Studiens syfte är att öka kunskapen om lärares didaktiska val gällande matematiska problem i syfte att utveckla elevers resonemangs- och problemlösningsförmåga i årskurserna 1–3. Syftet är vidare att få ökad kunskap om vilka förutsättningar lärare skapar för elever att arbeta med kreativa matematiska resonemang. Forskning visar att arbetet med problemlösning är en viktig faktor för att utveckla elevers förmåga att resonera och lösa problem. En problemlösande matematikundervisning har visat sig ge goda effekter på elevers matematiska förståelse. Trots detta visar forskning att ett vanligt arbetssätt i matematikundervisningen är att låta elever arbeta med rutinuppgifter. Ett effektivt sätt för att elever ska utveckla sin förmåga att resonera och lösa problem är att ge elever förutsättningar att använda kreativa matematiska resonemang (CMR) istället för imitativa resonemang (IR). För att kunna undersöka elevers förutsättningar att använda CMR i arbetet med problemlösning har kategorierna CMR och IR använts som studiens teoretiska ramverk. För att besvara studiens frågeställning har fyra grundlärare verksamma i åk 1–3 observerats och intervjuats. Resultatet av studien visar att endast en av fyra lärare ger elever förutsättningar att i full utsträckning använda CMR. De tre resterande lärarna gör detta i en begränsad utsträckning. Studien visar, i enighet med forskning, att läraren har en avgörande roll i arbetet med problemlösning där lärarens didaktiska val har stor betydelse för elevers förutsättningar att använda CMR.

No description available.

Studien grundas i att studera hur den aktuella digitaliseringen kan komma och påverka den traditionella geometriundervisningen. Syftet med denna systematiska litteraturstudie är att sammanställa befintlig forskning där eleverna använder digitala verktyg inom geometriundervisning samt att svara på frågan: Hur kan digitala verktyg användas på olika sätt för att skapa möjligheter till geometriska resonemang i matematikundervisning? Hughes (2000) ramverk som identifierar syftet med digitala verktyget ligger till grund för studiens analys. Vidare tar studien en teoretisk utgångspunkt i Lithners (2008) teori om olika matematiska resonemang som eleven använder sig av vid arbete med matematikuppgifter. Resultatet visar att beroende på om det digitala verktyget har ett ersättande, förstärkande eller transformerande syfte kommer det möjliggöra för eleverna att tillämpa olika geometriska resonemang. Detta ställer höga krav på lärares digitala kompetens då det är användningen av det digitala verktyget som påverkar elevernas kunskapsutveckling. Med denna studie kan verksamma lärare skapa en vidare förståelse för hur ett digitalt verktyg kan användas på flera olika sätt. / Studien bygger på att undersöka hur dagens digitalisering kan komma och påverka traditionell geometriundervisning. Syftet med denna systematiska litteraturstudie är att sammanställa befintlig forskning där elever använder digitala verktyg i geometriundervisning och att besvara frågan: Hur kan digitala verktyg användas på olika sätt för att skapa möjligheter för geometriska resonemang i matematikundervisningen? Hughes (2000) ramverk, som identifierar syftet med digitala verktyg, ligger till grund för studiens analys. Vidare tar studien en teoretisk utgångspunkt i Lithners (2008) teori om olika matematiska resonemangsstrategier som elever använder sig av när de arbetar med matematiska uppgifter. Resultaten visar att beroende på om det digitala verktyget har ett ersättande, förstärkande eller transformerande syfte, gör det möjligt för eleverna att tillämpa olika geometriska resonemang. Detta ställer höga krav på lärares digitala kompetens eftersom det är användningen av det digitala verktyget som påverkar elevernas kunskapsutveckling. Med denna studie kan verksamma lärare få en bredare förståelse för hur ett digitalt verktyg kan användas på olika sätt.

