Nesta pesquisa, que consiste de um estudo de caso, elaboramos uma sequência didática que prevê atividades que devem ser resolvidas de duas maneiras distintas. Uma das maneiras utiliza conceitos de Geometria Plana – como Teorema de Pitágoras e semelhanças – e a outra maneira utiliza conceitos de Geometria Analítica – como equações de reta e cálculos de área via determinantes. Para analisar os dados coletados, com a aplicação desta sequência, a Teoria de Registros de Representação Semiótica foi utilizada. Duval (2009), autor da teoria, trata sobre a importância dos registros em Ensino de Matemática, sobre a conversão de um registro em outro e sobre a necessidade de utilização de mais de um registro como um meio de entender o modo matemático de pensar. Como meio de dar um suporte a nossa pesquisa, em nossa revisão bibliográfica, procuramos produções recentes, nas quais foram utilizadas a mesma teoria sob o aspecto da conversão, e analisamos também se os livros didáticos de Matemática, do terceiro ano do Ensino Médio, contemplam atividades que incentivem a utilização de mais de um registro para resolução de atividades. Esta sequência foi aplicada em uma turma de alunos do terceiro ano, de uma escola de Ensino Médio Técnico integrado e sua estrutura foi inspirada na Investigação Matemática de Ponte (2006). Nesta pesquisa, os registros, majoritariamente utilizados pelos alunos, foram os de Geometria Plana – Figural – e de Geometria Analítica – Gráfico – e verificamos que os alunos conseguiram, quando solicitados, articular a utilização destes dois tipos de registro. / In this case study we elaborate a didactic sequence that predicts activities that should be solved in two different ways. One of them uses the concepts of plane geometry – such as the Pythagorean theorem and similarities – and the other uses the concepts of analytic geometry – such as the equations of a line and area calculations. To analyze the data assembled with the application of this sequence we used The Theory of Registers of Semiotic Representation. Duval (2009), the author of this theory, addresses the importance of registers in Mathematics Teaching, the conversion of one register to another, and the need to use more than one register as a way to understand the mathematical way of thinking. To support our research, we looked in our bibliographical review for recent articles that made use of the same theory under the conversion aspect, and we also analyzed whether third year high school mathematics textbooks offer activities that encourage the use of more than one register in the solution of activities. This sequence was applied in a class of third-year students, from an integrated technical high school and its structure was inspired by Ponte’s Mathematical Investigation (2006). In this research, the registers most used by the students were those of plane geometry – figure – and of analytic geometry – graph – and we verified that the students, on request, achieved to articulate the use of these two types of registers.

A Teoria dos Registros de Representação, de Duval, compreende e analisa a peculiaridade dos objetos matemáticos, acessíveis através de suas diferentes representações. Fischbein e Hershkowitz, entre outros teóricos, desenvolveram as noções de Imagem Mental e Imagem Conceitual como a interpretação de um dado conceito matemático por um sujeito. Esta dissertação estabelece conexões entre estas duas discussões teóricas e, a partir disto, faz uma proposta de ensino para alguns conceitos de Geometria Analítica através do uso dos registros dinâmicos no software GeoGebra. A proposta, na forma de sequência didática, foi implementada em turma do terceiro ano do Ensino Médio de uma escola da rede particular de ensino do município de Porto Alegre. A análise da produção dos estudantes estabelece diálogo constante com os referenciais teóricos escolhidos. É uma pesquisa, sob a forma de estudo de caso, que busca investigar como ocorre o processo de aprendizagem de Geometria Analítica através utilização do software GeoGebra no ensino e aprendizagem de matemática, apresentando e discutindo os resultados obtidos de modo a contribuir para esta área de pesquisa. / The Registers of Representation Theory, from Duval, understands and analysis the peculiarity of mathematics objects, accessible through its different representations. Fischbein