In dieser Dissertation werden Kontaktstrukturen auf beliebigen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension untersucht. Dies geschiet vermöge der Rabinowitz-Floer-Homologie (RFH), welche 2009 von Cieliebak und Frauenfelder eingeführt wurde. Ein großer Teil der Arbeit widmet sich den technischen Problemen bei der Definition von RFH. Insbesondere wird die Transversalität für die benötigten Modulräume gezeigt. In einem weiteren Abschnitt wird bewiesen, dass RFH im wesentlichen invariant unter subkrittischer Henkelanklebung ist. Schließlich enthält die Arbeit die Berechnung von RFH für einige Brieskorn-Mannigfaltigkeiten. Die dabei gewonnenen Resultate werden dazu verwendet zu zeigen, dass es auf jeder Mannigfaltigkeit, welche füllbare Kontaktstukturen zulässt, entweder unendlich viele verschiedene füllbare Kontaktstrukturen gibt, oder eine Kontaktstruktur mit unendlich vielen verschiedenen Füllungen oder das für alle füllbaren Kontaktstrukturen die RFH von unendlicher Dimension ist für alle Grade. / This thesis considers fillable contact structures on odd-dimensional manifolds. For that purpose, Rabinowitz-Floer homology (RFH) is used which was introduced by Cieliebak and Frauenfelder in 2009. A major part of the thesis is devoted to technical problems in the definition of RFH. In particular, it is shown that the moduli spaces involved are cut out transversally. Moreover, it is proved that RFH is essentially invariant under subcritical handle attachment. Finally, RFH is calculated for some Brieskorn manifolds. The obtained results are then used to show for every manifold, which supports fillable contact structures, that there exist either infinitely many different fillable contact structures, or one contact structure with infinitely many different fillings or for every fillable contact structure holds that RFH is infinite dimensional in every degree.

Mon travail de thèse consiste à comprendre une géométrie introduite par Cartan en 1933 \cite{Cartan1933}. \textit{La géométrie de Finsler} présente de nombreuses analogies avec cette théorie. Nous avons étudié les grandes lignes de cette géométrie. Le point de départ de Cartan qui est analogue à celui qui conduit à la géométrie finslerienne, est d'imaginer l'espace comme étant un lieu ''d'éléments de contact'', un élément étant la donnée d'un point $M\in\mathcal{M}^n$ et d'un hyperplan $H$ passant par ce point et orienté dans l'espace tangent $T_M\mathcal{M}^n$. Nous avons ainsi défini \textit{la géométrie de Cartan fondée sur la notion d'aire} dans un premier temps, je me suis intéressé à la notion d'orthogonalité dans cette géométrie. La méthode de Cartan pour étudier le problème d'équivalence est un outil puissant qui est implicitement décrit dans cette géométrie. Nous avons ensuite appliqué cette méthode aux équations de Monge-Ampère (cas elliptique), en s'inspirant des travaux de R. Bryant, D. Grossmann et P. Griffiths. Plusieurs faits ne sont pas encore suffisamment clairs pour disposer d'un dictionnaire évident entre ces travaux et celui donné par Cartan.

Dans cette thèse, nous étudions les solutions des équations Hamilton-Jacobi. Plus précisément, nous comparons la solution de viscosité, obtenue comme limite de solutions de l'équation perturbée par un petit terme de diffusion, et la solution minmax, définie géométriquement à partir d'une fonction génératrice quadratique à l'infini. Dans la littérature, il y a des cas bien connus où les deux coïncident, par exemple lorsque le hamiltonien est convexe ou concave, le minmax pouvant alors être réduit à un min ou un max. Mais les solutions minmax et de viscosité diffèrent en général. Nous construisons des "minmax itérés" en répétant pas à pas la procédure de minmax et démontrons que, quand la taille du pas tend vers zéro, les minmax itérés tendent vers la solution de viscosité. Dans une deuxième partie, nous étudions les lois de conservation en dimension un d'espace par le méthode de "front tracking". Nous montrons que dans le cas où la donnée initiale est convexe, la solution de viscosité et le minmax sont égaux. Et comme application, nous décrivons sur des exemples la manière dont sont construites les singularités de la solution de viscosité. Pour finir, nous montrons que la notion de minmax n'est pas aussi évidente qu'il y paraît.

