Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique d'algorithmes d'optimisation stochastiques adaptés au traitement du problème de planification des trajectoires d'avions en environnement incertain. L'optimisation des temps de vol et de la consommation de carburant est un élément central de la compétitivité des compagnies aériennes. Elles sont à la recherche d'outils permettant d'optimiser le choix de leurs routes aériennes avec toujours plus de précision. Pourtant, les méthodes actuellement disponibles pour l'optimisation de ces routes aériennes requièrent l'utilisation de représentations simplifiées des performances avion. Nous proposons, dans cette thèse, de répondre à cette exigence de précision et d'adapter, par conséquent, nos méthodes de résolution aux contraintes de la modélisation industrielle des performances avion tout en tenant compte de l'incertitude qui pèse sur les conditions réelles de vol (trafic aérien et conditions atmosphériques). Nous appuyons notre démarche par trois contributions scientifiques. Premièrement, nous avons mis en place un environnement de test pour algorithmes d'optimisation de trajectoires. Ce cadre a permis d'unifier la procédure de test pour l'ensemble des modèles de performances avion. Deuxièmement, nous avons développé et analysé sur le plan théorique deux nouveaux algorithmes d'optimisation stochastique globale en l'absence de dérivés. La première approche, très générique, n'utilise pas d'information particulière liée à la dynamique avion. Il s'agit de l'algorithme NSA basé sur la méthode du recuit simulé. Les développements théoriques ont abouti à la formulation des conditions et vitesse de convergence de cet algorithme. La seconde approche, l'algorithme SPY, est plus spécifique, il utilise une information de régularité lipschitzienne autour de l'optimum recherche. Il s'agit d'un algorithme de type bandits Lipschitz, basé sur la méthode de Piyavskii. De même, nous analysons les conditions de convergence de cet algorithme et fournissons une borne supérieure sur son erreur d'optimisation (regret simple). / This PhD thesis is dedicated to the theoretical and numerical analysis of stochastic algorithms for the stochastic flight planning problem. Optimizing the fuel consumption and flight time is a key factor for airlines to be competitive. These companies thus look for flight optimization tools with higher and higher accuracy requirements. However, nowadays available methodologies for flight planning are based on simplified aircraft performance models. In this PhD, we propose to fulfill the accuracy requirements by adapting our methodology to both the constraints induced by the utilization of an industrial aircraft performance computation code and the consideration of the uncertainty about the real flight conditions, i.e., air traffic and weather conditions. Our proposal is supported by three main contributions. First, we design a numerical framework for benchmarking aircraft trajectory optimization tools. This provides us a unified testing procedure for all aircraft performance models. Second, we propose and study (both theoretically and numerically) two global derivative-free algorithms for stochastic optimization problems. The first approach, the NSA algorithm, is highly generic and does not use any prior knowledge about the aircraft performance model. It is an extension of the simulated annealing algorithm adapted to noisy cost functions. We provide an upper bound on the convergence speed of NSA to globally optimal solutions. The second approach, the SPY algorithm, is a Lipschitz bandit algorithm derived from Piyavskii's algorithm. It is more specific as it requires the knowledge of some Lipschitz regularity property around the optimum, but it is therefore far more efficient. We also provide a theoretical study of this algorithm through an upper bound on its simple regret.

Orientador: Marcelo Martins dos Santos / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-22T23:55:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 MaluendasPardo_PedroNel_D.pdf: 1007695 bytes, checksum: 924306ee0dd8ae19e6725f7d2a3349f4 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Estudamos a estrutura lagrangiana para soluções fracas das equações de Navier-Stokes para um fluido não barotrópico em dimensão dois, i.e., demonstramos a unicidade de trajetórias de partículas para fluidos compressíveis, incluindo a equação da energia, ou seja, com variações de temperatura. Isto estende os resultados de David Hoff e Marcelo Santos para o caso não barotrópico de dimensão dois / Abstract: In this work we study the Lagrangian structure for weak solutions of Navier-Stokes equations for a non-barotropic compressible fluid in two dimensions, i.e., we prove the uniqueness of particle trajectories for two-dimensional compressible fluids, including the energy equation (tempera-ture variations). It extends previous results in [19] for the barotropic two dimensional case / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

En los últimos años se ha desarrollado una teoría matemática que permite generalizar algunas teorías matemáticas clásicas: hiperespacios, espacios de funciones, topología algebraica, etc. Este hecho viene motivado, en parte, por ciertos problemas de análisis funcional, concentración de medidas, sistemas dinámicos, teoría de las ciencias de la computación, matemática económica, etc. Esta tesis doctoral está dedicada al estudio de algunas de estas generalizaciones desde un punto de vista no simétrico. En la primera parte, estudiamos el conjunto de funciones semi-Lipschitz; mostramos que este conjunto admite una estructura de cono normado. Estudiaremos diversos tipos de completitud (bicompletitud, right k-completitud, D-completitud, etc), y también analizaremos cuando la casi-distancia correspondiente es balanceada. Además presentamos un modelo adecuado para el computo de la complejidad de ciertos algoritmos mediante el uso de normas relativas. Esto se consigue seleccionando un espacio de funciones semi-Lipschitz apropiado. Por otra parte, mostraremos que estos espacios proporcionan un contexto adecuado en el que caracterizar los puntos de mejor aproximación en espacios casi-métricos. El hecho de que varias hipertopologías hayan sido aplicadas con éxito en diversas áreas de Ciencias de la Computación ha contribuido a un considerable aumento del interés en el estudio de los hiperespacios desde un punto de vista no simétrico. Así, en la segunda parte de la tesis, estudiamos algunas condiciones de mejor aproximación en el contexto de hiperespacios casi-métricos. Por otro lado, caracterizamos la completitud de un espacio uniforme usando la completitud de Sieber-Pervin, la de Smyth y la D-completitud de su casi-uniformidad superior de Hausdorff-Bourbaki, definida en los subconjuntos compactos no vacíos. Finalmente, introducimos dos nociones de hiperespacio casi-métrico fuzzy. / Sánchez Álvarez, JM. (2009). Semi-lipschitz functions, best approximation, and fuzzy quasi-metric hyperspaces [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/5769 / Palancia

L’analyse et la synthèse des systèmes dynamiques ont connu un développement important au cours des dernières décennies comme l’atteste le nombre considérable des travaux publiés dans ce domaine, et continuent d’être un axe de recherche régulièrement exploré. Si la plupart des travaux concernent les systèmes linéaires et non linéaires temps continu, peu de résultats ont étaient établis dans le cas temps discret. Les travaux de cette thèse portent sur l’observation et la commande d’une classe de systèmes non linéaires à temps discret. Dans un premier temps, le problème de synthèse d’observateur d’état utilisant une fenêtre de mesures glissante est abordé. Des conditions de stabilité et de robustesse moins restrictives sont déduites. Deux classes de systèmes non linéaires à temps discret sont étudiées : les systèmes de type Lipschitz et les systèmes « one-sided Lipschitz ». Ensuite, une approche duale a été explorée afin de déduire une loi de commande stabilisante basée sur un observateur. Les conditions d’existence d’un observateur et d’un contrôleur stabilisant les systèmes étudiés sont formulées sous forme d’un problème d’optimisation LMI. L’efficacité et la validité des approches présentées sont montrées à travers des exemples académiques / The analysis and synthesis of dynamic systems has undergone significant development in recent decades, as illustrated by the considerable number of published works in this field, and continue to be a research theme regularly explored. While most of the existing work concerns linear and nonlinear continuous-time systems, few results have been established in the discrete-time case. This thesis deals with the observation and control of a class of nonlinear discrete-time systems. First, the problem of state observer synthesis using a sliding window of measurements is discussed. Non-restrictive stability and robustness conditions are deduced. Two classes of discrete time nonlinear systems are studied: Lipschitz systems and one-side Lipschitz systems. Then, a dual approach was explored to derive a stabilizing control law based on observer-based state feedback. The conditions for the existence of an observer and a controller stabilizing the studied classes of nonlinear systems are expressed in term of LMI. The effectiveness and validity of the proposed approaches are shown through numerical examples

In this Bachelor's thesis we present a few results about the absolute convergence of Fourier series, followed by an example of a differentiable function whose Fourier series does not converge absolutely. In the end we provide a suggestion for future work on generalizing the given example, and we briefly discuss an issue that has not been given much attention in the existing literature on the subject.

