Denna studie har som syfte att utifrån ett didaktiskt perspektiv undersöka hur derivata introduceras i gymnasiets Matematik 3-kurser. I en granskning av väsentlig litteratur har tidigare forskning och olika teorier inom området granskats. Ett antal intervjuer av gymnasielärare med varierade erfarenhet i ämnet matematik har genomförts. Som komplement till dessa intervjuer har en litteraturstudie av fyra Ma3b-kursböcker utförts. Det centrala innehållet i skolverkets kursplaner är det samma för båda Ma3b och Ma3c kurserna.Resultatet av analysen visar att de lärare som deltagit i studien undervisar begreppet derivata på ett liknande sätt. Det finns inte heller några avgörande skillnader i kurslitteraturen. Sammanfattningsvis visar analysen att det finns en röd tråd i hur detta avsnitt undervisas. En väg som både kursmaterial och lärare följer utan alltför stora avvikelser. Det som avviker från äldre studier är att inslagen av stöd i undervisningen av digitala hjälpmedel har ökat.

För att kunna applicera matematisk kunskap krävs förmåga att hantera måttenheter inom det relevanta matematiska området. Detta arbete syftar till att undersöka hur elever resonerar kring måttenheter av derivata och integralberäkningar samt jämföra huruvida olika typer av resonemang lyckas. Undersökningen bestod av att låta elever svara på en enkät där de uppmanades skriva ner sina resonemang. Dessa resonemang analyserades sedan med tematisk analys. Resultatet visade att övervägande elever inte resonerar konceptuellt vid bestämmandet av måttenhet på integral och derivata i en specifik kontext. För derivator var konceptuella resonemang betydligt effektivare än imitativa, men för integraler var denna skillnad mycket mindre. Resonemang kring derivator som grundade sig i konceptet ändringskvot var särskilt lyckade för att korrekt bestämma måttenheter.

<p>Syftet med denna studie är att, utifrån ett matematikdidaktiskt perspektiv, undersöka hur derivata introduceras i gymnasiets kurs Matematik C. Vi har i huvudsak fokuserat på didaktik och kognitiv utveckling. I en genomgång av relevant litteratur har vi tagit del av teorier och resultat från tidigare forskning inom samma område. Litteraturen försöker besvara frågan om hur lärare på bästa sätt kan överbrygga kognitiva hinder och ge elever en djupare förståelse kring de matematiska sammanhangen.</p><p>Vårt material består av kvalitativa intervjuer med lärare från två skolor och ett antal läroböcker. Genomgången av intervjumaterialet har resulterat i fyra teman att använda som grund för hela studien: allmänt lärande, matematiklärande, derivatbegreppet samt visualisering.</p><p>De lärare vi intervjuar vill alla stimulera elevers intresse för mer avancerad matematik. I princip följer alla, både lärare och läromedel, samma ”mall” när de introducerar derivata. Man knyter gärna an till vardagshändelser och begrepp som till exempel hastighet.</p><p>Den litteratur vi använder, har många förslag och synpunkter på vilket sätt matematikundervisning bör bedrivas på denna nivå. I vissa avseenden skiljer sig dessa från hur intervjumaterialet visar att det verkligen går till. Vår förhoppning är att studien ska bidra till att både vi själva och andra får idéer om utveckling av undervisningen.</p>

Syftet med denna studie är att, utifrån ett matematikdidaktiskt perspektiv, undersöka hur derivata introduceras i gymnasiets kurs Matematik C. Vi har i huvudsak fokuserat på didaktik och kognitiv utveckling. I en genomgång av relevant litteratur har vi tagit del av teorier och resultat från tidigare forskning inom samma område. Litteraturen försöker besvara frågan om hur lärare på bästa sätt kan överbrygga kognitiva hinder och ge elever en djupare förståelse kring de matematiska sammanhangen. Vårt material består av kvalitativa intervjuer med lärare från två skolor och ett antal läroböcker. Genomgången av intervjumaterialet har resulterat i fyra teman att använda som grund för hela studien: allmänt lärande, matematiklärande, derivatbegreppet samt visualisering. De lärare vi intervjuar vill alla stimulera elevers intresse för mer avancerad matematik. I princip följer alla, både lärare och läromedel, samma ”mall” när de introducerar derivata. Man knyter gärna an till vardagshändelser och begrepp som till exempel hastighet. Den litteratur vi använder, har många förslag och synpunkter på vilket sätt matematikundervisning bör bedrivas på denna nivå. I vissa avseenden skiljer sig dessa från hur intervjumaterialet visar att det verkligen går till. Vår förhoppning är att studien ska bidra till att både vi själva och andra får idéer om utveckling av undervisningen.

Den här studien är en systematisk litteraturstudie som syftar till att beskriva och sammanfatta gymnasieelevers svårigheter kring begreppet derivata. Genom systematiska sökningar både i databaser och manuellt valdes artiklar ut efter vissa urvalskriterier. Dessa artiklar sammanfattades och analyserades sedan. De gemensamma aspekter som togs upp i flera artiklar sammanställdes och kodades in kategorier som ämnade precisera och förklara elevers svårigheter på ett tydligt sätt. Resultatet diskuterades delvis utifrån Sfards teori om operationell och strukturell begreppsbildning. Studien visar att elever har flera olika svårigheter kring begreppet derivata. Elever har svårigheter med begrepp som leder fram till derivata, så som förändringshastighet och tangent. Vidare har elever även problem inom derivata och derivering. Dessa svårigheter yttrar sig främst genom begreppssvårigheter, exempelvis bristande förståelse för derivatans definition och derivatans notation. Dessutom uppvisar elever svårigheter med tolkningen av sambanden mellan derivatans värde, derivatans graf och funktionens graf, samt tillämpningen av derivata i fysikaliska rörelseproblem. Genomgående i resultatet är att elevers svårigheter grundar sig i att de ser derivata som enbart en process och därmed saknar en djupare förståelse för derivatan som begrepp. Detta ger implikationen för lärare att i undervisningen lägga vikt vid derivata som helhet och inte fokusera enbart på procedurkunskap. / This study is a systematic literature review that describes and summarizes Upper Secondary students’ difficulties regarding derivatives. Through systematic research, both manually and in databases, several articles were chosen according to certain selection criteria. These articles were then summarized and analyzed. Common features in these articles were put into categories which purpose was to explain students’ difficulties more clearly. The results were discussed partly in connection to Sfard’s theory of operational and structural conceptions. The study shows that students have difficulties in multiple areas concerning derivative. Students experience difficulties with concepts leading up to derivative, such as tangent and rate of change. Furthermore, students have difficulties with the derivative and differentiation. These difficulties are mostly conceptual, for instance lack of understanding of the definition and notation of the derivative. Moreover, students have difficulties to interpret the relationships between the value of the derivative, the graph of the function and the graph of its derivative. Students also have difficulties applying the derivative to problems in physics. A common feature in the results is that students view derivative as a process, therefore lacking a deep understanding of the derivative as a concept. One implication for teachers is not to focus too much solely on procedural knowledge, but rather teach derivative as a whole concept.

Den här studien är en systematisk litteraturstudie som går ut på att presentera och analysera vad forskning visar beträffande svårigheter som elever möter inom området ”derivata” samt hur undervisningen kan utformas för att stötta eleverna i sitt lärande inom ”derivata”. Via systematiska sökningar som skedde både i databaser och manuellt valdes artiklar som passade in på urvalskriterier. Artiklarna analyserades utifrån frågeställningarna. Elevens svårigheter i sin förståelse för begreppet ”derivata” delades upp i tre huvudsakliga kategorier: tangentens ekvation och dess lutning i förhållande till ”derivata”, gränsvärde i förhållande till ”derivata” och förändringshastighet i förhållande till ”derivata”. Studien fann att eleverna uppvisade svårigheter när de gäller tangenten, tangentens lutning, förändringshastighet och gränsvärde. Att eleverna hade svårt med att förstå begreppet ”derivata” gjorde att de fick även svårare att se sambandet mellan alla andra begrepp. Gällande undervisningens utformning fann studien att användandet av olika representationer och digitala verktyg förebygger elevens svårigheter för begreppet ”derivata”. / This study is a systematic literature study aiming at presenting and analyzing what research shows regarding difficulties students encounter in the field of derivatives and how teaching can be designed to support students in their learning in derivatives. Through systematic searches which were done both in databases and manually, articles that matched given criteria were selected. The articles were analyzed based on the research questions. The students' difficulties in understanding the concept of derivatives were divided into three main categories: the tangent equation and its slope in relation to derivatives, the limit value in relation to derivatives and the rate of change in relation to derivatives. The study found that students experienced difficulties in the concept of the derivative, such as the tangent, the slope of the tangent, the rate of change and the limit. The fact that the students had difficulty with the concepts made them even more difficult to understand the connection between these concepts. Regarding the teaching, the study found that different representations and the using of digital tools prevent the students' difficulties in the concept of derivatives.

Den här studien syftar till att undersöka om svenska läromedel för Matematik 3b genom användandet av problemlösningsuppgifter ger elever möjlighet att kunna skapa förståelse för derivata. Metoden är kvantitativ innehållsanalys, och läromedlen analyserades med hjälp av ett kodningsschema med sju dimensioner. Huvudfokus för kodningen var uppgiftstyp, som kategoriserades utifrån grad av problemlösning. Kategorierna representerar olika uppgiftstyper med olika grad av imitation, resonemang och problemlösning. Detta gjordes för att kunna hitta mönster i hur läromedlens upplägg i termer av hur uppgiftstyp (grad av problemlösning) relaterar till svårighetsgrad och avsnittstyp. Resultaten framställs genom tabeller och diagram. Resultaten pekar på att läromedlen generellt sett är relativt lika i sitt upplägg och uppgiftsfokus, även om det i vissa aspekter finns vissa skillnader. Det tydligaste mönstret är hur imitationsuppgifter dominerar den ordinarie uppgiftssamlingen, framför allt på grundläggande nivå. Dessutom finns mönster i hur specialavsnitt skiljer sig från de andra avsnittstyperna i termer av vilka uppgifter som är i fokus. Slutsatsen är även att trots att det finns en övervikt av imitationsuppgifter i de flesta läromedel, kan elever fortfarande utveckla alla förmågor som behövs – om läraren använder läromedlet på ett effektivt sätt. / This study’s purpose is to investigate if Swedish textbooks in the course “Matematik 3b”, through the use of problem-solving tasks, give students the possibility to create a deeper understanding of the concept of derivatives. The method is a quantitative content analysis, and the textbooks were analyzed by the usage of a coding schedule consisting of seven dimensions. The main focus regarding the coding of tasks was type of task, which was categorized according to level of problem-solving required to solve the task. The categories represent different task types defined by different amounts of problem-solving, reasoning and imitation. This was done in order to find patterns regarding how the textbooks were structured in terms of how task type relates to degree of difficulty and type of section in which the task appears. The results are presented through tables and diagrams. They point to the fact that in general, the textbooks are similar in terms of structure and task focus, even though there are some differences in certain aspects. The most obvious pattern is how imitation dominates the main tasks, especially those that are on a basic level. Furthermore, there are patterns in how the “special sections” differ in terms of which task types are in focus. The conclusion is that even though imitation dominates most textbooks, textbooks still offer students possibilities to develop in every aspect of mathematics – if the teacher uses the textbook in an efficient way.

I denna undersökning tar vi reda på hur det går att förbättra läroböckernas presentation av begreppet derivata i matematik kurs C. Författare till fem olika matematikböcker intervjuades för att ta reda på varför författarna valt det upplägg de har. Böckerna som avhandlas är: Matematik 3000, Matematik från A till E, Liber Pyramid, Räkna med Vux och Exponent. Även nio lärare som använder någon av dessa böcker har intervjuats för att få veta vad lärarna tycker om upplägget. Resultatet visade att det inte finns något optimalt sätt att presentera derivatan som passar alla lärare. Det finns dock förbättringar att göra i samtliga böcker. Den enda åsikt som var gemensamt för de flesta lärarna var att eleverna behöver ha lärarstöd för att få förståelse för begreppet derivata. Med utgång från de svar vi fått från lärare och författare har vi lagt fram ett eget förslag för hur kapitlet derivata kan läggas upp i en lärobok vilket presenteras.

I denna uppsats undersöker vi några gymnasieelevers förståelse av begreppet derivata. Vi gör detta genom att presentera teoretiska verktyg för att kunna mäta begreppsförståelse. Vi försöker bedöma elevernas kunskaper genom att eleverna får göra ett skriftligt prov och några av eleverna en efterföljande intervju. Undersökningen gjordes på en skola och omfattar 8 elever i en naturvetare klass i årskurs 2. De resultat som vi presenterar visar på att eleverna inte uppnår någon högre konceptuell förståelse. Det verkar inte heller finnas någon större skillnad i begreppsförståelse mellan elever som har höga betyg, MVG, och elever med lägre betyg.

Arbetet som presenteras i rapporten omfattar en undersökning om intentioner och förverkligande för undervisningsprocessen kring en lektion om derivator på gymnasienivå. Enligt Stake (1967) delas undervisningsprocessen upp i tre delar: (1) förutsättningar för undervisningspraktiken, (2) pedagogiska och didaktiska interaktioner, (3) resultat av undervisningen. En bild om undervisningsprocessen sammanställs från lärarens planering och elevernas reflektioner om uppfattat innehåll, mål, metoder och syfte. Datamaterialet består av en intervju med läraren precis innan lektionen, observation av lektionen med ljudinspelning, elevernas individuellt skriva svar på en enkät efter lektionen och en gemensam diskussion mellan eleverna. Undervisningsprocessen beskrivs med ett antal teman som producerades genom process av tematisk analys. Analysresultat visar att teman som hittas i intentionerna för undervisningsprocessen har en utvecklad motpart i förverkligandet. Lärarens förväntningar för potentiella svårigheter med nyanserad, matematiskt korrekt terminologi stämmer överens med förverkligandet och tidigare forskning som visar att många elever har svårt att urskilja detaljer mellan olika begrepp i läran om derivator. Den gemensamma diskussionen mellan klasskamraterna hjälper till att befästa kunskaper från lektionen och att fördjupa den gemensamma bilden om undervisning. / The work presented in this report includes an investigation into intentions and realisations of the teaching process for a lesson on derivatives at secondary school level. According to Stake (1967), the teaching process is divided into three parts: (1) prerequisites for teaching practice, (2) pedagogical and didactic interactions, (3) results of teaching. A picture of the teaching process is compiled from the teacher's planning and the students' reflections on perceived content, goals, methods and purpose. The data material consists of an interview with the teacher just before the lesson, observation of the lesson with audio recording, the students’ individually written answers to a questionnaire after the lesson and a joint discussion between the students. The teaching process is described with a number of themes produced through the process of thematic analysis. Analysis results show that themes found in the intentions for the teaching process have a developed counterpart in the realisation. The teacher's expectations for potential difficulties with nuanced, mathematically correct terminology are consistent with the realisation and previous research showing that many students have difficulty distinguishing details between different concepts related to derivatives. The joint discussion between classmates helps to consolidate knowledge from the lesson and to deepen the common image about teaching.