Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Les travaux présentés dans cette thèse concernent le problème d'identification des systèmes à retards et d'une certaine classe de systèmes hybrides appelés systèmes "impulsifs".Dans la première partie, un algorithme d'identification rapide a été proposé pour les systèmes à entrée retardée. Il est basé sur une méthode d'estimation distributionnelle non asymptotique initiée pour les systèmes sans retard. Une telle technique mène à des schémas de réalisation simples, impliquant des intégrateurs, des multiplicateurs et des fonctions continues par morceaux polynomiales ou exponentielles. Dans le but de généraliser cette approche pour les systèmes à retard, trois exemples d'applications ont été étudiées. La deuxième partie a été consacrée à l'identification des systèmes impulsifs. En se basant sur le formalisme des distributions, une procédure d'identification a été élaborée afin d'annihiler les termes singuliers des équations différentielles représentant ces systèmes. Par conséquent, une estimation en ligne des instants de commutations et des paramètres inconnus est prévue indépendamment des lois de commutations. Des simulations numériques d'un pendule simple soumis à des frottements secs illustrent notre méthodologie / This PhD thesis concerns the problem of identification of the delays systems and the continuous-time systems subject to impulsive terms.Firstly, a fast identification algorithm is proposed for systems with delayed inputs. It is based on a non-asymptotic distributional estimation technique initiated in the framework of systems without delay. Such technique leads to simple realization schemes, involving integrators, multipliers andContribution to the identification of time delays systems and a class of hybrid systems piecewise polynomial or exponential time functions. Thus, it allows for a real time implementation. In order to introduce a generalization to systems with input delay, three simple examples are presented.The second part deals with on-line identification of continuous-time systems subject to impulsive terms. Using a distribution framework, a scheme is proposed in order to annihilate singular terms in differential equations representing a class of impulsive systems. As a result, an online estimation of unknown parameters is provided, regardless of the switching times or the impulse rules. Numerical simulations of simple pendulum subjected to dry friction are illustrating our methodology

Pour les solutions transitoires répétées des structures géométriquement nonlinéaires l’effort numérique présente souvent une contrainte importante. Ainsi, l’introduction d’un modèle d’ordre réduit, qui prend en compte les effets nonlinéaires et qui accélère considérablement les calculs, s’avère souvent nécessaire.Ce travail aboutit à une méthode qui permet des solutions transitoires accélérées, fidèles et paramétrables, à travers d’un modèle réduit de la structure initiale. La structure est discrétisée et son équilibre dynamique décrit par une équation matricielle. La projection sur une base réduite est introduite afin d’obtenir un modèle réduit. Une étude numérique complète sur plusieurs bases communes démontre que la simple introduction d’une base constante ne suffit pas pour prendre en compte le comportement nonlinéaire. Trois exigences sont déduites pour une solution transitoire accélérée, fidèle et paramétrable. L’algorithme de solution doit permettre un suivi de l’évolution nonlinéaire de la solution transitoire, la solution doit être autonome des termes nonlinéaires en éléments finis et la base doit être adaptée à des paramètres externes.Trois approches sont mises en place, chacune répondant à une exigence. Ces approches sont assemblées dans la méthode intégrée. Les approches sont la mise-à-jour et augmentation de la base , la formulation polynomiale des termes nonlinéaires et l’interpolation de la base. Un algorithme de type Newmark forme le cadre de la méthode intégrée. L’application de la méthode intégrée sur des cas test en élément finis géométriquement nonlinéaires confirme qu’elle répond au but initial d’obtenir des solutions transitoires accélérées, fidèles et paramétrables. / For repeated transient solutions of geometrically nonlinear structures the numerical effort often poses a major obstacle. Thus, the introduction of a reduced order model, which takes the nonlinear effects into account and accelerates the calculations considerably, is often necessary.This work yields a method that allows for rapid, accurate and parameterisable solutions by means of a reduced model of the original structure. The structure is discretised and its dynamic equilibrium described by a matrix equation. The projection on a reduced basis is introduced to obtain the reduced model. A comprehensive numerical study on several common reduced bases shows that the simple introduction of a constant basis is not sufficient to account for the nonlinear behaviour. Three requirements for an rapid, accurate and parameterisable solution are derived. The solution algorithm has to take into account the nonlinear evolution of the solution, the solution has to be independent of the nonlinear finite element terms and the basis has to be adapted to external parameters.Three approaches are provided, each responding to one requirement. These approaches are assembled to the integrated method. The approaches are the update and augmentation of the basis, the polynomial formulation of the nonlinear terms and the interpolation of the basis. A Newmark-type time-marching algorithm provides the frame of the integrated method. The application of the integrated method on test-cases with geometrically nonlinear finite elements confirms that this method leads to the initial aim of a rapid, accurate and parameterisable transient solution.

