All fields of physics - be it nuclear, atomic and molecular, solid state, or optical - offer examples of systems which are strongly influenced by the environment of the actual system under investigation. The scope of what is called "the environment" may vary, i.e., how far from the system of interest an interaction between the two does persist. Typically, however, it is much larger than the open system itself. Hence, a fully quantum mechanical treatment of the combined system without approximations and without limitations of the type of system is currently out of reach. With the single assumption of the environment to consist of an internally thermalized set of infinitely many harmonic oscillators, the seminal work of Stockburger and Grabert [Chem. Phys., 268:249-256, 2001] introduced an open system description that captures the environmental influence by means of a stochastic driving of the reduced system. The resulting stochastic Liouville-von Neumann equation describes the full non-Markovian dynamics without explicit memory but instead accounts for it implicitly through the correlations of the complex-valued noise forces. The present thesis provides a first application of the Stockburger-Grabert stochastic Liouville-von Neumann equation to the computation of the dynamics of anharmonic, continuous open systems. In particular, it is demonstrated that trajectory based propagators allow for the construction of a numerically stable propagation scheme. With this approach it becomes possible to achieve the tremendous increase of the noise sample count necessary to stochastically converge the results when investigating such systems with continuous variables. After a test against available analytic results for the dissipative harmonic oscillator, the approach is subsequently applied to the analysis of two different realistic, physical systems. As a first example, the dynamics of a dissipative molecular oscillator is investigated. Long time propagation - until thermalization is reached - is shown to be possible with the presented approach. The properties of the thermalized density are determined and they are ascertained to be independent of the system's initial state. Furthermore, the dependence on the bath's temperature and coupling strength is analyzed and it is demonstrated how a change of the bath parameters can be used to tune the system from the dissociative to the bound regime. A second investigation is conducted for a dissipative tunneling scenario in which a wave packet impinges on a barrier. The dependence of the transmission probability on the initial state's kinetic energy as well as the bath's temperature and coupling strength is computed. For both systems, a comparison with the high-temperature Markovian quantum Brownian limit is performed. The importance of a full non-Markovian treatment is demonstrated as deviations are shown to exist between the two descriptions both in the low temperature cases where they are expected and in some of the high temperature cases where their appearance might not be anticipated as easily.:1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Theory of Open Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Influence Functional Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Quantum Brownian Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Stochastic Unraveling of the Influence Functional . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Improved Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Modified Dynamic Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2 Guide Trajectory Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Obtaining Properly Correlated Stochastic Samples from Filtered White Noise 24 3 Unified Stochastic Trajectory Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1 Semiclassical Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.1 Guide Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2 Real Coherent State Center Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.3 Propagation Scheme Including Stochastic Forces . . . . . . . . . . . 32 3.2 Stochastic Bohmian Mechanics with Complex Action . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.1 Hydrodynamic Formulation of Bohmian Mechanics . . . . . . . . . . 33 3.2.2 Bohmian Mechanics with Complex Action . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.3 Stochastic BOMCA Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Noise Distribution Preserving Removal of Adverse Samples . . . . . . . . . . 39 4 Dissipative Harmonic Oscillator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1 Reservoir Specification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Harmonic Oscillator Analytic Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1 Ohmic Bath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.2 Drude Regularized Bath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Sampling Strategies and Analytic Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Limits of the Markovian Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5 Dissipative Vibrational Dynamics of Diatomics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1 Molecular Morse Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Anharmonic Phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.3 Transient Non-Markovian Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4 Trapping by Dissipation and Thermalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6 Tunneling with Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.1 Eckart Barrier Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.2 Dissipative Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.3 Investigation of Markovianity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Appendix A Conventions for Constants, Reservoir Kernels, and Influence Phases 69 Appendix B Stochastic Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 B.1 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 B.2 Position Verlet Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 B.3 Runge-Kutta Fourth Order Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Appendix CMorse Oscillator Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Appendix DPrerequisites of a Successful Stochastic Propagation . . . . . . . . . . . . . . 