Measuring and tracking the employee turnover rate is a crucial part when evaluating a company’s performance. An important part of this is measuring the employment duration within an organization. The purpose of this report is to investigate if employment duration in a food retail company can be explained by predetermined variables using multiple linear regression. Data from five years ago until today has been collected and processed to analyze and fit the best choice of the linear model. Gender, employment rate, industry experience and age are the predictors used for conducting the analysis. The result shows that a low linear correlation can be seen between employment duration and the explanatory variables: gender, employment rate, industry experience and age. In the discussion, the results are analyzed as well as potential problems and improvements of the regression.

In this thesis a regression analysis of ten independent data sets is analysed in order toestimate losses and Key Risk Indicators (KRI). Each data set contains a list of objects,impacts that each object contains and revenue stream values (RSV) to each impact.The project investigates the data and simulate yearly losses as response variables in theregression modelling. The three regressors that influence the yearly losses are numberof objects, sum of revenue streams and expected aggregated losses. Given the responsevariable from each data set a percentage scale of KRI’s is determined indicating howlarge losses each set possess. / I denna avhandling analyseras en regressionsmodellering av tio oberoende mängderdata för att uppskatta förluster och Key Risk Indicators. Den givna dataupsättningeninnehåller en lista med objekt, påverkan varje objekt erhåller och vad respektiveobjekt omsätter. Projektet undersöker den givma datan och simulerar årliga förlustersom svarsvariabler i regressionsmodelleringen. De tre regressorerna som påverkarde årliga förlusterna är antalet objekt, summan av intäckterna och förvämtadesammanlagda förlusterna. Från den givna svarsvariabeln från varje datamängdbestäms en procentuell skala av KRIer som indikerar hur stora förluster varjeuppsättning har.

In this project, the problem concerns predicting insurance premiums and particularly vehicle insurance premiums. These predictions were made with the help of Bayesian Neural Networks (BNNs), a type of Artificial Neural Network (ANN). The central concept of BNNs is that the parameters of the network follow distributions, which is beneficial. The modeling was done with the help of TensorFlow's Probability API, where a few models were built and tested on the data provided. The results conclude the possibility of predicting insurance premiums. However, the output distributions in this report were too wide to use. More data, both in volume and in the number of features, and better-structured data are needed. With better data, there is potential in building BNN and other machine learning (ML) models that could be useful for production purposes. / Detta projekt grundar sig i möjligheten till att predikera försäkringspremier, mer specifikt fordonsförsäkringspremier. Prediktioner har gjorts med hjälp av Bayesianska neurala nätverk, vilket är en typ av artificiella neurala nätverk. Det huvudsakliga konceptet med Bayesianska neurala nätverk är att parametrarna i nätverket följer distributioner vilket har vissa fördelar och inte är fallet för vanliga artificiella neurala nätverk. Ett antal modeller har konstruerats med hjälp av TensorFlow Probability API:t som tränats och testats på given data. Resultatet visar att det finns potential att prediktera premier med hjälp av de egenskapspunkter\footnote[2]{\say{Features} på engelska} som finns tillgängliga, men att resultaten inte är tillräckligt bra för att kunna användas i produktion. Med mer data, både till mängd och egenskapspunkter samt bättre strukturerad data finns potential att skapa bättre modeller av intresse för produktion.

This bachelor thesis is written for KTH Royal Institute of Technology and Ymer Technology AB. It examines the friction factor associated with the pressure drop in wavy-fin heat exchangers. Previous studies have used a nonlinear approach for determining the regression coefficients. This study introduces a linearizing transform that solves the issues of finding non-optimal parameter values stemming from the current nonlinear approach. The linearization also drastically improves the computational time. A final model explaining 95.4\% of the variance in the data is presented. Methods for avoiding overfitting, detecting outliers and hidden extrapolation are presented and used to evaluate the model. The implications of the mathematical results on improving profit, competitiveness, and customer relationships are analyzed in the second part of the report with a qualitative approach. / Denna kandidatuppsats är skrivet vid Kungliga Tekniska Högskolan och Ymer Technology AB. Det undersöker den friktionsfaktor som associeras med tryckfallet i kylare med wavy-fins. Tidigare studier har använt ett ickelinjärt tillvägagångssätt för att bestämma regressionskoefficienterna. Denna studie introducerar en linjäriserande transform som löser problemen med att hitta icke-optimala paramatervärden, som härstammar från tidigare icke-linjära tillvägagångsätt. Linjäriseringen visar sig även förbättra beräkningstiden drastiskt. En slutgiltig modell som förklarar 95\% av variansen i datan presenteras. Metoder för att undvika overfitting, identifiera outliers, och undvika att falla offer för gömd extrapolation presenteras och används för att evaluera modellen. De matematiska resultatens implikationer för Ymer med avseende på vinst, konkurrenskraft och kundrelationer, analyseras i den andra delen av rapporten med en kvalitativ ansats.

