνιση ιδιομορφιών σε κάποια σημεία του χώρου των φάσεων και κατά πόσο μπορούν αυτές να επηρεάσουν συνολικά τις ιδιότητες των λύσεων. Για πρώτη φορά, επίσης, στην διπλωματική αυτή εργασία εφαρμόζεται σε ένα Χαμιλτώνιο δυναμικό σύστημα μία νέα αριθμητική μέθοδος διάκρισης μεταξύ κανονικής και χαοτικής συμπεριφοράς σε διαφορετικές περιοχές του χώρου φάσεων, η μέθοδος των Μικρότερων Δεικτών Ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Indices method ή SALI). Η μέθοδος αυτή έχει χρησιμοποιηθεί κατά το πρόσφατο παρελθόν σε απεικονίσεις δύο, τεσσάρων και έξι διαστάσεων με πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Χαρακτηριστικά της είναι η αποτελεσματικότητα και η δυνατότητα εξαγωγής χρήσιμων συμπερασμάτων ως προς την κανονική και χαοτική φύση των τροχιών ενός δυναμικού συστήματος με μεγαλύτερη ταχύτητα και αξιοπιστία από την μέθοδο των χαρακτηριστικών εκθετών Lyapunov καθώς και άλλων νεότερων μεθόδων στην σύγχρονη βιβλιογραφία. Εδώ θα παρουσιασθεί η μέθοδος αυτή με ορισμένες βελτιώσεις ώστε να μπορεί να εφαρμοσθεί σε συστήματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων οποιασδήποτε διάστασης ελέγχοντας συστηματικά ένα όσο πυκνό πλέγμα αρχικών συνθηκών του χώρου φάσεων επιθυμούμε, αντιστοιχώντας σε κάθε μία από αυτές ένα χρώμα. Κάθε χρώμα αντιστοιχεί και σε ένα διαφορετικό εύρος τάξεων του SALI δημιουργώντας έτσι μία συνολική εικόνα στο χώρο φάσεων που μας επιτρέπει να γνωρίζουμε τη φύση της τροχιάς κάθε συγκεκριμένης αρχικής συνθήκης. Σχηματίζεται με αυτόν τον τρόπο το "μωσαϊκό" του χώρου φάσεων και αποκαλύπτονται περιοχές κανονικής κίνησης, χαοτικής κίνησης καθώς και νησίδες ή περιοχές στις οποίες δεν αντιστοιχεί καθόλου κίνηση. / In this master thesis we study the classical dynamics of hydrogen atoms in a generalized Van der Waals potential. The problem belongs to the class of non linear Hamiltonian systems. Our aim is the singularity analysis of the ordered and chaotic motion of the system in the complex plain of time and the extraction of valuable conclusions concerning its integrability and solvability. What we want to understand, also, is the role of the emergence of singularities in some points of the phase space of the aforementioned system and how the singularities can affect globally the properties of the solutions. For the first time, in this master thesis, we introduce and apply in a Hamiltonian system a new numerical method for the fast and efficient discrimination between ordered and chaotic motion in different parts of phase space, namely the method of the Smaller Alignment Index (SALI). The method has been introduced and applied recently in mappings of two, four and six dimensions with very satisfactory results. Its main characteristics are the effectiveness and the ability of extracting valuable conclusions about the ordered and chaotic nature of trajectories of a dynamical system faster than the traditional method of Lyapunov exponents as well as of other indices in the bibliography. We will introduce SALI with appropriate modifications that help using it in non linear systems of differential equations of arbitrary dimensions checking systematically a dense grid of initial conditions and corresponding in every orbit a different color. Every color corresponds to a different range of SALI values creating by that way a global picture of the phase space that allows us to know the dynamic nature of initial conditions. By that way, we construct a “mosaic” of the phase space and reveal parts of ordered motion as well as parts of chaotic motion and islands of stability.

The dynamics of Hamiltonian systems (e.g. planetary motion, electron dynamics in nano-structures, molecular dynamics) can be investigated by symplectic maps. While a lot of work has been done for 2D maps, much less is known for higher dimensions. For a generic 4D map regular 2D-tori are organized around a skeleton of families of elliptic 1D-tori, which can be visualized by 3D phase-space slices. An analysis of the different bifurcations of the families of 1D-tori in phase space and in frequency space by computing the involved hyperbolic and elliptic 1D-tori is presented. Applying known results of normal form analysis, both the local and the global structure can be understood: Close to a bifurcation of a 1D-torus, the phase-space structures are surprisingly similar to bifurcations of periodic orbits in 2D maps. Far away the phase-space structures can be explained by remnants of broken resonant 2D-tori. / Die Dynamik Hamilton'scher Syteme (z.B. Planetenbewegung, Elektronenbewegung in Nanostrukturen, Moleküldynamik) kann mit Hilfe symplektischer Abbildungen untersucht werden. Bezüglich 2D Abbildungen wurde bereits umfassende Forschungsarbeit geleistet, doch für Systeme höherer Dimension ist noch vieles unverstanden. In einer generischen 4D Abbildung sind reguläre 2D-Tori um ein Skelett aus Familien von elliptischen 1D-Tori organisiert, was in 3D Phasenraumschnitten visualisiert werden kann. Durch die Berechnung der beteiligten hyperbolischen und elliptischen 1D-Tori werden die verschiedenen Bifurkationen der Familien von 1D-Tori im Phasenraum und im Frequenzraum analysiert. Die Anwendung bekannter Ergebnisse aus Normalformanalysen ermöglicht das Verständnis sowohl des lokalen, als auch des globalen Regimes. Nahe an der Bifurkation eines 1D-Torus sind die Phasenraumstrukturen denen von Bifurkationen periodischer Orbits in 2D Abbildungen überraschend ähnlich. Weit entfernt können die Phasenraumstrukturen als Überreste eines zerplatzten resonanten 2D-Torus erklärt werden.

