Il existe de nombreuses notions de petitesse en analyse. On considère trois d'entre elles: la Haar-négligeabilité, la Gauss-négligeabilité et la sigma-porosité. On étudie à quelles conditions le cône positif d'une base de Schauder est Haar-négligeable, et ce que cela entraîne pour l'espace de Banach associé. On étudie également sous quelles conditions l'ensemble des vecteurs non-hypercycliques d'un opérateur hypercyclique est Haar-négligeable ou sigma-poreux. / There are many notions of smallness in Analysis. We will consider three of them: Haar-negligeability, Gauss-negligeability and sigma-porosity. We will study on which conditions the positive cone of a Schauder basis is Haar-null, and its consequence on the Banach space. We will also study on which conditions the set of non-hypercyclic vectors of an hypercyclic operator is Haar-null or sigma-porous.

[pt] Neste trabalho apresentaremos a teoria de frações contínuas enfatizando a interação entre a teoria de números (expansões de números, aproximações diofantinas e boas aproximações) e a teoria ergódica. Estudaremos a transformação de Gauss e construiremos uma medida ergódica desta transformação. Usando o Teorema Ergódico de Birkhoff obteremos resultados sobre a expansão em frações contínuas de quase todo número real em [0,1). Obteremos propriedades sobre a aproximação de números reais por racionais, sobre a frequência com que aparecem determinados números na expansão em frações contínuas, etc. Estudaremos também o shift de Bernolli e sua relação com a transformação de Gauss. Finalmente, calcularemos a entropia desta transformação. / [en] We study the theory of continued fractions emphasizing the interaction between theory of numbers (expansion of numbers, diophantine approximations, best approximations) and ergodic theory. We study the Gauss transformation and construct its ergodic measure. Using the Birkhoff Ergodic Theorem we obtain results about the expansion in continued fractions of almost every real number in [0, 1). We obtain properties about the approximation of real numbers by rational ones, the frequency of digits in the expansion by continued fractions, etc. We also study the Bernoulli shift and its relation with the Gauss map. Finally, we calculate the entropy of such a transformation

Neste trabalho mostramos que hipersuperfícies completas da esfera Euclidiana S^4, com curvatura média constante e curvatura de Gauss-Kronecker nula são mínimas, sempre que o quadrado da norma da segunda forma fundamental for limitado superiormente. Além disso apresentamos uma descrisão local das hipersuperfícies mínimas e completas em S^5 com curvatura de Gauss- Kronecker nula e algumas hipóteses adicionais sobre as funções simétricas das curvaturas principais. / In this work we show that a complete hipersurface of the unitary sphere S^4, with constant mean curvature and zero Gauss-Kronecker curvature must be minimal, if the squared norm of the second fundamental form is bounded from above. Also, we present a local description for complete minimal hipersurfaces in S^5 with zero Gauss-Kronecker curvature, and some restrictions for the symmetric functions of the principal curvatures.