Multisymplectic integration is a relatively new addition to the field of geometric integration, which is a modern approach to the numerical integration of systems of differential equations. Multisymplectic integration is carried out by numerical integrators known as multisymplectic integrators, which preserve a discrete analogue of a multisymplectic conservation law. In recent years, it has been shown that various discretisations of a multi-Hamiltonian PDE satisfy a discrete analogue of a multisymplectic conservation law. In particular, discretisation in time and space by the popular symplectic Runge–Kutta methods has been shown to be multisymplectic. However, a multisymplectic integrator not only needs to satisfy a discrete multisymplectic conservation law, but it must also form a well-defined numerical method. One of the main questions considered in this thesis is that of when a multi-Hamiltonian PDE discretised by Runge–Kutta or partitioned Runge–Kutta methods gives rise to a well-defined multisymplectic integrator. In particular, multisymplectic integrators that are explicit are sought, since an integrator that is explicit will, in general, be well defined. The first class of discretisation methods that I consider are the popular symplectic Runge–Kutta methods. These have previously been shown to satisfy a discrete analogue of the multisymplectic conservation law. However, these previous studies typically fail to consider whether or not the system of equations resulting from such a discretisation is well defined. By considering the semi-discretisation and the full discretisation of a multi-Hamiltonian PDE by such methods, I show the following: • For Runge–Kutta (and for partitioned Runge–Kutta methods), the active variables in the spatial discretisation are the stage variables of the method, not the node variables (as is typical in the time integration of ODEs). • The equations resulting from a semi-discretisation with periodic boundary conditions are only well defined when both the number of stages in the Runge–Kutta method and the number of cells in the spatial discretisation are odd. For other types of boundary conditions, these equations are not well defined in general. • For a full discretisation, the numerical method appears to be well defined at first, but for some boundary conditions, the numerical method fails to accurately represent the PDE, while for other boundary conditions, the numerical method is highly implicit, ill-conditioned and impractical for all but the simplest of applications. An exception to this is the Preissman box scheme, whose simplicity avoids the difficulties of higher order methods. • For a multisymplectic integrator, boundary conditions are treated differently in time and in space. This breaks the symmetry between time and space that is inherent in multisymplectic geometry. The second class of discretisation methods that I consider are partitioned Runge– Kutta methods. Discretisation of a multi-Hamiltonian PDE by such methods has lead to the following two major results: 1. There is a simple set of conditions on the coefficients of a general partitioned Runge– Kutta method (which includes Runge–Kutta methods) such that a general multi- Hamiltonian PDE, discretised (either fully or partially) by such methods, satisfies a natural discrete analogue of the multisymplectic conservation law associated with that multi-Hamiltonian PDE. 2. I have defined a class of multi-Hamiltonian PDEs that, when discretised in space by a member of the Lobatto IIIA–IIIB class of partitioned Runge–Kutta methods, give rise to a system of explicit ODEs in time by means of a construction algorithm. These ODEs are well defined (since they are explicit), local, high order, multisymplectic and handle boundary conditions in a simple manner without the need for any extra requirements. Furthermore, by analysing the dispersion relation for these explicit ODEs, it is found that such spatial discretisations are stable. From these explicit ODEs in time, well-defined multisymplectic integrators can be constructed by applying an explicit discretisation in time that satisfies a fully discrete analogue of the semi-discrete multisymplectic conservation law satisfied by the ODEs. Three examples of explicit multisymplectic integrators are given for the nonlinear Schr¨odinger equation, whereby the explicit ODEs in time are discretised by the 2-stage Lobatto IIIA– IIIB, linear–nonlinear splitting and real–imaginary–nonlinear splitting methods. These are all shown to satisfy discrete analogues of the multisymplectic conservation law, however, only the discrete multisymplectic conservation laws satisfied by the first and third multisymplectic integrators are local. Since it is the stage variables that are active in a Runge–Kutta or partitioned Runge– Kutta discretisation in space of a multi-Hamiltonian PDE, the order of such a spatial discretisation is limited by the order of the stage variables. Moreover, the spatial discretisation contains an approximation of the spatial derivatives, and thus, the order of the spatial discretisation may be further limited by the order of this approximation. For the explicit ODEs resulting from an r-stage Lobatto IIIA–IIIB discretisation in space of an appropriate multi-Hamiltonian PDE, the order of this spatial discretisation is r - 1 for r = 10; this is conjectured to hold for higher values of r. For r = 3, I show that a modification to the initial conditions improves the order of this spatial discretisation. It is expected that a similar modification to the initial conditions will improve the order of such spatial discretisations for higher values of r.