79 D.1 Hubbard-Stratonovich Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 D.2 Kernels of the Reservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 D.2.1 Quadratic Cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 D.2.2 Quartic Cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 D.2.3 Strictly Ohmic Reservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 D.3 Guide Trajectory Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 D.3.1 Quadratic Cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 D.3.2 Quartic Cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 D.3.3 Strictly Ohmic Reservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 D.4 Computation of Matrix Elements and Expectation Values . . . . . . . . . . 92 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Generic Hamiltonian systems have a mixed phase space, in which regular and chaotic motion coexist. In the chaotic sea the classical transport is limited by partial barriers, which allow for a flux \Phi given by the corresponding turnstile area. Quantum mechanically the transport is suppressed if Planck's constant is large compared to the classical flux, h >> \Phi, while for h << \Phi classical transport is recovered. For the transition between these limiting cases there are many open questions, in particular concerning the correct scaling parameter and the width of the transition. To investigate this transition in a controlled way, we design a kicked system with a particularly simple phase-space structure, consisting of two chaotic regions separated by one dominant partial barrier. We find a universal scaling with the single parameter \Phi/h and a transition width of almost two orders of magnitude in \Phi/h. In order to describe this transition, we consider several matrix models. While the numerical data is not well described by the random matrix model proposed by Bohigas, Tomsovic, and Ullmo, a deterministic 2x2-model, a channel coupling model, and a unitary model are presented, which describe the transitional behavior of the designed kicked system. This is also confirmed for the generic standard map, suggesting a universal scaling behavior for the quantum transition of a partial barrier. / Generische Hamilton'sche Systeme besitzen einen gemischten Phasenraum, in dem sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik vorkommen. Der klassische Transport in der chaotischen See wird durch partielle Barrieren begrenzt, die nur einen Fluss \Phi hindurch lassen. Der quantenmechanische Transport ist stark unterdrückt, wenn die Planck'sche Konstante groß gegen den klassischen Fluss ist, h >> \Phi. Ist hingegen h << \Phi folgt die Quantenmechanik der klassischen Dynamik. Für den Übergangsbereich zwischen diesen Grenzfällen gibt es noch viele offene Fragen, insbesondere bezüglich des richtigen Skalierungsparameters und der Breite des Übergangs. Um gezielt diesen Übergang zu untersuchen, haben wir ein System mit einem besonders einfachen Phasenraum entworfen. Er besteht aus zwei chaotischen Gebieten, die durch eine dominante partielle Barriere getrennt sind. Es zeigt sich, dass das universelle Verhalten durch den Parameter \Phi/h beschrieben wird und der Übergang sich über zwei Größenordnungen erstreckt. Wir betrachten verschiedene Matrixmodelle um diesen Übergang zu verstehen. Die numerischen Daten werden nicht durch das Zufallsmatrixmodell von Bohigas, Tomsovic und Ullmo beschrieben. Ein deterministisches 2x2-Modell, eine Kanalkopplung und ein unitäres Matrixmodell beschreiben hingegen den Übergang des entworfenen gekickten Systems. Die Tatsache, dass auch die generische Standardabbildung diesem Verhalten folgt, spricht für ein universelles Verhalten des Quantenübergangs einer partiellen Barriere.

The aim of this thesis is to introduce a general framework for what is informally referred to as finite-time dynamics. Within this framework, we study hyperbolicity of reference trajectories, existence of invariant manifolds as well as normal hyperbolicity of invariant manifolds called Lagrangian Coherent Structures. We focus on a simple derivation of analytical results. At the same time, our approach together with the analytical results has strong impact on the numerical implementation by providing calculable expressions for known functions and continuity results that ensure robust computation. The main results of the thesis are robustness of finite-time hyperbolicity in a very general setting, finite-time analogues to classical linearization theorems, an approach to the computation of so-called growth rates and the generalization of the variational approach to Lagrangian Coherent Structures.

