The present thesis is devoted to the homogenization of certain elliptic and parabolic partial differential equations by means of appropriate generalizations of the notion of two-scale convergence. Since homogenization is defined in terms of H-convergence, we desire to find the H-limits of sequences of periodic monotone parabolic operators with two spatial scales and an arbitrary number of temporal scales and the H-limits of sequences of two-dimensional possibly non-periodic linear elliptic operators by utilizing the theories for evolution-multiscale convergence and λ-scale convergence, respectively, which are generalizations of the classical two-scale convergence mode and custom-made to treat homogenization problems of the prescribed kinds. Concerning the multiscaled parabolic problems, we find that the result of the homogenization depends on the behavior of the temporal scale functions. The temporal scale functions considered in the thesis may, in the sense explained in the text, be slow or rapid and in resonance or not in resonance with respect to the spatial scale function. The homogenization for the possibly non-periodic elliptic problems gives the same result as for the corresponding periodic problems but with the exception that the local gradient operator is everywhere substituted by a differential operator consisting of a product of the local gradient operator and matrix describing the geometry and which depends, effectively, parametrically on the global variable.

Le dimensionnement en fatigue à grand nombre de cycles d'un contact roulant entre des éléments ayant subi un traitement thermochimique de cémentation s'avère rapidement complexe.D'une part le traitement de cémentation apporte une hétérogénéité de propriété dans les couches supérieures de la pièce qui dépend du protocole utilisé. D'autre part le chargement de contact roulant est un chargement complexe dont le mode de défaillance en fatigue s'initie en sous-couche.Afin de limiter le temps de la caractérisation des champs de propriétés en fatigue, l'utilisation des mesures d'auto-échauffement sous sollicitation cyclique ainsi que leur interprétation par un modèle probabiliste à deux échelles est proposé. Néanmoins de par l'hétérogénéité du matériau et de par la particularité du chargement il peut s'avérer délicat d'appliquer une telle méthode d'évaluation. ll est alors proposé d'explorer ces deux difficultés de manière séparé.Pour prendre en compte l'hétérogénéité matériaux, un protocole d'analyse de courbe d'auto-échauffement basé sur une variante d'un modèle probabiliste à deux échelles et sur les mesures de taux de carbone a été proposé. Les paramètres du modèle ont été identifiés sur une classe d'acier via des mesures d'auto-échauffement réalisées sur des éprouvettes représentatives de l'hétérogénéité du au traitement de cémentation. Enfin le modèle a été validé par comparaison avec des points de fatigue expérimentaux.En ce qui concerne le chargement de contact roulant, les difficultés pour réaliser une mesure d'auto-échauffement ont mené à effectuer une première campagne de mesure sur le cas intermédiaire du contact répété. A l'aide d'un modèle analytique simple, l'évolution du champ de température a pu être reliée à un terme source de chaleur moyen dont le lien avec les mécanismes de fatigue reste à démontrer. Finalement, des prototypes de machine de contact roulant dédiés aux mesures d'auto-échauffement ont été proposés. Les mesures réalisées sur ces dernières et leur interprétation laissent à penser qu'il sera possible d'identifier des propriétés de fatigue à partir de mesure d'auto-échauffement. / The rolling contact fatigue prediction between two carburizing part quickly becomes complex.On one hand, the carburizing treatment give heterogeneous properties in surface layer depending on the treatment protocol. On the other hand, the rolling contact load is a complex load with a fatigue initiation in the sub-layer. To limit the duration of the field fatigue properties characterization, self-heating measurements under cycle load are used and their interpretation by a probabilistic two scales model is proposed. Nevertheless applying this fatigue evaluation method on heterogeneous material and for rolling contact load can be difficult. ln first approach those difficulties are split.To take into account the material heterogeneity, an analysis based on a variation of one probabilistic two scales model and on carbon rate measurement is proposed. Model parameters are identified on one steel class with self-heating measurement made on specimens representative of carburizing material heterogeneity. Finally the model is validated by comparison with experimental fatigue point.Making self-heating measurement for rolling contact load is complex. Consequently a first self-heating measurement campaign is made on the intermediary case of repeated contact. With a simple analytic model, the temperature field evolution can be linked to a mean heat source whose link with fatigue mechanism must be proven. Finally, rolling contact machine prototypes are proposed. Self-heating measurement made on those prototypes and their interpretation suggest that it will be possible to identify fatigue properties with self-heating measurement.