Neste trabalho mostramos que hipersuperfícies completas da esfera Euclidiana S^4, com curvatura média constante e curvatura de Gauss-Kronecker nula são mínimas, sempre que o quadrado da norma da segunda forma fundamental for limitado superiormente. Além disso apresentamos uma descrisão local das hipersuperfícies mínimas e completas em S^5 com curvatura de Gauss- Kronecker nula e algumas hipóteses adicionais sobre as funções simétricas das curvaturas principais. / In this work we show that a complete hipersurface of the unitary sphere S^4, with constant mean curvature and zero Gauss-Kronecker curvature must be minimal, if the squared norm of the second fundamental form is bounded from above. Also, we present a local description for complete minimal hipersurfaces in S^5 with zero Gauss-Kronecker curvature, and some restrictions for the symmetric functions of the principal curvatures.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O objetivo desse trabalho à fornecer uma demonstraÃao para as desigualdades de Hitchin-Thorpe e Miyaoka-Yau. Inicialmente forneceremos uma decomposiÃÃo ortogonal para o tensor curvatura, em seguida mostraremos como o operador curvatura pode ser definido a partir do tensor curvatura. Com o intuito de cumprir o objetivo proposto, iremos provar o Teorema de Gauss-Bonnet em dimensÃo 4, para isso utilizaremos um resultado devido a Allendoerfer e forneceremos uma fÃrmula integral para o cÃlculo da caracterÃstica de Euler de uma variedade Riemanniana de dimensÃo 4. AlÃm disso, definiremos o conceito de assinatura em uma variedade Riemanniana e exibiremos uma fÃrmula integral para a obtenÃÃo deste objeto, para isso utilizaremos o Teorema de Assinatura de Hirzebruch em dimensÃo 4 e pouco da Teoria de Chern-Weil que nos fornece uma conexÃo entre a topologia algÃbrica e a geometria diferencial. Por fim, mostraremos como as fÃrmulas que foram obtidas podem ser utilizadas na demonstraÃao das desigualdades citadas inicialmente. / The aim of this work is to present a proof of the Hitchin-Thorpe and Miyaoka-Yau inequalities. First we provide an orthogonal decomposition for the curvature tensor, and then we show how the curvature operator can be defined from the curvature tensor. In order to fulfill the proposed objective, we prove the Gauss-Bonnet Theorem in dimension 4, to do this we use a result due Allendoerfer and we present an integral formula for the Euler characteristic computation on a Riemannian 4-manifold. Furthermore, we define the concept of signature in a Riemannian manifold e we exhibit an integral formula for the achievement of this object, for this we use the Hirzebruch Signature Theorem in di- mension 4 and the Chern-Weil Theory which provides us a connection between algebraic topology and differential geometry. Finally, we show how the earlier formulas can be used in the demonstration of the initial inequalities.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1898009 bytes, checksum: 7ee3890dce9bee7dd59b31ebd52ed3a0 (MD5) Previous issue date: 2012-07-16 / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais / In this work, we study the graphs as invariants of stable Gauss maps from closed surfaces embedded in R3. We study the problem of realization of graphs by stable Gauss maps, emphasizing also cusp number of these maps. / Neste trabalho, estudamos os grafos como invariantes de aplicações de Gauss estáveis de superfícies fechadas mergulhadas em R3. Abordamos o problema de realização de grafos por aplicações de Gauss estáveis, enfatizando também o número de cúspides destas aplicações.

L’industrie aéronautique nécessite l’utilisation de métaux durs et légers, comme le Titane et l’Inconel mais différentes problématiques d’usinage en fraisage ou par usinage chimique compliquent leur mise en oeuvre. L’objectif du travail de thèse est de développer une méthode d’usinage non débouchant de ces métaux durs par jet d’eau abrasif (JEA) pour la réalisation de poches. Actuellement, ce procédé est limité à la découpe mais en contrôlant les paramètres d’usinage il permet la réalisation de poches à profondeurs constante ou variable en maitrisant les caractéristiques géométriques imposées. Ce travail présente l’étude de passages élémentaires et leur superposition afin de générer un parcours nécessaire à la réalisation d’une poche. Il introduit également diverses stratégies pour l’usinage de poches rectangulaires et propose une correction des paramètres opératoires afin d’obtenir un fond à profondeur contrôlée. / The aviation industry requires the use of hard and light metals such as Titanium and Inconel, but different machining problems in milling process or by chemical machining complicate their implementation. The aim of this thesis is to develop a controlled depth milling on these hard metals with abrasive water jet (AWJ) technology for pockets machining. Currently, this process is limited to cutting operation but by controlling the input parameters and the geometric characteristics it allows the realization of pockets with constant or variable depth. This work shows the study of elementary passages and their superposition to generate a necessary path for the realization of a pocket in AWJ. It also introduces a variety of strategies for machining rectangular pockets and provides a correction of the operating parameters to obtain a controlled depth.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O propÃsito desta tese à obter teoremas de caracterizaÃÃo de hipersuperfÃcies tipo-espaÃo completas isometricamente imersas num ambiente semi-Riemanniano mediante alguma restriÃÃo sobre a aplicaÃÃo de gauss ou sobre as r-curvaturas mÃdias destes objetos. Iniciamos nosso trabalho dando condiÃÃes necessÃrias para garantir a umbilicidade de hipersuperfÃcies imersas no espaÃo hiperbÃlico Hn+1 com aplicaÃÃo de Gauss prescrita. Em seguida, obtemos alguns resultados de unicidade de hipersuperfÃcies completas com curvaturas de ordem superior limitadas num ambiente do tipo et x et Mn supondo uma restriÃÃo apropriada sobre o Ãngulo normal da hipersuperfÃcie em questÃo. Na Ãltima parte deste trabalho, obtemos resultados tipo-Bernstein considerando grÃficos verticais completos com curvatura mÃdia constante imersos num produto warped Riemanniano I xf Mn onde supomos uma conhecida condiÃÃo de convergÃncia sobre a curvatura seccional da fibra Mn. / The purpose of this thesis is to obtain characterization theorems of complete spacelike hypersurfaces isometrically immersed in a semi-Riemannian ambient space under some restrictions on the Gauss mapping or about the r-mean curvatures of these objects. We start our work by providing necessary conditions to ensure the umbilicity of immersed hypersurfaces in the hyperbolic space Hn+1 with prescribed Gauss mapping. Next, we obtain some uniqueness results of complete hypersurfaces with bounded higher order mean curvatures in a space ER x et Mn where we suppose an appropriate condition on the normal angle of the hypersurface. In the last part of this work, we obtain Bernstein-type results concerning to complete vertical graphs with constant mean curvature immersed in a Riemannian warped product I x f Mn, where we suppose a well know convergence condition on the sectional curvature of the fibre Mn.