Aufgrund einer komplexen Wechselwirkung mit Proteinen ist das Genom in einer Zelle ständig mechanischer Spannung und Torsion ausgesetzt. Daher ist es wichtig die Mechanik und die Dynamik von verdrillter DNA unter Spannung zu verstehen. Diese Situation wurde experimentell mittels einer sog. magnetischen Pinzette nachgestellt, indem sowohl Kraft als auch Drehmoment auf ein einzelnes DNA Molekül ausgeübt und gleichzeitig die mechanische Antwort des Polymers aufgezeichnet wurde. Als erstes Beispiel wurde der Übergang von linearer zu sog. plectonemischer DNA untersucht, d.h. die Absorption eines Teils der induzierten Verdrillung in einer superhelikalen Struktur. Eine abrupte Längenänderung am Anfang dieses Übergangs wurde bereits im Vorfeld publiziert. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass diese abrupte DNA Verkürzung insbesondere von der Länge der DNA und der Ionenkonzentration der Lösung abhängt. Dieses Verhalten kann mittels eines Modells verstanden werden, in dem die Energie pro Verwringung der ersten Schlinge innerhalb der Superhelix größer ist als die aller nachfolgenden. Des Weiteren wurden DNA-DNA Wechselwirkungen in der Umgebung monovalenter Ionen durch die Analyse des Superspiralisierungsverhaltens einzelner DNA Moleküle bei konstanter Kraft charakterisiert. Solche Wechselwirkungen sind für die Kompaktierung des Genoms und die Regulation der Transkription wichtig. Oft wird DNA als gleichmäßig geladener Zylinder modelliert und ihre elektrostatischen Wechselwirkungen im Rahmen der Poisson-Boltzmann-Gleichung mit einem Ladungsanpassungsfaktor berechnet. Trotz erheblicher Anstrengung ist eine präzise Bestimmung dieses Parameters bisher nicht gelungen. Ein theoretisches Modell dieses Prozesses zeigte nun eine erstaunlich kleine effektive DNA Ladung von ~40% der nominalen Ladungsdichte. Abgesehen von Gleichgewichtsprozessen wurde auch die Dynamik eines Faltungsvorgangs von DNA untersucht. Spontane Branch Migration einer homologen Holliday-Struktur wurde genutzt, um die intramolekulare Reibung der DNA zu erforschen. Mittels einer magnetischen Pinzette wurde eine torsionslimitierte Holliday-Struktur gestreckt während die Längenfluktuationen der Zweige mit schneller Videomikroskopie bei ~3 kHz aufgezeichnet wurden. Einzelne diffusive Schritte der Basenpaare sollten auf einer sub-Millisekunden Zeitskala auftreten und viel kleiner als die Gesamtfluktuationen der DNA sein. Eine Analyse der spektralen Leistungsdichte der Längenfluktuationen ermöglicht eine eindeutige Beschreibung der Dynamik der Branch Migration. Die Holliday-Struktur wurde außerdem als nanomechanischer Linearversteller eingesetzt, um einen einzelnen fluoreszierenden Quantenpunkt durch ein exponentiell abfallendes evaneszentes Feld zu bewegen. Durch die Aufzeichnung der Emission des Quantenpunkts sowohl in dem evaneszenten Feld als auch unter gleichmäßiger Beleuchtung kann die Intensitätsverteilung des Anregungsfelds ohne weitere Dekonvolution bestimmt werden. Diese neue Technik ist von besonderem wissenschaftlichen Interesse, weil die Beschreibung dreidimensionaler inhomogener Beleuchtungsfelder eine große Herausforderung in der modernen Mikroskopie darstellt. Die Ergebnisse dieser Arbeit werden dem besseren Verständnis einer Vielzahl biologischer Prozesse, die in Verbindung mit DNA Superspiralisierung stehen, dienen und weitere technische Anwendungen des DNA-basierten Linearverstellers hervorbringen. / The genome inside the cell is continuously subjected to tension and torsion primarily due to a complex interplay with a large variety of proteins. To gain insight into these processes it is crucial to understand the mechanics and dynamics of twisted DNA under tension. Here, this situation is mimicked experimentally by applying force and torque to a single DNA molecule with so called magnetic tweezers and measuring its mechanical response. As a first example a transition from a linear to a plectonemic DNA configuration is studied, i.e. the absorption of part of the applied twist in a superhelical structure. Recent experiments revealed the occurrence of an abrupt extension change at the onset of this transition. Here, it is