Cette thèse est consacrée à l'étude de deux sujets de géométrie symplectique inspirés<p>de la physique mathématique. Les thèmes que nous développerons mettent en évidence certaines <p>connexions avec la topologie symplectique d'une part, la géométrie Riemannienne d'autre part.<p><p>Dans la partie 1, nous étudions la quantification par déformation formelle d'une variété <p>symplectique, à l'aide de produits star. Nous définissons le groupe des automorphimes<p>hamiltoniens d'un produit star formel. En nous inspirant d'idées de Banyaga, nous <p>identifions ce groupe comme étant le noyau d'un morphisme remarquable sur le groupe<p>des automorphismes du produit star. Nous relions certaines propriétés géométriques de <p>ce groupe d'automorphismes hamiltoniens à la topologie du groupe des difféomorphismes<p>hamiltoniens.<p><p>Dans la partie 2, nous étudions les opérateurs de Dirac symplectiques. Les ingrédients<p>nécessaires à leur construction (algèbre de Weyl, structures $Mp^c$, champs de spineurs <p>symplectiques, connexions symplectiques,) sont également utilisés en quantification géométrique et en<p>quantification par déformation formelle. Les opérateurs de Dirac symplectiques sont construits<p>de manière analogue à l'opérateur de Dirac de la géométrie Riemannienne. Une formule de Weitzenbock<p>lie les opérateurs de Dirac symplectiques à un opérateur elliptique $mathcal{P}$ d'ordre 2. Nous étudions<p>les noyaux de ces opérateurs de Dirac symplectiques et leur lien avec le noyau de P.<p>Sur l'espace hermitien symétrique $CP^n$, nous calculerons le spectre de $mathcal{P}$ et nous <p>prouverons un théorème de Hodge pour les opérateurs de Dirac-Dolbeault symplectiques.<p><p>/<p><p>In this thesis we study two topics of symplectic geometry inspired from mathematical physics.<p><p>Part 1 is devoted to the study of deformation quantization of symplectic manifolds. More precisely, we consider formal star products on a symplectic manifold. We define the group of Hamiltonian automorphisms of a formal star product. Following ideas of Banyaga, we describe this group as the kernel<p>of a morphism on the group of automorphisms of the star product. We relate geometric properties of the group of Hamiltonian automorphisms to the topology of the group of Hamiltonian diffeomorphisms. <p><p>Part 2 is devoted to the study of symplectic Dirac operators. The construction of those operators relies on many concepts used in geometric quantization and formal deformation quantization such as Weyl algebra, $Mp^c$ structures, symplectic spinors, symplectic connections, The construction of symplectic Dirac operators is analogous to the one of Dirac operators in Riemannian geometry. A Weitzenbock formula relates the symplectic Dirac operators to an elliptic operator $mathcal{P}$ of order 2. We study the kernels of the symplectic Dirac operators and relate them to the kernel of $mathcal{P}$. On the hermitian symmetric space <p>$CP^n$, we compute the spectrum of $mathcal{P}$ and we prove a Hodge theorem for the symplectic Dirac-Dolbeault operator. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Résumé de la thèse :ce travail porte sur la notion d'espace symétrique symplectique extrinsèque. Ces espaces sont des espaces symétriques symplectiques dont la structure est induite par le plongement dans variété symplectique ambiante munie d'une connexion.<p><p>Par analogie à la théorie standard des espaces symétriques, nous démontrons un théorème d'équivalence entre les espaces symétriques symplectiques extrinsèques d'une variété qui est elle-même un espace symétrique symplectique.