Les propriétés de transport à haute température dans les gaz et/ou dans les plasmas ont une importance capitale dans différents domaines, à savoir dans le domaine de technologie de coupure à arc, plasmas de coupure, de soudure ou de gravure. La connaissance des coefficients de transport est nécessaire pour toute modélisation faisant intervenir les équations hydrodynamiques. Dans le cadre de la théorie cinétique des gaz dilués, une solution approchée de l’équation intégro-différentielle de Boltzmann régissant les fonctions de distribution a été proposée par Chapman-Enskog. Les coefficients de transport sont calculés classiquement par la méthode de Chapman-Enskog via les intégrales de collision. Dans le cadre de notre étude nous avons développé, dans un premier temps, un code numérique permettant l’obtention de ces intégrales de collision en tenant compte des singularités qui peuvent apparaître dans le calcul des sections efficaces relatives aux interactions entre les particules constituant les gaz et/ou les plasmas. Dans un second temps nous avons étudié l’influence du choix des paramètres des potentiels d’interaction sur les coefficients de transport. Par la suite, nous avons utilisé le code numérique ainsi développé pour évaluer les coefficients de transport du plasma d’hélium en étudiant l’influence du choix de la méthode de calcul de composition chimique sur ces coefficients. Enfin, un modèle simplifié d’une interaction entre une onde électromagnétique et un plasma d’hélium a été proposé comme une application directe des coefficients de transport. / Transport properties at high temperature in gases and/or in plasmas are of very importance in various fields, namely in the field of breaking technology in arc, cutting plasma, welding or burning. Knowledge of transport coefficients is necessary for any modeling involving hydrodynamic equations. As part of the kinetic theory of diluted gas, an approximate solution of the integro-differential Boltzmann equation governing distribution functions was proposed by Chapman-Enskog. Transport coefficients are classically computed using the method of Chapman-Enskog through the collision integrals. In our study we have developed, initially, a numerical code to obtain these collision integral taking into account the singularities that may occur in the calculation of the cross sections relating to interactions between particles forming the gas and/or plasmas. Secondly, we have studied the influence of the choice of parameters of interaction potentials on transport coefficients. Subsequently, we have used the numerical code developed for evaluating and helium plasma transport coefficients by studying the influence of the choice of method for calculating chemical composition on these coefficients. Finally, a simplified model of an interaction between an electromagnetic wave and a helium plasma has been proposed as a direct application of the transport coefficients.

Mon travail de thèse est composé de deux parties bien distinctes, la première partie est consacrée à l’analysestochastique en temps discret des marches aléatoires obtuses quant à la deuxième partie, elle est liée aux probabili-tés libres. Dans la première partie, on donne une construction des intégrales stochastiques itérées par rapport à unefamille de martingales normales d-dimentionelles. Celle-ci permet d’étudier la propriété de représentation chaotiqueen temps discret et mène à une construction des opérateurs gradient et divergence sur les chaos de Wiener correspon-dant. [...] d’une EDP non linéaire alors que la deuxième est de nature combinatoire.Dans un second temps, on a revisité la description de la mesure spectrale de la partie radiale du mouvement Browniensur Gl(d,C) quand d ! +¥. Biane a démontré que cette mesure est absolument continue par rapport à la mesurede Lebesgue et que son support est compact dans R+. Notre contribution consiste à redémontrer le résultat de Bianeen partant d’une représentation intégrale de la suite des moments sur une courbe de Jordon autour de l’origine etmoyennant des outils simples de l’analyse réelle et complexe. / My PhD work is composed of two parts, the first part is dedicated to the discrete-time stochastic analysis for obtuse random walks as to the second part, it is linked to free probability. In the first part, we present a construction of the stochastic integral of predictable square-integrable processes and the associated multiple stochastic integrals ofsymmetric functions on Nn (n_1), with respect to a normal martingale.[...] In a second step, we revisited thedescription of the marginal distribution of the Brownian motion on the large-size complex linear group. Precisely, let (Z(d)t )t_0 be a Brownian motion on GL(d,C) and consider nt the limit as d !¥ of the distribution of (Z(d)t/d)⋆Z(d)t/d with respect to E×tr.