and Hershkowitz, among others researchers, developed the notions of Mental Image and Conceptual Image to explain the construction process of mathematical concepts by the subject. This dissertation establishes connections between these theories and uses this approach to propose a didactic sequence for teaching some concepts of Analytic Geometry using dynamic representation offered by the GeoGebra software. The proposal was implemented in a 3rd grade private high school. The research is a case study. The analysis of students’ production establishes constant dialog with the theoretical approach and presents results that can be a contribution to research in the area of dynamic representations and learning of school mathematics.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Tendo em vista as mudanças ocorridas ao longo do tempo, provenientes dos avanços tecnológicos e contidas em todos os setores, a vida humana tem sido atingida significativamente. Particularmente, procura-se fazer uso dessas novas tecnologias, objetivando motivar a aprendizagem do indivíduo e nos métodos utilizados na educação. E no que diz respeito a consolidação no processo pedagógico, os softwares de matemática dinâmica têm como objetivo auxiliar os modelos tradicionais de ensino e contribuir para a evolução do cenário educacional. No Ensino Básico, espera-se que os alunos saibam utilizar essas ferramentas tecnológicas para uma melhor compreensão ou visualização de problemas geométricos. Dessa forma, o principal objetivo desta dissertação é apresentar algumas técnicas que contribuam como facilitadoras do entendimento de problemas geométricos relacionados à geometria plana com abordagem em situações variáveis, utilizando funções reais, o conceito de lugar geométrico e o software GeoGebra. Por fim, apresenta-se um acervo de dez problemas geométricos relacionados mais intimamente com os conceitos de lugar geométrico, de máximo e de mínimo, nos quais servirão como referencial para os professores e alunos que desejam explorar essa poderosa ferramenta chamada GeoGebra. / In view of the changes over time, from the technological advances and contained in all sectors, human life has been affected significantly. In particular, one seeks to make use of these new technologies, aiming to motivate learning of the individual and the methods used in education. And, with regard to consolidation in the educational process, the dynamic software are designed to help traditional models of education and contribute to the development of the educational setting. In basic education, it is expected that students know how to use these technological tools for better understanding and visualization of geometric problems. Thus, the main objective of this dissertation is to present some techniques that contribute to facilitating the understanding of geometric problems related to the flat geometry approach to changing situations using real functions, the concept of locus and GeoGebra software. Finally, we present a collection of ten related geometric problems more closely with the concepts of locus, maximum and minimum, in which will serve as a reference for teachers and students who wish to explore this powerful tool called GeoGebra.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This thesis we will make a study of the quadrics, which can be de ned as quadratic equations solutions with three variables, with the main objective recognition of same through a simpli cation of the quadratic form associated, whose procedure involves the diagonalization of symmetric matrices. Throughout we this work, will address the requirements for the reader with little familiarity on the subject, can understand each stage of its development, as Euclidean spaces and matrix diagonalization. / Nesta disserta ção faremos um estudo das qu ádricas, as quais podem ser de finidas como solu ções de equa ções do segundo grau com três vari áveis, tendo como objetivo principal o reconhecimento das mesmas por meio de uma simpli fica ção da forma quadr ática associada, cujo procedimento envolve a diagonaliza ção de matrizes sim étricas. Ao longo deste trabalho, serão abordados os prée-requisitos necess ários para que o leitor, com pouca familiaridade no assunto, possa compreender cada etapa de seu desenvolvimento, como espa ços euclidianos e diagonaliza ção de matrizes.

