Des travaux récents dans le domaine des mathématiques financières ont fait émerger l'importance de l'étude de la régularité et du comportement fin des queues de distribution pour certaines classes de diffusions à coefficients non globalement réguliers. Dans cette thèse, nous traitons des problèmes issus de ce contexte. Nous étudions d'abord l'existence, la régularité et l'asymptotique en espace de densités pour les solutions d'équations différentielles stochastiques en n'imposant que des conditions locales sur les coefficients de l'équation. Notre analyse se base sur les outils du calcul de Malliavin et sur des estimations pour les processus d'Ito confinés dans un tube autour d'une courbe déterministe. Nous obtenons des estimations significatives de la fonction de répartition et de la densité dans des classes de modèles comprenant des généralisations du CIR et du CEV et des modèles à volatilité locale-stochastique : dans ce deuxième cas, les estimations entraînent l'explosion des moments du sous-jacent et ont ainsi un impact sur le comportement asymptotique en strike de la volatilité implicite. La modélisation paramétrique de la surface de volatilité, à son tour, fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons le modèle SVI de J. Gatheral, en proposant une nouvelle stratégie de calibration quasi-explicite, dont nous illustrons les performances sur des données de marché. Ensuite, nous analysons la capacité du SVI à générer des approximations pour les smiles symétriques, en le généralisant à un modèle dépendant du temps. Nous en testons l'application à un modèle de Heston (sans et avec déplacement), en générant des approximations semi-fermées pour le smile de volatilité / Some recent works in the field of mathematical finance have brought new light on the importance of studying the regularity and the tail asymptotics of distributions for certain classes of diffusions with non-globally smooth coefficients. In this Ph.D. dissertation we deal with some issues in this framework. In a first part, we study the existence, smoothness and space asymptotics of densities for the solutions of stochastic differential equations assuming only local conditions on the coefficients of the equation. Our analysis is based on Malliavin calculus tools and on « tube estimates » for Ito processes, namely estimates for the probability that the trajectory of an Ito process remains close to a deterministic curve. We obtain significant estimates of densities and distribution functions in general classes of option pricing models, including generalisations of CIR and CEV processes and Local-Stochastic Volatility models. In the latter case, the estimates we derive have an impact on the moment explosion of the underlying price and, consequently, on the large-strike behaviour of the implied volatility. Parametric implied volatility modeling, in its turn, makes the object of the second part. In particular, we focus on J. Gatheral's SVI model, first proposing an effective quasi-explicit calibration procedure and displaying its performances on market data. Then, we analyse the capability of SVI to generate efficient approximations of symmetric smiles, building an explicit time-dependent parameterization. We provide and test the numerical application to the Heston model (without and with displacement), for which we generate semi-closed expressions of the smile

Cette thèse est consacrée à l'étude de modèles stochastiques associés aux systèmes quantiques ouverts. Plus particulièrement, nous étudions les marches quantiques ouvertes qui sont les analogues quantiques des marches aléatoires classiques. La première partie consiste en une présentation générale des marches quantiques ouvertes. Nous présentons les outils mathématiques nécessaires afin d'étudier les systèmes quantiques ouverts, puis nous exposons les modèles discrets et continus des marches quantiques ouvertes. Ces marches sont respectivement régies par des canaux quantiques et des opérateurs de Lindblad. Les trajectoires quantiques associées sont quant à elles données par des chaînes de Markov et des équations différentielles stochastiques avec sauts. La première partie s'achève avec la présentation de quelques pistes de recherche qui sont le problème de Dirichlet pour les marches quantiques ouvertes et les théorèmes asymptotiques pour les mesures quantiques non destructives. La seconde partie rassemble les articles rédigés durant cette thèse. Ces articles traîtent les sujets associés à l'irréductibilité, à la dualité récurrence-transience, au théorème central limite et au principe de grandes déviations pour les marches quantiques ouvertes à temps continu. / This thesis is devoted to the study of stochastic models derived from open quantum systems. In particular, this work deals with open quantum walks that are the quantum analogues of classical random walks. The first part consists in giving a general presentation of open quantum walks. The mathematical tools necessary to study open quan- tum systems are presented, then the discrete and continuous time models of open quantum walks are exposed. These walks are respectively governed by quantum channels and Lindblad operators. The associated quantum trajectories are given by Markov chains and stochastic differential equations with jumps. The first part concludes with discussions over some of the research topics such as the Dirichlet problem for open quantum walks and the asymptotic theorems for quantum non demolition measurements. The second part collects the articles written within the framework of this thesis. These papers deal with the topics associated to the irreducibility, the recurrence-transience duality, the central limit theorem and the large deviations principle for continuous time open quantum walks.