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Particle suspensions occur in many situations in nature and industry. In this master’s thesis, the motion of a single rigid spheroidal particle immersed in Stokes flow is studied numerically using a boundary integral method and a new specialized quadrature method known as quadrature by expansion (QBX). This method allows the spheroid to be massless or inertial, and placed in any kind of underlying Stokesian flow.   A parameter study of the QBX method is presented, together with validation cases for spheroids in linear shear flow and quadratic flow. The QBX method is able to compute the force and torque on the spheroid as well as the resulting rigid body motion with small errors in a short time, typically less than one second per time step on a regular desktop computer. Novel results are presented for the motion of an inertial spheroid in quadratic flow, where in contrast to linear shear flow the shear rate is not constant. It is found that particle inertia induces a translational drift towards regions in the fluid with higher shear rate. / Partikelsuspensioner förekommer i många sammanhang i naturen och industrin. I denna masteruppsats studeras rörelsen hos en enstaka stel sfäroidisk partikel i Stokesflöde numeriskt med hjälp av en randintegralmetod och en ny specialiserad kvadraturmetod som kallas quadrature by expansion (QBX). Metoden fungerar för masslösa eller tröga sfäroider, som kan placeras i ett godtyckligt underliggande Stokesflöde.   En parameterstudie av QBX-metoden presenteras, tillsammans med valideringsfall för sfäroider i linjärt skjuvflöde och kvadratiskt flöde. QBX-metoden kan beräkna kraften och momentet på sfäroiden samt den resulterande stelkroppsrörelsen med små fel på kort tid, typiskt mindre än en sekund per tidssteg på en vanlig persondator. Nya resultat presenteras för rörelsen hos en trög sfäroid i kvadratiskt flöde, där skjuvningen till skillnad från linjärt skjuvflöde inte är konstant. Det visar sig att partikeltröghet medför en drift i sidled mot områden i fluiden med högre skjuvning.

Der Strahlungstransport stellt eine von drei Arten des Wärmetransports zwischen Gebieten unterschiedlicher Temperatur dar. Eine der einfachsten Formen bildet der Strahlungstransport im Vakuum, ein Vorgang, der im kosmischen Umfeld, beispielsweise bei der Energieübertragung von einem Stern auf seine Planeten, beobachtbar ist. Hierbei ist es hinreichend, sich auf die Betrachtung von Oberflächen zu beschränken. Strahlungstransport kann jedoch auch in semitransparenten Medien, wie biologischem Gewebe oder Glas, beobachtet werden. Das Medium, in dem der Strahlungstransport erfolgt, wirkt sich durch Vorgänge wie Absorption, Emission, Reflexion oder Streuung auf den Strahlungstransport aus. Für die Modellierung des Strahlungstransports in einem solchen Umfeld können verschiedene Modelle, darunter das Strahlenmodell, genutzt werden. Dieses Modell beschreibt den Wärmetransport anhand einer skalaren Größe, die Strahlungsintensität genannt wird. Betrachtet wird die Strahlungsintensität in diesem Modell entlang eines Strahls in eine vorgegebene Richtung. Die mathematische Darstellung des Strahlenmodells des Strahlungstransports in partizipierenden Medien führt auf eine richtungsabhängige Integro-Differentialgleichung. Ist die Richtungsabhängigkeit nicht von Interesse, so kann der Übergang zu einer winkelintegrierten Form erfolgen. Dieser Übergang führt schließlich auf ein System schwach singulärer fredholmscher Integralgleichungen zweiter Art. Dieses charakterisiert nun nicht mehr die erwähnte Strahlungsintensität, sondern beschreibt die sogenannte Einstrahlung sowie den Strahlungsfluss. Das System singulärer Integralgleichungen kann mittels eines Galerkin-Ansatzes numerisch gelöst werden. Geht man von einer hinreichenden Glattheit des Randes aus, kann die Kompaktheit des Operators der Integralgleichungen gezeigt werden. Dies wiederum erlaubt Rückschlüsse auf die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung. Ein Augenmerk bei der Ermittlung der Galerkin-Näherung ist auf die Bestimmung der singulären Integrale der Galerkin-Diskretisierung zu richten. Für die Bestimmung multidimensionaler, singulärer Integrale stellt die Arbeit das Verfahren der hierarchischen Integration vor. Basierend auf einer Zerlegung des Integrationsgebietes, erfolgt die Beschreibung singulärer Integrale durch ein Gleichungssystem, dessen rechte Seite nur von regulären Integralen abhängig ist. Können diese regulären Integrale sowie die Lösung des Gleichungssystems exakt bestimmt werden, so sind auch die singulären Integrale exakt bestimmt. Bei einer numerischen Bestimmung der regulären Integrale ist die Fehlerordnung ausschlaggebend für den Fehler der singulären Integrale. Als Integrationsgebiete werden Hyperwürfel beliebiger Dimension sowie Simplizes bis einschließlich Dimension 3 als Integrationsgebiete betrachtet. Als Voraussetzungen an den Kern des Doppelintegrals sind nur die Eigenschaften der Translationsinvarianz sowie der Homogenität zu richten. Kann ein nicht translationsinvarianter oder nicht homogener Kern eines