Orientador: Vanderlei Marcos do Nascimento / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Karina Schiabel Silva / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior / Resumo: Neste trabalho exploramos as definições mais usuais de cônicas, em duas direções. Uma delas trata da equivalência entre tais definições; a outra trata de estabelecer propriedades das figuras então definidas, em uma sequência natural que valoriza o pensamento geométrico / Abstract: In this work we explore the most usual definitions of the conics, in two directions. One of them deals with the equivalence of the definitions themselves; the other one looks for properties of the figures just defined, stated in a natural sequence that enrichs the geometric thought / Mestre

Orientador: Thiago de Melo / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Simone Daniela Sartorio / Resumo: Em cursos regulares de Ensino Médio as Cônicas são estudadas a partir de uma de nição que leva à uma equação e nalmente chega-se à gura da curva. Com esse trabalho pretendemos apresentá-las de outra forma. Começamos com a construção da curva com compasso e régua não graduada a partir de uma de suas propriedades, em seguida a de nimos formalmente e nalmente encontramos sua equação e características algébricas. De niremos alguns conceitos prévios para o estudo das cônicas. Em seguida estudaremos cada uma das cônicas elipse, hipérbole e parábola respectivamente, a partir de sua construção. Finalmente apresentaremos uma proposta de aulas que esperamos possam ser utilizadas por professores de Ensino Médio / Abstract: On high school courses the study of Conics starts with the de nition which leads to an equation and nally the picture of the conic is presented. In this work we shall introduce the Conics in a di erent approach. We will start with the construction using only ruler and compass based on some of its properties and then we will de ne Conics. Finally we will obtain its equation and its algebraic characteristics. We will start with some basic concepts which will guide us to the study of Conics: ellipse, hyperbole and parabola. Finally we will present a proposal of classes that we hope can be used by high school teachers / Mestre

Orientador: Eliris Cristina Rizziolli / Resumo: Este estudo tem como objetivo explorar as cônicas clássicas, a saber: elipse, hipérbole e parábola. Inicialmente será feita uma abordagem do ponto de vista geométrico e posteriormente um tratamento analítico através das três métricas usuais de R^2: euclidiana, do máximo e a da soma. / Abstract: This study aims to explore the classic conics, namely: ellipse, hyperbole and parable. Initially an approach will be made from the geometrical point of view and later an analytical treatment through the three usual R2: euclidean, maximum and sum metrics. / Mestre

Submitted by isabela.moljf@hotmail.com (isabela.moljf@hotmail.com) on 2016-08-17T14:44:02Z No. of bitstreams: 1 susanaribeirosoares.pdf: 11842089 bytes, checksum: 0c5ec7b70ed143dc180b7c2868bb3c0b (MD5) / Rejected by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br), reason: Consertar o nome do mestrado: Mestrado Profissional em Educação Matemática (veja folha de rosto da dissertação) on 2016-08-18T12:35:46Z (GMT) / Submitted by isabela.moljf@hotmail.com (isabela.moljf@hotmail.com) on 2016-08-18T12:43:34Z No. of bitstreams: 1 susanaribeirosoares.pdf: 11842089 bytes, checksum: 0c5ec7b70ed143dc180b7c2868bb3c0b (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-08-19T12:06:35Z (GMT) No. of bitstreams: 1 susanaribeirosoares.pdf: 11842089 bytes, checksum: 0c5ec7b70ed143dc180b7c2868bb3c0b (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-08-19T12:10:34Z (GMT) No. of bitstreams: 1 susanaribeirosoares.pdf: 11842089 bytes, checksum: 0c5ec7b70ed143dc180b7c2868bb3c0b (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-19T12:10:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 susanaribeirosoares.pdf: 11842089 bytes, checksum: 0c5ec7b70ed143dc180b7c2868bb3c0b (MD5) Previous issue date: 2013-03-22 / Este trabalho apresenta um estudo histórico da disciplina geometria analítica como componente curricular do curso de licenciatura em matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, nas décadas de 1960 e 1970. O estudo histórico sobre a disciplina baseou-se na análise de apostilas adotadas e indicadas como referência bibliográfica por várias décadas, em entrevistas com professores e ex-alunos do autor deste material e em levantamento bibliográfico de obras de geometria analítica. Entre as questões que procuramos responder neste trabalho destacamos: Como se estruturou a disciplina geometria analítica na UFJF? No percurso da pesquisa verificou-se que as apostilas produzidas pelo ex-professor da UFJF, Hélio Siqueira Silveira, tiveram um papel importante na estabilização da disciplina de geometria analítica. Tal conclusão foi evidenciada graças a indícios de uso do referido material tanto por estar presente em indicações bibliográficas de outros professores de geometria analítica, quanto pela retirada do material da biblioteca até os dias atuais. Além disso, constatou-se a escassez de obras de geometria analítica em português neste período. Com o intuito de compreender esta disciplina em outro contexto, externo ao da UFJF, efetuamos levantamento de acervo bibliográfico do Instituto