The overall problem that formed the basis for this thesis is that students get limited opportunity to develop their mathematical reasoning ability while, at the same time, there are dynamic mathematics software available which can be used to foster this ability. The aim of this thesis is to contribute to knowledge in this area by focusing on task design in a dynamic software environment and by studying the reasoning that emerges when students work on tasks in such an environment. To analyze students’ mathematical reasoning, a new analytical tool was developed in the form of an expanded version of Toulmin’s model. Results from one of the studies in this thesis show that exploratory tasks in a dynamic software environment can promote mathematical reasoning in which claims are formulated, examined and refined in a cyclic process. However, this reasoning often displayed a lack of the more conceptual, analytic and explanatory reasoning normally associated with mathematics. This result was partly confirmed by another of the studies. Hence, one key question in the thesis has been how to design tasks that promote conceptual and explanatory reasoning. Two articles in the thesis deal with task design. One of them suggests a model for task design with a focus on exploration, explanation, and generalization. This model aims, first, to promote semantic proof production and then, after the proof has been constructed, to encourage further generalizations. The other article dealing with task design concerns the design of prediction tasks to foster student reasoning about exponential functions. The research process pinpointed key didactical variables that proved crucial in designing these tasks. / Baksidestext Det övergripande problem som legat till grund för denna avhandling är att elever får begränsad möjlighet att utveckla sin resonemangsförmåga samtidigt som det finns dynamiska matematikprogram som kan utnyttjas för att stimulera denna förmåga. Syftet med avhandlingen är att bidra till den samlade kunskapen inom detta problemområde, dels genom att fokusera på design av uppgifter i en lärandemiljö med dynamiska matematikprogram och dels genom att studera och karakterisera de resonemang som utvecklas när elever jobbar med olika uppgifter i denna miljö. För att analysera elevernas resonemang utvecklades ett nytt analysverktyg i form av en utökad version av Toulmins modell. Resultat från en av studierna i avhandlingen visar att dynamiska matematikprogram i kombination med utforskande uppgifter kan stimulera till matematiska resonemang där hypoteser formuleras, undersöks och förfinas i en cyklisk process. Samtidigt visar samma studie att de resonemang som utvecklas i stor utsträckning saknar matematiskt grundade förklaringar. Detta resultat bekräftas till viss del av ytterligare en studie.  Frågan hur uppgifter bör designas för att främja matematiskt grundade resonemang har därför varit central i avhandlingen. Två av artiklarna behandlar uppgiftsdesign, men utifrån olika utgångspunkter.

Det är en etablerad åsikt att en stor del av matematikundervisningen idag har sin utgångspunkt i läroböcker, och därför är det viktigt att granska läroböckernas innehåll eftersom det inte längre existerar någon statlig kontroll av läromedel i Sverige. Studiens syfte ämnar granska ett läromedel i årskurs tre för att undersöka på vilket sätt och i vilken utsträckning läroboken låter eleverna arbeta med problemlösning. Undersökningen har utgått från en kvalitativ textanalys och en kvantitativ innehållsanalys för att granska, klassificera och kategorisera innehållet i utvalda och specifika delar i Mera Favorit matematik 3A och sedan granskat samma avsnitt för att fastställa om problemuppgifterna kräver kreativa matematiska resonemang för att lösas. Resultatet visar att det existerar tydliga skillnader mellan vad läroboken anser är problemlösning, och vad aktuell studies analys menar är problemlösning, med grund i kreativa matematiska resonemang. / It is an established opinion that a large part of mathematics education today has its main point in textbooks, so it’s important to review the content of the textbooks because there is no longer any state approval of teaching materials in Sweden. The purpose of the study is to examine a mathematical textbook in grade three to investigate the way and extent to which the textbook allows students to work with problem solving. The survey has been based on a qualitative text analysis and a quantitative content analysis to review, classify and categorize the content of selected and specific parts of “Mera Favorit Matematik 3A” and then review the same section again to determine if the problem assignments requires creative mathematical reasoning to be solved. The result shows that there are clear differences between what the textbook considers is problem solving, and what current studies analysis means are problem solving, based on creative mathematical reasoning.

Denna studie undersöker hur lärares återkoppling kan bidra till att elever för kreativa matematiska resonemang. Fokus för studien var att undersöka hur lärare kan ge processinriktad återkoppling samt en kombinerad återkoppling på både uppgift- och processnivå som bidrar till att elever i årskurs 2 för kreativa matematiska resonemang. Sammanlagt fick fem elevpar och två grupper om tre elever arbeta med problemlösningsuppgifter där de utifrån behov fick återkoppling på processnivå och/eller uppgiftsnivå. Efter genomförandet av undersökningen analyserades vilken typ av återkoppling som tillämpades samt vilket resonemang det bidrog till hos eleverna. Resultatet visade att samtliga elevpar hade förmågan att själva påbörja ett kreativt matematiskt resonemang genom att själva skapa en lösningsmetod. Resultatet visade även att återkoppling på processnivå bidrog till att eleverna utvecklade sitt kreativa matematiska resonemang genom att själva motivera och argumentera för sitt strategival och lösningsförslag. Återkopplingen bidrog även till att eleverna förde kreativa matematiska resonemang vid de tillfällen som undersökaren gav en kombinerad form av återkoppling på både process- och uppgiftsnivå. / <p>Matematik</p>

