A class of Lagrange-Newton-SQP methods is investigated for optimal control problems governed by semilinear parabolic initial- boundary value problems. Distributed and boundary controls are given, restricted by pointwise upper and lower bounds. The convergence of the method is discussed in appropriate Banach spaces. Based on a weak second order sufficient optimality condition for the reference solution, local quadratic convergence is proved. The proof is based on the theory of Newton methods for generalized equations in Banach spaces.

Gas-Partikel-Stroemungen finden sich in weiten Bereichen der Energie- und Verfahrenstechnik. Beispiele fuer haeu- fig anzutreffende Problemstellungen sind der Transport, die Separation oder die Injektion eines Gemisches aus festen Partikeln und einem Traegergas. Fuer die numerische Simulation solcher disperser Mehr- phasenstroemungen hat sich das Lagrange-Verfahren als besonders geeignet erwiesen. Andererseits stellt die An- wendung dieses Berechnungsverfahrens hoechste Anforderun- gen an die Ressourcen der verwendeten Rechner. Dies gilt im besonderen Masse fuer die Simulation von Stroemungen mit einer moderaten bis hohen Partikelbeladung, in denen die Partikel-Partikel-Kollisionen einen grossen Einfluss auf das Stroemungsverhalten haben. Um das grosse Leistungspotential, das heutige massiv par- allele Hochleistungsrechner bieten, effizient zu nutzen, wurden im Rahmen dieser Arbeit parallele Simulationsalgo- rithmen fuer die numerische Berechnung kollisionsbehafte- ter Gas-Partikel-Stroemungen entwickelt. Die Effizienz dieser Algorithmen wurde anhand verschiedener Testfaelle untersucht. Auf der Grundlage der dabei erzielten Ergeb- nisse wurden Vorschlaege fuer weitere Entwicklungsmoeg- lichkeiten erarbeitet. / Gas-particle-flows can be found widely in the field of energy production and process engineering. Examples for applications of such kind of flows are transport, se- paration or injection of a mixture of solid particles and a gaseous phase. The Lagrangian approach has proved to be a suitable means for the numerical simulation of disperse multiphase flows. On the other hand its application requires a large amount of computational power, especially when flows with a mo- derate or high particle loading are computed and particle- particle collisions have a significant influence on the flow. In order to use efficiently the large computational power that parallel computers provide nowadays, parallel algo- rithms for the numerical simulation of gas-particle flows including particle-particle collisions were developed in the cource of this work. The algorithms' efficiency was investigated considering different test cases. On the basis of the results suggestions for further developments were made.

As the title already suggests the aim of the present work is to present Farkas - type results for inequality systems involving convex and/or non - convex functions. To be able to give the desired results, we treat optimization problems which involve convex and composed convex functions or non - convex functions like DC functions or fractions. To be able to use the fruitful Fenchel - Lagrange duality approach, to the primal problem we attach an equivalent problem which is a convex optimization problem. After giving a dual problem to the problem we initially treat, we provide weak necessary conditions which secure strong duality, i.e., the case when the optimal objective value of the primal problem coincides with the optimal objective value of the dual problem and, moreover, the dual problem has an optimal solution. Further, two ideas are followed. Firstly, using the weak and strong duality between the primal problem and the dual problem, we are able to give necessary and sufficient optimality conditions for the optimal solutions of the primal problem. Secondly, provided that no duality gap lies between the primal problem and its Fenchel - Lagrange - type dual we are able to demonstrate some Farkas - type results and thus to underline once more the connections between the theorems of the alternative and the theory of duality. One statement of the above mentioned Farkas - type results is characterized using only epigraphs of functions. We conclude our investigations by providing necessary and sufficient optimality conditions for a multiobjective programming problem involving composed convex functions. Using the well-known linear scalarization to the primal multiobjective program a family of scalar optimization problems is attached. Further to each of these scalar problems the Fenchel - Lagrange dual problem is determined. Making use of the weak and strong duality between the scalarized problem and its dual the desired optimality conditions are proved. Moreover, the way the dual problem of the scalarized problem looks like gives us an idea about how to construct a vector dual problem to the initial one. Further weak and strong vector duality assertions are provided.

Sattelpunkte und Optimalitätsbedingungen bei restringierten Optimierungsproblemen Ausarbeitung im Rahmen des Seminars "Optimierung", WS 2008/2009 Die Dualitätstheorie für restringierte Optimierungsaufgaben findet in der Spieltheorie und in der Ökonomik eine interessante Anwendung. Mit Hilfe von Sattelpunkteigenschaften werden diverse Interpretationsmöglichkeiten der Lagrange-Dualität vorgestellt. Anschließend gilt das Augenmerk den Optimalitätsbedingungen solcher Probleme. Grundlage für die Ausarbeitung ist das Buch "Convex Optimization" von Stephen Boyd und Lieven Vandenberghe.

Die Dissertation beschäftigt sich mit Parameteridentifikationsproblemen, wie sie häufig in Fragestellungen der Festkörpermechanik zu finden sind. Hierbei betrachten wir die Identifikation von Materialparametern -- die typischerweise die Eigenschaften der zugrundeliegenden Materialien repräsentieren -- aus gemessenen Verformungen oder Belastungen eines Testkörpers. In mathematischem Sinne entspricht dies der Lösung von Identifikationsproblemen, die eine spezielle Klasse von inversen Problemen bilden. Der Inhalt der Dissertation ist folgendermaßen gegliedert. Nach dem einführenden Abschnitt 1 wird in Abschnitt 2 ein Überblick von Optimierungs- und Regularisierungsverfahren zur stabilen Lösung nichtlinearer inverser Probleme diskutiert. In Abschnitt 3 betrachten wir die Identifikation von skalaren und stückweise konstanten Parametern in linearen elliptischen Differentialgleichungen. Hierbei werden zwei Testprobleme erörtert, die Identifikation von Diffusions- und Reaktionsparameter in einer allgemeinen elliptischen Differentialgleichung und die Identifikation der Lame-Konstanten in einem Modell der linearisierten Elastizität. Die zugrunde liegenden PDE-Modelle und Lösungszugänge werden erläutert. Insbesondere betrachten wir hier Newton-artige Algorithmen, Gradientenmethoden, Multi-Parameter Regularisierung and den evolutionären Algorithmus CMAES. Abschließend werden Ergebnisse einer numerischen Studie präsentiert. Im Abschnitt 4 konzentrieren wir uns auf die Identifikation von verteilten Parametern in hyperelastischen Materialmodellen. Das nichtlineare Elastizitätsproblem wird detailiert erläutert und verschiedene Materialmodelle werden diskutiert (linear elastisches St.-Venant-Kirchhoff Material und nichtlineare Neo-Hooke, Mooney-Rivlin und Modified-Fung Materialien. Zur Lösung des resultierenden Parameteridentifikationsproblems werden Lösungsansätze aus der optimalen Steuerung in Form eines Newton-Lagrange SQP Algorithmus verwendet. Die Resultate einer numerischen Studie werden präsentiert, basierend auf einem zweidimensionales Testproblem mit einer sogenannten Cook-Mebran. Abschließend wird im Abschnitt 5 die Verwendung adaptiver FEM für die Lösung von Parameteridentifikationsproblems kurz erörtert. / The dissertation is focussed on parameter identification problems arising in the context of structural mechanics. At this, we consider the identification of material parameters - which typically represent the properties of an underlying material - from given measured displacements and forces of a loaded test body. In mathematical terms such problems denote identification problems as a special case of general inverse problems. The dissertation is organized as follows. After the introductive section 1, section 2 is devoted to a survey of optimization and regularization methods for the stable solution of nonlinear inverse problems. In section 3 we consider the identification of scalar and piecewise constant parameters in linear elliptic differential equations and examine two test problems, namely the identification of diffusion and reaction parameters in a generalized linear elliptic differential equation of second order and the identification of the Lame constants in the linearized elasticity model. The underlying PDE models are introduced and solution approaches are discussed in detail. At this, we consider Newton-type algorithms, gradient methods, multi-parameter regularization, and the evolutionary algorithm CMAES. Consequently, numerical studies for a two-dimensional test problem are presented. In section 4 we point out the identification of distributed material parameters in hyperelastic deformation models. The nonlinear elasticity boundary value problem for large deformations is introduced. We discuss several material laws for linear elastic (St.-Venant-Kirchhoff) materials and nonlinear Neo-Hooke, Mooney-Rivlin, and Modified-Fung materials. For the solution of the corresponding parameter identification problem, we focus on an optimal control solution approach and introduce a regularized Newton-Lagrange SQP method. The Newton-Lagrange algorithm is demonstrated within a numerical study. Therefore, a simplified two-dimensional Cook membrane test problem is solved. Additionally, in section 5 the application of adaptive methods for the solution of parameter identification problems is discussed briefly.

Im Projekt wurde das Lagrangeverfahren zur Rückrechnung auf Geruchsquellen als IT-Lösung realisiert. Damit können bei Geruchsbeschwerden in Gemengelagen erstmalig Hauptverursacher ermittelt werden. Das Projekt wird als LfULG-Amtshilfe für Immissionsschutzbehörden eingesetzt. Redaktionsschluss: 31.12.2011, Stand: 30.11.2021

Lagrangian relaxation is a successful solution approach for many combinatorial optimisation problems, one of them being the train timetabling problem (TTP). We model this problem using time expanded networks for the single train schedules and coupling constraints to enforce restrictions like station capacities and headway times. Lagrangian relaxation of these coupling constraints leads to shortest path subproblems in the time expanded networks and is solved using a proximal bundle method. However, large instances of our practical partner Deutsche Bahn lead to computationally intractable models. In this thesis we develop two new algorithmic techniques to improve the solution process for this kind of optimisation problems. The first new technique, Dynamic Graph Generation (DGG), aims at improving the computation of the shortest path subproblems in large time expanded networks. Without sacrificing any accuracy, DGG allows to store only small parts of the networks and to dynamically extend them whenever the stored part proves to be too small. This is possible by exploiting the properties of the objective function in many scheduling applications to prefer early paths or due times, respectively. We prove that DGG can be implemented very efficiently and its running time and the size of nodes that have to be stored additionally does not depend on the size of the time expanded network but only on the length of the train routes. The second technique is an asynchronous and parallel bundle method (APBM). Traditional bundle methods require one solution of each subproblem in each iteration. However, many practical applications, e.g. the TTP, consist of rather loosely coupled subproblems. The APBM chooses only small subspaces corresponding to the Lagrange multipliers of strongly violated coupling constraints and optimises only these variables while keeping all other variables fixed. Several subspaces of disjoint variables may be chosen simultaneously and are optimised in parallel. The solutions of the subspace problem are incorporated into the global data as soon as it is available without any synchronisation mechanism. However, in order to guarantee convergence, the algorithm detects automatically dependencies between different subspaces and respects these dependencies in future subspace selections. We prove the convergence of the APBM under reasonable assumptions for both, the dual and associated primal aggregate data. The APBM is then further extended to problems with unknown dependencies between subproblems and constraints in the Lagrangian relaxation problem. The algorithm automatically detects these dependencies and respects them in future iterations. Again we prove the convergence of this algorithm under reasonable assumptions. Finally we test our solution approach for the TTP on some real world instances of Deutsche Bahn. Using an iterative rounding heuristic based on the approximate fractional solutions obtained by the Lagrangian relaxation we are able to compute feasible schedules for all trains in a subnetwork of about 10% of the whole German network in about 12 hours. In these timetables 99% of all passenger trains could be scheduled with no significant delay and the travel time of the freight trains could be reduced by about one hour on average.

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This thesis explores the use of a column generation method, a subgradient method, and a logic-based Benders decomposition method on a minimized makespan K-rural postman problem. The K-rural postman problem here describes a search and rescue mission using multiple identical unmanned aerial vehicles (UAVs) to cover an area, represented as a complete graph. Each decomposition method has a separate problem for each UAV. In the subgradient and column generation case, a heuristic is used to find an improved upper bound for the makespan. This upper bound can in turn be used to decrease the feasible regions of the subproblems. Moreover, because the subproblems are slow to solve, a maximum calculation time is used, resulting in a feasible solution and a lower bound for each subproblem. These two modifications to the decomposition methods result in a non-standard behaviour.  Multiple fictional problem instances of different sizes and numbers of UAVs were generated and used for evaluating the methods. A maximal time limit is used in these instances. We conclude that solving the original, non-decomposed, problem for smaller instances with a standard solver is faster and gives better results than the decomposition methods. For larger instances, solving the non-decomposed model led to memory issues on several occasions. However, the suggested subgradient and column generation methods can solve every problem. The logic-based Benders decomposition method performed best on instances with multiple UAVs, but had issues when fewer UAVs are utilized. / Den här masteruppsatsen utforskar användningen av en kolumngenereringsmetod, en subgradientmetod och en logikbaserad Benders dekompositionsmetod på en variant av lantbrevbärarproblemet. Vårat brevbärarprolem beskriver sök- och räddningsuppdrag där $K$ drönare används för att avsöka ett område med målfunktionen att minimera flygtiden för den långsammaste drönaren. Varje dekompositionsmetod använder sig av ett problem för varje drönare. I subgradient- och kolumngenereringsmetoden användes en heuristik för att hitta en bättre övre begränsning till drönarnas flygtid. Den förbättrade övre begränsningen kunde sedan användas för att minska det tillåtna området för de mindre problemen. Eftersom de mindre problem var svårlösta, användes en maximal beräkningstid vilket resulterade i att en tillåten lösning och undre gräns gavs för varje mindre problem. Dessa två modifikationer resulterade i icke typiska beteenden.  Metoderna utvärderades på flera fiktiva testinstanser av olika storlekar där antalet drönare varierar. En tidsbegränsning används på varje probleminstans. Slutsatserna från uppsatsen är de original brevbärare problemet ger bäst lösning och snabbast lösningstid i de mindre instanserna. Vid lösning av större probleminstanser, gav original problemet flerfaldiga gånger minnesproblem. Subgradient- och kolumngenereringsmetoden kunde däremot lösa varje probleminstans inom tidsbegränsningen, vilket gjorde de mer pålitliga. Logikbaserade Benders dekompositionsmetoden presterade bättre i instanser med flera drönare, men stötte på problem i instanser med färre drönare.

