Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

L'objectif général de cette thèse est d'étudier les notions d'aléatoire et d'information algorithmiques - jusqu'ici restreints aux espaces symboliques - sur des espaces plus généraux, précisément les espaces métriques calculables, et d'appliquer ces notions à la théorie des systèmes dynamiques. Les principaux apports sont : (1) le développement d'un cadre robuste pour l'étude d'objets mathématiques (mesures de probabilité, systèmes dynamiques et leurs modèles symboliques) d'un point de vue algorithmique, notamment l'introduction et l'étude détaillée des treillis d'énumération effective; (2) l'extension de l'aléatoire algorithmique aux espaces métriques calculables, améliorant ainsi l'extension menée par Gacs qui imposait une condition supplémentaire à l'espace, et l'étude de quelques notions des probabilités classiques du point de vue de l'aléatoire; (3) un apport à la théorie des systèmes dynamiques, établissant des relations entre l'aléatoire algorithmique et l'aléatoire dynamique. Nous étudions notamment deux notions de complexité algorithmique des orbites, l'une K1 utilisant la mesure, l'autre K2 inspirée du point de vue topologique. Nous montrons que la complexité K1 des orbites partant des points aléatoires est l'entropie du système au sens de la mesure, que la borne supérieure des complexités K2 des orbites est l'entropie topologique, et que K1 et K2 coïncident pour les points aléatoires. Ce travail enrichit les résultats de Brudno et White.

Cette thèse porte tout d'abord sur la dynamique des satellites co-orbitaux. En généralisant le problème des points de Lagrange, des résultats sur l'existence de configurations stationnaires ont été obtenus. Pour N co-orbitaux de masses arbitraires et négligeables devant celle du corps central, l'existence de points d'équilibre dépend de la parité de N. Si N est impair, alors quelles que soient les séparations angulaires entre les satellites, il existe toujours un ensemble de masses qui réalise un équilibre. L'ensemble des solutions physiquement réalistes (masses positives) se restreint à un sous-domaine de séparations angulaires. Pour N pair, des conditions supplémentaires sont à vérfier. Le cas N = 3 est traité globalement, en donnant l'ensemble des solutions d'équilibre et leur stabilité. Pour N > 3, des méthodes numériques sont présentées. Ces résultats ont permis d'élaborer un modèle de confinement des arcs de Neptune compatible avec les dernières observations (Dumas et al., 1999; Sicardy et al., 1999b; de Pater et al., 2004) : les arcs sont piégés entre des petits satellites co-orbitaux (de rayons inférieurs à environ 5 km) en équilibre stable dans l'anneau Adams. La stabilité du système, soumis aux perturbations du satellite Galatéa, a été testée numériquement avec succès. Un scénario de l'origine et de l'évolution d'un tel système est proposé. Dans un deuxième volet, la dynamique de Prométhée et Pandore est examinée. Des observations HST récentes (French et al., 2003) ont révélé des variations brutales et anti-corrélées en moyen mouvement, qui proviennent d'une interaction chaotique entre les deux satellites (Goldreich et Rappaport, 2003a), et qui sont causées par la superposition de 4 résonances de moyen mouvement 121 :118 (Goldreich et Rappaport, 2003b). Nous confirmons ici numériquement le mouvement chaotique en incluant les perturbations des satellites principaux de Saturne. Les masses de Prométhée et Pandore ont été déterminées par ajustement des simulations numériques aux données HST, et correspondent à des masses volumiques moyennes de l'ordre de 0.5 g/cm3. Des éphémérides pour Prométhée et Pandore, durant la mission Cassini autour de Saturne, sont déduites de ces ajustements. Finalement, des simulations à long terme semblent indiquer que Prométhée et Pandore transfèrent du moment cinétique aux satellites co-orbitaux Janus et Epiméthée, augmentant ainsi le temps de vie du système Prométhée-Pandore.

Cette thèse vise à fournir et éprouver de nouveaux outils théoriques, numériques et informatiques de calculs de modes non linéaires pour des structures à non linéarité géométrique et discrétisées par éléments finis. La surface invariane de l'espace des phases caractérisant le mode non linéaire est décrite à partir d'une famille d'orbites périodiques solutions des équations du mouvement. Chaque orbite périodique est discrétisée en temps (schéma de Newmark et de Simo) et formulée à l'aide d'un système d'équation global contenant toutes les inconnues à tous les pas de temps, c'est la méthode simultanée, par opposition à la méthode de tir classique. Les familles d'orbites solutions du système global sont obtenues par la méthode de continuation MAN (Méthode Asymptotique Numérique). Des variations autour de la MAN sont aussi abordées. Il s'agit d'apports liés au contrôle de la continuation au passage des points de bifurcations à l'aide d'une perturbation ajoutée au système d'équation non linéaire. On présente un outil-logiciel, MANLAB, permettant la continuation interactive de diagrammes de bifurcation complexes, qui est appliquée à la continuation de famille d'orbites périodiques.

