In this thesis we start off by ensuring that the reader is up to speed when it comes to some well known definitions and theorems from real analysis. We then introduce the reader to metric spaces and provide them with some examples such as the real numbers with the Euclidean distance, and compact sets with the Hausdorff distance. Then, we go on to define important concepts such as inner points, limit points, open sets, boundary and much more. We also show, whenever we can, how these concepts are connected. With these tools in place we move on to explain how limits and continuity are defined in metric spaces as well as providing the reader with several examples. We then introduce the reader to the concepts of compactness and uniform convergence, for which we show some interesting results such as how uniform convergence and the supremum norm are related. We finish off by covering curves and connectedness (including pathconnectedness) in metric spaces, before we briefly touch on topological spaces as to give the reader a hint of what further mathematics studies might hold. / I detta examensarbete börjar vi med att försäkra oss om att läsaren har de förkunskaper som behövs för att kunna ta del av arbetet. Detta görs genom att påminna läsaren om viktiga definitioner och satser från reell analys. Därefter introducerar vi läsaren till metriska rum och ger en mängd olika exempel på dessa som läsaren förhoppningsvis redan stött på. Detta inkluderar bland annat de reella talen med euklidiskt avstånd och slutna och begränsade mängder med Hausdorff-avstånd. När vi väl förklarat distanskonceptet introducerar vi inre punkter, hopningspunkter, öppna mängder, randpunkter och mycket mer. Vi visar dessutom, närhelst vi kan, hur dessa koncept hänger samman. När alla dessa grundbegrepp är etablerade kan vi fortsätta med att förklara gränsvärden och kontinuitet i metriska rum. Vi ger även läsaren flera exempel på detta. I arbetets andra hälft tar vi upp kompakthet och likformig konvergens, för vilka vi presenterar en del intressanta resultat, såsom hur likformig konvergens och supremumnormen är relaterade. Vi avslutar examensarbetet genom att gå igenom kurvor och sammanhängande mängder (inklusive bågvis sammanhängande mängder) i metriska rum, innan vi kort tar upp topologiska rum för att ge läsaren en föraning om vad vidare matematikstudier kan innehålla.

In this thesis, the credit worthiness of a company is modelled using a stochastic process. Two credit models are considered; Merton's model, which models the value of a firm's assets using geometric Brownian motion, and the distance to default model, which is driven by a two factor jump diffusion process. The probability of default and the default time are simulated using Monte Carlo and the number of scenarios needed to obtain convergence in the simulations is investigated. The simulations are performed using the probability matrix method (PMM), which means that a transition probability matrix describing the process is created and used for the simulations. Besides this, two variance reduction techniques are investigated; importance sampling and antithetic variates. / I den här uppsatsen modelleras kreditvärdigheten hos ett företag med hjälp av en stokastisk process. Två kreditmodeller betraktas; Merton's modell, som modellerar värdet av ett företags tillgångar med geometrisk Brownsk rörelse, och "distance to default", som drivs av en två-dimensionell stokastisk process med både diffusion och hopp. Sannolikheten för konkurs och den förväntade tidpunkten för konkurs simuleras med hjälp av Monte Carlo och antalet scenarion som behövs för konvergens i simuleringarna undersöks. Vid simuleringen används metoden "probability matrix method", där en övergångssannolikhetsmatris som beskriver processen används. Dessutom undersöks två metoder för variansreducering; viktad simulering (importance sampling) och antitetiska variabler (antithetic variates).

In the study of the weighted p-Laplace equation, it is often important to acquire good estimates of capacities. One useful tool for finding such estimates in metric spaces is exponent sets, which are sets describing the local dimensionality of the measure associated with the space. In this thesis, we limit ourselves to the weighted Rn space, where we investigate the relationship between exponent sets and Muckenhoupt Ap-weights - a certain class of well behaved functions. Additionally, we restrict our scope to radial weights, that is, weights w(x) that only depend on |x|. First, we determine conditions on α such that |x|α ∈ Ap(μ) for doubling measures μ on Rn. From those results, we develop weight exponent sets - a tool for making Ap-classifications of general radial weights, under certain conditions. Finally, we apply our techniques to the weight |x|α(log 1/|x|)β. We find that the weight belongs to Ap(μ) if α ∈ (-q, (p-1)q), where q = sup Q(μ) is a constant associated with the dimensionality of μ. The Ap-conditions in this thesis are found to be sharp.