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes mathématiques issus du micromagnétisme. Le but est d'analyser le comportement des modèles en fonction de différents paramètres physiques, dont les fines variations sont parfois difficilement mesurables. Nous adoptons des approches numériques, asymptotiques ou d'homogénéisation. Les modèles considérés reposent sur l'utilisation de l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) décrivant l'évolution du champ d'aimantation dans un matériau ferromagnétique. Nous rappelons d'abord quelques notions importantes en ferromagnétisme. Ensuite, nous menons une étude numérique d'un modèle de la dynamique d'aimantation avec effets d'inertie. Nous proposons un schéma aux différences finies semi-implicite qui respecte de façon intrinsèque les propriétés du modèle continu. Des simulations numériques sont réalisées pour cerner l'effet du paramètre d'inertie. Ces simulations montrent aussi la performance du schéma et confirment l'ordre de convergence obtenu théoriquement. Nous étudions ensuite un modèle de la dynamique de l'aimantation avec amortissement non local. La sensibilité de la dynamique d'aimantation au paramètre d'amortissement est étudiée en donnant le problème limite pour de petites et de grandes valeurs du paramètre. Enfin, nous étudions l'homogénéisation de l'équation LLG dans deux types de matériau, à savoir les composites présentant un fort contraste des propriétés magnétiques et les matériaux périodiquement perforés avec énergie d'anisotropie de surface. Des modèles homogénéisés sont d'abord obtenus formellement puis une dérivation rigoureuse est établie en se basant principalement sur les concepts de la convergence à double échelle et de la convergence à double échelle en surface. Pour traiter les non-linéarités, nous introduisons une nouvelle méthode basée sur le couplage d'un opérateur de dilatation calibré sur les contrastes d'échelle et d'un outil de réduction de dimension, par construction de grilles emboitées adaptées à la géométrie du domaine microscopique. / This thesis is devoted to the study of some mathematical problems arising in micromagnetism. The models considered here are based on the Landau-Lifshitz-Gilbert equation (LLG) describing the evolution of the magnetization field in a ferromagnetic material. Our aim is the analysis of the behavior of the models regarding the slight variations of some physical parameters. We first recall some important notions about ferromagnetism. Then, we carry out a numerical study of a model of magnetization dynamics with inertial effects. We propose a semi-implicit finite difference scheme which intrinsically respects the properties of the continuous model. Numerical simulations are provided for emphasizing the effect of the inertia parameter. These simulations also show the performance of the scheme and confirm the order of convergence obtained theoretically. We then study a model of magnetization dynamics with a non-local damping. The sensitivity of the magnetization dynamics to the damping coefficient is studied by giving the limiting problem for small and large values of the parameter. Finally, we study the homogenization of the LLG equation in two types of structures, namely a composite material with strongly contrasted magnetic properties, and a periodically perforated material with surface anisotropy energy. The homogenized models are first obtained formally. The rigorous derivation is then performed using mainly the concepts of two-scale convergence, two-scale convergence on surfaces together with a new homogenization procedure for handling with the nonlinear terms. More precisely, an appropriate dilation operator is applied in a embedded cells network, the network being constrained by the microscopic geometry.

We study the question of periodic homogenization of a variably scaled reaction-diffusion equation with non-linear drift of polynomial type. The non-linear drift was derived as hydrodynamic limit of a totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) for a population of interacting particles crossing a domain with obstacle. We consider three different geometries: (i) Bounded domain crossed by a finitely thin flat composite layer; (ii) Bounded domain crossed by an infinitely thin flat composite layer; (iii) Unbounded composite domain.\end{itemize} For the thin layer cases, we consider our reaction-diffusion problem endowed with slow or moderate drift. Using energy-type estimates as well as concepts like thin-layer convergence and two-scale convergence, we derive homogenized evolution equations and the corresponding effective model parameters. Special attention is paid to the derivation of the effective transmission conditions across the separating limit interfaces. As a special scaling, the problem with large drift is treated separately for an unbounded composite domain. Because of the imposed large drift, this nonlinearity is expected to explode in the limit of a vanishing scaling parameter. To deal with this special case, we employ two-scale formal homogenization asymptotics with drift to derive the corresponding upscaled model equations as well as the structure of the effective transport tensors. Finally, we use Schauder's fixed point Theorem as well as monotonicity arguments to study the weak solvability of the upscaled model posed in the unbounded domain. This study wants to contribute with theoretical understanding needed when designing thin composite materials which are resistant to slow, moderate, and high velocity impacts. / We study the question of periodic homogenization of a variably scaled reaction-diffusion equation with non-linear drift of polynomial type. The non-linear drift was derived as hydrodynamic limit of a totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) for a population of interacting particles crossing a domain with obstacle. We consider three different geometries: (i) Bounded domain crossed by a finitely thin composite layer; (ii) Bounded domain crossed by an infinitely thin composite  layer; (iii) Unbounded composite domain. For the thin layer cases, we consider our reaction-diffusion problem endowed with slow or moderate drift. Using energy-type  estimates, concepts like thin-layer convergence and two-scale convergence, we derive  homogenized  equations. Special attention is paid to the derivation of the effective transmission conditions across the separating limit interfaces. The problem with large drift is treated separately for an unbounded composite domain. Because of the imposed large drift, this nonlinearity is expected to explode in the limit of a vanishing scaling parameter.  This study wants to contribute with theoretical understanding needed when designing thin composite materials which are resistant to slow, moderate, and high velocity impacts.

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The focus of this thesis is the theory of periodic homogenization of partial differential equations and some applicable concepts of convergence. More precisely, we study parabolic problems exhibiting both spatial and temporal microscopic oscillations and a vanishing volumetric heat capacity type of coefficient. We also consider a hyperbolic-parabolic problem with two spatial microscopic scales. The tools used are evolution settings of multiscale and very weak multiscale convergence, which are extensions of, or closely related to, the classical method of two-scale convergence. The novelty of the research in the thesis is the homogenization results and, for the studied parabolic problems, adapted compactness results of multiscale convergence type.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der rigorosen Herleitung effektiver Modelle zur Beschreibung von Schädigungsprozessen. Diese effektiven Modelle werden für verschiedene raten-unabhängige Schädigungsmodelle linear elastischer Materialien hergeleitet. Den Ausgangspunkt stellt dabei ein unidirektionales Mikrostrukturevolutionsmodell dar, dessen Fundament eine Familie geordneter zulässiger Mikrostrukturen bildet. Jede Mikrostruktur dieser Familie besitzt die gleiche intrinsische Längenskala. Zur Herleitung eines effektiven Modells wird das asymptotische Verhalten dieser Längenskala mittels Techniken der Zwei-Skalen-Konvergenz untersucht. Um das Grenzmodell zu identifizieren, bedarf es einer Mikrostrukturregularisierung, die als diskreter Gradient für stückweise konstante Funktionen aufgefasst werden kann. Die Mikrostruktur des effektiven Modells ist punktweise durch ein Einheitszellenproblem gegeben, welches die Mikro- von der Makroskala trennt. Ausgehend vom Homogenisierungsresultat für die unidirektionale Mikrostrukturevolution werden effektive Modelle für Zwei-Phasen-Schädungsprozesse hergeleitet. Die aus zwei Phasen bestehende Mikrostruktur der mikroskopischen Modelle ermöglicht z.B. die Modellierung von Schädigung durch das Wachstum von Inklusionen aus geschädigtem Material verschiedener Form und Größe. Außerdem kann Schädigung durch das Wachstum mikroskopischer Hohlräume und Mikrorissen betrachtet werden. Die Größe der Defekte skaliert mit der intrinsischen Längenskala und die unidirektionale Mikrostrukturevolution verhindert, dass bei fixierter Längenskala die Defekte für fortlaufende Zeit schrumpfen. Das Material des Grenzmodells ist dann in jedem Punkt als Mischung von ungeschädigtem und geschädigtem Material durch das Einheitszellenproblem gegeben. Dabei liefert das Einheitszellenproblem nicht nur das Mischungsverhältnis sondern auch die genaue geometrische Mischungsverteilung, die dem effektiven Material des jeweiligen Materialpunktes zugrunde liegt. / This dissertation at hand deals with the rigorous derivation of such effective models used to describe damage processes. For different rate-independent damage processes in linear elastic material these effective models are derived as the asymptotic limit of microscopic models. The starting point is represented by a unidirectional microstructure evolution model which is based on a family of ordered admissible microstructures. Each microstructure of that family possesses the same intrinsic length scale. To derive an effective model, the asymptotic behavior of this intrinsic length scale is investigated with the help of techniques of the two-scale convergence. For this purpose, a microstructure-regularizing term, which can be understood as a discrete gradient for piecewise constant functions, is needed to identify the limit model. The microstructure of the effective model is given pointwisely by a so-called unit cell problem which separates the microscopic scale from the macroscopic scale. Based on these homogenization results for unidirectional microstructure evolution models, effective models for brutal damage processes are provided. There, the microstructure consists of only two phases, namely undamaged material which comprises defects of damaged material with various sizes and shapes. In this way damage progression can be modeled by the growth of inclusions of weak material, the growth of voids, or the growth of microscopic cracks. The size of the defects is scaled by the intrinsic length scale and the unidirectional microstructure evolution prevents that, for a fixed length scale, the defects shrink for progressing time. According to the unit cell problem, the material of the limit model is then given as a mixture of damaged and undamaged material. In a specific material point of the limit model, that unit cell problem does not only define the mixture ratio but also the exact geometrical mixture distribution.

Les propriétés des matériaux cellulaires dépendent de leur architecture et des défauts de coulée. L'architecture se réfère à la forme et la distribution de la phase solide. Les défauts correspondent à la présence et aux distributions des cavités et d'intermétalliques dans la phase solide du fait de la procédure de fabrication. Deux types de matériaux produits de différentes façons sont étudiés dans cette thèse. D'une part, deux mousses ERG de tailles de pores différentes ont été choisies pour étudier l'effet de la présence des intermétalliques sur la plasticité et l'endommagement. Des tests de micro-traction et des expériences de nanoindentation ont été réalisés sur des éprouvettes extraites de la mousse pour déterminer leur comportement micro-élastoplastique de la phase solide. D'autre part, deux structures ayant la même forme et le même motif répétitif, mais différentes épaisseurs d'entretoises et de nœuds ont été produites par fusion sélective par laser pour étudier aussi la plasticité et l'endommagement. Ce travail de thèse visait à développer une procédure de modélisation par éléments finis générique basée sur les images 3D pour prendre en compte l'effet de la porosité locale et la présence des intermétalliques dans le comportement. Les états initiaux des échantillons ont été numérisés en utilisant des méthodes de tomographie "locale" et "stitching" à haute résolution. Les géométries 3D maillées, la porosité locale et les propriétés élastiques-plastiques de chaque élément ont été directement renseignées à partir des images 3D à haute résolution. Les procédures de déformation et de rupture des échantillons ont été illustrées en effectuant des expériences in-situ/ex-situ couplées à une numérisation tomographique à basse résolution. Des modèles éléments finis conformes à l'image 3D ont été développés pour la simulation des essais de traction/compression et montrent que la prise en compte des hétérogénéités locales de microstructure permet de prédire plus finement le comportement mécanique des structures cellulaires, en particulier dans la rupture. L'étude visait également à déterminer la conductivité thermique d'une mousse ERG hautement poreuse en utilisant des calculs par éléments finis basés sur l'image. Les résultats ont été vérifiés en comparant avec la conductivité thermique mesurée à partir des expériences de plaques chauffées. / The properties of cellular materials depend on their architecture and casting defects. The architecture refers to shape and distribution of the solid phase. Defects correspond to the presence and distribution of cavities or intermetallic particles in the solid phase due to the fabrication procedure. Two types of materials produced by different fabricating routes are studied in this manuscript. On the one hand, two ERG foams with different cell sizes were chosen to study the effect of the presence of intermetallic particles on the plasticity and damage. Micro-tensile tests and nanoindentation experiment were also performed on the struts extracted from the foam to determine their micro elastoplastic behaviour. On the other hand, two structures with the same shape and repetitive pattern but different struts and nodes thicknesses were produced by selective laser melting manufacturing route to study the effect of porosity on plasticity and damage. This PhD-work aimed at developing a generic image-based finite element procedure to take into account the effect of the local porosity and the presence of intermetallic particles into the finite element simulations of the cellular materials. The initial state of the samples was pictured by performing high resolution "local" tomography and "stitching" methods. The 3D geometries were meshed and the local porosity and elastic-plastic properties of each element were directly informed according to high-resolution 3D images. The deformation and fracture procedures of the samples were pictured by performing in-situ/ex-situ experiments coupled with low-resolution tomography scanning. 3D image-based finite element models were developed for the simulation of the tension/compression tests. The microstructurally informed FE models better capture the mechanical behaviour of the cellular structures, especially for the prediction of the fracture. The study also aimed at determining the thermal conductivity of a highly porous ERG foam using image-based finite element calculations. The results were verified by comparing with the measured thermal conductivity from guarded hot plates experiments.

Dans cette thèse, nous avons abordé deux problèmes de modélisation mathématique pour la propagation des signaux électriques cardiaques : la propagation à l’échelle tissulaire en présence d’hétérogénéités et la propagation à l’échelle cellulaire avec des jonctions communicantes non linéaires. Inclusions diffusives. Le modèle standard utilisé en électrocardiologie est le modèle bidomaine. Il est déduit par homogénéisation des propriétés microscopiques du tissu. Pour cela, on suppose que les myocytes électriquement actifs sont uniformément répartis dans le coeur. Bien que ce soit une hypothèse raisonnable pour des coeurs sains, ce n’est plus vrai dans certains cas pathologiques où des changements importants dans la structure tissulaire se produisent. C’est le cas, par exemple des maladies cardiaques ischémiques, rhumatismales et inflammatoires, de l’hypertrophie ou de l’infarctus. Ces hétérogénéités tissulaires sont souvent prises en compte à l’aide d’un ajustement ad hoc des paramètres du modèle. Le premier objectif de cette thèse consistait à généraliser les équations du modèle bidomaine au cas des pathologies cardiaques structurelles.Nous avons supposé une alternance périodique d’éléments de tissus sains (modèle bidomaine) et modifiées (inclusions diffusives). La simulation numérique directe d’un tel modèle nécessite une discrétisation très fine, et entraîne un coût de calcul élevé. Pour éviter cela, nous avons construit un modèle homogénéisé à l’échelle macroscopique en utilisant une analyse à deux échelles. Nous avons retrouvé un modèle de type bidomaine avec des coefficients de conductivité modifiés, dits effectifs. En complément, nous avons effectué une vérification numérique de la convergence du modèle microscopique vers celui homogénéisé, dans une situation bidimensionnelle.Dans la deuxième partie, nous avons quantifié les effets de différentes formes d’inclusions diffusives sur les coefficients de conductivité effectifs et leur anisotropie en 2D et 3D. De plus, nous avons effectué des simulations sur des domaines représentant des morceaux de tissu 2D avec ces coefficients de conductivité modifiés. Nous avons observé des changements de la vitesse de propagation et de la forme du front de l’onde de dépolarisation. Dans la troisième partie, nous avons simulé le modèle homogénéisé en 3D, à partir d’images par résonance magnétique (IRM) à haute résolution d’un coeur de rat. Nous avons évalué les propriétés structurelles du tissu en utilisant des outils d’analyse d’image.Nous avons ensuite utilisés ces évaluations pour construire les paramètres dans le modèle homogénéisé. Jonctions communicantes non linéaires. Dans la dernière partie de cette thèse, nous avons étudié les effets du comportement non linéaires des jonctions communicantes sur la propagation du signal à l’échelle cellulaire. Dans les modèles existants, les jonctions communicantes sont supposées avoir un comportement linéaire, lorsqu’elles sont modélisées.Cependant les données provenant des expériences montrent que ceux-ci ont un comportement non linéaire dépendant du temps et de la différence de potentiel entre cellules voisines. D’abord, nous avons présenté un modèle non linéaire 0D du courant dans les jonctions communicantes. Ensuite, nous avons recalé le modèle sur les données expérimentales.Enfin, nous avons proposé un modèle mathématique 2D qui décrit l’interaction électrique des myocytes cardiaques à l’échelle cellulaire. Ce modèle utilise le courant dans les jonctions communicantes comme une liaison directe entre des cellules adjacentes. / In this thesis we addressed two problems in mathematical modelling of propagation of electrical signals in the heart: tissue scale propagation with presence of tissue heterogeneities and cell scale propagation with non-linear gap junctions. Diffusive inclusions. The standard model used in cardiac electrophysiology is the bidomain model. It is an averaged model derived from the microscopic properties of the tissue.The bidomain model assumes that the electrically active myocytes are present uniformly everywhere in the heart. While this is a reasonable assumption for healthy hearts, it fails insome pathological cases where significant changes in the tissue structure occur, for examplein ischaemic and rheumatic heart disease, inflammation, hypertrophy, or infarction. These tissue heterogeneities are often taken into account through an ad-hoc tuning of model parameters. The first aim of this thesis consisted in generalizing the bidomain equations to the case of structural heart diseases.We assumed a periodic alternation of healthy (bidomain model) and altered (diffusive inclusion) tissue patches. Such a model may be simulated directly, at the high computational cost of a very fine discretisation. Instead we derived a homogenized model at the macroscopic scale, using a rigorous two-scale analysis. We recovered a bidomain-type model with modified conductivity coefficients, and performed a 2D numerical verificationof the convergence of the microscopic model towards the homogenized one.In the second part we quantified the effects of different shapes and sizes of diffusive inclusions on the effective conductivity coefficients and their anisotropy ratios in 2D and3D. Additionally, we ran simulations on 2D patches of tissue with modified conductivity coefficients. We observed changes in the propagation velocity as well as in the shape of the depolarization wave-front.In the third part, based on high-resolution MR images of a rat heart we simulated 3D propagations with the homogenized model. Using image analysis software tools we assessed the structural properties of the tissue, that we used afterwards as parameters inthe homogenized model. Non-linear gap junctions. In the last part of this thesis, we studied the effects of nonlineargap junction channels on the signal propagation at the cell scale. In existing models, the gap junction channels, if modelled, are assumed to have a linear behaviour, while from experimental data we know that they have a time- and voltage-dependent non-linear behaviour. Firstly, we stated a non-linear 0D model for the gap junctional current, and secondly fitted the model to available experimental data. Finally, we proposed a 2D mathematical model that describes the electrical interaction of cardiac myocytes on the cell scale. It accounts for the gap junctional current as "the direct link" between the adjacent cells.