Cette thèse traite de la détection d’exoplanètes et des propriétés statistiques de leurs orbites. Nous présentons d'abord de nouveaux développements dans la technique de microlentille gravitationnelle. Nous étudions les potentialités de découverte de systèmes inhabituels, comme des planètes flottantes, par des satellites en orbite autour de la Terre. Nous proposons ensuite deux nouvelles approches à la reconstruction d’images, ce qui pourrait mener à un gain de temps important dans l’interprétation des données d’observation. Nous redécouvrons d’abord le résultat peu connu de Asada (2002), en démontrant que l’équation bidimensionnelle des lentilles peut être réécrite en termes de systèmes triangulaires grâce au théorème de Labatie. Cela permet de résoudre une seule équation polynomiale réelle, au lieu de l’équation complexe habituelle. Nous proposons ensuite une nouvelle technique de reconstruction d’images basée sur la résolution d’un système d’équations différentielles ordinaires. Dans la deuxième partie de la thèse, nous faisons un premier pas vers une théorie statistique des architectures planétaires. Nous montrons que l’ensemble microcanonique de la dynamique séculaire dans le système solaire permet d’estimer assez précisément la densité de probabilité des paramètres orbitaux des planètes. Comme la dynamique future de nos planètes ne diffère pas essentiellement de l’excitation gravitationnelle à la quelle sont sujettes les exoplanètes dans la dernière phase de leur formation, un tel résultat constitue un indice préliminaire mais précieux de l’efficacité d’une approche statistique aux architectures planétaires. / This thesis deals with exoplanet detection and the statistical properties of planetary systems. In the first part of the dissertation, we present new developments in the technique of gravitational microlensing. We explore the potentialities of geosynchronous and low Earth orbit satellites to discover unusual systems, such as rogue planets and miniature planetary systems around low-mass brown dwarfs. We then propose two new approaches to image reconstruction, which could result in a precious speed-up when interpreting observational data. We first rediscover the not-well-known result of Asada (2002), demonstrating that the two-dimensional lens equation can be rewritten in terms of triangular systems via Labatie’s theorem. That allows to solve basically a single real polynomial equation, instead of the usual complex one. We then propose a technique of image reconstruction based on the resolution of a system of ordinary differential equations. This turns out to have a number of advantages, among them a straightforward application to the general case of N point-mass lenses. In the second part of the thesis, we take a first step towards a statistical theory of planetary architectures. We show that the microcanonical ensemble of secular dynamics in the solar system provides a very good guess of the probability density of the planet orbital elements over Gyr timescales. Since the future dynamics of our planets is essentially analogue to the gravitational excitation undergone by exoplanets during the final, gas-free phase of their formation, such a result constitutes a preliminary but valuable hint of the effectiveness of a statistical approach to planetary architectures.