<p><p>La définition d'un espace symétrique symplectique extrinsèque fait intervenir l'existence d'affinités globales de la variété ambiante, les ``symétries extrinsèques', qui induisent la structure symétrique de la sous-variété ;ceci mène à poser une question du type :quelles sont les variétés possédant ``beaucoup' de ces affinités~? Une question précise ainsi qu'une réponse sont fournies dans un contexte où la variété ambiante est seulement supposée munie d'une structure<p>symplectique et d'une connexion symplectiques. Nous considérons également le cas où ces symétries commutent avec un champ $K$ d'endomorphismes symplectiques fixé de la variété, de carré $pmId$. Nous définissons une notion de courbure sectionnelle pour plans $K$-stables et montrons que les espaces à $K$-courbure sectionnelle constantes sont localement symétriques de type Ricci.<p><p>Par suite nous étudions les espaces symétriques symplectiques extrinsèques dans un espace vectoriel symplectique. Nous montrons par exemple qu'un tel espace, s'ils est de dimension deux, est forcément intrinsèquement plat (c.-à-d. à courbure intrinsèque nulle), mais que son image n'est pas forcément un plan affin de l'espace vectoriel ambiant. Nous décrivons en fait explicitement tous les espaces<p>symétriques symplectiques extrinsèques, dans un espace vectoriel, dont la courbure intrinsèque s'annule identiquement. Nous décrivons également une famille d'exemples d'espaces extrinsèques, dont nous montrons qu'elle fournit la totalité des espaces extrinsèques de codimension $2$, dans un espace vectoriel.<p><p>Enfin, nous décrivons quelques exemples d'espaces symétriques symplectiques extrinsèques qui sont totalement géodésiques, dans un espace de type Ricci particulier.<p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse établit l'existence d'une variante de l'homologie de Floer de type Morse-Bott. Étant donnés une variété torique (W²ⁿ, ω, µ) et un hamiltonien H : W × S ¹ → ℝ invariant par l’action du tore de dimension n Tⁿ, , les orbites de H sont stables par l’action torique. Cette dernière admettant des points fixes dans W, elle n’est pas libre, pareillement pour celle induit sur les lacets de W et il est, a priori, impossible de construire une théorie de Morse-Bott équivariante au niveau de C∞(S¹, W)/Tⁿ. Nous remédions à ce problème en adoptant la construction de Borel : nous choisissons un espace E contractile muni d’une action libre du tore regardons l’homologie de Morse-Bott en dimension infinie de l’espace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ où Tⁿ agit cette fois de manière diagonale sur le produit.L’homologie obtenue est un invariant pour les variétés symplectiques toriques et nous le calculons dans le cas d’une variété fermée. / This thesis establishes the existence of a version of Floer homology in a Morse-Bottcontext. Given a toric manifold (Wⁿ, ω, µ) and a hamiltonian H : W × S¹ → ℝ invariant bythe action of the torus Tⁿ, the periodical orbits of H are stable by the toric action.The latter admits fix points in W and hence it not free, neither one induced on the spaceof the loops of W and it is, a priori, impossible to establish a equivariant infinite-dimensionalMorse-Bott theory on C∞(S¹, W)/Tⁿ. We deal with this problem using Borel’s construction : we choose a space contractible E witha free action from the torus and look at the infinite-dimensional Morse-Bott homology of thespace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ where Tⁿ act in a diagonal way on the product.We obtain an invariant for symplectic toric manifold and computes it for a closed manifold.

Inspired by problems in gauge field theory, this thesis is concerned with various aspects of infinite-dimensional differential geometry. In the first part, a local normal form theorem for smooth equivariant maps between tame Fréchet manifolds is established. Moreover, an elliptic version of this theorem is obtained. The proof these normal form results is inspired by the Lyapunov–Schmidt reduction for dynamical systems and by the Kuranishi method for moduli spaces, and uses a slice theorem for Fréchet manifolds as the main technical tool. As a consequence of this equivariant normal form theorem, the abstract moduli space obtained by factorizing a level set of the equivariant map with respect to the group action carries the structure of a Kuranishi space, i.e., such moduli spaces are locally modeled on the quotient by a compact group of the zero set of a smooth map. In the second part of the thesis, the theory of singular symplectic reduction is developed in the infinite-dimensional Fréchet setting. By refining the above construction, a normal form for momentum maps similar to the classical Marle–Guillemin–Sternberg normal form is established. Analogous to the reasoning in finite dimensions, this normal form result is then used to show that the reduced phase space decomposes into smooth manifolds each carrying a natural symplectic structure. Finally,the singular symplectic reduction scheme is further investigated in the situation where the original phase space is an infinite-dimensional cotangent bundle. The fibered structure of the cotangent bundle yields a refinement of the usual orbit-momentum type strata into so-called seams. Using a suitable normal form theorem, it is shown that these seams are manifolds. Taking the harmonic oscillator as an example, the influence of the singular seams on dynamics is illustrated. The general results stated above are applied to various gauge theory models. The moduli spaces of anti-self-dual connections in four dimensions and of Yang–Mills connections in two dimensions is studied. Moreover, the stratified structure of the reduced phase space of the Yang–Mills–Higgs theory is investigated in a Hamiltonian formulation after a (3 + 1)-splitting.

Ce mémoire porte sur quelques notions appropriées d'actions de groupe sur les variétés symplectiques, à savoir en ordre décroissant de généralité : les actions symplectiques, les actions faiblement hamiltoniennes et les actions hamiltoniennes. Une connaissance des actions de groupes et de la géométrie symplectique étant prérequise, deux chapitres sont consacrés à des présentations élémentaires de ces sujets. Le cas des actions hamiltoniennes est étudié en détail au quatrième chapitre : l'importante application moment y est définie et plusieurs résultats concernant les orbites de la représentation coadjointe, tels que les théorèmes de Kirillov et de Kostant-Souriau, y sont démontrés. Le dernier chapitre se concentre sur les actions hamiltoniennes des tores, l'objectif étant de démontrer le théorème de convexité d'Atiyha-Guillemin-Sternberg. Une discussion d'un théorème de classification de Delzant-Laudenbach est aussi donnée. La présentation se voulant une introduction assez exhaustive à la théorie des actions hamiltoniennes, presque tous les résultats énoncés sont accompagnés de preuves complètes. Divers exemples sont étudiés afin d'aider à bien comprendre les aspects plus subtils qui sont considérés. Plusieurs sujets connexes sont abordés, dont la préquantification géométrique et la réduction de Marsden-Weinstein. / This Master thesis is concerned with some natural notions of group actions on symplectic manifolds, which are in decreasing order of generality : symplectic actions, weakly hamiltonian actions and hamiltonian actions. A knowledge of group actions and of symplectic geometry is a prerequisite ; two chapters are devoted to a coverage of the basics of these subjects. The case of hamiltonian actions is studied in detail in the fourth chapter : the important moment map is introduced and several results on the orbits of the coadjoint representation are proved, such as Kirillov's and Kostant-Souriau's theorems. The last chapter concentrates on hamiltonian actions by tori, the main result being a proof of Atiyah-Guillemin-Sternberg's convexity theorem. A classification theorem by Delzant and Laudenbach is also discussed. The presentation is intended to be a rather exhaustive introduction to the theory of hamiltonian actions, with complete proofs to almost all the results. Many examples help for a better understanding of the most tricky concepts. Several connected topics are mentioned, for instance geometric prequantization and Marsden-Weinstein reduction.

Short summary of main work since 1999