The Swedish Sea Rescue Society (SSRS) is exploring how small, remotely launched drones can help in making the rescue work safer and more efficient. The planned drone to be used for such purposes is a 1 kg, 1 m wide, foam constructed, flying wing drone. Aviation regulatory authorities are however struggling with the problem posed by balancing the benefits of unmanned aerial vehicles (UASs) with the safety risk posed to manned aircraft, people and structures on the ground. A risk assessment framework called Specific Operations Risk Assessment (SORA) states specifications on risks that a certain operation can generate. An impact study was requested from SSRS as the purpose of this master thesis, to make sure the drones will not cause danger to other aircraft in the same airspace. SSRS needs to know how dangerous their drone is according to the regulations and how they can improve the design. A literature study was made to determine the critical scenarios for the UAVs area of application. A mathematical collision model was developed where the properties of the flying wing were considered to determine the energies involved. The results provide limits for when a small flying wing poses danger in its area of operation. The results also shows the effects of having a crumple zone included in the construction. A crumple zone only makes a difference when colliding at lower speeds. For the future, a combined model for the UAV to be used with the collision object would provide more accurate results since they affect each other in the collision. / Sjöräddningssällskapet (SSRS) undersöker hur små, fjärrstyrda drönare kan göra deras räddningsarbete säkrare och effektivare. Den planerade drönaren som ska användas för sådana ändamål är en 1 kg, 1 m bred, skumkonstruerad, drönare av typen flygande vinge. Luftfartsmyndigheterna strävar efter att balansera fördelarna med obemannade flygfordon (UAS) med säkerhetsrisken för bemannade flygplan, människor och byggnader. En riskbedömningsram som benämns Specific Operations Risk Assessment (SORA) anger specifikationer för risker som en viss tillämning kan generera. En konsekvensstudie vid kollision med drönare begärdes från SSRS som syfte med detta examensarbete. Detta för att säkerställa att drönarna inte kommer att orsaka fara för andra flygfarkoster i samma luftrum som deras UAV ska användas. SSRS behöver veta hur riskfylld deras drönare är enligt riskspecifikationerna och hur de kan förbättra sin design. En litteraturstudie gjordes för att bestämma de kritiska scenarierna för deras drönares tillämpningsområde. En matematisk kollisionsmodell har utveklats som tar hänsyn till drönarens material och konstruktion och hur det påverkar de involverade energierna. Resultaten sätter gränser för när en liten fjärrstyrd drönare kan utgöra fara i sitt användningsområde. Resultaten visar också effekten av att ha en deformationszon på drönaren. En deformationzon visar sig, bara göra skillnad i kollisioner vid låga hastigheter. För framtiden skulle en kombinerad modell för den UAV som ska användas med kollisionsobjektet ge mer exakta resultat, eftersom de påverkar varandra i kollisionen.