This study identifies and describes students’ mathematical reasoning, when students work with probability tasks. The study also, to some extent, examines the role of oral communication in mathematical classrooms. The students who participated in the study were all in grade 9, the last year of the compulsory school in Sweden. The students were videotaped during their work with the probability tasks and their conversations were transcribed. The tasks are chosen with the purpose to engender oral communication and discussions concerning probability. A practical epistemology analysis was conducted on the data. The observed students’ reasoning concerning probability was analyzed and compared with reasoning competencies and framework for mathematical reasoning. Students’ reasoning was also examined in relation to sociomathematical norms and students’ aesthetic judgments were analyzed.

Sedan Lgr11 infördes i skolan har förmågan att kommunicera och resonera i matematik genom samtal och diskussioner fått en ny plats i undervisningen. I kunskapskraven står det att ska elevernas förmåga att muntligt resonera och kommunicera i matematik ska bedömas i årskurs 6 vilket innebär att lärarna behöver ge eleverna möjlighet att träna dessa förmågor. Syftet med denna studie är att analysera vilket stöd lärarna erbjuds genom lärarhandledningar för att kunna utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang. En innehållsanalys av lärarhandledningar visar att det finns stöd för lärarna att utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang, men att stödet varierar i stor utsträckning mellan de olika lärarhandledningarna. Innehållsanalysen är baserad på Shulmans ramverk om vilka kunskaper en lärare behöver ha för att undervisa, MKT-ramverket från Ball et al. som kopplar Shulmans ramverk till matematik samt Niss och Højgaard-Jensens ramverk om vilka kunskaper en matematiklärare behöver ha. Analysen visar att samtliga lärarhandledningar erbjuder stöd till lärare i sina ämnesdidaktiska kunskaper i form av aktiviteter som kan användas för att utveckla elevernas muntliga förmåga. Däremot varierar antalet förekomster av stöd för lärarna till sina ämnesdidaktiska- samt ämneskunskaper. / When the new curriculum was introduced in Sweden, 2011, the ability to communicate and reason in mathematics through discussions was put forward. The students’ ability to orally reason and communicate in mathematics is to be assessed in grade 6, which means that teachers need to give students opportunities to practice these skills. The purpose of the study is to analyze what kind of support teacher guides offer the teacher to help them develop the students’ ability to discuss with and about mathematics as well as to apply mathematical reasoning. A content analysis of teacher guides showed that there is support for teachers to develop the students’ ability to discuss with and about mathematics and to apply mathematical reasoning, but that the support varies to a great extend amongst teacher guides. The content analysis is based on Shulman’s knowledge base framework describing what a teacher needs to know in order to teach, the MKT-framework from Ball and colleagues that connects Shulman’s framework to mathematics and Niss och Højgaard-Jensen’s framework about which knowledge a mathematics teacher needs for teaching. The analysis shows that all analyzed teacher guides offer support in pedagogical content knowledge consisting of activities that can be used to develop the students’ orally ability. However, the amount of support varies concerning both pedagogical content knowledge and content knowledge.

Studier har visat att det i den traditionella undervisningen i matematik råder brist på förutsättningar för eleverna att utveckla sin resonemangsförmåga på ett betydande sätt (Sidenvall, Lithner och Jäder, 2015; Tranbeck, 2010; Jäder, 2015). Denna brist har identifierats som en av anledningarna till att elever har det svårt på matematikutbildningar på högskolenivå (Lithner, 2011). Detta har lett till att alternativa arbetssätt har undersökts med avseende på hur de främjar elevernas användning av resonemangsförmågan (Liljekvist, 2014; Brunström, 2015). Syftet med denna studie är att undersöka hur gymnasieelevers resonemang ser ut och vad de innehåller när de spelar spel med matematiskt innehåll från gymnasiets matematikkurser. En förståelse för detta kan bland annat möjliggöra en utvärdering av denna typ av spels relevans inom matematikundervisningen på gymnasialnivå. I denna studie studeras två gymnasieelevgruppers resonemang när de spelar ett kortspel som har ett matematiskt innehåll. Två strukturerade innehållsanalyser tillämpas i denna studie. Den första tillämpar kategorier som skapats utifrån tre olika ramverk för resonemang medan den andra utgår ifrån kategorier för ingenjörsmässiga förmågor som valts ur Conceive Design Implement Operate (CDIO) syllabus. Resultatet visar att ett flertal olika former av resonemang och ingenjörsmässiga förmågor förekommer bland elevernas resonemang. Det vanligaste är att eleverna i sina resonemang tillämpar kunskaper om generella matematiska regler och samband på ett imitativt sätt och resonemanget behandlar även samspelet mellan två variabler. Andelen kreativa resonemang var dock fortfarande högre i denna studie än i tidigare genomförda studier. Elevernas resonemang visar vidare främst på ingenjörsmässiga förmågor relaterat till initiativförmåga och beslutsfattning under osäkerhet. Utifrån resultatet görs bedömningen att det spel som studeras i denna studie är att betraktas som relevant för tillämpning inom matematikundervisningen, med några begränsningar. Mer generellt visar resultatet att när spel av den typ som studerats i denna studie används visar eleverna upp resonemangsförmågan på ett nyanserat sätt och även ingenjörsmässiga förmågor framkommer. / Studies have shown that in the traditional forms of mathematics education there is a lack of opportunity for students to improve their reasoning ability in a meaningful way (Sidenvall, Lithner och Jäder, 2015; Tranbeck, 2010; Jäder, 2015). This flaw has been identified as one reason for why students have troubles following the mathematics education at university level (Lithner, 2011). This has led to alternative methods being studied in regard to how they provide opportunities for the students to utilise their reasoning ability (Liljekvist, 2014; Brunström, 2015). The purpose of this study is to examine what the students’ reasoning looks like and its content when they play a game with mathematical content in high school mathematics courses. Understanding this can, among other things, enable an assessment of how relevant this type of games is for use in high school mathematics education. In this study, two groups of high school students reasoning are observed when they play a card game that has mathematical content. Two structured content analyses are used in this study. The first one applies categories that have been created through the combination of three other frameworks, while the second one applies categories of engineering skills that have been selected from Conceive Design Implement Operate (CDIO) syllabus. The result shows that many different forms of reasoning and engineering skills were present in the students’ reasoning. It is most common that the students’ reasoning incorporates knowledge of general mathematical rules and relations in an imitative way that also includes the interaction between two variables. The proportion of creative reasoning was higher than those found in previous studies. Furthermore, the students’ reasoning mostly reveals engineering skills related to taking initiative and decision making under uncertainty. With regards to the result the assessment is that the game that was studied in this study can be regarded as relevant for use in mathematics education, with some limitations. More generally, the result shows that when games of the type that has been studied here are used the students show the ability to reason in a nuanced way and engineering skills are also present.

Ett stort fokus inom matematiken ligger på utantillinlärning av kunskap och tillvägagångssätt. Detta trots att forskning och styrdokument visar att elevens resonemangsförmåga är viktig för att utveckla elevers djupare förståelse av matematiken. Denna studie syftar därmed mot att bidra med kunskaper om vilka olika typer av resonemang som elever i årskurs 6 använder sig av och hur detta relaterar till deras förståelse av ett matematiskt område. Det matematiska området som har valts i studien är de geometriska begreppen omkrets och area samt sambandet mellan dem. För att besvara studiens frågeställningar samlades empirin in genom videoinspelningar av elevintervjuer där elever löste och resonerade kring uppgifter i par inom det matematiska området. De resonemang som framkom under intervjuerna identifierades och klassificerades utifrån Lithners (2008) teoretiska ramverk om imitativa och kreativa resonemang samt kopplades till elevens förståelse av begreppen och dess samband. Det resultat som framkom gav upphov till en ny typ av resonemang som inte ingick i ramverket och denna typ benämns som nytänkande resonemang. En anledning till att en ny typ skapades kan vara att denna studie applicerades på lägre åldrar än ramverket är utvecklad för. En problematik synliggjordes vid elevernas lösning av ett praktiskt problem kopplat till sambandet mellan begreppen. I denna uppgift hade inte eleverna ett matematiskt förhållningssätt och förde således inga matematiska resonemang eller visade sin förståelse.