de Matemática e Estatística da USP, bem como realizamos entrevistas com professoras e ex-alunas de geometria analítica nesta instituição. A similaridade desses contextos se deu em torno da estabilização da disciplina a partir de um texto de referência. Entre as várias observações decorrentes das investigações, pudemos notar que as apostilas trazem conteúdos que vão se estabilizar no ensino superior, como o estudo de vetores, especialmente a partir da representação em coordenadas e outros que não se estabilizam, como é o caso da geometria vetorial no plano. / This research presents a historical study of analytical geometry on a curricular component of teaching degree in Mathematics at Federal University of Juiz de Fora, in the 1960s and 1970s decades. The historical study on the subject was based on the analysis of supplementary material used and indicated as bibliographic reference during decades, in interviews with the author’s professors and ex-students as well as in a research of analytical geometry work. Among the questions we tried to answer in this research we highlight: How was the analytical geometry course structured in UFJF? As the research developed, it was observed that the supplementary material produced by the ex-teacher of UFJF, Helio Siqueira Silveira, had an important role in the stabilization of analytical geometry subject. The conclusion was evidenced thanks to the fact that this material has been mentioned by other geometry professors in bibliographical references and also because the material is borrowed from the library even today. Besides this, we could see that there is not enough analytical geometry work published in Portuguese at the present moment. In order to understand this subject in another context outside UFJF, we compiled the bibliographic collection of Institute Mathematics and Statistics , USP, as well as interviews with professors and ex-students of analytical geometry in that institution. The similarity between these two contexts happened around the stabilization of the subject from a reference text. Among the various observations resulting from the researches, we could notice that the supplementary material presents contents that will be stabilized in the University teaching, as the study of vector, specially from the representation in coordinates and others that do not stabilize themselves such as vectorial and plane geometry.

A presente pesquisa teve como problemática central o processo de ensino da geometria analítica e as representações semióticas desse conceito em uma turma de licenciandos em matemática que estavam cursando o último semestre do curso. Nesse sentido, contamos com a professora da disciplina como nossa colaboradora, a qual tem conhecimento da teoria que sustenta este estudo, ou seja, a teoria dos registros de representação semiótica de Duval (2009, 2010, 2011a, 2011b, 2012a, 2012b, 2012c). O objetivo do estudo visa analisar o ensino da geometria analítica planejado e vivenciado em sala de aula por essa professora e; especificamente, investigar como as representações semióticas do conceito de geometria analítica são utilizadas na organização das atividades de ensino, bem como, são conduzidas em sala de aula considerando que as aulas estavam sendo desenvolvidas com o objetivo de formar futuros professores. Para tanto, se buscou subsídios, principalmente na teoria da aprendizagem em matemática de Raymond Duval, procurando seus aportes para o ensino da geometria e nos documentos curriculares oficiais. Os procedimentos metodológicos são de caráter qualitativo na forma de estudo de caso e envolveram dados produzidos a partir de uma entrevista semiestruturada, da explanação do planejamento por parte da professora, do desenvolvimento do ensino em sala de aula e dos relatos reflexivos realizados pela professora após o desenvolvimento das aulas, sendo estes coletados a partir de gravações de vídeo. A partir das análises realizadas, podemos constatar que o ensino desenvolvido pela professora colaboradora, envolve em seu planejamento as orientações dos documentos curriculares oficiais, bem como as atividades de ensino propostas permitem a articulação entre os diversos registros de representação semiótica. Além disso, a professora colaboradora utilizou como recurso metodológico o software Geogebra que potencializou as conversões das representações matemáticas, porém, apontamos que a utilização desse recurso precisa de intencionalidade por parte do professor para que o aluno não fique restrito a ele para solução das atividades. Para tanto as análises das atividades por parte dos licenciandos, bem como, a compreensão da importância de transitar entre diversos registros de representação, são primordiais para a apreensão em matemática. A forma como foi desenvolvido o trabalho possibilitou aos licenciandos analisar, criticar, construir e descontruir o planejamento verificando as múltiplas possibilidades de uma mesma atividade, principalmente em vista das várias representações mobilizáveis na sua resolução. Cabe destacar que a tarefa do professor em um curso de licenciatura é fundamental e determina uma enorme responsabilidade, uma vez que é na formação inicial que o futuro professor constrói sua bagagem teórica e começa a construir-se como profissional, geralmente o licenciando se espelha em seus mestres para desencadear suas primeiras ações educativas. / 143 f.