The technical feasibility of gasoline and diesel range hydrocarbons production through oligomerisation of olefins, starting from biomass with the intermediary steps of gasfication, water-gas shift reaction and syngas-to-olefins synthesis was investigated, through mathematical modelling and simulation on Matlab. The model for the gasifier was based on minimisation of Gibbs free energy and its results showed that higher carbon efficiencies could be achieved at lower pressures and steam inlet, and more inlet energy, by pre-heating the gasifying agents. The water-gas shift reactor was used to increase the ratio of hydrogen to carbon monoxide from the gasifier, before entering the syngas-to-olefins process. A 1-D model was employed to determine the concentration, temperature, and pressure profiles in the reactor. High inlet pressure and temperature were shown to be beneficial, by requiring smaller reactors for the desired ratios to be reached. Experimental data from scientific literature was used for empirical modelling of the Fischer-Tropsch reactor. Partial pressure of CO and H2 amounting to 1 bar, high temperature and H2/CO showed better production of the low olefins. A reaction mechanism and accordingly, rate equations were developed and employed in a plug-flow type reactor model, calculating the concentration profile of the olefins up to C20. High pressures were favourable for the production of heavier fractions, while elevated temperatures showed to cause more cracking of heavy hydrocarbons and consequently, less conversion. Based on the results of individual reactors, an integrated process flow diagram was suggested and optimised for maximum production of low olefins to the oligomerisation reactor (C2-4). The optimisation showed overall carbon efficiency of the process to be around 20%. The reason for this was associated with the choice of catalyst in the FTO process, due to its high selectivity to carbon dioxide. / Den tekniska genomförbarheten av bensin- och dieselproduktion genom oligomerisering av olefiner, från biomassa via förgasning, vatten-gasförskiftsreaktion och syngas-till-olefiner syntes undersöktes genom matematisk modellering och simulering på Matlab. Förgasningsmodellen baserades sig på Gibbs energi minimisering. Ju mindre förgasningstryck desto högre uppnås koleffektivitet. Vatten-gasskift reaktorn användas för att anpassa väte/kolmonoxid förhållande från förgasningsreaktorn till syngas till olefiner rektorn. En 1-D modell utvecklades och beräknade reaktorns koncentrationer, temperatur och tryckprofiler. Högre inlopps tryck och temperaturer leder till mindre reaktorer.   Experimentella data från vetenskaplig litteratur användes för att modellara Fischer-Tropsch reaktorn (syngas till olefiner). Partialt tryck av CO och H2 lika med 1 bar, hög temperatur och H2 / CO visade högre produktion av lätta olefiner. En reaktionsmekanism och följaktligen hastighetsekvationer utvecklades för oligomerisering och användades i en pluggflödesreaktor. Modellen beräknade koncentrationer profiler av olefiiner upp till C20.Högre tryck producerar tyngre fraktioner (diesel) medan högra temperaturer främjar krakning. Baserat på resultaten från enskilda reaktorer föreslogs ett integrerat processflödesdiagram och optimerades för maximal produktion av låga olefiner till oligomeriseringsreaktorn (C2-4). Optimeringen visade att den totala koleffektiviteten i processen var cirka 20%. Anledningen till detta var förknippat med valet av katalysator i FTO-processen på grund av dess höga selektivitet för koldioxid.

The paper examines the impact of fees on the return of a fund investment using different simulation and fee structure models. The results show that fees have a significant expected impact, particularly for well-performing funds. Two simulation models were used, the Geometric Brownian Motion (GBM) model and Merton Jump Diffusion (MJD) model. Two fee structures were also analysed for each simulation, a High-water mark fee structure and a Hurdle fee structure. Comparing the GBM and MJD models, the two tend to generate very similar fee statistics even though the MJD model's day-to-day returns fit better with empirical data. When comparing the HWM and Hurdle fee models, larger differences are observed. While overall average fee statistics are similar, the performance fee statistics are significantly higher in the Hurdle fee structure for assets achieving higher returns, e.g. at least an 8% annual return. However, the HWM fee structure tends to generate higher performance fees for assets with low returns. Regression models are also developed for each combination of the simulation model and fee structure. The regression models reflect the above conclusions and can for investors serve as simple key indicators to estimate expected fund fee payments. The GBM regression results are likely more useful than the MJD regression results, as the parameters of the former are easier to calculate based on historical return data. / Uppsatsen undersöker effekten av avgifter på avkastningen av en fondinvestering med hjälp av olika simuleringar och avgiftsmodeller. Resultaten visar att avgifter förväntas ha en betydande påverkan, särskilt för fonder som genererar hög avkastning. Två simuleringar användes, Geometric Brownian Motion (GBM) och Merton Jump Diffusion (MJD). Två avgiftsstrukturer analyserades också för varje simulering, en High-water mark avgiftsstruktur och en Hurdle avgiftsstruktur. Jämförelse mellan GBM och MJD-modellerna visar att de två tenderar att generera mycket liknande avgiftsstatistik trots att MJD-modellens dagliga avkastning passar bättre med empiriska data. Vid jämförelse av HWM- och Hurdle avgiftsmodellerna observeras större skillnader. Medan den övergripande genomsnittliga avgiftsstatistiken är liknande för avgiftsmodellerna, är resultatbaserade avgifterna betydligt högre i Hurdle avgiftsstrukturen för tillgångar som uppnår högre avkastning, t.ex. minst 8% årlig avkastning. Däremot tenderar HWM-avgiftsstrukturen att generera högre resultatbaserade avgifter för tillgångar med låg avkastning. Regressionsmodeller utvecklades också för varje kombination av simulering och avgiftsstruktur. Regressionmodellerna återspeglar ovanstående slutsatser och kan för investerare fungera som enkla nyckeltal för att uppskatta förväntad kostnad av fondavgifter. GBM-regressionsresultaten är sannolikt mer användbara än MJD-regressionsresultaten, eftersom parametrarna för den förra är lättare att beräkna baserat på historisk avkastningsdata.

Samarbete i form av grupparbete är ett gynnsamt arbetssätt för att utveckla problemlösningsförmågan, vilket är väsentligt som samhällsmedborgare. För att grupparbete ska vara gynnsamt krävs det att gruppsammansättningarna skapar förutsättning för samarbete. I sociala sammanhang intas eller tilldelas olika roller, vilket ligger till grund för vilka förväntningar som förekommer mellan gruppmedlemmarna. Syftet med den här kvalitativa studien är därmed att bringa kunskap om roller i relation till elevers arbete med matematisk problemlösning i grundskolans årskurs 3. Studiens två forskningsfrågor: “Vilka roller kan identifieras vid grupparbete med problemlösning?” och “På vilket sätt kan dessa roller påverka elevers arbete med problemlösning?”, har besvarats genom att genomföra semistrukturerade intervjuer i grupper om tre elever. Intervjuerna har genomförts med ljudinspelning som sedan transkriberats och analyserats med utgångspunkt i Goffmans rollteori för att nå ett resultat. Studiens resultat synliggör åtta olika roller, varav fyra roller var sedan tidigare befintliga och resterande fyra har benämnts i denna studie. Rollerna är: Den dominanta initiativtagaren, den samarbetsvilliga initiativtagaren, den samarbetsvilliga utvärderaren, den osäkra medlaren, ofrivilligt passiv, initiativtagarens högra hand, utmanare och provokatör. Rollerna har haft olika inverkan, såväl positivt som negativt, på problemlösningsprocessen och elevernas möjlighet att utveckla problemlösningsförmågan. Utifrån resultatet är vår förhoppning att bidra med kunskap om roller som lärare kan använda för att konstruera gruppsammansättningar som är fördelaktiga för elevernas lärande.

To make mathematics more significant for the beneficiaries, the problem studied in this thesis is to investigate how to connect mathematical daily practices with educational contexts. The overarching aim is to investigate how to contextualise school mathematics within Rwandan cultural mathematics practices. The content of the thesis reports on the characteristics of mathematical organisations in three workplace settings (taxi driving, house construction and restaurant management) which in turn serve as source for the design of contextualised mathematical activities for student teachers in a teacher education programme. Three levels of mathematical practices are described: (1) mathematical practices that are performed by workers within their respective workplaces, (2) mathematical practices that are performed by student teachers while solving and posing contextualised mathematical tasks for secondary school students, (3) mathematical practices that are carried out by secondary school students. Data gathered from individual and group interviews, transcripts of group discussions and students’ written reports of mathematical work were analysed from the perspective of both activity theory and anthropological theory of didactics. Findings from workplace settings revealed that mathematical organisations performed by workers are characterised by techniques which are functional to the problem at hand, the cultural constraints and the educational background of the workers. As long as they are pragmatic towards the goals of the activity no further justification of the techniques used is needed, resulting in a mathematical organisation with undeveloped know-why (logos). On the contrary, at university and secondary school settings, students justified the used techniques throughout the related taught content of the subject mathematics. Also from each category of mathematical practice, it is shown that while connecting workplaces and educational settings the didactic transposition process was much influenced by the institutional conditions and constraints. / För att göra matematiken betydelsefull för avnämarna är problemområdet som studeras i denna avhandling hur den matematik som finns i samhället kan överbryggas till en undervisningskontext. Syftet med avhandlingen är att undersöka hur man kan kontextualisera skolmatematik i kulturella praktiker i Rwanda. I avhandlingen belyses först matematisk organisation på tre arbetsplatser – i en taxiverksamhet, hos en byggmästare och hos en restaurangägare. Matematik i dessa verksamheter utgör underlag för att konstruera uppgifter för lärarstudenter inom ämnet matematik som först löser uppgifterna och sedan i sin tur konstruerar uppgifter för elever motsvarande årskurs nio i grundskolan. Uppgifterna konstrueras med utgångspunkt i den information studenterna fått om de tre verksamheterna. Datainsamlingen skedde med hjälp av individuella intervjuer, gruppintervjuer och bandinspelade gruppdiskussioner samt studenters och elevers nedtecknade lösningar på respektive uppgifter. Data analyserades med hjälp av aktivitetsteori och antropologisk didaktisk teori. Resultaten från arbetsplatserna visade att matematisk organisation kännetecknades av tekniker som är funktionella för de problem som behövde lösas, de kulturella villkor som förelåg och deltagarnas utbildningsbakgrund. Så länge som teknikerna ledde till önskade mål för verksamheten fanns inga behov att utveckla tekniken som kännetecknades av en matematisk organisation med outvecklad logos. I kontrast till denna strategi sågs studenter och elever i respektive miljöer redovisa de tekniker som användes och motivera dem i enlighet med vad som krävs inom matematikämnet. Den matematiska transpositionsprocessen som utfördes av deltagarna i de olika miljöerna influerades i hög grad av rådande institutionella villkor och begränsningar.

Vakuumbrytare som utsätts för höga kortslutningsströmmar (kA) kan förstöras om den rörliga kontaktdelen i brytaren studsar tillbaka för långt efter att den har nått sitt ändläge. Detta p.g.a. att det sker en spänningskollaps mellan kontaktytorna så att en ny ljusbåge uppstår vilket bränner sönder kontaktytorna. En lämplig dämpningsmekanism för att försöka förhindra en återstuds av kontakten fordras. Hur detta kan utvärderas m.h.a. en matematisk modell som bygger på en differentialekvation framtagen ur krafterna som verkar på det mekaniska fjädersystemet, för att försöka uppskatta dämpningskoefficient behandlas i denna rapport. Resultatet visar att en oljedämpare med en slaglängd på max 8 mm är bäst lämpad som dämpare av det mekaniska systemet. Detta baseras på de slutsatser som dras av den matematiska modellen ihop med jämförelser av det verkliga rörelsebeteendet hos brytaren. / <p>Programvaran (skript för Matlab/GNU Octave) som utvecklades för detta projekt kan med fördel användas som bas av framtida studenter som eventuellt fortsätter att arbeta med samma ämne hos Hughes Power System AB. Framför allt gränssnittet för in- och utmatning kan återanvändas så att mer tid kan läggas på kärnfrågan. Detta förutsatt att läroverket ifråga godkänner ett sådant förfarande.</p>

This thesis aims to provide a brief exposition of some chosen modes of convergence; namely uniform convergence, pointwise convergence and L1 convergence. Theoretical discussion is complemented by simple applications to scientific computing. The latter include solving differential equations with various methods and estimating the convergence, as well as modelling problematic situations to investigate odd behaviors of usually convergent methods.