Dans cette thèse, nous établissons un modèle à deux échelles à la fois pour desmatrices de cantilevers unidimensionnels et bidimensionnels en régime de fonctionnementélastodynamique avec des applications possibles aux réseaux de microscopesà force atomique (AFM). Son élaboration est basée sur une analyseasymptotique pour les structures minces élastiques, une approximation à deuxéchelles et une mise à l’échelle utilisée pour l’homogénéisation des milieux fortementhétérogènes. Nous complétons la théorie de l’approximation à deux échellespour les problèmes aux limites du quatrième ordre posés dans des domaines mincespériodiques connexes seulement dans certaines directions. Notre modèle reproduitla dynamique globale du support ainsi que les mouvements locaux des cantilevers.Pour simplifier la suite du travail, nous concentrons nos travaux à l’étude de matricesde leviers constituées de lignes découplées en régime dynamique. Comme lesupport des leviers est élastique, l’effet du couplage entre levier est pris en compte.La vérification du modèle est soigneusement réalisée. Nous montrons que chaquemode propre peut être décomposé en produits d’un mode de base avec un modede levier. Nous présentons une méthode de discrétisation du modèle et effectuonssa vérification numérique en la comparant avec des résultats de simulation paréléments finis du problème d’élasticité tridimensionnel. Par ailleurs, nous avonsélaboré de nouveaux outils d’aide à la conception de réseaux d’AFM. Une boîte àoutils d’optimisation robuste est interfacée avec le modèle permettant d’optimiserun design avant micro-Fabrication. Un algorithme d’estimation de l’état statiquecombinant la mesure de déplacements mécaniques par interférométrie et le modèlea été introduit. Nous avons également synthétisé un régulateur quadratiquelinéaire (LQR) pour un réseau de cantilevers en mode dynamique comprenant actionneurset capteurs régulièrement espacées. Dans le but de mettre en oeuvre lecontrôle en temps réel, nous proposons une approximation semi-Décentralisée quipeut être réalisé par un circuit électronique distribué analogique. Plus précisément,notre processeur analogique peut être réalisé par un réseau périodique derésistances (PNR). La méthode d’approximation de commande est basée sur deuxconcepts généraux, à savoir sur un calcul fonctionnel (c’est-À-Dire des fonctionsd’opérateurs) et sur la formule de représentation d’une fonction d’opérateur deDunford-Schwartz. Cette méthode d’approximation est étendue pour la résolutiond’un problème de filtrage optimal robuste de type H∞ de la dynamique d’un réseaude leviers couplés avec sources aléatoires de bruit. / In this dissertation, we establish a two-Scale model both for one-Dimensionaland two-Dimensional Cantilever Arrays in elastodynamic operating regime withpossible applications to Atomic Force Microscope (AFM) Arrays. Its derivationis based on an asymptotic analysis for thin elastic structures, a two-Scale approximationand a scaling used for strongly heterogeneous media homogenization. Wecomplete the theory of two-Scale approximation for fourth order boundary valueproblems posed in thin periodic domains connected in some directions only. Ourmodel reproduces the global dynamics as well as each of the cantilever motion. Forthe sake of simplicity, we present a simplified model of mechanical behavior of largecantilever arrays with decoupled rows in the dynamic operating regime. Since thesupporting bases are assumed to be elastic, cross-Talk effect between cantileversis taken into account. The verification of the model is carefully conducted. Weexplain not only how each eigenmode is decomposed into products of a base modewith a cantilever mode but also the method used for its discretization, and reportresults of its numerical validation with full three-Dimensional Finite Element simulations.We show new tools developed for Arrays of Microsystems and especiallyfor AFM array design. A robust optimization toolbox is interfaced to aid for designbefore the microfabrication process. A model based algorithm of static stateestimation using measurement of mechanical displacements by interferometry ispresented. We also synthesize a controller based on Linear Quadratic Regulator(LQR) methodology for a one-Dimensional cantilever array with regularly spacedactuators and sensors. With the purpose of implementing the control in real time,we propose a semi-Decentralized approximation that may be realized by an analogdistributed electronic circuit. More precisely, our analog processor is made by PeriodicNetwork of Resistances (PNR). The control approximation method is basedon two general concepts, namely on functions of operators and on the Dunford-Schwartz representation formula. This approximation method is extended to solvea robust H∞ filtering problem of the coupled cantilevers for time-Invariant systemwith random noise effects.