found that this abrupt DNA shortening strongly depends on the length of the DNA molecule and the ionic strength of the solution. This behavior can be well understood in the framework of a model in which the energy per writhe for the initial plectonemic loop is larger than for subsequent turns of the superhelix. Furthermore DNA-DNA interactions in the presence of monovalent ions were comprehensively characterized by analyzing the supercoiling behavior of single DNA molecules held under constant tension. These interactions are important for genome compaction and transcription regulation. So far DNA is often modeled as a homogeneously charged cylinder and its electrostatic interactions are calculated within the framework of the Poisson-Boltzmann equation including a charge adaptation factor. Despite considerable efforts, until now a rigorous quantitative assessment of this parameter has been lacking. A theoretical model of this process revealed a surprisingly small effective DNA charge of ~40% of the nominal charge density. Besides describing equilibrium processes, also the dynamics during refolding of nucleic acids is investigated. Spontaneous branch migration of a homologous Holliday junction serves as an ideal system where the friction within the biomolecule can be studied. This is realized by stretching a torsionally constrained Holliday junction using magnetic tweezers and recording the length fluctuations of the arms with high-speed videomicroscopy at ~3 kHz. Single base pair diffusive steps are expected to occur on a sub-millisecond time scale and to be much smaller than the overall DNA length fluctuations. Power-spectral-density analysis of the length fluctuations is able to clearly resolve the overall dynamics of the branch migration process. Apart from studying intramolecular friction, the four-arm DNA junction was also used as a nanomechanical translation stage to move a single fluorescent quantum dot through an exponentially decaying evanescent field. Recording the emission of the quantum dot within the evanescent field as well as under homogeneous illumination allows to directly obtain the intensity distribution of the excitation field without additional deconvolution. This new technique is of particular scientific interest because the characterization of three-dimensional inhomogeneous illumination fields is a challenge in modern microscopy. The results presented in this work will help to better understand a large variety of biological processes related to DNA supercoiling and inspire further technical applications of the nanomechanical DNA gear.

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The dynamic behaviour of lightweight footbridges is often susceptible to HumanInduced Loads (HILs). Generally HILs are taken into account as moving harmonicfunctions in which the loading frequency represents the step frequency of the pedestrians.In this way, there may be resonance if the loading frequencies fall within therange of the natural frequencies of the bridge, potentially compromising the serviceabilitylimit state of the structure. Therefore, it is important to understand how toaddress and model HILs in the context of lightweight and slender structures. Furthermore,interesting effects can be considered in the field of footbridge dynamics,such as the Human Structure Interaction (HSI) effect. The HSI effect can be understoodwithin a framework in which pedestrians behave as Tuned Mass Dampers(TMDs), possibly modifying the dynamic behaviour of the footbridge. In addition,the evaluation of the dynamic response of a footbridge is usually made through atime consuming dynamic analysis using the Finite Element Method (FEM). Mostof the analysis of this type of slender structures rely on a prescribed stationary harmonicloading scenario, and this is usually done in the context of a walking crowdevent and not much attention is given to running load events.The aims of this research project are to study the influence of running and walkingloads on the dynamic response of footbridges as well as to investigate and developa closed-form method in order to simulate the dynamic behaviour of footbridgessubjected to HILs. This has been achieved by comparing different approachesin order to simulate running load events for a small number of pedestrians withrespect to experimental results (Paper I). In addition, the simply supported beamand the clamped-clamped beam (Paper II) are studied when subjected to a movingharmonic load in a closed-form framework. Then, a comparison between normalwalking and normal running conditions is made. Finally, a general closed-formsolution for the moving harmonic load problem (Paper III) is developed using the2D Bernoulli–Euler beam theory for a continuous beam system on elastic supports.The results from the study indicate that running is more critical than walking fora single pedestrian crossing, despite the fact that it is easier to achieve a steadystate condition in a normal walking event than in a normal running event. Finally,the general solution of the moving harmonic load problem is found and it can beused to solve any load spectra in the time domain, with its static component, for ageneral multi-span beam system. / Slanka och lätta gångbroar är ofta känsliga för dynamisk belastning från fotgängare.Dessa laster betraktas ofta som harmoniska funktioner där lastfrekvensenberor på stegfrekvensen. Resonans kan uppstå om stegfrekvensen sammanfallermed någon av brons egenfrekvenser vilket potentiellt kan överskrida föreskrivnavibrationsnivåer. Kännedom om dynamisk fotgängarlast är därför viktig, framföralltför dynamiskt känsliga konstruktioner. Samverkan mellan fotgängare ochbro kan också ge upphov till intressanta samband. Fotgängarna kan i detta sammanhangliknas med en massdämpare som kan ändra brons dynamiska egenskaper.Dynamiska analyser av gångbroar utförs ofta med FEM-analyser som kan varatidskrävande. Vanligen baseras analyserna på föreskrivna stationära harmoniskalaster, ofta baserat på gånglaster och sällan med beaktande av löparlaster.Syftet med denna uppsats är att undersöka inverkan av löpar- och gånglasters inverkanpå gångbroars dynamiska respons samt att utveckla en analytisk metod föratt simulera dessa laster och dess respons på broar. Detta har utförts genom attjämföra olika sätt att simulera löparlaster och jämföra broresponsen med experimentelldata (artikel 1). En analytisk lösning för rörliga harmoniska laster redovisasför fallet fritt upplagd och fast inspänd balk (artikel 2), med vilken inverkan av gångochlöparlaster jämförs. En mer generell analytisk lösning för rörliga harmoniskalaster (artikel 3) baseras på Bernoulli-Euler balkteori för kontinuerliga balkar påeftergivliga upplag.Resultaten från föreliggande arbete visar att för en enskild fotgängare är fallet medlöparlast mer kritiskt än gånglast, trots att det är lättare att uppnå ett fortvarighetstillståndför gånglaster jämfört med löparlaster. Den generella lösningen för rörligaharmoniska laster som redovisas kan användas för att lösa godtyckliga lastspektrai tidsdomän, inklusive dess statiska komponent, för generella balkar. / <p>QC 20210302</p>

Biological neuronal networks are a key object of study in the field of computational neuroscience, and recent studies have also shown their potential applicability within artificial intelligence and robotics [1]. They come in many shapes and forms, and a well known and widely studied example is the liquid state machine from 2004 [2]. In 2019, a novel and simple connectivity rule was presented with the introduction of the SpreizerNet [3]. The connectivity of the SpreizerNet is governed by a type of gradient noise known as Perlin noise, and as such the connectivity is anisotropic but correlated. The spiking activity produced in the SpreizerNet is possibly functionally relevant, e.g. for motor control or classification of input stimuli. In 2020, it was shown to be useful for motor control [4]. In this Master’s thesis, we inquire if the spiking activity of the SpreizerNet is functionally relevant in the context of stimulus representation. We investigate how input stimulus from the MNIST handwritten digits dataset is represented in the spatio-temporal activity sequences produced by the SpreizerNet, and whether this representation is sufficient for separation. Furthermore, we