Submitted by Marlene Santos (marlene.bc.ufg@gmail.com) on 2014-11-14T20:38:05Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - John Elber Gómez Daza - 2014.pdf: 3536612 bytes, checksum: f7e71dbc62f224cd024c41999d7b2f0c (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2014-11-18T15:40:54Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - John Elber Gómez Daza - 2014.pdf: 3536612 bytes, checksum: f7e71dbc62f224cd024c41999d7b2f0c (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-11-18T15:40:54Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - John Elber Gómez Daza - 2014.pdf: 3536612 bytes, checksum: f7e71dbc62f224cd024c41999d7b2f0c (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2014-03-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / We consider(α,β)−metric F=αφ(β α), whereα is the euclidean metric,φ is a smooth positive function on a symmetric interval I=(−b0,b0) and β is a 1-form with the norm b,0 ≤b<b0, on the Finsler manifoldM. We study the minimal surfaces on these spaces with respect to the Holmes-Thompson volume form and we present the equation that characterize the minimal hypersurfaces in general Minkowski space. We prove that the conoids in three-dimensional space are minimal if and only if is a helicoid or a plane, also we show that the Gauss curvature of conoid in Randers-Minkowski 3-space is not always nonpositive on minimal surfaces. Finally, an ordinary differential equation that characterizes minimal surfaces of revolution and an example of minimal surface of rotationaregiven. / Neste trabalho consideramos (α,β)−métricas do tipo F=αφ(β α), ondeα é a métrica euclidiana,φ é uma função positiva suave sobre um intervalo simétrico I=(−b0,b0) e β é uma 1-forma de norma b,0 ≤ b < b0, sobre uma variedade de Finsler M. Estudamos superfícies mínimas nestes espaços (M,F) com respeito à forma volume de Holmes-Thompson e apresentamos uma equação que caracteriza as hipersuperfícies mínimasemumespaçogeral(α,β)−Minkowski.Mostramosqueosconóidesnoespaço tridimensional comβ na direção do eixo ˜y3 são mínimas se, e somente se, é um helicóide ou um plano, provamos também que a curvatura de Gauss do conóide em um espaço tridimensional de Randers-Minkowski pode ser positiva em superfícies mínimas. Finalmente apresentamos uma equação diferencial ordinária que caracteriza superfícies mínimas de rotação eum exemplo de superfíciemínimade rotação.

L'objet de cette thèse porte sur le problème de Cauchy singulier dans le domaine complexe. Il s'agit d'étudier les singularités de la solution du problème pour trois classes d'équations aux dérivées partielles. Cette thèse s'inscrit dans la continuité des travaux initiés par Jean Leray et son école. Pour décrire les singularités de la solution, on cherche la solution sous la forme d'un développement asymptotique de fonctions hypergéométriques de Gauss. Comme les singularités sont portées par les fonctions hypergéométriques, l'étude de la ramification de la solution se ramène à celle de ces fonctions. / This thesis deals with the singular Cauchy problem in the complex domain. We study the singularities of the solution of the problem for three classes of partial differential equations. This thesis is a continuation of the work initiated by Jean Leray and his school. To describe the singularities of the solution, we seek the solution in the form of asymptotic an expansion of Gauss hypergeometric functions. As the singularities are carried by the hypergeometric functions, the study of the ramification of the solution reduces to that of these functions.