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This thesis consists of four papers and focuses on function spaces related to first-order analysis in abstract metric measure spaces. The classical (i.e., Sobolev) theory in Euclidean spaces makes use of summability of distributional gradients, whose definition depends on the linear structure of Rn. In metric spaces, we can replace the distributional gradients by (weak) upper gradients that control the functions’ behavior along (almost) all rectifiable curves, which gives rise to the so-called Newtonian spaces. The summability condition, considered in the thesis, is expressed using a general Banach function lattice quasi-norm and so an extensive framework is built. Sobolev-type spaces (mainly based on the Lp norm) on metric spaces, and Newtonian spaces in particular, have been under intensive study since the mid-1990s. In Paper I, the elementary theory of Newtonian spaces based on quasi-Banach function lattices is built up. Standard tools such as moduli of curve families and the Sobolev capacity are developed and applied to study the basic properties of Newtonian functions. Summability of a (weak) upper gradient of a function is shown to guarantee the function’s absolute continuity on almost all curves. Moreover, Newtonian spaces are proven complete in this general setting. Paper II investigates the set of all weak upper gradients of a Newtonian function. In particular, existence of minimal weak upper gradients is established. Validity of Lebesgue’s differentiation theorem for the underlying metric measure space ensures that a family of representation formulae for minimal weak upper gradients can be found. Furthermore, the connection between pointwise and norm convergence of a sequence of Newtonian functions is studied. Smooth functions are frequently used as an approximation of Sobolev functions in analysis of partial differential equations. In fact, Lipschitz continuity, which is (unlike <img src="http://www.diva-portal.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cmathcal%7BC%7D%5E1" />-smoothness) well-defined even for functions on metric spaces, often suffices as a regularity condition. Thus, Paper III concentrates on the question when Lipschitz functions provide good approximations of Newtonian functions. As shown in the paper, it suffices that the function lattice quasi-norm is absolutely continuous and a fractional sharp maximal operator satisfies a weak norm estimate, which it does, e.g., in doubling Poincaré spaces if a non-centered maximal operator of Hardy–Littlewood type is locally weakly bounded. Therefore, such a local weak boundedness on rearrangement-invariant spaces is explored as well. Finer qualitative properties of Newtonian functions and the Sobolev capacity get into focus in Paper IV. Under certain hypotheses, Newtonian functions are proven to be quasi-continuous, which yields that the capacity is an outer capacity. Various sufficient conditions for local boundedness and continuity of Newtonian functions are established. Finally, quasi-continuity is applied to discuss density of locally Lipschitz functions in Newtonian spaces on open subsets of doubling Poincaré spaces.

Les données provenant de l'échantillonnage fin d'un processus continu (champ aléatoire) peuvent être représentées sous forme d'images. Un test statistique permettant de détecter une différence entre deux images peut être vu comme un ensemble de tests où chaque pixel est comparé au pixel correspondant de l'autre image. On utilise alors une méthode de contrôle de l'erreur de type I au niveau de l'ensemble de tests, comme la correction de Bonferroni ou le contrôle du taux de faux-positifs (FDR). Des méthodes d'analyse de données ont été développées en imagerie médicale, principalement par Keith Worsley, utilisant la géométrie des champs aléatoires afin de construire un test statistique global sur une image entière. Il s'agit d'utiliser l'espérance de la caractéristique d'Euler de l'ensemble d'excursion du champ aléatoire sous-jacent à l'échantillon au-delà d'un seuil donné, pour déterminer la probabilité que le champ aléatoire dépasse ce même seuil sous l'hypothèse nulle (inférence topologique). Nous exposons quelques notions portant sur les champs aléatoires, en particulier l'isotropie (la fonction de covariance entre deux points du champ dépend seulement de la distance qui les sépare). Nous discutons de deux méthodes pour l'analyse des champs anisotropes. La première consiste à déformer le champ puis à utiliser les volumes intrinsèques et les compacités de la caractéristique d'Euler. La seconde utilise plutôt les courbures de Lipschitz-Killing. Nous faisons ensuite une étude de niveau et de puissance de l'inférence topologique en comparaison avec la correction de Bonferroni. Finalement, nous utilisons l'inférence topologique pour décrire l'évolution du changement climatique sur le territoire du Québec entre 1991 et 2100, en utilisant des données de température simulées et publiées par l'Équipe Simulations climatiques d'Ouranos selon le modèle régional canadien du climat. / Data coming from a fine sampling of a continuous process (random field) can be represented as images. A statistical test aiming at detecting a difference between two images can be seen as a group of tests in which each pixel is compared to the corresponding pixel in the other image. We then use a method to control the type I error over all the tests, such as the Bonferroni correction or the control of the false discovery rate (FDR). Methods of data analysis have been developped in the field of medical imaging, mainly by Keith Worsley, using the geometry of random fields in order to build a global statistical test over the whole image. The expected Euler characteristic of the excursion set of the random field underlying the sample over a given threshold is used in order to determine the probability that the random field exceeds this same threshold under the null hypothesis (topological inference). We present some notions relevant to random fields, in particular isotropy (the covariance function between two given points of a field depends only on the distance between them). We discuss two methods for the analysis of non\-isotropic random fields. The first one consists in deforming the field and then using the intrinsic volumes and the Euler characteristic densities. The second one uses the Lipschitz-Killing curvatures. We then perform a study of sensitivity and power of the topological inference technique comparing it to the Bonferonni correction. Finally, we use topological inference in order to describe the evolution of climate change over Quebec territory between 1991 and 2100 using temperature data simulated and published by the Climate Simulation Team at Ouranos, with the Canadian Regional Climate Model CRCM4.2.

Der Fokus dieser Dissertation liegt darauf, effiziente numerische Methode für ungekoppelte lokal Lipschitz-stetige und quadratische stochastische Vorwärts-Rückwärtsdifferenzialgleichungen (BSDE) mit Endbedingungen von schwacher Regularität zu entwickeln. Obwohl BSDE viele Anwendungen in der Theorie der Finanzmathematik, der stochastischen Kontrolle und der partiellen Differenzialgleichungen haben, gibt es bisher nur wenige numerische Methoden. Drei neue auf Monte-Carlo- Simulationen basierende Algorithmen werden entwickelt. Die in der zeitdiskreten Approximation zu lösenden bedingten Erwartungen werden mittels der Methode der kleinsten Quadrate näherungsweise berechnet. Ein Vorteil dieser Algorithmen ist, dass sie als Eingabe nur Simulationen eines Vorwärtsprozesses X und der Brownschen Bewegung benötigen. Da sie auf modellfreien Abschätzungen aufbauen, benötigen die hier vorgestellten Verfahren nur sehr schwache Bedingungen an den Prozess X. Daher können sie auf sehr allgemeinen Wahrscheinlichkeitsräumen angewendet werden. Für die drei numerischen Algorithmen werden explizite maximale Fehlerabschätzungen berechnet. Die Algorithmen werden dann auf Basis dieser maximalen Fehler kalibriert und die Komplexität der Algorithmen wird berechnet. Mithilfe einer zeitlich lokalen Abschneidung des Treibers der BSDE werden quadratische BSDE auf lokal Lipschitz-stetige BSDE zurückgeführt. Es wird gezeigt, dass die Komplexität der Algorithmen im lokal Lipschitz-stetigen Fall vergleichbar zu ihrer Komplexität im global Lipschitz-stetigen Fall ist. Es wird auch gezeigt, dass der Vergleich mit bereits für Lipschitz-stetige BSDE existierenden Methoden für die hier vorgestellten Algorithmen positiv ausfällt. / The focus of the thesis is to develop efficient numerical schemes for quadratic and locally Lipschitz decoupled forward-backward stochastic differential equations (BSDEs). The terminal conditions satisfy weak regularity conditions. Although BSDEs have valuable applications in the theory of financial mathematics, stochastic control and partial differential equations, few efficient numerical schemes are available. Three algorithms based on Monte Carlo simulation are developed. Starting from a discrete time scheme, least-square regression is used to approximate conditional expectation. One benefit of these schemes is that they require as an input only the simulations of an explanatory process X and a Brownian motion W. Due to the use of distribution-free tools, one requires only very weak conditions on the explanatory process X, meaning that these methods can be applied to very general probability spaces. Explicit upper bounds for the error are obtained. The algorithms are then calibrated systematically based on the upper bounds of the error and the complexity is computed. Using a time-local truncation of the BSDE driver, the quadratic BSDE is reduced to a locally Lipschitz BSDE, and it is shown that the complexity of the algorithms for the locally Lipschitz BSDE is the same as that of the algorithm of a uniformly Lipschitz BSDE. It is also shown that these algorithms are competitive compared to other available algorithms for uniformly Lipschitz BSDEs.

Esta Tesis se enmarca dentro del estudio de las aplicaciones lineales entre subespacios de funciones continuas definidas en espacios métricos y que toman valores en espacios normados. En concreto, el Capítulo 1 está dedicado al estudio de las aplicaciones separadoras entre espacios de funciones absolutamente continuas. En el Capítulo 2 consideramos aplicaciones biseparadoras definidas entre espacios de funciones de Lipschitz. Por otro lado, las isometrías entre espacios de funciones de Lipschitz se estudian en el Capítulo 3 y, finalmente, analizaremos las aplicaciones que preservan ceros comunes entre ciertos subespacios de funciones continuas que incluyen, entre otros, los mencionados anteriormente.Así, nuestro objetivo es proporcionar algunos resultados acerca de la representación de las aplicaciones lineales consideradas. Además, observamos que la continuidad de las aplicaciones biseparadoras y de las que preservan ceros comunes se puede deducir de manera automática bajo ciertas condiciones. / In this Thesis we deal with linear maps between subspaces of continuous functions defined on metric spaces and taking values in normed spaces. In particular, the Chapter 1 is devoted to study separating maps between spaces of absolutely continuous functions. In Chapter 2 we consider biseparating maps between Lipschitz function spaces. On the other hand, the isometries between spaces of Lipschitz functions are studied in Chapter 3 and, finally, we consider maps preserving common zeros between some subspaces of continuous functions, which include the subspaces given above.Therefore, our aim is providing some results about the representation of each linear map that we consider in this Thesis. Besides, the automatic continuity of biseparating maps and maps preserving common zeros is derived in some cases.