Integrals in Summanden zerlegt werden, die selbst translationsinvariant und homogen sind, ist auch die Bestimmung solcher Integrale möglich. Darüber hinaus stellt die Arbeit Verbindungen zu dem Begriff des Hadamard partie finie her. Auf diese Weise lässt sich das Verfahren der hierarchischen Integration für beliebige Dimensionen und beliebige Singularitätsordnungen anwenden. Die Strahlungstransportgleichung ist im Allgemeinen mittels eines Galerkin-Ansatzes lösbar, führt jedoch auf eine voll besetzte Systemmatrix. Numerische Beispiele beleuchten daher Methoden der Matrixkompression mittels hierarchischer Matrizen sowie der direkten Erzeugung schwach besetzter Matrizen über regulären Gittern und Gittern mit hängenden Knoten und skizziert Ansätze zur Parallelisierung auf entsprechenden Computersystemen.

L'article "A systematic search for nonrelativistic systems with dynamical symetries, Part I" publié il y a à peu près 50 ans a commencé une classification de ce qui est maintenant appelé les systèmes superintégrables. Il était dévoué aux systèmes dans l'espace Euclidien ayant plus d'intégrales de mouvement que de degrés de liberté. Les intégrales étaient toutes supposées de second ordre en quantité de mouvement. Dans ce mémoire, sont présentés de nouveaux résultats sur la superintégrabilité de second ordre qui sont pertinents à l'étude de la superintégrabilité d'ordre supérieur et de la superintégrabilité de systèmes ayant des potentiels vecteurs ou des particules avec spin. / The article "A systematic search for nonrelativistic systems with dynamical symetries, Part I" published about 50 years ago started the classification of what is now called superintegrable systems. It was devoted to systems in Euclidean space with more integrals of motion than degrees of freedom. The integrals were all assumed to be second order polynomials in the particle momentum. Here we present some further results on second order superintegrability that are relevant for studies of higher order superintegrability and for superintegrability for systems with vector potentials or for particles with spin.

In dieser Arbeit wird die Berechnung der farbführenden Zweischleifen-QCD-Korrekturen für die Top-Quark-Paarproduktion mit einem zusätzlichen Jet an einem Lepton-Collider präsentiert. Das Matrixelement wird in Vektor- und Axial-Vektorströme zerlegt und die Ströme werden weiter in Dirac-Spinorstrukturen und Formfaktoren zerlegt. Die Formfaktoren werden mit Projektoren extrahiert. Die auftretenden Feynmanintegrale werden mittels IBP-Identitäten und Dimensionsverschiebungstransformationen durch eine Basis quasi-finiter Masterintegrale in 6−2ϵ Dimensionen ausgedrückt. Die Mehrheit der Feynmanintegrale gehört zu einer Doppelbox-Integralfamilie. Die Berechnung der Masterintegrale erfolgt durch numerisches Lösen von Differentialgleichungen in kinematischen Invarianten. Asymptotische Reihenentwicklungen der Masterintegrale in der Top-Quarkmasse werden verwendet, um die Anfangsbedingungen für die numerischen Lösungen der Differentialgleichungen zu bestimmen. Die führenden Terme dieser Entwicklung werden mit der Expansion-by-Regions-Methode berechnet. Höhere Reihenkoeffizienten werden durch die Anwendung einer Differentialgleichung auf einen Ansatz für die Reihenentwicklung bestimmt. Die renormierten Formfaktoren und die farbführende Zweischleifenamplitude werden an einem Referenzphasenraumpunkt zu hoher Präzision numerisch ausgewertet. Die Resultate werden mit elektroschwachen Ward-Identitäten und durch numerische Vergleiche der IR-Singularitäten mit der erwarteten Singularitätsstruktur überprüft. / In this work, the calculation of the leading-colour two-loop QCD corrections for top-quark pair production with an additional jet at a lepton collider is presented. The matrix element is decomposed into vector and axial-vector currents and the currents are further decomposed into Dirac spinor structures and form factors. The form factors are extracted with projectors. The Feynman integrals are reduced to a quasi-finite basis in 6 − 2ϵ dimensions using IBP identities and dimension-shift transformations. The majority of master integrals belong to a double-box integral family. The master integrals are computed by numerically solving systems of differential equations in the kinematic invariants. Asymptotic expansions of the master integrals in the top-quark mass variable are used to calculate initial conditions for the numerical differential equation solutions. The leading terms of the expansion are obtained with the expansion by regions and the higher orders are calculated by solving a system of equations obtained from applying the differential equation onto an ansatz of the expansion. The renormalized form factors and the leading-colour two-loop amplitude are evaluated numerically to high precision at a benchmark phase space point. The results are cross-checked with electroweak Ward identities and by numerically comparing the IR singularities with the expected singularity structure.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps. / In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term.

This thesis addresses issues related to the simulation and optimization of the injection molding of short fiber-reinforced plastics (SFRPs). The injection molding process is modeled by a two phase flow problem. The simulation of the two phase flow is accompanied by the solution of the Folgar-Tucker equation (FTE) for the simulation of the moments of fiber orientation densities. The FTE requires the solution of the so called 'closure problem'', i.e. the representation of the 4th order moments in terms of the 2nd order moments. In the absence of fiber-fiber interactions and isotropic initial fiber density, the FTE admits an analytical solution in terms of elliptic integrals. From these elliptic integrals, the closure problem can be solved by a simple numerical inversion. Part of this work derives approximate inverses and analytical inverses for special cases of fiber orientation densities. Furthermore a method is presented to generate rational functions for the computation of arbitrary moments in terms of the 2nd order closure parameters. Another part of this work treats the determination of effective material properties for SFRPs by the use of FFT-based homogenization methods. For these methods a novel discretization scheme, the 'staggered grid'' method, was developed and successfully tested. Furthermore the so called 'composite voxel'' approach was extended to nonlinear elasticity, which improves the approximation of material properties at the interfaces and allows the reduction of the model order by several magnitudes compared to classical approaches. Related the homogenization we investigate optimal experimental designs to robustly determine effective elastic properties of SFRPs with the least number of computer simulations. Finally we deal with the topology optimization of injection molded parts, by extending classical SIMP-based topology optimization with an approximate model for the fiber orientations. Along with the compliance minimization by topology optimization we also present a simple shape optimization method for compensation of part warpage for an black-box production process.:Acknowledgments v Abstract vii Chapter 1. Introduction 1 1.1 Motivation 1 1.2 Nomenclature 3 Chapter 2. Numerical simulation of SFRP injection molding 5 2.1 Introduction 5 2.2 Injection molding technology 5 2.3 Process simulation 6 2.4 Governing equations 8 2.5 Numerical implementation 18 2.6 Numerical examples 25 2.7 Conclusions and outlook 27 Chapter 3. Numerical and analytical methods for the exact closure of the Folgar-Tucker equation 35 3.1 Introduction 35 3.2 The ACG as solution of Jeffery's equation 35 3.3 The exact closure 36 3.4 Carlson-type elliptic integrals 37 3.5 Inversion of R_D-system 40 3.6 Moment tensors of the angular central Gaussian distribution on the n-sphere 49 3.7 Experimental evidence for ACG distribution hypothesis 54 3.8 Conclusions and outlook 60 Chapter 4. Homogenization of SFRP materials 63 4.1 Introduction 63 4.2 Microscopic and macroscopic model of SFRP materials 63 4.3 Effective linear elastic properties 65 4.4 The staggered grid method 68 4.5 Model order reduction by composite voxels 80 4.6 Optimal experimental design for parameter identification 93 Chapter 5. Optimization of parts produced by SFRP injection molding 103 5.1 Topology optimization 103 5.2 Warpage compensation 110 Chapter 6. Conclusions and perspectives 115 Appendix A. Appendix 117 A.1 Evaluation of R_D in Python 117 A.2 Approximate inverse for R_D in Python 117 A.3 Inversion of R_D using Newton's/Halley's method in Python 117 A.4 Inversion of R_D using fixed point method in Python 119 A.5 Moment computation using SymPy 120 A.6 Fiber collision test 122 A.7 OED calculation of the weighting matrix 123 A.8 OED Jacobian of objective and constraints 123 Appendix B. Theses 125 Bibliography 127 / Diese Arbeit befasst sich mit Fragen der Simulation und Optimierung des Spritzgießens von kurzfaserverstärkten Kunststoffen (SFRPs). Der Spritzgussprozess wird durch ein Zweiphasen-Fließproblem modelliert. Die Simulation des Zweiphasenflusses wird von der Lösung der Folgar-Tucker-Gleichung (FTE) zur Simulation der Momente der Faserorientierungsdichten begleitet. Die FTE erfordert die Lösung des sogenannten 'Abschlussproblems'', d. h. die Darstellung der Momente 4. Ordnung in Form der Momente 2. Ordnung. In Abwesenheit von Faser-Faser-Wechselwirkungen und anfänglich isotroper Faserdichte lässt die FTE eine analytische Lösung durch elliptische Integrale zu. Aus diesen elliptischen Integralen kann das Abschlussproblem durch eine einfache numerische Inversion gelöst werden. Ein Teil dieser Arbeit leitet approximative Inverse und analytische Inverse für spezielle Fälle von Faserorientierungsdichten her. Weiterhin wird eine Methode vorgestellt, um rationale Funktionen für die Berechnung beliebiger Momente in Bezug auf die Abschlussparameter 2. Ordnung zu generieren. Ein weiterer Teil dieser Arbeit befasst sich mit der Bestimmung effektiver Materialeigenschaften für SFRPs durch FFT-basierte Homogenisierungsmethoden. Für diese Methoden wurde ein neuartiges Diskretisierungsschema 'staggerd grid'' entwickelt und erfolgreich getestet. Darüber hinaus wurde der sogenannte 'composite voxel''-Ansatz auf die nichtlineare Elastizität ausgedehnt, was die Approximation der Materialeigenschaften an den Grenzflächen verbessert und die Reduzierung der Modellordnung um mehrere Größenordnungen im Vergleich zu klassischen Ansätzen ermöglicht. Im Zusammenhang mit der Homogenisierung untersuchen wir optimale experimentelle Designs, um die effektiven elastischen Eigenschaften von SFRPs mit der geringsten Anzahl von Computersimulationen zuverlässig zu bestimmen. Schließlich beschäftigen wir uns mit der Topologieoptimierung von Spritzgussteilen, indem wir die klassische SIMP-basierte Topologieoptimierung um ein Näherungsmodell für die Faserorientierungen erweitern. Neben der Compliance-Minimierung durch Topologieoptimierung stellen wir eine einfache Formoptimierungsmethode zur Kompensation von Teileverzug für einen Black-Box-Produktionsprozess vor.:Acknowledgments v Abstract vii Chapter 1. Introduction 1 1.1 Motivation 1 1.2 Nomenclature 3 Chapter 2. Numerical simulation of SFRP injection molding 5 2.1 Introduction 5 2.2 Injection molding technology 5 2.3 Process simulation 6 2.4 Governing equations 8 2.5 Numerical implementation 18 2.6 Numerical examples 25 2.7 Conclusions and outlook 27 Chapter 3. Numerical and analytical methods for the exact closure of the Folgar-Tucker equation 35 3.1 Introduction 35 3.2 The ACG as solution of Jeffery's equation 35 3.3 The exact closure 36 3.4 Carlson-type elliptic integrals 37 3.5 Inversion of R_D-system 40 3.6 Moment tensors of the angular central Gaussian distribution on the n-sphere 49 3.7 Experimental evidence for ACG distribution hypothesis 54 3.8 Conclusions and outlook 60 Chapter 4. Homogenization of SFRP materials 63 4.1 Introduction 63 4.2 Microscopic and macroscopic model of SFRP materials 63 4.3 Effective linear elastic properties 65 4.4 The staggered grid method 68 4.5 Model order reduction by composite voxels 80 4.6 Optimal experimental design for parameter identification 93 Chapter 5. Optimization of parts produced by SFRP injection molding 103 5.1 Topology optimization 103 5.2 Warpage compensation 110 Chapter 6. Conclusions and perspectives 115 Appendix A. Appendix 117 A.1 Evaluation of R_D in Python 117 A.2 Approximate inverse for R_D in Python 117 A.3 Inversion of R_D using Newton's/Halley's method in Python 117 A.4 Inversion of R_D using fixed point method in Python 119 A.5 Moment computation using SymPy 120 A.6 Fiber collision test 122 A.7 OED calculation of the weighting matrix 123 A.8 OED Jacobian of objective and constraints 123 Appendix B. Theses 125 Bibliography 127