In der vorliegenden Arbeit wird erstmals ein transparentes elektrochromes Display (ECD) höchster Auflösung (720 dpi) beschrieben. Die Entwicklung erforderte grundlegende Arbeiten an den einzelnen Komponenten, insbesondere (i) an der Arbeitselektrode und (ii) an der Gegenelektrode.Die Arbeitselektrode des ECD enthält ein digital festgelegtes elektrochromes Bild, welches mit Hilfe der Ink-Jet-Technik nach verschiedenen Methoden übertragen wurde. Der Druck eines Bildpositivs mit elektrochromer Tinte (Viologen) auf eine mit mesoporösem TiO2 beschichtete Glaselektrode lieferte dabei die besten Ergebnisse. Mit verschiedenen Elektrochromophoren konnten Mehrfarbendrucke erzeugt werden. Als Problem trat dabei auf, daß das Bild in einem ECD nach vier Monaten Lagerung unscharf wird. Die Lösung bestand darin, einen Viologenvorläufer zu drucken, der in einer anschließenden kaskadenartigen Synthese quervernetzt wurde. Zur weiteren Optimierung der Parameter (i) berflächenkonzentration der Viologenzentren, (ii) Stabilität gegenüber polaren Lösemitteln und (iii) Pimerisierungsgrad, wurden erstmals auch kombinatorische Experimente mit einem Ink-Jet Drucker durchgeführt. Ein weiteres Thema dieser Arbeit ist die Entwicklung transparenter Gegenelektroden, welche auf dem Prinzip der Lithiumioneninterkalation in CeO2 basieren. Dazu wurde ein bereits bekannter Typ von CeO2-TiO2-Mischoxidelektroden weiterentwickelt. Ein in dieser Arbeit neu entwickelter Typ einer Gegenelektrode mit verbesserter Kinetik besteht aus einem Zweiphasenoxidgemisch, mit CeO2 auf der inneren Oberfläche einer mesoporösen, antimondotierten SnO2-Schicht (ATO). Aus den Einzelkomponenten wurden verschiedene ECDs zusammengesetzt.

Det här arbetet är en litteraturstudie som syftar till att sammanfatta gymnasieelevers svårigheter med det matematiska området kombinatorik och undervisningsstrategier för att undvika dessa. Studien visar att elever har flera svårigheter inom området kombinatorik. Eleverna har främst svårt med att skilja på när de ska använda sig av formler för permutationer eller formler för kombinationer samt svårighet att lista antalet utfall vid försök i kombinatoriska problem. Det förekom dock även andra svårigheter, som att eleverna hade problem med att förstå frågan, svårighet med att generalisera fram svar, svårt med omskrivningar av de kombinatoriska formlerna samt att använda multiplikation och addition på ett korrekt sätt. De strategier för att undvika svårigheter som lyfts i är ”märkningsstrategin” och ”småproblemstrategin”. ”Märkningsstrategin” är en strategi som löser kombinatoriska problem utan användning av begreppen permutation och kombination då de orsakade svårigheter för eleverna. ”Småproblemstrategin” används främst vid stora kombinatoriska problem för att undvika svårigheter som ”överräkning” och för att hitta mönster. Vetskapen om dessa svårigheter och strategier kan bidra till att lärare använder sig av mer framgångsrika sätt att bedriva undervisningen på för att minska risken för elevers svårigheter. / This study is a literature study which summarizes Upper secondary students’ difficulties regarding the mathematical field of combinatorics, and teaching strategies to avoid those. The study shows that the students’ have multiple difficulties within the field of combinatorics. The students’ main difficulties are to distinguish between which formula to use regarding permutation or combination, and also difficulties listing the number of outcomes when trying to solve a combinatorial problem. Other difficulties also occurred like students’ struggling to understand the question, difficulties generalizing answers, difficulties with paraphrases of combinatorial formulas as well as to use multiplication and addition in a correct way. The strategies mentioned in the articles, to avoid these difficulties, are “the labeling strategy” and “the strategy of using smaller problems”. “The labeling strategy” is a strategy which solves combinatorial problems without the use of the concepts permutation and combination since they cause difficulties for the students. “The strategy of using smaller problems” are especially used in big combinatorial problems to avoid difficulties like overcounting and finding patterns. The knowledge of these difficulties and strategies to avoid them can contribute to teachers using more successful ways of teaching and to reduce the risk of students having difficulties.