Thème souvent oublié des réformes récentes de notre organisation territoriale, le droit patrimonial intercommunal n’est pourtant pas un non-sujet tant les enjeux l’entourant sont essentiels. Essentiels, d’une part, pour l’établissement public de coopération intercommunale et ses membres : exercice optimal des compétences et valorisation des biens sont les principaux défis que permet de relever le droit patrimonial intercommunal. Essentiels, d’autre part, pour l’État et le législateur : parvenir à un exercice cohérent des compétences tout en achevant et rationnalisant la carte intercommunale sans se préoccuper des impacts patrimoniaux paraît difficilement réalisable. Nous sommes donc convaincus que le droit patrimonial intercommunal doit devenir un véritable outil stratégique pour l’ensemble des acteurs de la coopération intercommunale. Si nous ajoutons à ces premières observations la circonstance que les règles composant ce que nous dénommons le droit patrimonial intercommunal ont peu changé depuis 1999 alors même que la coopération intercommunale et le contexte législatif dans lequel ses structures évoluent (l’entrée en vigueur du Code Général de la Propriété des Personnes Publiques en étant la parfaite illustration) ont connu de nombreux bouleversements, se pencher sur ce droit quelque peu particulier devient une nécessité. / Albeit oftentimes overlooked in French territorial organization reforms, inter-municipal property law is an essential topic with much at stake for various actors. Firstly, it is essential for inter-municipal cooperation syndicates and their members, for that it allows for the optimal exercise of competences and better use of goods. Secondly, it is essential for the state and the legislator: a coherent exercise of competences along with their rational distribution amongst local authorities can hardly go without considering impacts on property. Consequently, we are convinced that inter-municipal property law is a true strategical instrument for all the actors partaking in cooperation between towns. Additionally, if one considers that the rules that constitute what we call inter-municipal property law have not changed much since 1999, whilst the legal framework in which inter-municipal syndicates are placed has considerably evolved (the entry into force of the General Code for Public Legal Persons’ property being a perfect example), studying this somewhat peculiar field of law appears necessary.