L'équation de la chaleur est un phénomène macroscopique, émergeant après une limite d’échelle diffusive (en espace et en temps) d’un système d'oscillateurs couplés. Lorsque les interactions entre oscillateurs sont linéaires, l'énergie évolue de manière balistique, et la conductivité thermique est infinie. Certaines non-linéarités doivent donc apparaître au niveau microscopique, si l’on espère observer une diffusion normale. Pour apporter de l'ergodicité, on ajoute à la dynamique déterministe une perturbation stochastique qui conserve l'énergie. En premier lieu nous étudions la dynamique Hamiltonienne d'un système d'oscillateurs linéaires, perturbé par un bruit stochastique dégénéré conservatif. Ce dernier transforme à des temps aléatoires les vitesses en leurs opposées. On montre que l'évolution macroscopique du système est caractérisée par un système parabolique non-linéaire couplé pour les deux lois de conservation du modèle. Ensuite, nous supposons que les oscillateurs évoluent en environnement aléatoire. La perturbation stochastique est très dégénérée, et on prouve que le champ de fluctuations de l'énergie à l'équilibre converge vers un processus d'Ornstein-Uhlenbeck généralisé dirigé par l’équation de la chaleur.Il est désormais connu que les systèmes unidimensionnels présentent une diffusion anormale lorsque le moment total est conservé en plus de l'énergie. Dans une troisième partie, on considère deux perturbations, l'une préservant le moment, l'autre détruisant cette conservation. En faisant décroître l'intensité de la seconde perturbation, on observe une transition de phase entre un régime de diffusion normale et un régime de superdiffusion. / The heat equation is known to be a macroscopic phenomenon, emerging after a diffusive rescaling of space and time. In linear systems of interacting oscillators, the energy ballistically disperses and the thermal conductivity is infinite. Since the Fourier law is not valid for linear interactions, non-linearities in the microscopic dynamics are needed. In order to bring ergodicity to the system, we superpose a stochastic energy conserving perturbation to the underlying deterministic dynamics.In the first part we study the Hamiltonian dynamics of linear coupled oscillators, which are perturbed by a degenerate conservative stochastic noise. The latter flips the sign of the velocities at random times. The evolution yields two conservation laws (the energy and the length of the chain), and the macroscopic behavior is given by a non-linear parabolic system.Then, we suppose the harmonic oscillators to evolve in a random environment, in addition to be stochastically perturbed. The noise is very degenerate, and we prove a macroscopic behavior that holds at equilibrium: precisely, energy fluctuations at equilibrium evolve according to an infinite dimensional Ornstein-Uhlenbeck process driven by the linearized heat equation.Finally, anomalous behaviors have been observed for one-dimensional systems which preserve momentum in addition to the energy. In the third part, we consider two different perturbations, the first one preserving the momentum, and the second one destroying that new conservation law. When the intensity of the second noise is decreasing, we observe (in a suitable time scale) a phase transition between a regime of normal diffusion and a regime of super-diffusion.

Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Ketty Abaroa de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T14:10:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Martins_RicardoMiranda_M.pdf: 921623 bytes, checksum: 8098f5c4875b6b586865b92ec6e474a0 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: A semelhança entre sistemas reversíveis e Hamiltonianos foi detectada nos primórdios do século passado por Birkhoff. Neste trabalho realizamos uma análise geométrica-qualitativa da dinâmica de um campo de vetores reversível em torno de um ponto de equilíbrio elíptico em R4. Especificamente, estudamos quando um campo reversível com tal tipo de equilíbrio é "equivalente" a um sistema Hamiltoniano. Como resultado, obtemos que tal sistema é Hamiltoniano, a menos de uma seqüência de mudanças de coordenadas e reescalonamentos do tempo. Prosseguindo a análise, impomos outra simetria ao campo e passamos a considerar sistemas bireversíveis. Classificamos completamente as possíveis simetrias que tornam um sistema bireversível por involuções gerando um grupo isomorfo a D4. Para tais sistemas, obtemos resultados um pouco mais fortes que os obtidos para sistemas reversíveis / Abstract: The similarity between reversible and Hamiltonian systems has been detected at the beginning of the past century by Birkhoff. In this project, we describe a geometrical-qualitative analysis of the dynamics of a reversible vector field around a elliptical singularity in R4. Specifically, we study when such a reversible vector field is "equivalent" to a Hamiltonian system. As a result, we obtain that such systems are always Hamiltonian, up to a sequence of changes of coordinates and time rescaling. Imposing another symmetry to the vector field, we work with bireversible systems. We completely classify all the possible symmetries which makes such systems bireversible by involutions generating a group isomorphic to D4. For these systems, we have obtained stronger results than in the reversible case / Mestrado / Sistemas Dinamicos / Mestre em Matemática