Les principaux thèmes de cette thèse sont la théorie des trajectoires rugueuses développée par T. Lyons (1998) et ses applications, notamment à l'étude des équations différentielles stochastiques (EDS) et au calcul de sensibilités. Des applications potentielles des résultats théoriques en science du vivant et en finance y sont également développés. En premier lieu, sont étendues l'existence et l'expression des grecques Delta et Véga, sensibilités bien connues en finance, pour des EDS à coefficients bornés et dirigées par un processus gaussien multidimensionnel centré, à trajectoires continues, au-dessus duquel il existe une trajectoire géométrique naturelle. Le cas du mouvement brownien fractionnaire a particulièrement été développé afin de proposer d'une part, une application du calcul de Véga dans un modèle de marché financier à volatilité stochastique fractionnaire et d'autre part, d'effectuer des simulations. En second lieu, est étudiée une généralisation d'équation mean-reverting au cas d'un signal gaussien unidimensionnel, centré et à trajectoires continues : existence globale et unicité de la solution, intégrabilité, continuité et différentiabilité de l'application d'Itô, existence d'un schéma d'approximation convergeant dans tous les Lp avec une vitesse de convergence presque-sure, un principe de grandes déviations et, l'existence d'une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. L'étude de cette famille d'EDS a débouché sur une application en pharmacocinétique.

La simulation numérique de systèmes d'équations différentielles raides ordinaires ou algébriques est devenue partie intégrante dans le processus de conception des systèmes mécaniques à dynamiques complexes. L'objet de ce travail est de développer des méthodes numériques pour réduire les temps de calcul par le parallélisme en suivant deux axes : interne à l'intégrateur numérique, et au niveau de la décomposition de l'intervalle de temps. Nous montrons l'efficacité limitée au nombre d'étapes de la parallélisation à travers les méthodes de Runge-Kutta et DIMSIM. Nous développons alors une méthodologie pour appliquer le complément de Schur sur le système linéarisé intervenant dans les intégrateurs par l'introduction d'un masque de dépendance construit automatiquement lors de la mise en équations du modèle. Finalement, nous étendons le complément de Schur aux méthodes de type "Krylov Matrix Free". La décomposition en temps est d'abord vue par la résolution globale des pas de temps dont nous traitons la parallélisation du solveur non-linéaire (point fixe, Newton-Krylov et accélération de Steffensen). Nous introduisons les méthodes de tirs à deux niveaux, comme Parareal et Pita dont nous redéfinissons les finesses de grilles pour résoudre les problèmes raides pour lesquels leur efficacité parallèle est limitée. Les estimateurs de l'erreur globale, nous permettent de construire une extension parallèle de l'extrapolation de Richardson pour remplacer le premier niveau de calcul. Et nous proposons une parallélisation de la méthode de correction du résidu.

Cette thèse porte sur des propriétés de stabilité de problèmes d'arrêt dans le cas où l'on dispose d'une information approximative sur le modèle. La filtration engendrée par un processus représente l'information véhiculée par ce processus au cours du temps. Aussi, les propriétés des suites de filtrations associées à des suites de processus jouent un grand rôle dans ce travail. Un premier axe d'étude concerne la stabilité des notions de réduites et de temps d'arrêt optimaux. Une réduite est la valeur maximale de l'espérance d'une fonction dépendant d'un processus et d'un temps d'arrêt, maximum pris sur l'ensemble des temps d'arrêt pour la filtration engendrée par le processus. Un temps d'arrêt optimal est un temps d'arrêt réalisant le maximum. Le second axe concerne la stabilité de solutions d'équations différentielles stochastiques rétrogrades à horizon aléatoire fini presque sûrement quand le mouvement brownien dirigeant l'équation est approché soit par une suite de marches aléatoires, soit par une suite de martingales.

