L'objet de cette thèse est d'étudier les systèmes de cointégration fractionnaire de forme triangulaire mais également d'analyser l'apport de ces systèmes dans la modélisation des co-mouvements au sein des marchés financiers internationaux. La thèse s'articule autour de six chapitres équitablement répartis entre contributions économétriques et économiques. Concernant l'approche économétrique, un intérêt particulier est donné à l'estimation de ces systèmes en absence d'information sur les paramètres d'intérêts. Dans cette optique, plusieurs techniques d'estimation sont analysées et développées, essentiellement dans le domaine des fréquences car celui-ci permet un traitement semi-paramétrique des paramètres de nuisances. Les performances de ses estimateurs sont étudiés à travers des simulations mais également à travers l'étude des propriétés asymptotiques. Concernant l'approche économique, une première contribution exploite la cointégration fractionnaire pour révéler l'existence d'un système de taux de change entre certains pays Asiatiques. Une deuxième contribution porte sur l'analyse des interdépendances entre le marché du pétrole et divers taux de change au niveau de la volatilité. Une troisième contribution introduit un processus d'apprentissage adaptatif dans un modèle monétaire à plusieurs pays afin d'étudier sous quelles conditions un système de taux de change peut émerger. / The aim of the thesis is to study a triangular form of fractional cointegration systems and to investigate whether these systems allow to model the comovements in international financial markets. The thesis is organized around six chapters. Three of them are theory-oriented and the three others are empirics-oriented. Concerning the econometric approach, a particular interest is devoted to the estimation of these systems when all parameters of interest are unknown. To this extent, several estimation techniques are investigated and introduced, essentially in frequency domain as it allows a semi-parametric treatment of the nuisance parameters. Most of times, the performance of these estimators are studied by means of simulations but the asymptotic theory is also developed. Concerning the economic approach, a first contribution applies the fractional cointegration theory to reveal the existence of an exchange rate system between several Asian countries. A second contribution deals with the risk interdependences between the crude oil market and several exchange rates. A third contribution considers an adaptive learning mechanism in a multi-country monetary model to investigate the conditions under which an exchange rate system is likely to emerge.

Dans cette thèse, on étudie des processus stochastiques issus de la physique statistique. Le mouvement Brownien fractionnaire, objet central des premiers chapitres, généralise le mouvement Brownien aux cas où la mémoire est importante pour la dynamique. Ces effets de mémoire apparaissent par exemple dans les systèmes complexes et la diffusion anormale. L’absence de la propriété de Markov rend difficile l’étude probabiliste du processus. On développe une approche perturbative autour du mouvement Brownien pour obtenir de nouveaux résultats, sur des observables liées aux statistiques des extrêmes. En plus de leurs applications physiques, on explore les liens de ces résultats avec des objets mathématiques, comme les lois de Lévy et la constante de Pickands. / In this thesis, we study stochastic processes appearing in different areas of statistical physics: Firstly, fractional Brownian motion is a generalization of the well-known Brownian motion to include memory. Memory effects appear for example in complex systems and anomalous diffusion, and are difficult to treat analytically, due to the absence of the Markov property. We develop a perturbative expansion around standard Brownian motion to obtain new results for this case. We focus on observables related to extreme-value statistics, with links to mathematical objects: Levy’s arcsine laws and Pickands’ constant. Secondly, the model of elastic interfaces in disordered media is investigated. We consider the case of a Brownian random disorder force. We study avalanches, i.e. the response of the system to a kick, for which several distributions of observables are calculated analytically. To do so, the initial stochastic equation is solved using a deterministic non-linear instanton equation. Avalanche observables are characterized by power-law distributions at small-scale with universal exponents, for which we give new results.

Les progrès technologiques dans la fabrication des semi-conducteurs permettent, depuis le début des années 80, de réaliser des dispositifs dans lesquels les électrons sont fortement confinés dans un plan, on parle de système d'électrons bidimensionnels. L'application d'un champ magnétique perpendiculaire intense à ce système permit l'observation des effets Hall quantiques (EHQ), entier en 1980 puis fractionnaire en 1982. En présence du champ magnétique et aux températures extrêmement faibles qui sont concernées, le spectre énergétique des électrons bidimensionnels est quantifié en niveaux de Landau macroscopiquement dégénérés. Le comportement du système est alors déterminé par le facteur de remplissage des niveaux de Landau. L'EHQ entier apparaît autour des valeurs de champ magnétiques qui correspondent à un remplissage entier des niveaux Landau, tandis que son pendant fractionnaire est obtenu autour de certaines fractions du facteur de remplissage ν (ν =1/3, 2/5, 5/2, …) . Alors qu'à remplissage ν entier c'est le comportement individuel des électrons qui gouverne le comportement du système, aux facteurs de remplissage fractionnaires les corrélations électroniques dominent. En raison de ce caractère fortement corrélé, l'EHQ fractionnaire sous-tend un effort de recherche expérimental et théorique important depuis sa découverte. En effet, dans le régime fractionnaire les corrélations fortes induisent des propriétés inédites telles l'existence de quasi-particules de charge fractionnaire, mais elles rendent également la description théorique du système ardue. En 1983, Robert Laughlin proposa une fonction d'onde variationnelle modèle pour la description de l'EHQ fractionnaire observé à remplissage ν=1/3, dont il discuta la validité au regard d'une étude numérique approfondie des interactions entre les électrons. Le succès de cette méthode l'éleva au rang de paradigme, et de nombreuses fonctions d'onde d'essai ont depuis été proposées pour l'explication des effets Hall quantiques observés aux autres facteurs de remplissages. Notamment, la fonction d'onde de Moore et Read s'avère pertinente pour la description de l'EHQ observé à demi-remplissage du second niveau de Landau. Celle-ci suggère l'existence de quasi-particules non-abéliennes qui génère des espoirs importants de par ses applications potentielles en informatique quantique protégée topologiquement. Bien que l'EHQ ait également été observé à demi-remplissage du plus bas niveau de Landau, la nature de l'état sous-jacent est encore débatue. Celui-ci n'est observé que dans les systèmes bicouches et dans les puits larges qui sont au centre de ce travail de thèse. Les puits larges désignent les systèmes dans lesquels l'épaisseur du système d'électrons bidimensionnel ne peut plus être négligée, typiquement à des épaisseurs de l'ordre de 100 nm. En raison du potentiel de confinement ressenti par les électrons, leurs niveaux d'énergies dans la direction du confinement sont quantifiés en sous-bandes. Dans un puits extrêmement fin seule la plus basse sous-bande est peuplée et le degré de liberté correspondant est alors gelé, mais dans les puits large les sous-bandes excitées sont pertinentes. Dans ces conditions l'EHQ fractionnaire à demi-remplissage peut également résulter de la stabilisation d'un état à deux composantes qui peuple les sous-bande excitées. Cet état proposé par Bertrand Halperin en 1983 entre en compétition avec l'état de Moore et Read. En plus de ces deux états, un état métallique de fermions composite est possible, ainsi qu'un cristal électronique de Wigner au comportement isolant. La compétition entre ces différents états est arbitrée par une étude de Monte-Carlo variationnel combinée à des calculs de diagonalisation exacte. La nature de l'état qui est stabilisé dépend de la nature du potentiel de confinement. Dans ce manuscrit de thèse sont discutés les dispositifs de la bicouche, du puits large, ainsi que du puits large en présence d'un biais externe. / Due to technological advances in the manufacture of semiconductors enable, in it possible since the early 80s to create devices in which electrons are strongly confined in a plane, thus effectively realizing a two-dimensional electron system. The application of a strong perpendicular magnetic field to this system led to the observation of the integer quantum Hall effect (QHE) in 1980 and fractional QHE in 1982. Under a strong magnetic field the energy spectrum of the two-dimensional electrons is quantified in Landau levels that are macroscopically degenerate, and the behavior of the system is governed by the filling factor of Landau levels. The integer QHE appears around magnetic field values ​​which correspond to an integer filling of the Landau levels, while the fractional equivalent is obtained around certain fractions of the filling factor ν (ν = 1/3, 2/5, 5 / 2, ...). Although for integers values of ν is the individual behavior of electrons dictates the behavior of the system, the fractional filling factors the electronic correlations dominate. Because of those strong correlations, the underlying fractional QHE motivates an important experimental and theoretical research effort since its discovery. Indeed, in the fractional regime the strong correlations induce novel properties such as the existence fractionally-charged quasiparticles, but they also make the theoretical description of the system laborious. In 1983 Robert Laughlin proposed a variational wave function model for the description of the QHE observed at fractional filling ν = 1/3. He discussed the validity of this trial wave function in a comprehensive numerical study of interactions between electrons. The success of this method made it a paradigm, and many test wave functions have been proposed since then for the explanation of quantum Hall effects observed with other fillings factors. In particular, the wave function of Moore and Read is relevant for the description of the QHE observed at half-filling the second Landau level. This suggests the existence of non-Abelian quasiparticles with potential applications in topologically-protected quantum computing. QHE has also been observed at half filling the lowest Landau level, but the nature of the underlying quantum state is still debated; it is observed that in bilayer systems and wells wide. The large wells, which are the focus of this thesis, refer to systems in which the thickness of the two-dimensional electron system cannot be trivially neglected and usually corresponds to a thickness of about 100 nm. Due to the confinement potential felt by the electrons, their energy levels in the direction of confinement are quantized in sub-bands. In a narrow well only the lowest subband is populated and the corresponding degree of freedom is thus frozen, but in a wide well the excited sub-bands are relevant. Under these conditions fractional QHE at half-filling can also result from the stabilization of a two-state components that also populates the excited sub-band. The corresponding trial state, proposed by Bertrand Halperin in 1983, competes with the state of Moore and Read. In addition to these two states, a metal composite fermion state is a relevant trial state as well as an electronic Wigner crystal, the latter behaving as an insulator. The competition between these states is refered by a variational Monte-Carlo study combined with exact diagonalization calculations. The nature of the state that is stabilized depends on the nature of the confinement potential. In this PhD thesis three confinement potentials are studied: the bilayer, the wide well, and the wide well in the presence of an external bias.

Cette thèse présente une nouvelle extension d’onduleur multiniveaux, appelé ‘Multi Neutral Point’ (MNP). Cet onduleur est déduit des topologies des structures multiniveaux ‘Neutral Point Clamped’ (NPC) et ‘Multi Point Clamped’ (MPC). Les intérêts de cette extension sont: l’absence de diodes de bouclage, la possibilité de disposer de tous les nombres de niveaux, pairs et impairs et possibilité de fonctionner en mode dégradé. Nous avons élaboré une commande rapprochée simple des transistors de puissance, d’abord pour un MNP à 3 niveaux, ensuite pour les nombres de niveaux supérieurs. Nous avons comparé les pertes de puissance d’un onduleur MNP et d’un onduleur NPC. Les pertes de l’onduleur MNP sont largement inférieures à celles de l’onduleur NPC. Dans l’optique de contrôler en courant l’onduleur MNP, une stratégie nouvelle par régulateur PID d’ordre fractionnaire est également développée. Ce contrôle permet de diminuer nettement les erreurs d’amplitude et de phase entre le courant de référence et le courant de charge. La méthode nécessite le réglage des différents paramètres de contrôle en utilisant le principe d'optimisation ‘’multi-objectif’’. Le fonctionnement de l’ensemble convertisseur-contrôle-commande est enfin largement validé par simulation et par expérimentation / This thesis presents a new extension of multilevel inverters, called 'Multi Neutral Point' (MNP). This topology is deduced from Neutral Point Clamped (NPC) and Multi Point Clamped (MPC) structures. The advantage of this extension is twofold: the absence of clamping diodes and the possibility of operating on all the numbers of levels (even and odd). We have developed a simple command; we first present the command strategy for a three levels MNP, then for a five level MNP. We have compared the power losses in the power switches of an MNP and an NPC. The power losses for an MNP are far below those of the NPC inverter. For this inverter model, we have chosen a robust current control by a fractional PID controller. This control strategy can sharply reduce the amplitude and the phase errors between the reference current and the load one. This method requires the setting of various control parameters thanks to the principle of ‘’multiobjective optimization.'' In the end the set of converter-control command is validated by simulation and experimentation; the simulated and experimental results match very well

Ce travail concerne la commande des systèmes multi-agent d’ordre fractionnaire utilisant une topologie de communication fixe. Premièrement, la production en formation avec atténuation absolue et retard de communication est étudiée. Pour cela, une loi de commande et des conditions suffisantes sont proposées. Toutefois, dans certains scénarios, il est souhaitable que tous les agents atteignent la formation souhaitée tout en se déplacent en groupe, au lieu d’un rendez-vous à un point fixe. Ce cas sera traité en étudiant la production en formation avec atténuation relative et retard de communication. Troisièmement, la poursuite par consensus des systèmes avec un état de référence variable dans le temps est étudiée. Une loi de commande commune et une seconde basée sur la prédiction d’erreur sont proposées, et le problème du consensus est résolu quand le graphe de communication contient un arbre dirigé. Il a été prouvé que la convergence du système est plus rapide en utilisant la loi basée sur la prédiction d’erreur plutôt que celle de commande commune. Enfin, les lois de commande ci-dessus sont étendues au cas de la poursuite en formation. En effet, dans de nombreux cas, l'information peut être envoyée à partir d'un état de référence vers les agents voisins uniquement et non pas à l’ensemble des agents. Afin de résoudre ce problème, une loi de commande est proposée afin de résoudre le problème du consensus avec un état de référence constant. Puis, deux lois de commande sont proposées afin de résoudre le problème du consensus avec un état de référence variant dans le temps. Ces lois sont étendues pour résoudre le problème de la poursuite en formation / This thesis focuses on the distributed coordination of fractional-order multi-agent systems under fixed directed communication graph. Firstly, formation producing with absolute damping and communication delay of fractional-order multi-agent systems is studied. A control law is proposed and some sufficient conditions are derived for achieving formation producing. However, in some scenarios, it might be desirable that all agents achieve formation and move as a group, instead of rendezvous at a stationary point. Therefore, secondly, formation producing with relative damping and communication delay is considered. Thirdly, consensus tracking of fractional-order multi-agent systems with a time-varying reference state is studied. A common control law and a control law based on error predictor are proposed, and it is shown that the control laws are effective when a communication graph has directed spanning trees. Meanwhile, it is proved that the convergence of systems is faster using the control law based on error predictor than by the common one. Finally, the above control laws are extended to achieve formation-tracking problems. In fact, in many cases information can be sent from a reference state to only its neighbor agents not to all the agents. In order to solve the above problem, an effective control law is given to achieve consensus with a constant reference state. Then, an effective general control law and an effective particular one are proposed to achieve consensus with a time-varying reference state. Furthermore, the above control laws are extended to achieve the formation tracking problems

Le but de cette thèse est d’obtenir des informations sur le spectre discret d’opérateurs non auto-adjoints définis par des perturbations relativement compactes d’opérateurs auto-adjoints. Ces opérateurs auto-adjoints sont choisis parmi les opérateurs classiques de mécanique quantique. Il s’agit des opérateurs de Dirac, de Klein-Gordon et le laplacien fractionnaire qui généralise l’opérateur de Schrödinger habituellement considéré pour de tels problèmes. La principale méthode utilisée ici relève d’un théorème d’analyse complexe donnant une condition de type Blaschke sur les zéros d’une fonction holomorphe du disque unité. Cette condition traduit lecomportement des valeurs propres de l’opérateur perturbé sous forme d’inégalités de type Lieb-Thirring. Une autre méthode venant d’analyse fonctionnelle a été employée pour obtenir de telles inégalités et les deux méthodes sont comparées entre elles. / The topic of this thesis concerns the discrete spectrum of non-selfadjoint operators defined by relatively compact perturbation of selfadjoint operators. These selfadjoint operators are choosen among classical operators of quantum mechanics. These areDirac operator, Klein-Gordon operator, and the fractional Laplacian who generalize the Schrödinger operator. The main method is based on a theorem of complex analysis which gives Blaschke-type condition on the zeros of a holomorphic function on the unit disc. This Blaschke condition gives the information on the behaviour of eigenvalues of the perturbed operator by mean of Lieb-Thirring-type inequalities. Another method using functional analysis is also used to obtain these kind of inequalities and both methods are compared to each other.

Nous étudions un certain nombre de manifestations de l'effet Hall quantique fractionnaire dans les bicouches d'effet Hall quantique, des puits quantiques larges ou le graphène, dans lesquels les degrés de liberté multicomposantes produisent des phénomènes physiques insolites. Dans la bicouche d'effet Hall quantique du remplissage total nu=1, nous examinons les fonctions d'onde mixtes des bosons composites et fermions composites afin de décrire la destruction de la suprafluidité excitonique au fur et à mesure qu'on augmente la distance entre les deux couches. Nous proposons des fonctions d'onde d'essai qui décriraient bien l'ètat de la bicouche quand il s'agit de distances intermédiaires et nous y ètudions leurs propriétés. Dans la bicouche d'effet Hall quantique du remplissage total nu=1/2 et nu=2/5, nous étudions la transition de phase quantique entre les états multicomposantes de Halperin et les phases polarisées (abeliannes et non-abeliannes) en fonction des modifications effectuées dans le terme tunnel. Afin d'étudier les transitions, nous utilisons à la fois la diagonalisation exacte et la théorie effective BCS. Nous présentons d'autre part un modèle réaliste du puits quantique large que nous utilisons dans l'examen des états avec un dénominateur pair, à nu=1/2 et nu=1/4 dans le plus bas niveau de Landau. Nous proposons enfin quelques états d'effet Hall quantique fractionnaire possibles dans le graphène, celles-ci reposant sur l'image multicomposante qui concerne les degrés de liberté de spin et de vallée.

Habilitation à Diriger des Recherches : Processus aléatoires invariants d'échelle et analyse multirésolution pour la modélisation d'observations de systèmes physiques

Cette thèse s'intéresse à des approches factorielles et probabilistes de la covariance qui tient compte d'une connaissance exogène sur les observations. Nous adoptons un modèle qui décompose le signal en une fonction déterministe du temps caractérisant la tendance, et en un terme résiduel. Les méthodes factorielles sont consacrées à l'étude du terme tendanciel. Nous présentons le formalisme général de la covariance relationnelle ainsi que de nouvelles propriétés qui éclairent les interprétations et faisons le lien avec les notions déjà existantes. La covariance relationnelle s'intègre dans l'analyse en composantes principales (ACP), l'analyse factorielle d'opérateurs et l'analyse discriminante d'opérateurs.<br />Nous montrons que l'ACP relationnelle est un cas particulier de l'ACP à noyaux et de l'ACP fonctionnelle, dont nous dressons les schémas de dualité correspondants. L'étude du terme résiduel est menée à l'aide d'approches probabilistes fondées sur la covariance. Dans un premier temps, ce terme est assimilé à un vecteur gaussien et nous introduisons une procédure de classification de matrices de covariance par la distribution de Wishart induite par l'hypothèse de gaussianité. En particulier, l'algorithme EM sur matrices de covariance est proposé. Dans un second temps, on procède à l'analyse fractale du terme résiduel, identifié par une trajectoire d'un processus autosimilaire. L'indice d'autosimilarité est estimé quelque soit l'échantillonnage et nous déterminons dans quelle<br />mesure cette contrainte temporelle influe sur l'estimation. Nous appliquons les concepts présentés à l'analyse du mouvement : corpus<br />de mouvements de danse contemporaine (méthodes factorielles et classification par Wishart), et données de biologie marine (segmentation par analyse fractale).

Dans la première partie de cette thèse nous appliquons le calcul via régularisation à l'étude d'un marché où le processus des prix d'un actif risqué n'est pas une semimartingale mais simplement à variation quadratique finie. Cette condition est réalisée lorsque le prix de l'actif est admis dans la classe A de toutes les stratégies admissibles, et devient réaliste si la condition de non-arbitrage sur l'ensemble de toutes les stratégies simples prévisibles n'est pas plausible. Cette situation est vérifiée, par exemple, lorsque l'agent est un initié ou si A est restreinte.<br />Nous fournissons des exemples de portefeuilles autofinancés et introduisons une notion de A-martingale. Un calcul relatif à celle-ci est développé. La condition de non-arbitrage parmi toutes les stratégies dans A est récupérée si le processus des prix de l'actif risqué est une A-martingale.<br />Nous abordons le problème de la viabilité du marché, de la couverture et de la maximisation de l'utilité de la richesse terminale.<br />La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une équation différentielle stochastique unidimensionnelle dirigée par une semimartingale mélangée à un processus à variation cubique finie.<br />Nous proposons une méthode qui repose sur une transformation réduisant le coefficient de diffusion à 1.<br />Le développement de la méthode utilisée nous conduit à des résultats significatifs dans l'analyse du calcul via régularisation.<br />En particulier, une formule de type Ito-Wentzell relative aux processus à variation cubique finie est<br />établie et la structure des processus weak-Dirichlet par rapport à la filtration brownienne est clarifiée.<br />Nous démontrons, par une approche similaire, l'existence et l'unicité d'une équation dirigée par un processus hölder-continu dans l'espace. En utilisant une formule d'Ito pour les semimartingales réversibles nous prouvons l'existence d'une solution lorsque le processus dirigeant l'équation est le mouvement brownien et le coefficient de diffusion est juste continu