Detta examensarbete djupdyker i de språkliga, kontextuella och kognitiva utmaningar som andraspråkare står inför vid matematisk problemlösning inom kombinatorik. Genom observationer av elevers arbete i smågrupper deltog informanterna aktivt i lösningen av övningsuppgifter. Dessutom belystes användningen av kvalitativ metod för att utforska elevers utmaningar och söka lösningar. Datainsamlingen, fokuserande på informanternas svar och observationer, övervann initiala rekryteringsutmaningar. Arbetet understryker vikten av att identifiera och förstå de specifika utmaningar som andraspråkare mötte inom matematikämnet, med syftet att utveckla effektiva undervisningsmetoder och stödsystem.Det teoretiska ramverket och analysmetoder som användes för att kategorisera datamaterialet enligt problemrummet var Campbells modell och MAD-diagram. De gav en djupare inblick i varje specifik grupp och identifierade utmaningar under observationerna. MAD-diagrammet använde olika färger för att representera problemrummets aspekter och tiden mättes i sekunder för att fånga varje nyans i gruppens prestation under olika uppgifter. Olika koder och bokstäver användes i diagrammet. Forskningsfrågor som rapporten svarade på handlade om hur uppgiftskontexten kunde utgöra kulturell och språklig kontext/färgning för elever med utländsk bakgrund vid matematisk problemlösning i sannolikhetslära, särskilt kombinatorik och hur elevgruppernas aktiviteter hade utvecklat sig över tiden de löser en uppgift.Resultaten pekade på att uppgiftskontexten utgjorde en potentiell barriär för elever med utländsk bakgrund, där förståelse av såväl den kulturella kontexten som begreppen kunde vara utmanande. För att skapa en inkluderande matematikundervisning föreslogs strategier, inklusive en tidig betoning av kulturella aspekter i undervisningen. Dessutom fanns det påverkan av gruppstrutur på gruppresultat och aktiviteter som pågick under observationstider.Diskussionen kretsar kring kulturella perspektiv i olika grupper och deras påverkan på uppfattningar, särskilt när det gäller kulturkrockar kring matval och klädesval. Vikten av att förstå och respektera olika kulturella normer betonas.