Students only learn what they get the opportunity to learn. This means, for example, that students do not develop their reasoning- and problem solving competence unless teaching especially focuses on developing these competencies. Despite the fact that it has for the last 20 years been pointed out the need for a reform-oriented mathematics education, research still shows that in Sweden, as well as internationally, an over-emphasis are placed on rote learning and procedures, at the cost of promoting conceptual understanding. Mathematical understanding can be separated into procedural and conceptual understanding, where conceptual understanding can be connected to a reform oriented mathematics education. By developing a reasoning competence conceptual understanding can also be developed. This thesis, which deals with students’ opportunities to learn to reason mathematically, includes three studies (with data from Swedish upper secondary school, year ten and mathematics textbooks from twelve countries). These opportunities have been studied based on a textbook analysis and by studying students' work with textbook tasks during normal classroom work. Students’ opportunities to learn to reason mathematically have also been studied by examining the relationship between students' reasoning and their beliefs. An analytical framework (Lithner, 2008) has been used to categorise and analyse reasoning used in solving tasks and required to solve tasks.Results support previous research in that teaching and mathematics textbooks are not necessarily in harmony with reform-oriented mathematics teaching. And that students indicated beliefs of insecurity, personal- and subject expectations as well as intrinsic- and extrinsic motivation connects to not using mathematical reasoning when solving non-routine tasks. Most commonly students used other strategies than mathematical reasoning when solving textbook tasks. One common way to solve tasks was to be guided, in particular by another student. The results also showed that the students primarily worked with the simpler tasks in the textbook. These simpler tasks required mathematical reasoning more rarely than the more difficult tasks. The results also showed a negative relationship between a belief of insecurity and the use of mathematical reasoning. Furthermore, the results show that the distributions of tasks that require mathematical reasoning are relatively similar in the examined textbooks across five continents.Based on the results it is argued for a teaching based on sociomathematical norms that leads to an inquiry based teaching and textbooks that are more in harmony with a reform-oriented mathematics education. Elever kan bara lära sig de det de får möjlighet att lära sig. Detta innebär till exempel att elever inte utvecklar sin resonemangs- och problemlösningsförmåga i någon större utsträckning om inte deras undervisning fokuserar på just dessa förmågor. Forskning, nationellt och internationellt visar att det finns en överbetoning på utantillinlärning och på procedurer. Detta verkar ske på bekostnad av en konceptuell förståelse, trots att det under 20 års tid pekats på behovet av en reforminriktad matematikundervisning. Matematisk förståelse kan delas in i procedurell- och konceptuell förståelse där en konceptuell förståelse kan kopplas till en reforminriktad matematikundervisning. Genom att utveckla förmågan att resonera matematiskt utvecklas också den konceptuella förståelsen. Denna avhandling, som inbegriper tre studier (med empiri från gymnasiet år ett och matematikläroböcker från tolv länder) behandlar elevers möjlighet att lära sig att resonera matematiskt. Dessa möjligheter har studerats utifrån att undersöka vilka möjligheter läroboken ger att lära sig matematiska resonemang, dels via en läroboksanalys och dels genom att studera elevers arbete med läroboksuppgifter i klassrumsmiljö. Elevers möjligheter att lära sig att resonera matematiskt har också studerats genom att undersöka relationen mellan elevers matematiska resonemang och deras uppfattningar om matematik. Ett analytiskt ramverk (Lithner, 2008) har