Depuis la découverte de la première planète orbitant une étoile de la séquence principale autre que le Soleil en 1995, ce champ de recherche a connu une croissance vertigineuse, tant au niveau des observations, que des modèles théoriques développés en parallèle. Même si la formation et l’évolution des systèmes planétaires restent encore mal comprises dans leur globalité, Il est à peu près certain que les planètes se forment dans des disques protoplanétaires et interagissent avec ces derniers durant la phase primordiale de leur évolution. Cette thèse s’attache à décrire certains aspects de ces interactions. Parmi les problèmes soulevés par les nombreuses observations d’exoplanètes, on peut citer l’existence des Jupiter chaudes, géantes gazeuses dont la révolution autour de leur étoile s’effectue en quelques jours à peine. Il est communément admis qu’elles se sont formées dans les parties externes du disque, pour ensuite migrer vers l’intérieur. Cependant , les processus de migration restent encore débattus. On pourra aussi noter qu’un nombre important de planètes détectées, notamment par la méthode des vitesses radiales, présentent de fortes excentricités. Cette observation contraste avec celle de notre propre Système Solaire, où les planètes géantes ont des orbites quasi-circulaires. Cette distribution d’excentricités témoigne probablement d’une certaine richesse dans les interactions dynamiques entre les planètes d’un même système. Un autre résultat majeur des quelques dernières années est l’observation de planètes à faible période orbitale dont l’orbite n’est pas alignée avec l’axe de rotation de leur étoile. Cette observation pourrait potentiellement remettre en question l’idée selon laquelle ces planètes acquièrent leur faible période par le biais de la migration au sein du disque. Par conséquent, il est important de pouvoir différencier quelles sont les caractéristiques observationelles des exoplanètes qui sont le fruit de leurs interactions mutuelles, et celles qui peuvent être expliquées lors de la phase d’interaction avec le disque protoplanétaire. D’une part, cela permet d’imposer des contraintes sur la physique des disques protoplanétaires. D’autre part, il est intéressant de savoir à quoi ressemble le système de planètes une fois que le disque se dissipe, et à quelles conditions intiales peut-on s’attendre lorsque les planètes commencent à interagir entre elles sans la présence du disque. Par exemple, est-il possible pour une ou des planètes d’acquérir de l’excentricité et de l’inclinaison au sein du disque, et de les maintenir par la suite. De plus, il est certain que le disque domine l’évolution des planètes au stage primordial de leur vie, mais jusqu’à quel point cela limite-t-il les interactions entre les planètes ? / Since the discovery of the first planet orbiting a main-sequence star outside the solar system in 1995, the field of exoplanet studies has grown rapidly, both from the observational and theoretical sides. Despite the fact that we are still lacking a global picture for the formation and evolution of planetary systems, it is now commonly accepted that planets form in protoplanetary discs and interact with them in the early stages of their evolution. This thesis aims at studying some of these interactions. The observations of extrasolar planets have brought several puzzling results to the attention of the community. One of them is the existence of hot Jupiters, giant gaseous planets which orbit their parent star with a period of a few days only. The commonly accepted scenario is that they formed in the outer parts of the disc and migrated inward. Furthermore, a significant number of planets detected so far, especially by the method of radial velocities, have high eccentricities. This is in contrast with our own solar system where giant planets have quasi-circular orbits. Such a distribution of eccentricities may be the signature of strong dynamical interactions between the different components of a same planetary system. Finally, there are short-period planets whose orbits is misaligned with the axis of rotation of their host star, which could possibly argue against the smooth migration of planets in their disc. Therefore, it is important to disentangle between the orbital characteristics that planets acquired through mutual dynamical interactions, and the ones they acquired when they interacted with the disc. Firstly, it gives constraints on the physical parameters of protoplanetary discs. Secondly, it is interesting to know the properties of the system of planets after the disc has dissipated, and what sort of initial conditions one can expect when planets start to interact freely one with each other. For instance, one can ask if it is possible for planets to reach large eccentricities and inclinations when the disc was still present, and whether they could maintain them or not.

Nous avons étudié le mélange de fluides visqueux dans des écoulements 2-D ouverts et fermés où des agitateurs créent de l'advection chaotique, i.e. des trajectoires lagrangiennes complexes. Notre étude, expérimentale, numérique et théorique, s'appuie sur deux types d'expériences de mélange chaotique, en domaine fermé et dans un canal ouvert. En système fermé, nous avons d'abord proposé une caractérisation topologique du mélange reposant sur l'enchevêtrement des trajectoires de points périodiques -- les "tiges fantômes". D'autre part, l'étude expérimentale du champ de concentration d'un colorant nous a permis de décrire le rôle des murs du domaine où se fait le mélange, pour les écoulements fermés comme ouverts. En fermé, la nature chaotique ou régulière des trajectoires initialisées près des bords détermine l'évolution du champ de concentration, même loin des bords. Nous avons ainsi observé une dynamique lente (algébrique) de l'homogénéisation quand la région chaotique s'étend jusqu'à des murs non-glissants. En ouvert, nous avons décrit l'évolution du champ de concentration dans, et en aval de la région de mélange, résultant de l'injection d'un blob de colorant. Nous avons décrit les éléments mal mélangés qui s'échappent aux temps courts, et l'apparition d'un motif permanent (auto-similaire) aux temps longs, déterminé par les orbites périodiques de la région de mélange. Des modifications de ce scénario apparaissent quand la région de mélange va jusqu'aux murs. Enfin, une modélisation à base de transformation du boulanger généralisée nous a permis de comprendre l'essentiel des mécanismes rencontrés.