Lozenges are polygons constructed by gluing two equilateral triangles along an edge. We can fit lozenge pieces together to form larger polygons and given an appropriate polygon we can tile it with lozenges. Lozenge tilings of the semi-regular hexagon with sides A,B,C can be viewed as the 2D picture of a stack of cubes in a A x B x C box. In this project we investigate the typical shape of a tiling as the sides A,B,C of the box grow uniformly to infinity and we consider two cases: The uniform case where all tilings occur with equal probability and the q^Volume case where the probability of a tiling is proportional to the volume taken up by the corresponding stack of cubes. To investigate lozenge tilings we transform it into a question on families of non-intersecting paths on a corresponding graph representing the hexagon. Using the Lindström–Gessel–Viennot theorem we can define the probability of a non-intersecting path crossing a particular point in the hexagon both for the uniform and the $q$-Volume case. In each case this probability function is connected to either the Hahn or the $q$-Hahn orthogonal polynomials. The orthogonal polynomials depend on the sides of the hexagon and so we consider the asymptotic behaviour of the polynomials as the sides grow to infinity using a result due to Kuijlaars and Van Assche. This determines the density of non-intersecting paths through every point in the hexagon, which we calculate, and a ``Arctic curve" result which shows that the six corners of the hexagon are (with probability one) tiled with just one type of lozenge. / "Lozenger" är polygoner konstruerade genom att limma två liksidiga trianglar längs en kant. Vi kan montera lozengstycken ihop för att bilda större polygoner och med en lämplig polygon kan vi lozengplatta den. Lozengplattor av den semi-liksidiga hexagonen med sidorna A, B, C kan ses som 2D-bilden av en stapel kuber i en A x B x C-box. I det här projektet undersöker vi den typiska formen på en platta när sidorna A, B, C på rutan växer till oändlighet och vi tar an två fall: Det likformiga fallet där alla plattor sker med samma sannolikhet och q ^ Volymfallet då sannolikheten för en platta är proportionell mot volymen som tas upp av motsvarande kubstapel. För att undersöka plattor förvandlar vi det till en fråga om samlingar av icke-korsande vägar på en motsvarande graf som representerar hexagonen. Med hjälp av satsen Lindström – Gessel – Viennot kan vi definiera sannolikheten för att en icke-korsande väg går genom en viss punkt i hexagonen både för det enhetliga och $ q $ -volymfallet. I båda fallen är dessa sannolikhetsfunktioner relaterade till Hahn eller $ q $ -Hahn ortogonala polynomer. Dessa ortogonala polynom beror på hexagonens sidor så vi betraktar polynomens asymptotiska beteende när sidorna växer till oändlighet genom ett resultat från Kuijlaars och Van Assche. Detta bestämmer densiteten för de icke-korsande vägarna genom varje punkt i det hexagon vi beräknar. Detta bestämmer också också en '' arktisk kurva '' som visar att hexagonens sex hörn är (med sannolikhet ett) plattade med bara en typ av lozeng.

Diese Arbeit entwickelt aufbauend auf bekannten Resultaten die Modultheorie über der äußeren Algebra in Teilen weiter, insbesondere werden die Tiefe eines Moduls und Moduln mit linearer injektiver Auflösung untersucht. Angewendet werden die Resultate auf die Orlik-Solomon Algebra eines Matroids.

Unter dem Evolutionsprozeß eines Objekts, das aus einer gegebenen Klasse zufällig ausgewählt wird, versteht man das folgende Gedankenexperiment. Zu einem geeigneten Parameter der Objekte der Klasse betrachtet man die Teilklasse derjenigen Objekte, bei denen dieser Parameter einen bestimmten Wert x annimmt. Dadurch stellen sich die folgenden Fragen: Wie sieht ein typisches Objekt dieser Teilklasse aus? Wieviele Objekte gibt es in der Teilklasse? Und: Wie verändern sich die Antworten auf die ersten beiden Fragen, wenn sich x verändert? Die vorliegende Dissertation behandelt Phasenübergänge im Evolutionsprozeß teilweiser Ordnungen und bestimmt die Anzahl teilweiser Ordnungen mit einer gegebenen Anzahl vergleichbarer Paare. Wir bezeichnen durch Pn,d die Klasse aller teilweisen Ordnungen mit n Punkten und dn2 vergleichbaren Paaren. 1978 bestimmte Dhar |Pn,d| im Intervall 1/8 < d < 3/16 und zeigte, daß hier eine typische Ordnung aus drei "Ebenen" besteht. 1979 bestimmten Kleitman und Rothschild |Pn,d| im Intervall 0 < d < 1/8 und zeigten, daß hier eine typische Ordnung aus zwei Ebenen besteht, also bipartit ist. Das Hauptergebnis der Dissertation ist es, ein vollständiges Bild des Evolutionsprozesses zu geben. Wir bestimmen |Pn,d| im gesamten Intervall 0 < d < 1/2 und zeigen, daß es unendlich viele Phasenübergänge gibt. Abschließend beschreiben wir, wie sich die Struktur einer typischen Ordnung während dieser Phasen verändert. / The evolution process of a random structure from a certain class denotes the following "experiment". Choose a parameter of the objects in the class under consideration and consider only the subclass of those objects where the parameter is equal to a fixed value x. Then the following questions arise quite naturally: What does a typical object from this subclass look like? How many objects are there in this subclass? And how do the answers to the first two questions change when x changes? This thesis investigates the phase transitions in the evolution of partially ordered sets and determines the number of partially ordered sets with a given number of comparable pairs. Denote by Pn,d the class of all n-point posets with dn2 comparable pairs. In 1978, Dhar determined |Pn,d| in the range 1/8 < d < 3/16 and showed that here a typical poset consists of three layers. In 1979, Kleitman and Rothschild determined |Pn,d| in the range 0 < d < 1/8 and showed that here a typical poset consists of two layers, i.e. it is bipartite. The main result of this thesis is to complete the picture by describing the whole evolution process of Pn,d in the range 0 < d < 1/2. We determine |Pn,d| for any d and show that there exist an infinite number of phase transitions. Finally we describe how the structure of a typical partially ordered set changes during these phases.