Infimalfolgen nichtkonvexer Variationsprobleme haben aufgrund feiner Oszillationen häufig keinen starken Grenzwert in Sobolevräumen. Diese Oszillationen haben eine physikalische Bedeutung; Finite-Element-Approximationen können sie jedoch im Allgemeinen nicht auflösen. Relaxationsmethoden ersetzen die nichtkonvexe Energie durch ihre (semi)konvexe Hülle. Das entstehende makroskopische Modell ist degeneriert: es ist nicht strikt konvex und hat eventuell mehrere Minimalstellen. Die fehlende Kontrolle der primalen Variablen führt zu Schwierigkeiten bei der a priori und a posteriori Fehlerschätzung, wie der Zuverlässigkeits- Effizienz-Lücke und fehlender starker Konvergenz. Zur Überwindung dieser Schwierigkeiten erweitern Stabilisierungstechniken die relaxierte Energie um einen diskreten, positiv definiten Term. Bartels et al. (IFB, 2004) wenden Stabilisierung auf zweidimensionale Probleme an und beweisen dabei starke Konvergenz der Gradienten. Dieses Ergebnis ist auf glatte Lösungen und quasi-uniforme Netze beschränkt, was adaptive Netzverfeinerungen ausschließt. Die vorliegende Arbeit behandelt einen modifizierten Stabilisierungsterm und beweist auf unstrukturierten Netzen sowohl Konvergenz der Spannungstensoren, als auch starke Konvergenz der Gradienten für glatte Lösungen. Ferner wird der sogenannte Fluss-Fehlerschätzer hergeleitet und dessen Zuverlässigkeit und Effizienz gezeigt. Für Interface-Probleme mit stückweise glatter Lösung wird eine Verfeinerung des Fehlerschätzers entwickelt, die den Fehler der primalen Variablen und ihres Gradienten beschränkt und so starke Konvergenz der Gradienten sichert. Der verfeinerte Fehlerschätzer konvergiert schneller als der Fluss- Fehlerschätzer, und verringert so die Zuverlässigkeits-Effizienz-Lücke. Numerische Experimente mit fünf Benchmark-Tests der Mikrostruktursimulation und Topologieoptimierung ergänzen und bestätigen die theoretischen Ergebnisse. / Infimising sequences of nonconvex variational problems often do not converge strongly in Sobolev spaces due to fine oscillations. These oscillations are physically meaningful; finite element approximations, however, fail to resolve them in general. Relaxation methods replace the nonconvex energy with its (semi)convex hull. This leads to a macroscopic model which is degenerate in the sense that it is not strictly convex and possibly admits multiple minimisers. The lack of control on the primal variable leads to difficulties in the a priori and a posteriori finite element error analysis, such as the reliability-efficiency gap and no strong convergence. To overcome these difficulties, stabilisation techniques add a discrete positive definite term to the relaxed energy. Bartels et al. (IFB, 2004) apply stabilisation to two-dimensional problems and thereby prove strong convergence of gradients. This result is restricted to smooth solutions and quasi-uniform meshes, which prohibit adaptive mesh refinements. This thesis concerns a modified stabilisation term and proves convergence of the stress and, for smooth solutions, strong convergence of gradients, even on unstructured meshes. Furthermore, the thesis derives the so-called flux error estimator and proves its reliability and efficiency. For interface problems with piecewise smooth solutions, a refined version of this error estimator is developed, which provides control of the error of the primal variable and its gradient and thus yields strong convergence of gradients. The refined error estimator converges faster than the flux error estimator and therefore narrows the reliability-efficiency gap. Numerical experiments with five benchmark examples from computational microstructure and topology optimisation complement and confirm the theoretical results.