Cette thèse est consacrée à la théorie spectrale de quelques opérateurs de transport et le comportement asymptotique (pour les temps grands) des solutions des problèmes de Cauchy gouvernés par ces derniers. Dans la première partie, on s'est intéressé aux propriétés spectrales des opérateurs d'advection et de transport des neutrons dans le cadre multidimensionnel pour des conditions aux limites générales. Après avoir établi un résultat de compacité de type lemmes de moyenne indispensable dans notre analyse, on a donné entre autre une description fine du spectre asymptotique de l'opérateur de transport. Ce travail a été complété par l'étude des propriétés de régularité et le comportement asymptotique de la solution du problème de Cauchy gouverné par l'opérateur de transport étudié précédemment pour des conditions aux limites de type bounce-back plus un opérateur compact dans l'espace L^1. Ensuite, on a étudié le caractère bien posé et le comportement asymptotique de la solution d'une équation de transport des neutrons avec des sections efficaces non bornées. Contrairement à la première partie, l'analyse de ce problème nécessite l'usage d'une théorie de perturbation de Miyadera-Voigt pour les opérateurs non bornés. La dernière partie de ce travail porte sur un problème linéaire issu d'un modèle introduit en 1974 par Lebowitz et Rubinow décrivant la prolifération d'une population de cellules structuré par l'âge et la longueur du cycle. Notre analyse a porté sur le cas où la longueur du cycle maximale est infinie. / This thesis is devoted to the spectral theory and the time asymptotic behavior of the solution to Cauchy problems governed by various transport operators. In the first part, we discussed the spectral properties of streaming and transport operators in finite bodies with general boundary conditions. After establishing a compactness result essential to our analysis, we gave a fine description of the asymptotic spectrum of the transport operator. We also derive the regularity and the asymptotic behavior of the solution to Cauchy problem governed by the transport operator supplemented by bounce-back boundary conditions plus a compact operator in the space L^1. In the second part, we discussed the well-posedness and the asymptotic behavior of the solution to Cauchy problem governed by a singular transport operator. Unlike the first part, the analysis of this problem requires the use of Miyadera-Voigt perturbation theory for unbounded operators. In the last part of this work, a Cauchy problem governed by a linear operator introduced by Lebowitz and Rubinow describing a proliferating cell population structured by age and the cycle length was considered. Here our analysis was devoted to the case where the maximum cycle length is infinite.

Cette thèse étudie la coloration d'arcs et de cycles dans les graphes orientés. Elle se concentre sur les sujets suivants : la coloration propre d'arcs avec des sommet-distingué dans les graphes orientés, les cycles courts dans les graphes orientés avec des sous-graphes interdits, les cycles sommet-disjoints dans dans les tournois bipartis, les cycle-facteurs dans les tournois bipartis régulier et les arcs universels dans les tournois. La thèse est basée sur cinq articles originaux publiés ou présentés dans des journaux. Les principaux résultats sont les suivants. Nous introduisons la coloration propre d'arcs avec des sommet-distingué dans les graphes orientés. Nous avons proposé une conjecture sur le nombre arc-chromatique sommet-distingué et nous avons aussi donné quelque résultats partiels. Nous avons étendu un résultat de Razborov en prouvant que la conjecture de Caccetta-Häggkvist est vraie pour certains graphes orientés avec des sous-graphes interdits. Nous avons montré que chaque tournoi biparti avec degré sortant minimum au moins qr-1 contient r cycles de sommets-disjoints de toutes longueurs possibles. Le cas spécial q=2 confirme le cas du tournoi biparti de la conjecture de Bermond-Thomassen. Nous avons montré que chaque tournoi biparti k-régulier avec k>2 que l'on notera B a deux cycles complémentaires de longueurs 6 et |V(B)-6|, à moins que B soit isomorphe à un graphe spécifique, étayant ainsi une conjecture sur des 2-cycles-facteurs dans les tournois bipartis. En outre, nous montrons que tous les tournois bipartis réguliers ont un k-cycle-facteur. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un arc universel dans un tournoi et nous caractérisons tous les tournois où chaque arc est universel. / In this thesis, we study arc colorings and cycles in digraphs. The following topics are considered: vertex-distinguishing proper arc colorings in digraphs, short cycles in digraphs with forbidden subgraphs , disjoint cycles in bipartite tournaments, cycle factors in regualr bipartite tournaments and universal arcs in tournaments. The main results are contained in five original articles published or submitted to an international journal. We introduce vertex-distinguishing proper arc colorings of digraphs. A conjecture on the vertex-distinguishing arc-chromatic number is given and some partial results are obtained. We extend a result of Razborov by proving that the Caccetta-Häggkvist conjecture is true for digraphs with certain induced forbidden subgraphs or with certain forbidden subgraphs. We show that every bipartite tournament with minimum outdegree at least qr-1 has r vertex disjoint cycles of any given possible lengths. The special case q=2 of the result verifies the bipartite tournament case of the Bermond-Thomassen conjecture. As a partial support of a conjecture on 2-cycle-factors in bipartite tournaments, we prove that every k-regular bipartite tournament B with k>2 has two complementary cycles of lengths 6 and |V(B)|-6, unless B is isomorphic to a special digraph. Besides, we show that every k-connected regular bipartite tournament has a k-cycle-factor. We also give a sufficient and necessary condition for the existence of a universal arc in a tournament and characterize all the tournaments in which every arc is universal.

La mécanique computationnelle est un outil incontournable pour le monde de l’ingénierie mécanique. Motivé par un désir de réalisme et soumis à un perpétuel gigantisme, les modèles numériques doivent aujourd’hui inclure des phénomènes physiques de plus en plus complexes. Par conséquence, d’importantes capacités calculatoires sont requises afin de traiter des problèmes à la fois non-linéaires mais aussi de grande taille. Pour atteindre cet objectif, il convient de développer les stations de calculs mais aussi les méthodes algorithmiques utilisées afin de résoudre efficacement ces types de problèmes. Récemment, les méthodes de réduction de modèle se révèlent comme d’excellentes options au développement d’algorithmes de résolution performants. Le problème du contact frottant entre solides élastiques est particulièrement bien connu pour sa complexité et dont les temps de calcul peuvent devenir prohibitifs. En effet, les lois qui le régissent sont très hautement non-linéaires (non différentiables). Dans ce mémoire, nous nous proposons d’appliquer différentes méthodes de réduction de modèle (a posteriori et a priori) à ce type de problème afin de développer des méthodes de calculs accélérées dans le cadre de la méthode des éléments finis. Tout d’abord, en se plaçant dans le cadre des petites perturbations en évolution quasistatique, la réductibilité de diverses solutions impliquant du contact frottant est mise en évidence via leur décomposition en valeur singulière. De plus, leur contenu à échelle séparée est exhibé. La méthode non-incrémentale et non-linéaire à large incrément de temps (LATIN) est par la suite présentée. Dans un second temps et à partir des observations faites précédemment, une méthode LATIN accélérée est proposée en s’inspirant des méthodes multigrilles non-linéaires de type “full approximation scheme” (FAS). Cette méthode s’apparente en partie aux méthodes de réduction de modèle de type a posteriori. De plus, une stratégie de calcul de modes à partir d’un modèle de substitution est proposée. Par la suite, la décomposition propre généralisée (PGD) est utilisée afin de développer une méthode de résolution non-linéaire efficace reposant fondamentalement sur une approche de réduction de modèle de type a priori. Enfin, quelques extensions sont proposées telle que la résolution de problème faisant intervenir des études paramétriques, ou encore la prise en charge de non-linéarités supplémentaires telle que la plasticité. / Computational mechanics is an essential tool for mechanical engineering purposes. Nowadays, numerical models have to take into account complex physical phenomenons to be even more realistic and become larger and larger. As a consequence, more and more computing capacities are required in order to tackle not only non-linear problems but also large scale problems. For that purpose, both computers and numerical methods have to be developed in order to solve them efficiently. In the last decades, model reduction methods show great abilities to assign such challenges. The frictional contact problem between elastic solids is particularly well-known for its difficulty. Because its governing laws are highly non-linear (non-smooth), prohibitive computational time can occur. In this dissertation, model reduction methods (both a posteriori and a priori approaches) are deployed in order to implement efficient numerical methods to solve frictional contact problem in the finite element framework. First, small perturbations hypothesis with a quasi-static evolution are assumed. Then, reducibility of some frictional solutions is emphasized and discussed using the singular value decomposition. In addition, a scale separability phenomenon is enlightened. Then, the non-linear large time increment method (LATIN) is introduced. Secondly, an accelerated LATIN method is suggested by drawing an analogy between previous scale separability observations and the non-linear multigrid full approximation scheme (FAS). This accelerated non-linear solver relies essentially on the a posteriori model reduction approach. A precomputation strategy for modes relying on surrogate models is also suggested. Next, the proper generalized decomposition (PGD) is used to implement a non-linear solver relying fundamentally on an a priori model reduction method. Finally, some extensions are given to assign parametric studies and to take into account an additional non-linearity such as elastoplastic constitutive laws.

Au cours des dernières décennies, les fournisseurs de services (SP) ont eu à gérer plusieurs générations de technologies redéfinissant les réseaux et nécessitant de nouveaux modèles économiques. Cette évolution continue du réseau offre au SP l'opportunité d'innover en matière de nouveaux services tout en réduisant les coûts et en limitant sa dépendance auprès des équipementiers. L'émergence récente du paradigme de la virtualisation modifie profondément les méthodes de gestion des services réseau. Ces derniers évoluent vers l'intégration d'une capacité « à la demande » dont la particularité consiste à permettre aux clients du SP de pouvoir les déployer et les gérer de manière autonome et optimale. Pour offrir une telle souplesse de fonctionnement, le SP doit pouvoir s'appuyer sur une plateforme de gestion permettant un contrôle dynamique et programmable du réseau. Nous montrons dans cette thèse qu'une telle plate-forme peut être fournie grâce à la technologie SDN (Software-Defined Networking). Nous proposons dans un premier temps une caractérisation de la classe de services réseau à la demande. Les contraintes de gestion les plus faibles que ces services doivent satisfaire sont identifiées et intégrées à un modèle abstrait de leur cycle de vie. Celui-ci détermine deux vues faiblement couplées, l'une spécifique au client et l'autre au SP. Ce cycle de vie est complété par un modèle de données qui en précise chacune des étapes. L'architecture SDN ne prend pas en charge toutes les étapes du cycle de vie précédent. Nous introduisons un Framework original qui encapsule le contrôleur SDN, et permet la gestion de toutes les étapes du cycle de vie. Ce Framework est organisé autour d'un orchestrateur de services et d'un orchestrateur de ressources communiquant via une interface interne. L'exemple du VPN MPLS sert de fil conducteur pour illustrer notre approche. Un PoC basé sur le contrôleur OpenDaylight ciblant les parties principales du Framework est proposé.Nous proposons de valoriser notre Framework en introduisant un modèle original de contrôle appelé BYOC (Bring Your Own Control) qui formalise, selon différentes modalités, la capacité d'externaliser un service à la demande par la délégation d'une partie de son contrôle à un tiers externe. Un service externalisé à la demande est structurée en une partie client et une partie SP. Cette dernière expose à la partie client des API qui permettent de demander l'exécution des actions induites par les différentes étapes du cycle de vie. Nous illustrons notre approche par l'ouverture d'une API BYOC sécurisée basée sur XMPP. La nature asynchrone de ce protocole ainsi que ses fonctions de sécurité natives facilitent l'externalisation du contrôle dans un environnement SDN multi-tenant. Nous illustrons la faisabilité de notre approche par l¿exemple du service IPS (système de prévention d'intrusion) décliné en BYOC. / Over the past decades, Service Providers (SPs) have been crossed through several generations of technologies redefining networks and requiring new business models. The ongoing network transformation brings the opportunity for service innovation while reducing costs and mitigating the locking of suppliers. Digitalization and recent virtualization are changing the service management methods, traditional network services are shifting towards new on-demand network services. These ones allow customers to deploy and manage their services independently and optimally through a well-defined interface opened to the SP¿s platform. To offer this freedom to its customers, the SP must be able to rely on a dynamic and programmable network control platform. We argue in this thesis that this platform can be provided by Software-Defined Networking (SDN) technology.We first characterize the perimeter of this class of new services. We identify the weakest management constraints that such services should meet and we integrate them in an abstract model structuring their lifecycle. This one involves two loosely coupled views, one specific to the customer and the other one to the SP. This double-sided service lifecycle is finally refined with a data model completing each of its steps.The SDN architecture does not support all stages of the previous lifecycle. We extend it through an original Framework allowing the management of all the steps identified in the lifecycle. This Framework is organized around a service orchestrator and a resource orchestrator communicating via an internal interface. Its implementation requires an encapsulation of the SDN controller. The example of the MPLS VPN serves as a guideline to illustrate our approach. A PoC based on the OpenDaylight controller targeting the main parts of the Framework is proposed. We propose to value our Framework by introducing a new and original control model called BYOC (Bring Your Own Control) which formalizes, according to various modalities, the capability of outsourcing an on-demand service by the delegation of part of its control to an external third party. An outsourced on-demand service is divided into a customer part and an SP one. The latter exposes to the former APIs which allow requesting the execution of the actions involved in the different steps of the lifecycle. We present an XMPP-based Northbound Interface (NBI) allowing opening up a secured BYOC-enabled API. The asynchronous nature of this protocol together with its integrated security functions, eases the outsourcing of control into a multi-tenant SDN framework. We illustrate the feasibility of our approach through a BYOC-based Intrusion Prevention System (IPS) service example.

Ce travail porte sur l'étude expérimentale et numérique de jets coaxiaux de rapports de vitesses débitantes intérieure/extérieure) inférieurs à l’unité, présentant une rotation dans le jet annulaire. Dans un premier temps, des visualisations par tomographie laser ont été réalisées dans les plans méridien et transversaux permettant une description tridimensionnelle de l'écoulement. Pour différents nombres de Reynolds, de rapport de vitesses et de nombre de Swirl, un inventaire des modes dominants a pu être établi. Les champs instantanés de vitesses ont ensuite été mesurés par Vélocimétrie par Imagerie de Particules (PIV). Les résultats de mesures de vitesses longitudinales et azimutales moyennées en temps sont présentés. Une comparaison avec les structures observées par tomographie est proposée. Une décomposition de Fourier a été effectuée permettant d'identifier les modes dominants ainsi que leur position dans la direction radiale. L'approche expérimentale a été suivie par une analyse de stabilité linéaire. Une attention particulière est portée sur l'état de base stationnaire reconstruit à partir des profils de vitesses mesurées par PIV à la sortie du jet. Étant donné que l'écoulement est non parallèle, une approche globale de la stabilité est utilisée. L'étude de la stabilité est basée sur la résolution numérique des équations de Navier-Stokes par des méthodes pseudo-spectrales. L'objectif de cette analyse est de retrouver la carte en mode de Fourier azimutaux observée expérimentalement. Nous nous sommes donc intéressés au taux de croissance le plus élevé de la perturbation pour chaque mode azimutal ainsi qu'à la nature convective/ absolue des modes. Pour finir, une com / This work concerns the experimental and numerical study of coaxial jets with outer to inner velocity ratio lower than unity, presenting a rotation in the annular jet. At first, flow visualizations by tomography laser were used in the meridian and transverse plans in order to provide a spatial description of the flow. For various values of the nondimensional parameters : numbers of Reynolds, outer to inner velocity ratio and Swirl number, an inventory of the dominant modes was be established. Instantaneous velocity fields were then measured by Particle lmaging Velocimetry (PIV). The results of longitudinal and azimuthal time-averaged Velocity fields are presented. A comparison with the structures observed by tomography is proposed. A Fourier decomposition was made allowing to identify the dominant modes as well as their position in the radial direction. Experimental investigation was followed by a linear stability analysis. Special attention is paid to the steady base-flow solution reconstructed from the velocity profiles measured by PIV at the end of the nozzle. Given that the is not parallel, a global approach was used. Study of the stability is based on the numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations with pseudo-spectral methods. The objective of this analysis is to the map of azimuthal Fourier modes observed experimentally. We were thus interested in the most amplified growth rate of the disturbance for every azimuthal mode as well as in the absolute/convective nature of the modes. To conclude, a comparison of the results obtained in both numerical and experimental approaches is proposed.

Ce mémoire de thèse est formé de quatre chapitres. Un premier chapitre présente les différentes notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse ainsi qu’une description des résultats principaux que nous avons obtenus. Le second chapitre présente une généralisation d’un résultat obtenu par Rousselet-Chénais en 1990 qui décrit la sensibilité des sous-espaces propres d’opérateurs compacts auto-adjoints. Rousselet-Chénais se sont limités aux sous-espaces propres de dimension 1 et nous avons étendu leur résultat aux dimensions supérieures. Nous avons appliqué nos résultats à la Décomposition par Projection Orthogonale (POD) dans le cas de variation paramétrique, temporelle ou spatiale (Gappy-POD). Le troisième chapitre traite de l’estimation du flot optique avec des énergies quadratiques ou linéaires à l’infini. On montre des résultats mathématiques de convergence de la méthode de Décomposition Progressive Généralisée (PGD) dans le cas des énergies quadratiques. Notre démonstration est basée sur la décomposition de Brézis-Lieb via la convergence presque-partout de la suite gradient PGD. Une étude numérique détaillée est faite sur différents type d’images : sur les équations de transport de scalaire passif, dont le champ de déplacement est solution des équations de Navier-Stokes. Ces équations présentent un défi pour l’estimation du flot optique à cause du faible gradient dans plusieurs régions de l’image. Nous avons appliqué notre méthode aux séquences d’images IRM pour l’estimation du mouvement des organes abdominaux. La PGD a présenté une supériorité à la fois au niveau du temps de calcul (même en 2D) et au niveau de la représentation correcte des mouvements estimés. La diffusion locale des méthodes classiques (Horn & Schunck, par exemple) ralentit leur convergence contrairement à la PGD qui est une méthode plus globale par nature. Le dernier chapitre traite de l’application de la méthode PGD dans le cas d’équations elliptiques variationnelles dont l’énergie présente tous les défis aux méthodes variationnelles classiques : manque de convexité, manque de coercivité et manque du caractère borné de l’énergie. Nous démontrons des résultats de convergence, pour la topologie faible, des suites PGD (lorsqu’elles sont bien définies) vers deux solutions extrémales sur la variété de Nehari. Plusieurs questions mathématiques concernant la PGD restent ouvertes dans ce chapitre. Ces questions font partie de nos perspectives de recherche. / This thesis is formed of four chapters. The first one presents the mathematical notions and tools used in this thesis and gives a description of the main results obtained within. The second chapter presents our generalization of a result obtained by Rousselet-Chenais in 1990 which describes the sensitivity of eigensubspaces for self-adjoint compact operators. Rousselet-Chenais were limited to sensitivity for specific subspaces of dimension 1, we have extended their result to higher dimensions. We applied our results to the Proper Orthogonal Decomposition (POD) in the case of parametric, temporal and spatial variations (Gappy- POD). The third chapter discusses the optical flow estimate with quadratic or linear energies at infinity. Mathematical results of convergence are shown for the method Progressive Generalized Decomposition (PGD) in the case of quadratic energies. Our proof is based on the decomposition of Brézis-lieb via the convergence almost everywhere of the PGD sequence gradients. A detailed numerical study is made on different types of images : on the passive scalar transport equations, whose displacement fields are solutions of the Navier-Stokes equations. These equations present a challenge for optical flow estimates because of the presence of low gradient regions in the image. We applied our method to the MRI image sequences to estimate the movement of the abdominal organs. PGD presented a superiority in both computing time level (even in 2D) and accuracy representation of the estimated motion. The local diffusion of standard methods (Horn Schunck, for example) limits the convergence rate, in contrast to the PGD which is a more global approach by construction. The last chapter deals with the application of PGD method in the case of variational elliptic equations whose energy present all challenges to classical variational methods : lack of convexity, lack of coercivity and lack of boundedness. We prove convergence results for the weak topology, the PGD sequences converge (when they are well defined) to two extremal solutions on the Nehari manifold. Several mathematical questions about PGD remain open in this chapter. These questions are part of our research perspectives.