In dieser Arbeit wird zuerst das Theorem von Chung, Graham und Wilson über quasi-zufällige Graphen zur sogenannten schwachen Quasi-Zufälligkeit für k-uniforme Hypergraphen verallgemeinert und somit eine Reihe äquivalenter Eigenschaften bestimmt. Basierend auf diesen Resultaten werden nichtbipartite Graphen gefunden, welche die Quasi-Zufälligkeit für Graphen ``forcieren''''. Zuvor waren nur bipartite Graphen mit dieser Eigenschaft bekannt. Desweiteren ist ein konzeptionell einfacher Algorithmus zum Verifizieren nicht erfüllbarer zufälliger k-SAT Formeln angegeben. Dann richtet sich der Fokus auf Anwendungen verschiedener Regularitätslemmata für Hypergraphen. Zuerst wird die Menge aller bezeichneten 3-uniformen Hypergraphen auf n Knoten, die keine Kopie des Hypergraphen der Fano Ebene enthalten, studiert. Es wird gezeigt, dass fast jedes Element aus dieser Menge ein bipartiter Hypergraph ist. Dies führt zu einem Algorithmus, der in polynomiell erwarteter Zeit einen zufälligen Fano-freien (und somit einen zufälligen bipartiten 3-uniformen) Hypergraphen richtig färbt. Schließlich wird die folgende extremale Funktion studiert. Es sind r Farben gegeben sowie ein k-uniformer Hypergraph F. Auf wie viele verschiedene Arten kann man die Kanten eines k-uniformen Hypergraphen H färben, so dass keine monochromatische Kopie von F entsteht? Welche Hypergraphen H maximieren die Anzahl erlaubter Kantenfärbungen? Hier wird ein strukturelles Resultat für eine natürliche Klasse von Hypergraphen bewiesen. Es wird für viele Hypergraphen F, deren extremaler Hypergraph bekannt ist, gezeigt, dass im Falle von zwei oder drei Farben die extremalen Hypergraphen die oben beschriebene Funktion maximieren, während für vier oder mehr Farben andere Hypergraphen mehr Kantenfärbungen zulassen. / This thesis presents first one possible generalization of the result of Chung, Graham and Wilson to k-uniform hypergraphs, and studies the so-called weak quasi-randomness. As applications we obtain a simple strong refutation algorithm for random sparse k-SAT formulas and we identify first non-bipartite forcing pairs for quasi-random graphs. Our focus then shifts from the study of quasi-random objects to applications of different versions of the hypergraph regularity lemmas; all these versions assert decompositions of hypergraphs into constantly many quasi-random parts, where the meaning of ``quasi-random'''' takes different contexts in different situations. We study the family of hypergraphs not containing the hypergraph of the Fano plane as a subhypergraph, and show that almost all members of this family are bipartite. As a consequence an algorithm for coloring bipartite 3-uniform hypergraphs with average polynomial running time is given. Then the following combinatorial extremal problem is considered. Suppose one is given r colors and a fixed hypergraph F. The question is: In at most how many ways can one color the hyperedges of a hypergraph H on n vertices such that no monochromatic copy of F is created? What are the extremal hypergraphs for this function? Here a structural result for a natural family of hypergraphs F is proven. For some special classes of hypergraphs we show that their extremal hypergraphs (for large n) maximize the number of edge colorings for 2 and 3 colors, while for at least 4 colors other hypergraphs are optimal.

Dyson-Schwinger-Gleichungen sind Fixpunktgleichungen, die in der Quantenfeldtheorie auftauchen. Obwohl es bekannt ist, wie die Kombinatorik vor der Anwendung von Feynman-Regeln aussieht, war die Kombinatorik der resultierenden analytischen Dyson-Schwinger-Gleichungen bisher unbekannt. Wir verallgemeinern die Arbeiten von Yeats et.al. auf diesem Gebiet zu einer Klasse von unendlich vielen Dyson-Schwinger-Gleichungen mit Hilfe von Sehnen-Diagrammen. / In quantum field theory, Dyson-Schwinger equations are fixed-point equations that come from self insertion properties of Feynman graphs. While the combinatorics of these are well understood, the combinatorics are still mysterious after applying the Feynman rules. We generalize the work of Yeats et.al. in this field to an infinite number of Dyson-Schwinger equations with the help of chord diagrams.

The rapid developments in the field of DNA computing reflects two substantial questions: 1. Which models for DNA based computation are really universal? 2. Which model fulfills the requirements to a universal lab-practicable programmable DNA computer that is based on one of these models? This paper introduces the functional model DNA-HASKELL focussing its lab-practicability. This aim could be reached by specifying the DNA based operations in accordiance to an analysis of molecular biological processes. The specification is determined by an abstraction level that includes nucleotides and strand end labels like 5'-phosphate. Our model is able to describe DNA algorithms for any NP-complete problem - here exemplified by the knapsacik problem - as well as it is able to simulate some established mathematical models for computation. We point out the splicing operation as an example. The computational completeness of DNA-HASKELL can be supposed. This paper is based on discussions about the potenzial and limits of DNA computing, in particular the practicability of a universal DNA computer.

The quadratic traveling salesman problem (QTSP) is an extension of the (classical) Traveling Salesman Problem (TSP) where the costs depend on each two nodes that are traversed in succession, i. e., on the edges in the symmetric (STSP) and on the arcs in the asymmetric case (ATSP). The QTSP is motivated by an application in bioinformatics. It can be used in the solution of certain Permuted Markov models that are set up for the recognition of transcription factor binding sites and of splice sites in gene regulation. Important special cases are the Angular-Metric TSP used in robotics and the TSP with Reload Costs used in the planning of telecommunication and transport networks. The SQTSP and the AQTSP can be formulated as integer optimization problems over the polytope associated with the STSP resp. ATSP together with a quadratic cost function. We study the polytopes arising from a linearization of the respective quadratic integer programming formulations. Based on the proof of the dimension of the polytopes using the so called direct method we can prove the facetness of several valid inequalities. These facets and valid inequalities can be divided into three large groups. Some are related to the Boolean quadric polytope. Furthermore we introduce the conflicting edges/arc inequalities that forbid certain configurations of edges and 2-edges resp. of arcs and 2-arcs. Finally, we strengthen valid inequalities of STSP and ATSP in order to get stronger inequalities in the quadratic case. We present two general lifting approaches. One is applicable to all inequalities with nonnegative coefficients and the second allows to strengthen clique tree inequalities. Applying these approaches to the subtour elimination constraints leads to facets in most cases, but in general facetness is not preserved. In addition, the complexity of the separation problems for some of the facet classes is studied. Finally, we present some computational results using a branch-and-cut framework, which is improved by some of the newly derived cutting planes. The tested instances from biology could be solved surprisingly well. Instances with up to 100 nodes could be solved in less than 700 seconds improving the results in the literature by several orders of magnitude. For most of the randomly generated instances using some additional separators allowed to reduce the root gaps and the numbers of nodes in the branch-and-cut tree significantly, often even the running times.