Många lärare anser att övning av kommunikation och resonemang med yngre elever medför röriga klassrum, vilket leder till att lärare undviker arbetssätt som medför dessa aspekter. Studiens frågeställning är hur lärares handlingar möjliggör övning av förmågan att använda matematiska resonemang och att kommunicera matematik i samspel med andra i förskoleklassen. För att besvara frågeställningen har observation använt som metod i två olika förskoleklasser. Replikering av Engvalls (2013) teman har använts för att analysera empiriskt data som framkom under observationerna. Studiens resultat visar att den mest centrala lärarhandlingen var lärarens frågor, där olika typer av frågor skapade olika förutsättningar i i matematikundervisningen. Lärares stöttning och vägledning visade sig även vara en viktig faktor i övning av matematiska resonemang. Som stöd i frågorna använde lärare dessutom andra strategier för att skapa matematisk kommunikation eller resonemang, vilket till exempel handlade om lärargestaltningar eller arbete med konkret material. Observationerna visar dessutom att lärares passivitet kan vara en handling, omedveten eller medveten, som kan möjliggöra övning av kommunikation och resonemang. Avslutningsvis visade observationerna att lärares handlingar kan leda till både undervisning som syftar till matematikens procedurer och metoder samt matematikens relationer och begrepp, vilket dessutom synliggjorde att lärarna hade tagit ett steg ifrån traditionell matematikundervisning. / <p>Matematik</p>

Studiens syfte är att undersöka de argument som utvecklas i elevers matematiska resonemang vid lösandet av en problemlösningsuppgift i årskurs 1. För att undersöka detta har en undersökning av kvalitativ ansats med observation som metod genomförts på en grundskola i Mellansverige. Enligt tidigare forskning finns fyra typer av argument i ett matematiskt resonemang som alla bygger på varandra i en viss ordning och hänger ihop som en kedja. Resultatet av denna studie visar att argumenten inte bygger på varandra i en viss ordning utan kommer utifrån vad tidigare elev har sagt. Bland annat återfinns ett identifierande argument i mitten av ett resonemang och inte i början så som tidigare forskning påstår. Resultatet visar även att eleverna är multimodala vid lösandet av problemet och använder sig av gester, kroppsspråk och symboler för att förstärka eller visa sina argument i resonemanget. Studien har även kommit fram till att valet av uppgift vid problemlösning är av stor vikt då symbolerna som är tänkta att underlätta problemet för eleverna kan göra så att eleverna tolkar uppgiften på ett annat sätt och på så sätt avviker från problemets kärna. / <p>Matematik</p>

Elever i grundskolan stöter på problemlösning i matematikämnet och skall därför utveckla flera förmågor för att ha möjligheten att anpassa lösningsstrategier till varje problem. Syftet med studien är att ur ett elevperspektiv undersöka hur elever med hjälp av matematiska resonemang löser två problemlösningsuppgifter. Genom en semistrukturerad intervju med klassläraren justerades två uppgifter som sedan användes i studien. Därefter observerades tre grupper om tre elever från årskurs 3 innan en semistrukturerad gruppintervju tog vid med eleverna. Empirin från studien har sedan analyserats med hjälp av ett analysverktyg som baserats på Lithner (2008) samt Bergqvist, Lithner och Sumpters (2008) tidigare forskning om matematiska resonemang. Resultatet i studien visar att elever använder sig av kreativa resonemang i stor utsträckning vid lösandet av problemlösningsuppgifter och att det behövs kunskap för att avgöra vilken typ av uppgift som löses. Resultatet visar också att eleverna själva säger att de gynnas av att förklara hur de tänkt och att lyssna på andra. Utöver detta visar resultatet även att eleverna använder olika representationsformer för att lösa uppgifterna. En slutsats är att det finns vissa skillnader mellan vad som syns i observationen och i gruppintervjun. En andra slutsats är att det krävs en definition av begreppet ansträngning för att göra en precis analys. En tredje slutsats är att eleverna tycker att det är jobbigt att testa sig fram. / <p>Matematik</p>

The aim of this study is to examine Swedish teachers´ perception of feedback and its impact on students when it comes to mathematical reasoning. Interviews were conducted with six teachers´ working in grades four to six. The interviews have been conducted both online and in person. The result of this study show that teachers give feedback to students in several different ways and not always with the purpose of strengthening the knowledge of mathematical reasoning. These different ways of giving feedback are presented in the form of different categories reflecting the teachers´ perceptions of feedback and mathematical reasoning. / Syftet med den här studien är att undersöka hur svenska lärares uppfattningar kring feedback påverkar elevernas förmåga att tillägna sig feedback när det kommer till matematiska resonemang. Jag genomförde intervjuer med sex verksamma lärare som arbetar i årskurs fyra – sex. Intervjuerna genomfördes både digitalt och ansikte mot ansikte. Resultatet av denna undersökning visar att lärare ger eleverna feedback på olika sätt men inte alltid med syftet at stärka deras kunskaper inom matematiska resonemang. De olika typerna av feedback presenteras i olika kategorier som visar lärarnas uppfattning av feedback och matematiska resonemang. / <p>Matematik</p>

I denna studie har grundskollärares, i årskurs 1–3, tankar om sin undervisning i problemlösning i ämnet matematik, med avseende på kreativa och imitativa resonemang undersökts. Fem kvalitativa intervjuer med grundskollärare från olika skolor utfördes och analyserades därefter med stöd från Lithners (2008) teori om kvalitativa och imitativa resonemang. Studien visar på att grundskollärarna har svårt att undervisa problemlösning utifrån de kriterier Lithner (2008) anser vara matematiska kreativa resonemang (problemlösning) på ett sätt som uppmuntrar och möjliggör för eleverna att resonera kreativt. Empirin visar att lärare i högre utsträckning möjliggör imitativa resonemang då de anser att elevernas kunskapsnivå är för låg och att de är måna om att eleverna ska få lyckas. / <p>Matematik</p>

Att resonera matematiskt handlar om att argumentera för och kunna reflektera kring samt motivera sina matematiska beslut. Detta är av särskild vikt i nya situationer som vid lösning av problemuppgifter som per definition inte ska kunna lösas med på förhand kända metoder. Studier har visat att äldre elever förlitar sig på inlärda procedurer när de löser problemuppgifter - trots att dessa ofta inte fungerar. De resonemang som eleverna då för är imitativa resonemang - eleverna imiterar kända lösningsmetoder utan att reflektera över deras lämplighet. Motsatsen till dessa är kreativa matematiska resonemang (KMR) som går ut på att eleven skapar en ny lösningsmetod. Den här sortens resonemang har positiva effekter på lärande. Denna studie syftade till att ta reda på hur elever i årskurs 1 resonerar vid lösning av problemuppgifter. Empiriinsamlingen skedde via observationer och intervjuer med elever. Resultatet visade att elever i årskurs 1 för både imitativa och kreativa matematiska resonemang men att KMR är vanligare. När elever i årskurs 1 resonerar imitativt kännetecknas det av att det ofta bygger på ytliga egenskaper vilket innebär att något i uppgiften känns igen och kan kopplas till en viss strategi. När de i stället för KMR kännetecknas det av att det ofta föregås av initiala misslyckanden eller felsteg i resonemangsprocessen. När eleverna tillåts bearbeta dessa misstag, ibland med minimal eller helt utan vägledning kan det leda till KMR som främjar deras lärande. I och med detta går det att konstatera att undervisning av även de allra yngsta eleverna bör inkludera relativt självständig lösning av problemuppgifter med betoning på resonemang för att eleverna ska lära sig att resonera och behålla sin villighet att föra KMR.

Många studier bekräftar att det är viktigt att man utvecklar elevernas resonemangsförmågamen få beskriver hur lärare kan utveckla resonemangsförmågan. Syftet med detta arbete är att undersöka hur lärare introducerar och arbetar för att utveckla elevernas resonemangsförmåga samt hur olika resonemang kan kategoriseras. För att kunna undersöka detta har vi använt oss av kategorierna algoritmiska resonemang (AR) och kreativa matematiska resonemang (KMR). Vi använder teorier om feedback på uppgiftsnivå och processnivå för att se hur feedback påverkar elevernas resonemang. Vi har genomfört fem semistrukturerade intervjuer med verksamma lärare i årskurs F-3 för att undersöka hur de arbetar med att utveckla elevernas resonemangsförmåga i matematik. Resultatet av vår studie visar att lärare har olika uppfattningar av vad resonemang vilket kan bero på att de saknar verktyg för att se olika resonemangstyper. Vid introduktionen av arbetet med att utveckla resonemangsförmågan beskriver lärarna främst hur de arbetar för att bygga upp ett tryggt klassrumsklimat, inte hur de arbetar med just resonemangsförmågan. Lärarna vi intervjuade ger ofta feedback på uppgiftsnivå vilket leder till att fokus hamnar på svaret istället för på processen. Vi ser att lärarna kan utveckla sin feedback till processnivå genom att ställa frågor till eleverna som berör processen vilket hjälper dem att nå KMR. Vår slutsats är att lärarna med enkla medel i antingen uppgiftsskapande eller stöttning skulle kunna leda eleverna mot KMR.