consider how the parameters governing the local structure of connectivity impacts representation and separation. We find that (1) the SpreizerNet separates input stimulus at the initial stage after stimulus and (2) that separation decreases with time when the activity from dissimilar inputs becomes unified. / Biologiska neurala nätverk är ett centralt studieobjekt inom beräkningsneurovetenskapen, och nyliga studier har även visat deras potentiella applicerbarhet inom artificiell intelligens och robotik [1]. De kan formuleras på många olika sätt, och ett välkänt och vida studerat exempel är liquid state machine från 2004 [2]. 2019 presenterades en ny och enkel kopplingsregel i SpreizerNätverket [3]. Kopplingarna i SpreizerNätverket styrs av en typ av gradientbrus vid namn Perlinbrus, och som sådana är de anisotropiska men korrelerade. Spikdatan som genereras av SpreizerNätverket är möjligtvis betydelsefull för funktion, till exempel för motorisk kontroll eller separation av stimuli. 2020 visade Michaelis m. fl. att spikdatan var relevant för motorisk kontroll [4]. I denna masteruppsats frågar vi oss om spikdatan är funktionellt relevant för stimulusrepresentation. Vi undersöker hur stimulus från MNIST handwritten digits -datasetet representeras i de spatiotemporella aktivitetssekvenserna som genereras i SpreizerNätverket, och huruvida denna representation är tillräcklig för separation.Vidare betraktar vi hur parametrarna som styr den lokala kopplingsstrukturen påverkar representation och separation. Vi visar att (1) SpreizerNätverket separerar stimuli i ett initialt skede efter stimuli och (2) att separationen minskar med tid när aktiviteten från olika stimuli blir enhetlig.

Detta är en kunskapsöversikt som redogör om olika metoder för att nå vad en god klassrumsmiljö är och vad det innebär. Denna kunskapsöversikt är baserad på frågeställningarna Vad skapar en god klassrumsmiljö för bild? och Vilka faktorer påverkar dynamiken mellan lärare och elever? I vår sökprocess har vi använt oss av databaserna Eric, ERC samt Swepub. Utifrån en bred pedagogisk utgångspunkt har vi analyserat forskning kring vad det innebär att ha en god klassrumsmiljö, och vilken betydelse den kan ha för bildundervisning i högstadiet. Baserat på frågeställningarna har det möjliggjorts att ta del av olika sätt att behandla och arbeta för en god klassrumsmiljö samt faktorer som påverkar dynamiken mellan lärare och elever. Forskningen berör ämnen som lärarens roll, innovativa lösningar, strategier, miljö och design. Vårt jobb är att angripa frågeställningarna från flera olika håll, för möjligheten  att få  en  variation på att forskningen gett resultat.  Bild är det ämne som är i vårt fokus, men många av strategierna och lösningarna går att applicera på mer än bara bildämnet.

When calculating the dynamics of a quantum system, including the effect of its environment is highly relevant since virtually any real quantum system is exposed to environmental influences. It has turned out that the widely used perturbative approaches to treat such so-called open quantum systems have severe limitations. Furthermore, due to current experiments which have implemented strong system-environment interactions the non-perturbative regime is far from being academical. Therefore determining the exact dynamics of an open quantum system is of fundamental relevance. The hierarchy of pure states (HOPS) formalism poses such an exact approach. Its novel and detailed derivation, as well as several numerical aspects constitute the main methodical part of this work. Motivated by fundamental issues but also due to practical relevance for real world devices exploiting quantum effects, the entanglement dynamics of two qubits in contact with a common environment is investigated extensively. The HOPS formalism is based on the exact stochastic description of open quantum system dynamics in terms of the non-Markovian quantum state diffusion (NMQSD) theory. The distinguishing and numerically beneficial features of the HOPS approach are the stochastic nature, the implicit treatment of the environmental dynamics and, related to this, the enhanced statistical convergence (importance sampling), as well as the fact that only pure states have to be propagated. In order to claim that the HOPS approach is exact, we develop schemes to ensure that the numerical errors can be made arbitrarily small. This includes the sampling of Gaussian stochastic processes, the multi-exponential representation of the bath correlation function and the truncation of the hierarchy. Moreover, we incorporated thermal effects on the reduced dynamics by a stochastic Hermitian contribution to the system Hamiltonian. In particular, for strong system-environment couplings this is very beneficial for the HOPS. To confirm the accuracy assertion we utilize the seemingly simple, however, non-trivial spin-boson model to show agreement between the HOPS and other methods. The comparison shows the HOPS method’s versatile applicability over a broad range of model parameters including weak and strong coupling to the environment, as well as zero and high temperatures. With the gained knowledge that the HOPS method is versatile and accurately applicable, we investigate the specific case of two qubits while focusing on their entanglement dynamics. It is well known that entanglement, the relevant property when exploiting quantum effects in fields like quantum computation, communication and metrology, is fragile when exposed to environmental noise. On the other hand, a common environment can also mediate an effective interaction between the two parties featuring entanglement generation. In this work we elucidate the interplay between these competing effects, focusing on several different aspects. For the perturbative (weak coupling) regime we enlighten the difficulties inherent to the frequently used rotating wave approximation (RWA), an approximation often applied to ensure positivity of the reduced state for all times. We show that these difficulties are best overcome when simply omitting the RWA. The seemingly unphysical dynamics can still be used to approximate the exact entanglement dynamics very well. Furthermore, the influence of the renormalizing counter term is investigated. It is expected that under certain conditions (adiabatic regime) the generation of entanglement is suppressed by the presence of the counter term. It is shown, however, that for a deep sub-Ohmic environment this expectation fails. Leaving the weak coupling regime, we show that the generation of entanglement due to the influence of the common environment is a general property of the open two-spin system. Even for non-zero temperatures it is demonstrated that entanglement can still be generated and may last for arbitrary long times. Finally, we determine the maximum of the steady state entanglement as a function of the coupling strength and show how the known delocalization-to-localization phase transition is reflected in the long time entanglement dynamics. All these results require an exact treatment of the open quantum system dynamics and, thus, contribute to the fundamental understanding of the entanglement dynamics of open quantum systems. / Bei der Bestimmung der Dynamik eines Quantensystems ist die Berücksichtigung seiner Umgebung von großem Interessen, da faktisch jedes reale Quantensystem von seiner Umgebung beeinflusst wird. Es zeigt sich, dass die viel verwendeten störungstheoretischen Ansätze starken Einschränkungen unterliegen. Außerdem, da es in aktuellen Experimenten gelungen ist starke Wechselwirkung zwischen dem System und seiner Umgebung zu realisieren, gewinnt das nicht-störungstheoretischen Regime stets an Relevanz. Dementsprechend ist die Berechnung der exakten Dynamik offener Quantensysteme von grundlegender Bedeutung. Einen solchen exakten nummerischen Zugang stellt der hierarchy of pure states (HOPS) Formalismus dar. Dessen neuartige und detaillierte Herleitung, sowie diverse nummerische Aspekte werden im methodischen Teil dieser Arbeit dargelegt. In vielerlei Hinsicht relevant folgt als Anwendung eine umfangreiche Untersuchung der Verschränkungsdynamik zweier Qubits unter dem Einfluss einer gemeinsamen Umgebung. Vor allem im Hinblick auf die experimentell realisierbare starke Kopplung mit der Umgebung ist dieses Analyse von Interesse. Der HOPS Formalismus basiert auf der stochastischen Beschreibung der Dynamik offener Quantensysteme im Rahmen der non-Markovian quantum state diffusion (NMQSD) Theorie. Der stochastische Charakter der Methode, die implizite Berücksichtigung der Umgebungsdynamik, sowie das damit verbundene Importance Sampling, als auch die Tatsache dass lediglich reine Zustände propagiert werden müssen unterscheidet diese Methode maßgeblich von anderen Ansätzen und birgt numerische Vorteile. Um zu behaupten, dass die HOPS Methode exakte Ergebnisse liefert, müssen auftretenden nummerischen Fehler beliebig klein gemacht werden können. Ein grundlegender Teil der hier vorgestellten methodischen Arbeit liegt in der Entwicklung diverser Schemata, die genau das erreichen. Dazu zählen die numerische Realisierung von Gauss’schen stochastischen Prozessen, die Darstellung der Badkorrelationsfunktion als Summe von Exponentialfunktionen sowie das Abschneiden der Hierarchie. Außerdem wird gezeigt, dass sich der temperaturabhängige Einfluss der Umgebung durch einen stochastischen Hermiteschen Beitrag zum System-Hamiltonoperator berücksichtigen lässt. Vor allem bei starker Kopplung ist diese Variante besonders geeignet für den HOPS Zugang. Um die Genauigkeitsbehauptung der HOPS Methode zu überprüfen wird die Übereinstimmung mit anderen Methode gezeigt, wobei das vermeintlich einfachste, jedoch nicht triviale spin-boson-Modell als Testsystem verwendet wird. Diese Untersuchung belegt, dass die HOPS Methode für eine Vielzahl an Szenarien geeignet ist. Das beinhaltet schwache und starke Kopplung an die Umgebung, sowie Temperatur null als auch hohe Temperaturen. Mit dem gewonnenen Wissen, dass die HOPS Methode vielseitig einsetzbar ist und genaue Ergebnisse liefert wird anschließend der spezielle Fall zweier Qubits untersucht. Im Hinblick auf die Ausnutzung von Quanteneffekten in Bereichen wie Rechentechnik, Kommunikation oder Messtechnik liegt der primäre Fokus auf der Dynamik der Verschränkung zwischen den Qubits. Es ist bekannt, dass durch von außen induziertes Rauschen die Verschränkung im Laufe der Zeit abnimmt. Andererseits weiß man auch, dass eine gemeinsame Umgebung zu einer effektiven Wechselwirkung zwischen den Qubits führt, welche Verschränkung aufbauen kann. In dieser Arbeit wird das Wechselspiel zwischen diesen beiden gegensätzlichen Effekten untersucht, wobei die folgenden Aspekte beleuchtet werden. Für den Fall schwacher Kopplung, wo eine störungstheoretische Behandlung in Frage kommt, werden die Probleme der rotating wave approximation (RWA) analysiert. Diese Näherung wird häufig verwendet um die Positivität des reduzierten Zustands zu allen Zeiten zu gewährleisten. Es wird gezeigt, dass sich diese Probleme am besten vermeiden lassen, wenn die RWA einfach weggelassen wird. Die auf den ersten Blick nicht-physikalische Dynamik ist sehr gut geeignet um die exakte Verschränkungsdynamik näherungsweise wiederzugeben. Des Weiteren wird der Einfluss der Renormalisierung des sogenannten counter terms untersucht. Unter bestimmten Voraussetzungen (adiabatisches Regime) ist zu erwarten, dass der Verschränkungsaufbau durch den counter term verhindert wird. Es zeigt sich, dass für eine sehr sub-Ohm’sche Umgebung (deep sub-Ohmic regime) diese Erwartung nicht zutrifft. Weiterhin wird der Fall starker Kopplung zwischen dem zwei-Qubit-System und der Umgebung betrachtet. Die Berechnungen zeigen das generelle Bild, dass sich zwei nicht wechselwirkende Qubits durch den Einfluss einer gemeinsamen Umgebung verschränken. Selbst bei Temperaturen größer als null kann Verschränkung aufgebaut werden und auch für beliebig lange Zeiten erhalten bleiben. In einem letzten Punkt wird das Maximum der stationären Verschränkung (Langzeit-Limes) in Abhängigkeit von der Kopplungsstärke bestimmt. Dabei wird gezeigt, dass sich der bekannte Phasenübergang von Delokalisierzung zu Lokalisierung auch in der Langzeitdynamik der Verschränkung widerspiegelt. All diese Erkenntnisse erfordern eine exakte Behandlung der offenen Systemdynamik und erweitern somit das fundamentalen Verständnis der Verschränkungsdynamik offener Quantensysteme.