Le sujet de cette thèse est la question du nombre minimal d'orbites de Reeb distinctes sur une variété de contact qui est le bord d'une variété symplectique compacte.<p>L'homologie symplectique $S^1$-équivariante positive est un des outils principaux de cette thèse; elle est construite à partir d'orbites périodiques de champs de vecteurs hamiltoniens sur une variété symplectique<p>dont le bord est la variété de contact considérée.<p>Nous analysons la relation entre les différentes variantes d'homologie symplectique d'une variété symplectique exacte compacte (domaine de Liouville) et les orbites de Reeb de son bord.<p>Nous démontrons certaines propriétés de ces homologies.<p>Pour un domaine de Liouville plongé dans un autre, nous construisons un morphisme entre leurs homologies.<p>Nous étudions ensuite l'invariance de ces homologies par rapport au choix de la forme de contact sur le bord.<p>Nous utilisons l'homologie symplectique $S^1$-équivariante positive pour donner une nouvelle preuve d'un théorème de Ekeland et Lasry<p>sur le nombre minimal d'orbites de Reeb distinctes sur certaines hypersurfaces dans $R^{2n}$.<p>Nous indiquons comment étendre au cas de certaines hypersurfaces dans certains fibrés en droites complexes négatifs.<p>Nous donnons une caractérisation et une nouvelle façon de calculer l'indice de Conley-Zehnder généralisé, défini par Robbin et Salamon pour tout chemin de matrices symplectiques.<p>Ceci nous a mené à développer de nouvelles formes normales de matrices symplectiques.<p>/<p>This thesis deals with the question of the minimal number of distinct periodic Reeb orbits on a contact manifold which is the boundary of a compact symplectic manifold.<p>The positive $S^1$-equivariant symplectic homology is one of the main tools considered in this thesis.<p>It is built from periodic orbits of Hamiltonian vector fields in a symplectic manifold whose boundary is the given contact manifold.<p>Our first result describes the relation between the symplectic homologies of an exact compact symplectic manifold with contact type boundary (also called Liouville domain), and the periodic Reeb orbits on the boundary.<p>We then prove some properties of these homologies.<p>For a Liouville domain embedded into another one, we construct a morphism between their homologies.<p>We study the invariance of the homologies with respect to the choice of the contact form on the boundary.<p>We use the positive $S^1$-equivariant symplectic homology to give a new proof of a Theorem by Ekeland and Lasry about the minimal number of distinct periodic Reeb orbits on some hypersurfaces in $R^{2n}$.<p>We indicate how it extends to some hypersurfaces in some negative line bundles.<p>We also give a characterisation and a new way to compute the generalized Conley-Zehnder index defined by Robbin and Salamon for any path of symplectic matrices.<p>A tool for this is a new analysis of normal forms for symplectic matrices. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Ce mémoire de maîtrise porte sur les billards mathématiques et la distribution des points de réflexion des trajectoires périodiques d’une table de billard strictement convexe. Un billard mathématique est un système dynamique généré par le mouvement libre d’une particule à l’intérieur d’un domaine dont la frontière est parfaitement réfléchissante. Une question d’intérêt particulier dans l’étude des billards mathématiques est celle de ses trajectoires périodiques. Nous considérons le cas des billards planaires strictement convexes. Il est connu que les points de réflexion des trajectoires périodiques de période n faisant un tour de table sont équidistribués par rapport à une mesure naturelle sur la frontière. Nous montrons ce résultat par une méthode nouvelle et relativement élémentaire utilisant la théorie de Lazuktin [12]. Dans le premier chapitre, nous donnons une description précise de la dynamique des billards et une brève introduction à la théorie de Lazuktin, aux applications de torsion et aux caustiques. Dans les chapitres 2 à 4, nous développons chacun des concepts précédents et expliquons comment ceux-ci sont liés aux billards. Le chapitre 5 est consacré à la preuve de notre résultat principal, divisée en deux parties. Nous concluons en donnant une annexe sur la théorie de la mesure. / This master’s thesis is concerned with mathematical billiards and distribution of reflection points of periodic trajectories of a strictly convex billiard table. A mathematical billiard is a dynamical system generated by the free motion of a particle inside of a domain with a perfectly reflecting boundary. A question of particular interest in the study of mathematical billiards is that of its periodic trajectories. We consider the case of planar strictly convex billiards. It is known that the reflection points of periodic trajectories of period n making one turn around the table are equidistributed with respect to a natural measure on the boundary. We show this result by a new and relatively elementary method using Lazuktin’s theory [12]. In the first chapter, we give a precise description of billiard dynamics and a brief introduction of Lazuktin’s theory, twist mappings and caustics. In Chapter 2 to 4, we elaborate each of the previous concepts and explain how they are related to billiards. Chapter 5 is dedicated to the proof of our main result, divided into two parts. We conclude by giving an appendix about measure theory.