This thesis was conducted in cooperation with the Swedish bank SEB, who expressed interest in getting an increased understanding of how the marketing measure Customer Lifetime Value could be implemented and used in the retail banking industry. Accordingly, the purpose of this thesis was to provide insight into how Customer Lifetime Value could be modelled in an appropriate way in the retail banking industry and provide an increased understanding of necessary considerations for the modelling process. First, performance requirements for models of Customer Lifetime Value in the retail banking industry were identified through literary analysis and interviews with SEB. These requirements were then used to evaluate six general modelling approaches: RFM, Probability, Econometric, Persistance, Diffusion/Growth and Computer science. Based on the evaluation, the computer science approach and the econometric approach were identified as suitable for further investigation. This was achieved by implementing and analysing the performance of two models chosen as examples of respective approach. Specifically, a computer science model based on the \textit{random forest} algorithm and an econometric model based on \textit{Markov chains} were chosen. The results indicate that both approaches could be appropriate for the retail banking industry, but that an econometric approach could have the advantage of higher interpretability while a computer science approach can have the advantage of higher predictive accuracy.  In conclusion, the results indicate that the specific considerations and performance requirements for models of Customer Lifetime Value in the retail banking context should be based on a specific use case and area of business application. However, the discussions, considerations and examples of implementations provided in this thesis could serve as a foundation for future research and model development in this context. / Detta arbete genomfördes i samarbete med SEB, som uttryckt ett intresse för att öka sin kunskap kring hur marknadsföringsmåttet Customer Lifetime Value skulle kunna implementeras och användas i retail banking-branschen. Syftet med denna uppsats var följaktligen att ge en ökad förståelse för vad som är en lämplig modell av Customer Lifetime Value i branschen, samt ge en ökad förståelse för nödvändiga hänsynstaganden i modelleringsprocessen. Detta gjordes genom att först identifiera existerande modellkrav genom litteraturanalyys och intervjuer med SEB. Kraven användes sedan för att utvärdera sex generella modelltyper: RFM, Probability, Econometric, Persistance, Diffusion/Growth and Computer science. Baserat på utvärderingen identifierades Econometric och Computer science som lämpliga modelltyper för vidare undersökning, vilken gjordes genom att implementera en modell från respektive modelltyp. Specifikt valdes en Computer science-metod baserad på algoritmen random forest och en Econometric-metod baserad på Markovkedjor. Resultaten indikerade att båda modelltyper är lämpliga för implementering i retail banking-branschen, men att en Econometric-metod skulle kunna ha större tolkbarhet och att en Computer science-metod skulle kunna ha bättre precision. Sammanfattningsvis konstateras att hänsynstaganden och modellkrav på modeller av Customer Lifetime Value i retail banking-branschen bör utformas utifrån det specifika tilltänkta användningsområdet. De diskussioner, hänsynstaganden och implementationsexempel som presenteras i detta arbete kan dock fungera som grund för vidare forskning och modellutveckling i kontexten.

Hedge funds use a variety of different financial instruments in order to try to achieve over-average returns without taking on excessive risk - options being one of the most common of these instruments. Basket options is a type of option that is written on several underlying assets that can be used to hedge risky positions. This project has been working together with the hedge fund Proxy P to develop software to construct basket options and to analyze their use as a hedging strategy. Construction of basket options can be performed through the use of several different mathematical models. These models range from complex continuous models, such as Monte Carlo simulations, to simple discrete models, such as the binomial option pricing model. In this project, the binomial option pricing model was chosen as the main tool to determine some quantities of basket options. It can conveniently handle both European and American options, independently of whether these are put or call options. The quantities calculated, the option price and option Delta, are dependent on the volatility and the initial price of the underlying. When evaluating the basket option there are two key assumptions that need to be studied. These key assumptions are if the weights and the initial price of the underlying change with each time step, or if they are held constant. It was found that both the weights and the price of the underlying should change dynamically with each time step. Furthermore, in order to evaluate the performance of the basket options used as a hedge, the project used historical data and measured how the options neutralized negative movements in the underlying. This was done through the use of the option Delta and the hedge ratio. What could be concluded was that the put basket option can serve as a relatively inexpensive hedge and minimize the risk on the downside in a sufficient matter. / Hedgefonder använder en rad olika finansiella instrument, där optioner är ett av de mest förekommande av dessa, för att generera överavkastning utan att ta överdriven risk. Korgoptioner, eller basket options som de kallas på engelska, är en typ av option som är skriven på flertalet underliggande tillgångar som kan användas för att gardera finansiella institutioner mot risk. Det här projektet har samarbetat med den svenska hedgefonden Proxy P för att utveckla programvara för att konstruera korgoptioner och evaluera hur de kan användas som hedgingstrategi. Konstrueringen av dessa korgoptioner kan göras med hjälp av flertalet matematiska mo-deller. Allt ifrån komplexa kontinuerliga modeller, som Monte Carlo simulering, till mer simpla diskreta modeller, som binomialprissättningsmodellen, kan användas. I detta projekt kommer binomialprissättningsmodellen användas för att beräkna relevanta kvantiteter gällande korgoptioner. Modellen kan hantera både optioner av den amerikanska och euro-peiska varianten, samt sälj- och köpoptioner. Relevanta kvantiteterna som benämnts gäller optionspriset samt optionens Delta, där dessa beror på marknadsvolatiliteten och startpriset på den underliggande tillgången. Vid utvärdering av korgoptionen behöver två antaganden tas i beaktande: att vikterna och initiala priset på underliggande ändras vid varje tidssteg eller om de hålls konstanta. Slutsatsen kunde dras att både vikterna och den underliggande tillgångens pris skulle vara dynamiska och därmed ändras vid varje tidssteg. För att kunna utvärdera hur väl korgoptioner fungerade som en hedge använde projektet historisk data för att utvärdera hur optionen neutraliserade negativa rörelser i den under-liggande tillgången. Denna utvärdering gjordes med avseende på Deltat hos optionen och hedgekvoten. Slutsatsen som kunde dras var att korgoptioner är ett relativt billigt sätt att hedga och minimera nedsidans risk.

Churn refers to the discontinuation of a contract; consequently, customer churn occurs when existing customers stop being customers. Predicting customer churn is a challenging task in customer retention, but with the advancements made in the field of artificial intelligence and machine learning, the feasibility to predict customer churn has increased. Prior studies have demonstrated that machine learning can be utilized to forecast customer churn. The aim of this thesis was to develop and implement a machine learning model to predict customer churn and identify the customer features that have a significant impact on churn. This Study has been conducted in cooperation with the Swedish insurance company Bliwa, who expressed interest in gaining an increased understanding of why customers choose to leave.  Three models, Logistic Regression, Random Forest, and Gradient Boosting, were used and evaluated. Bayesian optimization was used to optimize the models. After obtaining an indication of their predictive performance during evaluation using Cross-Validation, it was concluded that LightGBM provided the best result in terms of PR-AUC, making it the most effective approach for the problem at hand. Subsequently, a SHAP-analysis was carried out to gain insights into which customer features that have an impact on whether or not a customer churn. The outcome of the SHAP-analysis revealed specific customer features that had a significant influence on churn. This knowledge can be utilized to proactively implement measures aimed at reducing the probability of churn. / Att förutsäga kundbortfall är en utmanande uppgift inom kundbehållning, men med de framsteg som gjorts inom artificiell intelligens och maskininlärning har möjligheten att förutsäga kundbortfall ökat. Tidigare studier har visat att maskinlärning kan användas för att prognostisera kundbortfall. Syftet med denna studie var att utveckla och implementera en maskininlärningsmodell för att förutsäga kundbortfall och identifiera kundegenskaper som har en betydande inverkan på varför en kund väljer att lämna eller inte. Denna studie har genomförts i samarbete med det svenska försäkringsbolaget Bliwa, som uttryckte sitt intresse över att få en ökad förståelse för varför kunder väljer att lämna. Tre modeller, Logistisk Regression, Random Forest och Gradient Boosting användes och utvärderades. Bayesiansk optimering användes för att optimera dessa modeller. Efter att ha utvärderat prediktiv noggrannhet i samband med krossvalidering drogs slutsatsen att LightGBM gav det bästa resultatet i termer av PR-AUC och ansågs därför vara den mest effektiva metoden för det aktuella problemet. Därefter genomfördes en SHAP-analys för att ge insikter om vilka kundegenskaper som påverkar varför en kund riskerar, eller inte riskerar att lämna. Resultatet av SHAP-analysen visade att vissa kundegenskaper stack ut och verkade ha en betydande påverkan på kundbortfall. Denna kunskap kan användas för att vidta proaktiva åtgärder för att minska sannolikheten för kundbortfall.

Distributed computing is an approach where computationally heavy problems are broken down into more manageable sub-tasks, which can then be distributed across a number of different computers or servers, allowing for increased efficiency through parallelization. This thesis explores an established distributed computing setting, in which the computationally heavy task involves a number of users requesting a linearly separable function to be computed across several servers. This setting results in a condition for feasible computation and communication that can be described by a matrix factorization problem. Moreover, the associated costs with computation and communication are directly related to the number of nonzero elements of the matrix factors, making sparse factors desirable for minimal costs. The Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) is explored as a possible method of solving the sparse matrix factorization problem. To obtain convergence results, extensive convex analysis is conducted on the ADMM iterates, resulting in a theorem that characterizes the limiting points of the iterates as KKT points for the sparse matrix factorization problem. Using the results of the analysis, an algorithm is devised from the ADMM iterates, which can be applied to the sparse matrix factorization problem. Furthermore, an additional implementation is considered for a noisy scenario, in which existing theoretical results are used to justify convergence. Finally, numerical implementations of the devised algorithms are used to perform sparse matrix factorization. / Distribuerad beräkning är en metod där beräkningstunga problem bryts ner i hanterbara deluppgifter, som sedan kan distribueras över ett antal olika beräkningsenheter eller servrar, vilket möjliggör ökad effektivitet genom parallelisering. Denna avhandling undersöker en etablerad distribuerad beräkningssmiljö, där den beräkningstunga uppgiften involverar ett antal användare som begär en linjärt separabel funktion som beräknas över flera servrar. Denna miljö resulterar i ett villkor för tillåten beräkning och kommunikation som kan beskrivas genom ett matrisfaktoriseringsproblem. Dessutom är det möjligt att relatera kostanderna associerade med beräkning och kommunikation till antalet nollskilda element i matrisfaktorerna, vilket gör glesa matrisfaktorer önskvärda. Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) undersöks som en möjlig metod för att lösa det glesa matrisfaktoriseringsproblemet. För att erhålla konvergensresultat genomförs omfattande konvex analys på ADMM-iterationerna, vilket resulterar i ett teorem som karakteriserar de begränsande punkterna för iterationerna som KKT-punkter för det glesa matrisfaktoriseringsproblemet. Med hjälp av resultaten från analysen utformas en algoritm från ADMM-iterationerna, vilken kan appliceras på det glesa matrisfaktoriseringsproblemet. Dessutom övervägs en ytterligare implementering för ett brusigt scenario, där befintliga teoretiska resultat används för att motivera konvergens. Slutligen används numeriska implementeringar av de framtagna algoritmerna för att utföra gles matrisfaktorisering.

Optimal control is a paradigm for solving optimization problems involving dynamical systems, which are to be controlled. It is able to solve fish harvesting problems, in which we want to optimize harvesting out-take by considering fishing as a control function that acts on the state of the dynamical system, which represents the growth of fish species in the environment. Other modelling aspects of optimal control are defining terminal costs and running costs, e.g. maximizing profit. We keep the terminal condition comparable for a different number of species. It is based on the initial population. By using the optimal control Hamiltonian and Pontryagin’s Maximum Principle we can calculate the optimal state trajectories corresponding to suitable optimal controls. The Hamiltonian is dependent on the state equation and the running costs. We present two approaches of modelling the running costs. An approach that is not directly translatable to the fish harvesting problem, but it leads to a smooth Hamiltonian, which greatly simplifies derivation and computation. The other, which is equivalent to maximizing profit, leads to a non-smooth Hamiltonian. This leads to jump-discontinuous derivatives needed for computation. We propose to regularize the derivatives of the Hamiltonian using suitable smooth functions, such that it is equivalent to regularizing the Hamiltonian directly. We give details for implementing both approaches up to systems of n competing species. After which we go into detail on algorithms and programming structure implemented. Finally, in modest numerical experiments, for one and two species, we show the relation between the optimal control and the terminal costs. But more interestingly, that the smooth Hamiltonian models are inadequate and regularized Hamiltonian models are the preferred choice. Intriguingly, the latter approach results in steady state solution, wherethe control acts as a stabilizer. / Optimal kontroll är ett paradigm för att lösa optimeringsproblem som omfattar dynamiska system som ska kontrolleras. Den kan lösa problem med skörd av fisk där vi vill optimera skörd av fisk genom att betrakta fisket som en kontrollfunktion som verkar på tillståndet i det dynamiska systemet, som representerar tillväxten av fiskarter i miljön. Andra modelleringsaspekter av optimal styrning är att definiera slutkostnader och löpande kostnader, t.ex. maximering av vinsten. Vi håller terminalvillkoret jämförbart för ett antal olika arter. Det baseras på den ursprungliga populationen.Genom att använda Hamiltonianen för optimal styrning och Pontryagins maximiprincip kan vi beräkna de optimala tillståndsbanorna som motsvarar lämpliga optimala styrningar. Hamiltonianen är beroende av tillståndsekvationen och driftskostnaderna. Vi presenterar två metoder för att modellera driftskostnaderna. Ett tillvägagångssätt som inte är direkt överförbart till problemet med skörd av fisk, men som leder till en slät Hamiltonian, vilket förenklar härledning och beräkning avsevärt. Den andra metoden, som är likvärdig med vinstmaximering, leder till en icke slät Hamiltonian. Detta leder till hopp-diskontinuerliga derivator som behövs för beräkningen. Vi föreslår att man reglerar Hamiltonianens derivator med hjälp av lämpliga släta funktioner, så att det är likvärdigt med att reglera Hamiltonianen direkt. Vi ger detaljer för genomförandet av bå-da tillvägagångssätten upp till system med n konkurrerande arter. Därefter går vi in i detalj på algoritmer och den implementerade programmeringsstrukturen. Slutligen visar vi genom numeriska experiment, för en och två arter, sambandet mellan den optimala kontrollen och slutkostnaderna. Men mer intressant är att de släta hamiltoniska modellerna är otillräckliga, vilket ger upphov till att reglerade hamiltoniska modeller är att föredra. Intressant nog resulterar det senare tillvägagångssättet i en stabil lösning, där kontrollen fungerar som en stabilisator.

This thesis explores a new way to analyze spatiotemporal data. By combining topology, the path signature and machine learning a robust model to analyze swarming behavior over time is created. Using persistent homology a representation of spatial data is obtained and the path signature gives us a representation for how this changes over time. This representation allows us to compare samples even if they have different amounts of time steps and different length of the sequence. It is also resistant to noise in the spatial representation. Using this data is then used to train a gaussian process regressor to extract parameters that govern the movement of swarms. Our analysis shows that the tested method is a good candidate for analyzing spatiotemporal data and that it warrants further studies. / Detta examensarbete utforskar ett nytt sätt att analysera spatiotemporal data. Genom att kombinera topologi, vägsignaturer och maskininlärning skapas en robust modell för att analysera svärmar beter sig över tid. Genom persistent homology erhålls en representation av spatial data och dess vägsignatur ger oss en representation för hur detta förändras över tiden. Denna representation gör det möjligt för oss att jämföra data även om de har olika antal tidssteg och sekvenserna är olika långa. Den är också motståndskraftig mot brus i den spatiala representationen. Denna data används sedan för att träna en gaussisk process-regressor för att extrahera parametrar som styr svärmarnas rörelse. Vår analys visar att den testade metoden är en bra kandidat för att analysera spatiotemporal data och att den är värd att studera ytterligare.