A l'heure de l'acquisition de données à haut débit concernant le métabolisme cellulaire et son évolution, il est absolument nécessaire de disposer de modèles permettant d'intégrer ces données en un ensemble cohérent, d'en interpréter les variations métaboliques révélatrice, les étapes clefs où peuvent s'exercer des régulations, voire même d'en révéler des contradictions apparentes mettant en cause les bases sur lesquelles le modèle lui-même est construit. C'est ce type de travail que j'ai entrepris à propos de données expérimentales obtenues dans le laboratoire biologique sur le métabolisme de cellules tumorales en réponse à un traitement anti-cancéreux. Je me suis attachée à la modélisation d'un point particulier de ce métabolisme. Il concerne le métabolisme des glycérophospholipides qui sont de bons marqueurs de la prolifération cellulaire. Les phospholipides constituent l'essentiel des membranes d'une cellule et l'étude de leur synthèse (en particulier chez les cellules de mammifères) est de ce fait un sujet important. Ici, nous avons pris le parti de mettre en place un modèle mathématique par équations différentielles ordinaires, qui est essentiellement basé sur des équations hyperboliques (Michaelis-Menten), mais aussi sur des cinétiques type loi d'action de masse et diffusion. Le modèle, composé de 8 équations différentielles, donc de 8 substrats d'intérêt, comporte naturellement des paramètres inconnus in vivo, et certains dépendents des conditions cellulaires (différentiations de cellules, pathologies, . . .). Le modèle sépare la structure du réseau métabolique, l' ́écriture de la matrice de stoechiométrie, celles des équations de vitesse et enfin des équations différentielles. Le modèle choisi est le modèle murin (souris/rat), parce qu'il est lui-même un modèle de l'homme. Plusieurs conditions sont successivement considérées pour l'identification des paramètres, afin d'étudier les liens entre la synthèse de phospholipides et le cancer : - le foie sain du rat, - le mélanome B16 et le carcinome de la lign ́ee 3LL chez la souris, respectivement sans traitement, en cours de traitement 'a la Chloroéthyl-nitrosourée et après traitement, - enfin le mélanome B16 chez la souris sous stress de privation de méthionine. En résumé, ce travail fourni une interprétation nouvelle des données expérimentales en montrant le rôle essentiel de la PEMT et la nature superstable de l'état sta- tionnaire de fonctionnement du réseau métabolique des phospholipides lors de la cancérogènèse et du traitement des cancers. Il montre bien l'avantage de l'utilisation d'un modèle mathématique dans l'interprétation de données métaboliques complexes.

Cette thèse traite des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies du second ordre dans une filtration générale . Nous avons traité tout d'abord la réflexion à une barrière inférieure puis nous avons étendu le résultat dans le cas d'une barrière supérieure. Notre contribution consiste à démontrer l'existence et l'unicité de la solution de ces équations dans le cadre d'une filtration générale sous des hypothèses faibles. Nous remplaçons la régularité uniforme par la régularité de type Borel. Le principe de programmation dynamique pour le problème de contrôle stochastique robuste est donc démontré sous les hypothèses faibles c'est à dire sans régularité sur le générateur, la condition terminal et la barrière. Dans le cadre des Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSRs ) standard, les problèmes de réflexions à barrières inférieures et supérieures sont symétriques. Par contre dans le cadre des EDSRs de second ordre, cette symétrie n'est plus valable à cause des la non linéarité de l'espérance sous laquelle est définie notre problème de contrôle stochastique robuste non dominé. Ensuite nous un schéma d'approximation numérique d'une classe d'EDSR de second ordre réfléchies. En particulier nous montrons la convergence de schéma et nous testons numériquement les résultats obtenus. / This thesis deals with the second-order reflected backward stochastic differential equations (2RBSDEs) in general filtration. In the first part , we consider the reflection with a lower obstacle and then extended the result in the case of an upper obstacle . Our main contribution consists in demonstrating the existence and the uniqueness of the solution of these equations defined in the general filtration under weak assumptions. We replace the uniform regularity by the Borel regularity(through analytic measurability). The dynamic programming principle for the robust stochastic control problem is thus demonstrated under weak assumptions, that is to say without regularity on the generator, the terminal condition and the obstacle. In the standard Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) framework, there is a symmetry between lower and upper obstacles reflection problem. On the contrary, in the context of second order BSDEs, this symmetry is no longer satisfy because of the nonlinearity of the expectation under which our robust stochastic non-dominated stochastic control problem is defined. In the second part , we get a numerical approximation scheme of a class of second-order reflected BSDEs. In particular we show the convergence of our scheme and we test numerically the results.

Afin de faire face à différents types de stress et s'adapter à de nouveaux environnements, les bactéries ont développé de nombreux mécanismes génétiquement régulés. La compétence pour la transformation naturelle est un processus qui favorise le transfert horizontal de gènes. Si les espèces phylogénétiquement éloignées partagent des mécanismes conservés d'intégration et de remaniement de l'ADN, les circuits de régulation de la compétence ne sont toutefois pas universels mais adaptés au mode de vie de chaque espèce. Chez les bactéries Gram-positives, les cascades de régulation de Streptococcus pneumoniae et Bacillus subtilis sont les mieux documentées. Si de nombreux modèles mathématiques ont été établis pour étudier différents aspects de la régulation des compétences chez B. subtilis, un seul modèle à échelle de population a été développé pour S. pneumoniae, il y a plus de dix ans, sur la base d'hypothèses contestées par de nouvelles données expérimentales. Nous avons développé, chez S. pneumoniae, un modèle fondé sur la connaissance de la régulation de la compétence qui intègre les éléments biologiques essentiels connus à ce jour. La cohérence structurelle de la topologie du réseau est confirmée par le formalisme des réseaux de Petri. Le réseau est ensuite transformé en un ensemble d'équations différentielles ordinaires pour étudier son comportement dynamique. La cinétique des protéines a été estimée en utilisant des données de luminescence et l'estimation des paramètres a été contrainte à partir des connaissances disponibles. Après avoir testé des modèles alternatifs, nous avons proposé l'existence d'un produit de gène tardif supplémentaire pouvant inhiber l'action de ComW, l'activateur du facteur sx. Nous apportons également un nouvel éclairage sur cette cascade de régulation en prédisant la cinétique de composantes du système qui pourraient être impliquées dans des comportements spécifiques. Ce modèle consolide les connaissances expérimentales acquises sur la régulation de la compétence chez S. pneumoniae. De plus, il peut être appliqué aux autres espèces de streptocoques appartenant aux groupes mitis et anginosus puisqu'ils partagent le même circuit régulateur. À l'échelle populationnelle, la transition vers l'état de compétence se produit d'abord dans une sous-population de cellules et se propage ensuite dans toute la population par contact physique cellule à cellule. En permettant la simulation du comportement d'une cellule individuelle, le modèle pourra servir de module dans la conception d'un modèle d'une population bactérienne composée de cellules hétérogènes. / Bacteria have evolved many types of genetically induced mechanisms to face different types of stresses and to adapt to new environments. Competence for natural transformation is one such process that promotes horizontal gene transfer. If phylogenetically distant species share conserved uptake and processing apparatus, competence regulatory circuits are not universal but adapted to every species' lifestyle. In Gram-positive bacteria, Streptococcus pneumoniae and Bacillus subtilis regulatory cascades are the best documented. If many mathematical models have been established to study different aspects of competence regulation in B. subtilis, only one population-scaled model has been developed for S. pneumoniae, a decade ago, based on hypotheses that are challenged by new experimental data. We develop, in S. pneumoniae, a knowledge-based model of the competence regulation at cell level that integrates the enriched biological knowledge acquired to date. The structural consistency of the network topology is confirmed using Petri net formalism. The network is further turned into a set of ordinary differential equations to study its dynamics behavior. Protein kinetics are estimated using time-series luminescence data and other parameter estimations are constrained according to available knowledge. We point out some gap in competence shut-off knowledge, and, after testing alternative models, we predict the requirement of a yet unknown late com gene product inhibiting the action of ComW, the ?x factor activator. We also bring new insights into this regulatory cascade by predicting the system components that might be involved in specific experimental behavior. Our model consolidates the experimental knowledge acquired on competence regulation in S. pneumoniae. Moreover, it can be applied to the other streptococci species belonging to the mitis and anginosus groups since they shared the same regulatory circuit. In the population, the competence shift happens first in a subpopulation of cells and spreads into the whole population through cell to cell contact. Allowing simulation of individual cell behavior, our model will provide a brick for the design of a population-scale model composed of heterogeneous cells.

Ce travail porte sur l'étude de structures multicouches à gradient de propriétés (FGM : Functionnally Graded Materials). Ces matériaux sont apparus afin d'obtenir des dépôts aux caractéristiques nouvelles et innovantes. Les FGM sont désormais présents dans divers applications de haute technologie.Un système multicouche à gradient de composition entre le cuivre et le nickel, a fait l'objet d'une étude expérimentale par l'application de la technique des ultrasons laser (LU) couplée à une étude numérique basée sur le formalisme de Stroh et la méthode de la matrice de raideur. Le travail de thèse est organisé autour de quatre chapitres. Le premier chapitre est dédié à l'aspect théorique de la propagation des ondes de surface dans une structure multicouche et à gradient de propriétés. Ainsi, un développement des méthodes numériques pour les matériaux dotés de la piézoélectricité est fourni. Le second chapitre se consacre à l'élaboration des échantillons utilisés dans notre étude et obtenus par pulvérisation cathodique. Le troisième chapitre présente la méthode opto-acoustique utilisée pour caractériser les échantillons réalisés. le dernier chapitre présente les résultats expérimentaux, confrontés aux résultats théoriques, décrivant le comportement dispersif des multicouches submicrométriques. / This thesis focuses on the study of multilayered and FGM systems (FGM : Functionnally Graded Materials). The main purpose of this type of materials is to obtain deposits with new and innovative features and to increase the fracture toughness. From now on, FGM have been used in various high technology applications.A multilayer system with a composition gradient of copper and nickel was studied experimentally by the application of the laser ultrasonics (LU) technique which was coupled to a theoretical study based on the ordinary differential equations (ODE) and the Stiffness Matrix Method (SMM). This PhD thesis is organized around four chapters. The first chapter is dedicated to a theoretical study of the propagation behavior of surface acoustic wave (SAW) in a multilayer system with à gradient of properties. Thus, the numerical methods developped for the piezoelectric materials (FGPM) are presented. The second chapter is devoted to describe the setup for making the samples used in this study which were obtained by sputtering technique. The third chapter presents the experimental study dedicated to the measurement of surface wave velocities in many crystal orientations. The last chapter of the manuscript presents experimental results, compared to the theoretical results, describing the dispersive behavior of submicrometer multilayers.

Cette thèse est consacrée à l’étude mathématique des effets de désordre dans divers systèmes physiques. On commence par trois problèmes d’homogénéisation stochastique en lien avec des questions statiques de physique classique. Premièrement, en vue de la déduction rigoureuse de l’élasticité non-linéaire à partir de la physique statistique de réseaux de chaînes de polymères, on établit l’existence de propriétés effectives pour des matériaux hyperélastiques hétérogènes aléatoires sous des hypothèses générales de croissance. Deuxièmement, dans un cadre linéarisé simplifié, on étudie les formules de Clausius-Mossotti pour les propriétés effectives d’alliages binaires dilués: on donne la première preuve générale et rigoureuse de ces formules, ainsi qu’une extension aux ordres supérieurs. Troisièmement, encore pour des systèmes linéarisés, on propose d’étudier les déviations par rapport aux propriétés effectives et on établit la première théorie générale des fluctuations en homogénéisation stochastique. Dans la seconde partie de cette thèse, on se focalise sur la compétition entre désordre et interactions, et on étudie plus particulièrement la dynamique des vortex de Ginzburg-Landau dans des supraconducteurs 2D de type II en présence d’impuretés. Bien que la compréhension mathématique des propriétés vitreuses complexes de ces systèmes semble hors de portée, on établit rigoureusement la limite de champ moyen pour la dynamique d’un grand nombre de vortex, et on étudie l’homogénéisation de ces équations limites et leurs propriétés. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished