Syftet med studien är att undersöka vilka svårigheter gymnasieelever stöter på när de löser uppgifter om räta linjens ekvation, ekvationssystem och förenkling av uttryck. Studien undersöker även hur eleverna klarar av att växla mellan olika representationsformer i matematikuppgifter. Undersökningen har genomförts med hjälp av kvalitativa intervjuer med fyra andraårselever på vård- och omsorgsprogrammet som läser matematik 2a.Resultatet av studien visar att eleverna tycks ha kunskaper för att lösa uppgifterna antingen algebraiskt eller grafiskt, däremot har de stora svårigheter med att omformulera, eller växla, mellan algebraiska och grafiska representationer i uppgifter om räta linjens ekvation.

Cytiva Umeå produces laboratory equipment to customers around the world. The Equipment is built by different kinds of modules that is put together to create a finished product. A module that is used in some products is a pH-vent. This module like every other module must go through meticulous testing to be implemented in a finished product that goes through the final test. The testing of pH-vents is done at a test station and the testing is manually done with a pH-simulator which is very ineffective, opens for human error and it takes a lot of time.The purpose of this project is to streamline and automate the tests by creating an automatic pH-simulator with the help of a microcontroller (MCU). The prototype is supposed to be able to execute the tests in the same way as the operators doesand be able to send out pH values that have an accuracy of ± 0.1 pH units. The question that the thesis will answer if it is possible to replace a manual pH simulator with an automatic pH simulator that has an accuracy of ± 0.1 pH units using an MCU? By creating an application that can connect to the MCU, tests can be sent from the application to the MCU. Then the MCU can calculate what the transmitted pH value represents in millivolts by using the linear slope of the line given by calculating the Nernst equation. This millivolt is then converted to a 16-bit number which is sent to a DAC and sent to a test station. When the signal has been sent to the circuit board, the MCU will send back a response to the application that says what value has been run and if it has gone well. The conclusion that can be drawn after the project is that it is possible to make a very accurate pH-simulator with the help of an MCU. There are opportunities for improvement of the prototype and there are possibilities to make it a little cheaper to produce the prototype. / Cytiva Umeå producerar laboratorieutrustning till kunder runt om i världen. Utrustningarna är uppbyggda av olika sorters moduler som sammansätts till en slutprodukt. En modul som används i vissa av produkterna är en pH-ventil, denna modul som alla andra måste genomgå noggranna testningar för att resultera i en godkänd slutprodukt. Testningen av pH-ventiler sker invid en teststation och i dagsläget sker testningen manuellt med en pH-simulator vilket är ineffektivt, öppnar upp för mänskliga fel samt att det tar mycket tid.Syftet med detta arbete är att effektivisera och automatisera testningen av pH-ventiler, genom att skapa en automatisk pH-simulator med hjälp av en mikrokontroller (MCU). Prototypen ska kunna utföra testerna på samma sätt som operatörerna gör och kunna skicka ut pH-värden som har en noggrannhet på ± 0.1 pH-enheter. Den frågeställningen som ska besvaras är om det går att ersätta en manuell pH-Simulator med en automatisk pH-Simulator som har en noggrannhet på ± 0.1 pH-enheter med hjälp av en MCU?Genom att skapa en applikation som kan koppla upp sig till MCU kan tester skickas från applikationen till MCU:n.Därefter kan MCU:n kalkylera vad det skickade pH-värdet representerar i millivolt genom att använda sig av den linjära lutningen av linjen som ges av att räkna med Nernst ekvation. Därefter konverteras denna millivolt till ett 16-bitars tal som skickas till en DAC och skickas till en teststation. När signalen har skickats till kretskortet kommer mikrokontrollern att skicka tillbaka ett svar till applikationen som säger vilket värde som har körts och ifall det har gått bra. Slutsatsen som kan dras efter examensarbetet är att det går att göra en väldigt noggrann pH-simulator med hjälp av en MCU. De finns förbättringsmöjligheter för prototypen samt att det finns möjligheter att göra det lite billigare att producera prototypen.

Grundvattensänkningar är något som ofta behöver utföras innan konstruktion av anläggningar i jord. Att sätta pris på en grundvattensänkning är inte särskilt lätt när information eller kompetenser saknas som krävs för att göra en rimlig bedömning. Veidekke Entreprenad Anläggning Öst är ett anläggningsföretag som oftast jobbar i generalentreprenadsform. Vid en generalentreprenad så är projekteringen redan gjord och pris ska sättas på de olika posterna som behöver utföras. Denna rapport presenterar en förenklad process för kalkylberäkningar i anbudsfas. Därför har en mall har tagits fram åt Veidekke. Denna mall består av fyra representativa typjordar och ekvationer som gör den användarvänlig. För att kontrollera mallens duglighet så testades den sedan på tre projekt som Veidekke utfört grundvattensänkningar på. Mallens beräknade resultat kunde då jämföras med observerade resultat. Det visade sig att mallen ger en god approximation på hur grundvattensänkningen kan se ut och en fingervisning på hur lång tid det kan ta innan stationär grundvattensänkning uppkommer.

I detta examensarbete har nio gymnasieelever undersökts i årskurs tre på Teknik (TE) och Naturvetenskapliga (NV) programmet för att se om de i samband med studier i fysik och kemi har svårigheter med ekvationer och formler. Under våra praktikperioder har vi uppmärksammat att många elever som läser fysik och kemi har problem med att göra om formler som används inom detta område. Syftet är att se om det finns svårigheter att göra om formler i fysik och kemi och i så fall om det beror det på dåliga algebraiska kunskaper. Ett test genomfördes och därefter intervjuades eleverna om deras uppfattningar om ekvationer, formler och variabler. Resultatet av vår studie visar att endast 2 av 9 elever klarade att lösa ut en variabel från en av formlerna i testet. Det här resultatet instämmer med tidigare forskningsresultatet om elevernas problem att hantera bråkformer i algebraiska formler.

A key piece of information necessary for water management is accurate streamflow information. However, the available data and resources for gathering information vary around the world. This study forms a part of a research effort to improve discharge estimations for a montane rainforest stream located in the San Lorencito headwater catchment in Costa Rica. The aim of this study is to improve the current rating curve where the high flow part is currently ungauged and look at the impact of adding a high flow estimation to the rating curve. When adding information that is not gauged data, it is important to make sure that the information is unbiased. It can also be questioned if information based on less accurate observations will aid a model. The high flow estimation in this study was calculated using the Manning’s equation based on a survey after a flood event in August 2015. Field measurements were performed at the location in February 2017 and were added to the already existing data record from the gauging station dating back to 2015. Based on the previous data together with the new measurements, rating curves and corresponding hydrographs were established. The impact of adding the Manning’s estimation included a statistical assessment and comparison of the different rating curves and hydrographs. Results showed that at higher flows, the rating curve without the Manning’s point estimated higher discharge than the rating curve determined including the Manning’s point. However, at low flows below 0.9 𝑚3/𝑠 (or around a stage of 0.4 𝑚), the rating curve without the Manning’s point is estimating less discharge than the rating curve including the Manning’s point. Error plots and the uncertainty intervals in the graphs illustrate that the uncertainty at high flows are reduces when including a high flow estimation. The results suggest that it is preferable to add information, even if it has a lot of uncertainty, to no information at all. / Pålitlig flödestatistik och god kunskap gällande vattenföringen i vattendrag är mycket viktiga förutsättningarna för att kunna förvalta vattenresurser på ett hållbart sätt. Tyvärr har inte alla länder samma möjligheter och resurser att samla in den nödvändiga informationen vilket leder till att tillgänglig data är begränsad i vissa delar av världen. Denna studie utgör en del av ett forskningsprojekt i Costa Rica vars syfte är att förbättra uppskattningen av vattenföringen för ett vattendrag som rinner genom ett regnskogsområde. Målet med denna studie är att förbättra den nuvarande avbördningskurvan och undersöka effekten av att lägga till uppskattade värden för höga flöden där det för tillfället saknas data. Under februari 2017 genomfördes flödesmätningar på plats i Costa Rica. Mätningarna användes tillsammans med tidigare uppmätt flödesdata för att bestämma avbördningskurva och motsvarande hydrograf. För att uppskatta det höga flödet användes Mannings ekvation. Beräkningar har utgått från en störtflod som skedde i augusti 2015 och parametrar till ekvationen har baserats på de spår vattnet orsakad på terrängen och vegetation som kunde observeras i efterhand. Slutligen har en statistik bedömning genomförts där effekten på avbördningskurvan och hydrografen av att inkludera en vattenföringspunkt beräknad med Mannings ekvation har studerats. Följden av att ta med en Manningspunkt innebar att avbördningskurvan planades ut och inte uppskattade lika drastiska vattenföringar vid höga vattennivåer. Vid låga flöden under 0.9 𝑚3/𝑠 uppskattade däremot avbördningskurvan med Manningspunkten lägre vattenföring än kurvan utan Manningspunkten. Genom att introducera ett uppskattat vattenföringsvärde med Mannings ekvation minskade osäkerheten för avbördningskurvan och hydrografen vid höga flöden. Resultaten antyder att det är fördelaktigt att införa uppskattade värden där det saknas information.

Bakgrund: Inom yrket som röntgensjuksköterska används dagligen kontrastmedel i samband med undersökningar. För att räkna ut hur mycket kontrastmedel som patienter ska erhålla för att förebygga kontrastinducerade njurskador används ekvationsformler för att räkna ut njurfunktionens glomerulära filtrationshastighet. Två formler som jämfördes var CKD-EPI och MDRD. Syfte: I denna litteraturstudie var syftet att jämföra vilken av de två mest förekommande ekvationsformler är mest optimal att använda för att räkna ut estimerat GFR. Metod: Denna studie genomfördes i form av en litteraturstudie där 11 artiklar kvalitetsgranskades och sammanställdes. Resultat: CKD-EPI-formeln uppvisade generellt bättre prestationsförmåga för noggrannhet, precision och avvikelse än MDRD-formeln för estimering av GFR. Dock hade båda ekvationerna svagheter och är inte universella då MDRD och CKD-EPI-formlerna inte är lämpliga att använda på alla individer. Slutsats: I dagsläget är CKD-EPI-formeln den som ter sig vara mest användbar, dock behövs det mer forskning för att kunna utveckla ekvationsformler som passar för alla typer av patienter. / Background: In the profession as radiology nurse contrast media is used daily in radiologic examinations. In order to determine the volume of contrast media that patients should be administered and to prevent contrast-induced nephropathy equation formulas are applied to calculate the kidney function glomerular filtration rate. Two formulas were compared the CKD-EPI and MDRD. Aim: In this literature study the aim was to compare which of the two most commonly used equation formulas is the most optimal for calculating estimated GFR. Methods: This study was conducted as a literature study, where 11 articles were quality assessed and compiled. Results: The CKD-EPI formula generally showed better performance for estimating GFR in accuracy, precision and bias than the MDRD formula. However, both equation formulas present inadequacies and are not universal as they are not applicable to all individuals. Conclusions: At the moment the CKD-EPI formula appears to be the most applicable, although more research is required in order to develop equation formulas which cater to all types of patients.

This thesis aims to provide an introduction to the field of potential theory at an undergraduate level, by studying an important mathematical problem in the field, namely the Dirichlet problem. By examining the historical development of different methods for solving the problem in increasingly general contexts, and the mathematical concepts which were established to support these methods, the aim is to provide an overview of various basic techniques in the field of potential theory, as well as a summary of the fundamental results concerning the Dirichlet problem in Euclidean space. / Målet med detta arbete är att vara en introduktion på kandidatnivå till ämnesfältet potentialteori, genom att studera ett viktigt matematiskt problem inom potentialteori, Dirichletproblemet. Genom att undersöka den historiska utvecklingen av olika lösningsmetoder för problemet i mer och mer allmänna sammanhang, i kombination med de matematiska koncepten som utvecklades för att användas i dessa lösningsmetoder, ges en översikt av olika grundläggande tekniker inom potentialteori, samt en sammanfattaning av de olika matematiska resultaten som har att göra med Dirichletproblemet i det Euklidiska rummet.

Syftet med denna studie var att undersöka skolår 4 elevers förståelse av likhetstecknet. Vi ville även studera hur symbolen presenteras i elevernas läroböcker och mot bakgrund av tidigare forskning diskutera hur detta kan påverka deras förståelse av begreppet. I studien använde vi oss av tre insamlingsmetoder: en kvantitativ undersökning, kvalitativa intervjuer och en textanalys av läroböcker för skolår 3 och 4. Vår undersökning visar att även om eleverna uppvisar bra förståelse av likhetstecknet när de löser uppgifter av strukturell typ, har de svårigheter med att muntligt beskriva likhetstecknets funktion. Textanalysen synliggör att andelen utsagor av operationell typ som framhävs i läroböckerna för åk 3 minskar betydligt i läroböckerna för åk 4. Från vår studie drar vi slutsatsen att matematikböckernas ensidiga presentation av likhetstecknet kan vara anledningen till elevers bristande förståelse av dess innebörd.

In this thesis we derive a coupled system of Cahn-Hilliard equations posed in a domain with moving boundary using arguments from thermodynamics. The physical setting we have in mind is a ternary solution observed during one species evaporation as a moving boundary problem. The mixture is made of two types of polymers blended in a solvent that is allowed to evaporate at part of the surface of the domain. After formulating the evolution system as a moving-boundary problem with kinetic interface condition, we fix the moving boundary to facilitate a suitable numerical approximation. We project the resulting model equations on a finite element space and then integrate the obtained system in Python using FEniCS. We show numerically the formation of morphologies and track the evolution of the remaining solvent and of the moving boundary position. The conjecture is that such a system would produce phase separation and that the resulting morphologies are mappable to the observations of organic solar cells. Finally, we study the effect of the most relevant parameters on the output of our Cahn-Hilliard system, particularly on the speed of the moving boundary and of the morphology formation. / I denna tes härleder vi ett kopplat system av Cahn-Hilliard ekvationer fomulerad i en tidsberoende domän med hjälp av termodynamiska argument. Den fysiska miljön vi tänker oss är en trekomponents lösning observerad under avdunstning med hänsyn till en tidsberoende domän. Blandningen består av två polymerer utspädda i ett lösningsmedel som tillåts förånga vid en av domänens gränser. Efter att vi formulerat evolutions ekvationerna i en tidsberoende domän med kinetiska gränsvillkor så utförs en transformation till en tidsoberoende domän för att underlätta en lösning med finita elementmetoden. Vi projicerar de resulterande ekvationerna på ett diskret rum skapat m.h.a. finita elementmetoden för att sedan integrera systemet med hjälp av FEniCS platformen skrivet i Python. Vi visar nummeriska lösningar för morfologiformationen och följer evolutionen av lösningsmedlet samt positionen för den rörliga gränsen. Vår förmodan är att ett sådant system kommer producera fas-seperation och den resulterande morfologin kommer vara jämnförbar med det som observeras hos organiska solceller. Slutligen studerar vi hur variationer av dom mest relevanta parametrarna påverkar på vårt Cahn-Hilliard system, i synnerhet positionen som en funktion av tid hos den rörliga gränsen samt morfologiformationen.

<p>In this thesis we discuss different types of regularity for distributions which appear in the theory of pseudo-differential operators and partial differential equations. Partial differential equations often appear in science and technology. For example the Schrödinger equation can be used to describe the change in time of quantum states of physical systems. Pseudo-differential operators can be used to solve partial differential equations.  They are also appropriate to use when modeling different types of problems within physics and engineering. For example, there is a natural connection between pseudo-differential operators and stationary and non-stationary filters in signal processing. Furthermore, the correspondence between symbols and operators when passing from classical mechanics to quantum mechanics essentially agrees with symbols and operators in the Weyl calculus of pseudo-differential operators.</p><p>In this thesis we concentrate on investigating how regularity properties for solutions of partial differential equations are affected under the mapping of pseudo-differential operators, and in particular of the free time-dependent Schrödinger operators.</p><p>The solution of the free time-dependent Schrödinger equation can be expressed as a pseudo-differential operator, with non-smooth symbol, acting on the initial condition. We generalize a result about non-tangential convergence, which was obtained by Sjögren and Sjölin (1989) for the free time-dependent Schrödinger equation.</p><p>Another way to describe regularity for a distribution is to use wave-front sets. They do not only describe where the singularities are, but also the directions in which these singularities appear. The first types of wave-front sets (analytical wave-front sets) were introduced by Sato (1969, 1970). Later on Hörmander introduced ``classical'' wave-front sets (with respect to smoothness) and showed results in the context of pseudo-differential operators with smooth symbols, cf. Hörmander (1985).</p><p>In this thesis we consider wave-front sets with respect to Fourier Banach function spaces. Roughly speaking, we take <em>B</em> as a Banach space, which is invariant under translations and embedded between the space of Schwartz functions and the space of temperated distributions. Then we say that the wave-front set of a distribution contains all points (x₀, ξ₀) such that no localization of the distribution at x₀, belongs to <em>FB</em> in the direction ξ₀. We prove that pseudo-differential operators with smooth symbols shrink the wave-front set and we obtain opposite embeddings by using sets of characteristic points of the operator symbols.</p> / <p>I denna avhandling diskuterar vi olika typer av regularitet för distributioner som uppkommer i teorin för pseudodifferentialoperatorer och partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer förekommer inom naturvetenskap och teknik. Exempelvis kan Schrödingerekvationen användas för att beskriva förändringen med tiden av kvanttillstånd i fysikaliska system. Pseudodifferentialoperatorer kan användas för att lösa partiella differential\-ekvationer. De användas också för att modellera olika typer av problem inom fysik och teknik. Det finns till exempel en naturlig koppling mellan pseudodifferentialoperatorer och stationära och icke-stationära filter i signalbehandling. Vidare gäller att relationen mellan symboler och operatorer vid övergången från klassisk mekanik till kvantmekanik i huvudsak överensstämmer med symboler och operatorer inom Weylkalkylen för pseudodifferentialoperatorer.</p><p>I den här avhandlingen koncentrerar vi oss på att undersöka hur regularitetsegenskaper för lösningar till partiella differentialekvationer påverkas under verkan av pseudodifferentialoperatorer, och speciellt för de fria tidsberoende Schrödingeroperatorerna.</p><p>Lösningen av den fria tidsberoende Schrödingerekvationen kan uttryckas som en pseudodifferentialoperator, med icke-slät symbol, verkande på begynnelsevillkoret. Vi generaliserar ett resultat om icke-tangentiell konvergens av Sjögren och Sjölin (1989) för den fria tidsberoende Schrödingerekvationen.</p><p>Ett annat sätt att beskriva regularitet hos en distribution är med hjälp av vågfrontsmängder. De beskriver inte bara var singulariteterna finns, utan också i vilka riktningar dessa singulariteter förekommer. De första typerna av vågfrontsmängder (analytiska vågfrontsmängder) introducerades av Sato (1969, 1970). Senare introducerade Hörmander ''klassiska'' vågfrontsmängder (med avseende på släthet) och visade resultat för verkan av pseudodifferentialoperatorer med släta symboler, se  Hörmander (1985).</p><p>I denna avhandling betraktar vi vågfrontsmängder med avseende på Fourier Banach funktionsrum. Detta kan ses som att vi låter <em>B</em> vara ett Banachrum, som är invariant under translationer och är inbäddat mellan rummet av Schwartzfunktioner och rummet av tempererade distributioner. Vågfrontsmängden av en distribution innehåller alla punkter (x₀, ξ₀) så att ingen lokalisering av distributionen kring x₀, tillhör <em>FB</em> i riktningen ξ₀. Vi visar att pseudodifferentialoperatorer med släta symboler krymper vågfrontsmängden och vi får motsatta inbäddningar med hjälp mängder av karakteristiska punkter till operatorernas symboler.</p>