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Cintia Rosa da Silva.pdf: 2132713 bytes, checksum: 0fa816f4f1f2ae2ea3fd932f34c0890a (MD5) Previous issue date: 2013-11-18 / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de São Paulo / This research dealt with a reflection on the theories of semiotic representation registers by Raymond Duval and Charles Sanders Peirce Semiotics. The study answers the following question: which Peircean signs are used to analyze the registers of semiotic representation and what is the semiotics for mathematics and its teaching? To seek answers to our question, we conducted, through a literature review, analysis of the analogies we found between them. The main analogies that guided the study were: a) the formation of semiotic representation can be a qualisign, an icon, or a rheme b) the treatment may be a sinsigno, an index, or a dicent sign and c) the conversion can be a legisign, a symbol, or an argument. In addition, we summarize these analogies in a table containing the main terms of Duval and Peirce theories, which resulted in a semiotic model to analyze the teaching and learning of mathematics. Having said that, we apply this model in the study of mathematical objects, plane, straight line, vector, and points of spatial analytic geometry. With the result of the analysis of the objects, we find that Peircean semiotics can help identify potential problems and solutions that we can find in the teaching and learning of analytic geometry. We note that the Peircean signs that allow such identification and solution are legisign and symbol. Also, we realize that the argument can be the sign that propels individuals make the decision to solve problems and accomplish tasks. We suggest that the tenth Piercean class, (symbolic legisign) argument, may be responsible for the success in the teaching and learning of mathematics. We also infer that the model of Peirce classes for the teaching and learning of mathematics can help in finding the inferences of the actions taken in those cases. By analogy, we assume that the conversion is an activity of great importance in teaching and learning of mathematics and the theories of Duval and Peirce are valid to explain the mathematics and its teaching, even though the theory of semiotic representation registers treats mathematical objects and their representations as a whole, and the theory of Peirce takes its parts as different signs. Therefore, from the didactic point of view, our analysis was important regarding the study of the teaching and learning of mathematics, more specifically of analytic geometry, as we can see, in advance, in which sign of this mathematical object individuals will have difficulties / Esta pesquisa tratou de uma reflexão a respeito das teorias de Registro de Representação Semiótica de Raymond Duval e da Semiótica de Charles Sanders Peirce. O trabalho responde à seguinte questão: quais signos peirceanos para analisar os registros de representação semiótica e qual é a semiótica para a matemática e seu ensino? Para buscar respostas a nosso questionamento, realizamos, por meio de uma pesquisa bibliográfica, uma análise das analogias que encontramos entre elas. As principais analogias, que nortearam o estudo, foram: a) a formação de representação semiótica pode ser um qualissigno, ícone ou rema; b) o tratamento pode ser um sinsigno, índice ou dicente; e c) a conversão pode ser um legissigno, símbolo ou argumento. Além disso, resumimos estas analogias em um quadro contendo os principais termos da teoria de Duval e Peirce, que resultaram em um modelo semiótico para analisar o ensino e a aprendizagem da matemática. Posto isto, aplicamos esse modelo no estudo dos objetos matemáticos, plano, reta, vetor e pontos da geometria analítica espacial. Como resultado da análise dos objetos, constatamos que a semiótica peirceana pode auxiliar na identificação de possíveis problemas e soluções que podemos encontrar nos processos de ensino e de aprendizagem da geometria analítica. Notamos que os signos peirceanos que permitem essa identificação e solução são o legissigno e o símbolo. Além disso, percebemos que o argumento pode ser o signo que impulsiona os indivíduos a tomarem a decisão de resolver os problemas e realizar as tarefas. Sugerimos que a décima classe peirceana, legissigno simbólico argumento, possa ser a responsável pelo sucesso nos processos de ensino e de aprendizagem da matemática. Inferimos também que o modelo das classes peirceanas para o ensino e a aprendizagem da matemática pode auxiliar na busca pelas inferências das ações realizadas nesses processos. Por analogia, admitimos que a conversão é a atividade de grande importância nos processos de ensino e de aprendizagem da matemática e que as teorias de Duval e Peirce são válidas para explicar a matemática e seu ensino, ainda que a teoria de Registro de Representação Semiótica trate dos objetos matemáticos e sua representação como um todo, e a teoria de Peirce considera suas partes, como um signo diferente. Assim, do ponto de vista didático, nossa análise foi importante no que tange o estudo dos processos de ensino e de aprendizagem da matemática, mais especificamente da geometria analítica, uma vez que podemos enxergar, antecipadamente, em qual signo desse objeto matemático os indivíduos terão dificuldades