The escape of trajectories is a ubiquitous phenomenon in open dynamical systems and stochastic processes. If escape occurs repetitively for a statistical ensemble of trajectories, the population of remaining trajectories often undergoes an exponential decay characterised by the so-called escape rate. Its inverse defines the lifetime of the decaying state, which represents an intrinsic property of the system. This paradigm is fundamental to nucleation theory and reaction-rate theory in chemistry, physics, and biology.<p><p>In many circumstances, escape is activated by the presence of noise, which may be of internal or external origin. This is the case for thermally activated escape over a potential energy barrier and, more generally, for noise-induced escape in continuous-time or discrete-time dynamics. <p><p>In the weak-noise limit, the escape rate is often observed to decrease exponentially with the inverse of the noise amplitude, a behaviour which is given by the van't Hoff-Arrhenius law of chemical kinetics. In particular, the two important quantities to determine in this case are the exponential dependence (the ``activation energy') and its prefactor.<p><p>The purpose of the present thesis is to develop an analytical method to determine these two quantities. We consider in particular one-dimensional continuous and discrete-time systems perturbed by Gaussian white noise and we focus on the escape from the basin of attraction of an attracting fixed point.<p><p>In both classes of systems, using path-integral methods, a formula is deduced for the noise-induced escape rate from the attracting fixed point across an unstable fixed point, which forms the boundary of the basin of attraction. The calculation starts from the trace formula for the eigenvalues of the operator ruling the time evolution of the probability density in noisy maps. The escape rate is determined by the loop formed by two heteroclinic orbits connecting back and forth the two fixed points in a two-dimensional auxiliary deterministic dynamical system. The escape rate is obtained, including the expression of the prefactor to van't Hoff-Arrhenius exponential factor./L'échappement des trajectoires est un phénomène omniprésent dans les systèmes dynamiques ouverts et les processus stochastiques. Si l'échappement se produit de façon répétitive pour un ensemble statistique de trajectoires, la population des trajectoires restantes subit souvent une décroissance exponentielle caractérisée par le taux d'échappement. L'inverse du taux d'échappement définit alors la durée de vie de l'état transitoire associé, ce qui représente une propriété intrinsèque du système. Ce paradigme est fondamental pour la théorie de la nucléation et, de manière générale, pour la théorie des taux de transitions en chimie, en physique et en biologie.<p><p>Dans de nombreux cas, l'échappement est induit par la présence de bruit, qui peut être d'origine interne ou externe. Ceci concerne en particulier l'échappement activé thermiquement à travers une barrière d'énergie potentielle, et plus généralement, l'échappement dû au bruit dans les systèmes dynamiques à temps continu ou à temps discret.<p><p>Dans la limite de faible bruit, on observe souvent une décroissance exponentielle du taux d'échappement en fonction de l'inverse de l'amplitude du bruit, un comportement qui est régi par la loi de van't Hoff-Arrhenius de la cinétique chimique. En particulier, les deux quantités importantes de cette loi sont le coefficient de la dépendance exponentielle (c'est-à-dire ``l'énergie d'activation') et son préfacteur.<p><p>L'objectif de cette thèse est de développer une théorie analytique pour déterminer ces deux quantités. La théorie que nous présentons concerne les systèmes unidimensionnels à temps continu ou discret perturbés par un bruit blanc gaussien et nous considérons le problème de l'échappement du bassin d'attraction d'un point fixe attractif. Pour s'échapper, les trajectoires du système bruité initialement contenues dans ce bassin d'attraction doivent alors traverser un point fixe instable qui forme la limite du bassin.<p><p>Dans le présent travail, et pour les deux types de systèmes, une formule est dérivée pour le taux d'échappement du point fixe attractif en utilisant des méthodes d'intégrales de chemin. Le calcul utilise la formule de trace pour les valeurs propres de l'opérateur gouvernant l'évolution temporelle de la densité de probabilité dans le système bruité. Le taux d'échappement est déterminé en considérant la boucle formée par deux orbites hétéroclines liant dans les deux sens les deux points fixes dans un système dynamique auxiliaire symplectique et bidimensionnel. On obtient alors le taux d'échappement, comprenant l'expression du préfacteur de l'exponentielle de la loi de van't Hoff-Arrhenius. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished