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Our symposium will bring together experts from the German and international 'Inverse Problems Community' and young scientists. The focus will be on ill-posedness phenomena, regularization theory and practice, and on the analytical, numerical, and stochastic treatment of applied inverse problems in natural sciences, engineering, and finance.

There are various ways to regularize ill-posed operator equations in Hilbert space. If the underlying operator is accretive then Lavrentiev regularization (singular perturbation) is an immediate choice. The corresponding convergence rates for the regularization error depend on the given smoothness assumptions, and for general accretive operators these may be both with respect to the operator or its adjoint. Previous analysis revealed different convergence rates, and their optimality was unclear, specifically for adjoint source conditions. Based on the fundamental study by T. Kato, Fractional powers of dissipative operators. J. Math. Soc. Japan, 13(3):247--274, 1961, we establish power type convergence rates for this case. By measuring the optimality of such rates in terms on limit orders we exhibit optimality properties of the convergence rates, for general accretive operators under direct and adjoint source conditions, but also for the subclass of nonnegative selfadjoint operators.

This is a book on numerical methods for singular perturbation problems - in particular stationary convection-dominated convection-diffusion problems. More precisely it is devoted to the construction and analysis of layer-adapted meshes underlying these numerical methods. An early important contribution towards the optimization of numerical methods by means of special meshes was made by N.S. Bakhvalov in 1969. His paper spawned a lively discussion in the literature with a number of further meshes being proposed and applied to various singular perturbation problems. However, in the mid 1980s this development stalled, but was enlivend again by G.I. Shishkin's proposal of piecewise- equidistant meshes in the early 1990s. Because of their very simple structure they are often much easier to analyse than other meshes, although they give numerical approximations that are inferior to solutions on competing meshes. Shishkin meshes for numerous problems and numerical methods have been studied since and they are still very much in vogue. With this contribution we try to counter this development and lay the emphasis on more general meshes that - apart from performing better than piecewise-uniform meshes - provide a much deeper insight in the course of their analysis. In this monograph a classification and a survey are given of layer-adapted meshes for convection-diffusion problems. It tries to give a comprehensive review of state-of-the art techniques used in the convergence analysis for various numerical methods: finite differences, finite elements and finite volumes. While for finite difference schemes applied to one-dimensional problems a rather complete convergence theory for arbitrary meshes is developed, the theory is more fragmentary for other methods and problems and still requires the restriction to certain classes of meshes.

Le travail effectué au cours de cette thèse porte sur l'inversion de données ultrasonores. Le contexte industriel en est le contrôle non destructif des cuves de réacteurs à eau pressurisée. Ces contrôles visent à détecter et caractériser des fissures. Les données ultrasonores se présentent sous la forme d'échographies obtenues à l'aide d'un capteur fonctionnant en émission-réception. Les fissures sont détectées par diffraction de leurs arêtes. L'analyse des données obtenues est rendue difficile du fait de l'existence d'un revêtement dont la surface est irrégulière et dont le matériau diffère du matériau constitutif de la cuve. Une méthode est ici proposée pour localiser avec précision les arêtes diffractantes et donc permettre un dimensionnement des fissures à partir des échographies ultrasonores obtenues. Cette méthode s'appuie sur l'application d'outils de modélisation de la propagation et de la diffraction des ultrasons prenant en compte à la fois le caractère irrégulier de la surface et la nature hétérogène du composant. La méthode développée a fait l'objet d'une implémentation informatique et a pu être testée sur un ensemble de cas représentatifs. En particulier, ses performances ont été évaluées à partir de l'analyse de résultats expérimentaux. La précision obtenue en laboratoire sur les cas expérimentaux traités est conforme à la demande industrielle qui a motivé cette étude.

On considère des équations elliptiques semilinéaires simples de la forme Lu = F(x,u), où L est le Laplacien usuel avec condition de Dirichlet sur un ouvert borné régulier de R^n et où F peut être singulière en la variable x. On obtient notemment un critère exact pour l'existence de solutions, qui se traduit par l'apparition d'un nouvel exposant critique dans les applications.

Le champ magnétique des étoiles joue un rôle essentiel dans leur évolution interne et dans l'interaction qu'elles entretiennent avec leur environnement. Il se manifeste, entre autre, par l'existence de structures inhomogènes à leur surface. Hélas à de rares exceptions la résolution des télescopes reste insuffisante pour les résoudre spatialement. Ceci oblige donc à se tourner vers des méthodes indirectes. Telle est le but de l'imagerie Doppler. Après un exposé détaillé du principe de l'imagerie Doppler et quelques rappels sur la tomographie - transformée de Radon classique - nous montrons que cette technique astrophysique peut être traduite en termes de transformée de Radon généralisée. Cette réécriture du problème inverse d'imagerie Doppler permet d'étudier l'identifiabilité. Nous en déduisons, en particulier, l'existence de fonctions radiales du noyau. Des codes numériques performants utilisés classiquement en tomographie sont ensuite adaptés à notre type de mesure. Ils permettront de mieux caractériser les fonctions du noyau déduites de l'étude précédente. Nous nous intéressons ensuite à la géométrie d'échantillonnage des mesures en imagerie Doppler. Pour cela, nous étendons les résultats de schémas d'échantillonnage de la transformée de Radon classique à la transformée de Radon généralisée invariante par rotation avec fonction poids polynomiales. Ce résultat peut être appliqué à deux cas singuliers en imagerie Doppler. Par ailleurs, nous présentons les enjeux astrophysiques de l'imagerie Doppler : dans un premier temps sont résumées diverses manifestations du champ magnétique dans l'activité des étoiles, en particulier des étoiles jeunes T Tauri ainsi que le rôle de ce champ dans certains modèles d'évolution. Dans un deuxième temps sont données diverses techniques permettant d'estimer l'activité magnétique, parmi lesquelles l'imagerie Doppler dont la spécificité est soulignée. Enfin, cette technique est appliquée sur des données réelles issues d'observations que nous avons menées à l'Observatoire de Haute Provence. Des structures en surface sont déduites et les résultats sont discutés.

Dans la premiere partie de cette these, on a etudie l'impact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite. Dans les modeles de diffusion utilises ennance, un coefficient de diffusion fonctinnelle (:; :) modelise la volatilite d'un actif financier. Ce coefficient est estime a partir d'observations donc entache d'erreurs statistiques. L'objectif est de voir l'impact de ces erreurs sur le calcul de prix d'options, qui sont solutions d'EDP paraboliques dont l'estimateur (:; :) est le coefficient de diffusion. Cela debouche sur un probleme de passage a la limite (homogeneisation) dans des equations paraboliques a coefficients aleatoires. Dans ce travail on a obtenu des estimations de la vitesse de convergence locale sur la solution d'une EDP parabolique a coefficients aleatoire, lorsque le coefficient de diffusion est un champ aleatoire convergeant vers une fonction limite. Ce resultat permet d'etudier l'im- pact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite dans differents cas degures. Cette methode est appliquee pour evaluer l'incertitude sur les options a barrieres dans un modele de diffusion lorsqu'on reconstitue la volatilite par la formule de Dupire a partir des donnees discretes sur les prix d'options. La deuxieme partie de cette these concerne l'etude de problemes inverses pour certaine classe d'equations d'evolution integro-differentielles survenant dans l'etude des modeles d'evaluation bases sur les processus de Levy. On a etudie une approche de ces problemes inverses par regularisation de Tikhonov. Cette approche permet de reconstruire de facon stable les parametres d'un modele markovien avec sauts a partir de l'observation d'un nombre ni d'options. Le chapitre 4 pose les bases theoriques de cette approche et propose une parametrisation des mesures de Levy par la racine carree de la densite, ce qui permet de ramener le probleme dans un cadre hilbertien. La regularisation de Tikhonov proposee consiste a minimiser l'ecart quadratique par rapport aux prix observ es plus une norme hilbertienne des parametres. Des resultats d'existence, de stabilite et de convergence de la solution du probleme regularise sont alors obtenus sous de hypotheses assez generales ; des hypotheses supplementaires (conditions de source) permettent d'obtenir une estimation de la vitesse de convergence. Le choix du parametre de regularisation, sujet delicat, fait l'objet d'une discussion detaillee. Le chapitre 5 propose un algorithme numerique pour le calcul de la solution du probleme regularise et l'etude du performance de cet algorithme dans differents modeles avec sauts. L'algorithme est base sur l'emploi d'un algorithme de gradient pour la minimisation de la fonctionnelle regularisee : le gradient est calcule en resolvant une equation integrodifferentielle avec terme source (equation adjointe). Ce travail generalise ceux de Lagnado&Osher, Crepey et Egger & Engl au cas des equations integrodifferentielles. Les tests numeriques montrent que cet algorithme permet de construire de facon stable un processus de Levy calibre a un ensemble de

Tester la compatibilité cinématique de la géométrie d'une surface de faille (1) et la géométrie d'une écaille qui glisse le long de celte surface de faille (2) est un problème compliqué que nous avons partiellement résolu. Nous avons considéré le problème (1) dans le contexte de blocs rigides et le problème (2) pour une écaille plissée. Nous proposons un critère de moindres carrés permettant de contraindre ia forme des failles de façon compatible avec l'approximation blocs rigides, i.e., les deux" blocs restent en contact et glissent l'un sur l'autre sans déformation. Si celle condition est satisfaite, la surface de faille est un filetage, i.e., une surface qui est partout tangente à un champ de vecteurs (torseur) non nul. Nous contraignons la surface à être le plus près possible des points de données (données de puits ou données sismiques), et régulière (minimisation des courbures principales). Le critère de filetage donne des résultats plus plausibles que la minimisation d'un critère basé seulement sur des dérivées secondes ou sur la matrice de courbure. Il donne aussi une direction de stries. Nous avons testé l'effet de ce critère sur différents exemples naturels (les failles de la Cléry et de San Cayetano). La restauration d'une structure géologique à une époque antérieu!e est un bon moyen de critiquer et d'améliorer l'interprétation de la structure actuelle. Nous nous sommes intéressés au glissement banc sur banc avec conservation des longueurs et du volume. Nous avons déplié un feuilletage par optimisation de différents critères de moindres carrés : horizontalité des isochrones, conservation des longueurs et du volume. Nous avons introduit des contraintes d'égalilé pour traduire la conservation de la reliure (pin-surface). La reliure représente une surface transverse à l'ensemble des feuilles de la structure conservée après dépliage. Nous avons testé notre formulation sur des exemples synthétiques et expérimentaux.

In Zeiten von PISA-Vergleichsstudien sind die sozialen Probleme Jugendlicher im Zusammenhang mit der Globalisierung, insbesondere in Osteuropa, etwas aus dem Blick geraten. Rund 20 Jahre nach dem Systemumbruch in Mittel- und Osteuropa stellt sich jedoch die Frage, was Jugendliche in Polen, Russland und Deutschland vereint bzw. noch trennt. Dieser zentralen Frage geht der vorliegende Band – anhand eines Kulturvergleichs – in drei Länderbeiträgen nach und untersucht Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Jugendlichen hinsichtlich deren Einstellungen, Lebens- und Wertvorstellungen u. ä. Angesichts „unsicherer Zeiten“ ist davon auszugehen, dass die sozialen Probleme Jugendlicher auch künftig nicht geringer werden. Deshalb wird die Beobachtung, Analyse und Begleitung der Jugendentwicklung in Osteuropa eine wichtige Aufgabe bleiben – sowohl für Sozial- und Bildungsforscher als auch für Lehrer, Erzieher und Sozialarbeiter. / In times of PISA-comparison studies the social problems of young people in the context of globalization, particularly in Eastern Europe, are out of sight. 20 years after the system change in Central and Eastern Europe raises the question of what unites or even separates young people in Poland, Russia and Germany (20 years after the system change in Central and Eastern Europe the question of what unites or still separates young people in Poland, Russia and Germany raises). This question is central to the present volume - in three countries to contributions and examines the similarities and differences between young people regarding their attitudes, life and values, etc. - on the basis of a cultural comparison (The present volume follows this question by means of three country contributions – on the basis of a cultural comparison – to examine similarities and differences between young people regarding their attitudes, outlooks on life and values). In view of "uncertain times" it is assumed that the social problems of young people will not decrease. Therefore, the observation, analysis and monitoring of youth development in Eastern Europe will remain an important task - for both social and educational researchers and for teachers, educators and social workers.