används för att kategorisera och analysera resonemang som använts för att lösa uppgifter och som behövs för att lösa en uppgift.Resultaten från studierna har givit stöd åt tidigare forskning vad gäller att undervisning och läroböckerna inte nödvändigtvis harmonierar med en reforminriktad matematikundervisning. Och att elever har uppfattningar om matematik som bygger på osäkerhet, förväntan på ämnet och sin egen förmåga samt motivation och att dessa uppfattningar delvis kan kopplas till att eleverna inte använder matematiska resonemang för att försöka lösa icke-rutinuppgifter. Det vanligaste sättet att lösa läroboksuppgifter var att välja andra strategier än att använda sig av matematiska resonemang. Ett vanligt sätt att lösa uppgifter var att låta sig guidas, av främst en annan elev. Eleverna arbetade framförallt med de enklare uppgifterna i läroböckerna. Bland dessa enklare uppgifter var det mer sällsynt med uppgifter som krävde matematiska resonemang för att lösas relativt de svårare uppgifterna. Resultaten visade även att det fanns en negativ relation mellan en uppfattning av osäkerhet hos elever och ett användande av matematiska resonemang. Resultaten visade vidare att fördelningen av uppgifter som krävde matematiska resonemang var relativt lika i alla undersökta läroböcker från fem världsdelar.Utifrån resultaten argumenteras för en förändrad undervisning mot en undersökande undervisning och läroböcker som är mer i harmoni med en reforminriktad matematikundervisning. / Elever kan bara lära sig de det de får möjlighet att lära sig. Detta innebär till exempel att elever inte utvecklar sin resonemangs- och problemlösningsförmåga i någon större utsträckning om inte deras undervisning fokuserar på just dessa förmågor. Forskning, nationellt och internationellt visar att det finns en överbetoning på utantillinlärning och på procedurer. Detta verkar ske på bekostnad av en konceptuell förståelse, trots att det under 20 års tid pekats på behovet av en reforminriktad matematikundervisning. Matematisk förståelse kan delas in i procedurell- och konceptuell förståelse där en konceptuell förståelse kan kopplas till en reforminriktad matematikundervisning. Genom att utveckla förmågan att resonera matematiskt utvecklas också den konceptuella förståelsen. Denna avhandling, som inbegriper tre studier (med empiri från gymnasiet år ett och matematikläroböcker från tolv länder) behandlar elevers möjlighet att lära sig att resonera matematiskt. Dessa möjligheter har studerats utifrån att undersöka vilka möjligheter läroboken ger att lära sig matematiska resonemang, dels via en läroboksanalys och dels genom att studera elevers arbete med läroboksuppgifter i klassrumsmiljö. Elevers möjligheter att lära sig att resonera matematiskt har också studerats genom att undersöka relationen mellan elevers matematiska resonemang och deras uppfattningar om matematik. Ett analytiskt ramverk (Lithner, 2008) har används för att kategorisera och analysera resonemang som använts för att lösa uppgifter och som behövs för att lösa en uppgift. Resultaten från studierna har givit stöd åt tidigare forskning vad gäller att undervisning och läroböckerna inte nödvändigtvis harmonierar med en reforminriktad matematikundervisning. Och att elever har uppfattningar om matematik som bygger på osäkerhet, förväntan på ämnet och sin egen förmåga samt motivation och att dessa uppfattningar delvis kan kopplas till att eleverna inte använder matematiska resonemang för att försöka lösa icke-rutinuppgifter. Det vanligaste sättet att lösa läroboksuppgifter var att välja andra strategier än att använda sig av matematiska resonemang. Ett vanligt sätt att lösa uppgifter var att låta sig guidas, av främst en annan elev. Eleverna arbetade framförallt med de enklare uppgifterna i läroböckerna. Bland dessa enklare uppgifter var det mer sällsynt med uppgifter som krävde matematiska resonemang för att lösas relativt de svårare uppgifterna. Resultaten visade även att det fanns en negativ relation mellan en uppfattning av osäkerhet hos elever och ett användande av matematiska resonemang. Resultaten visade vidare att fördelningen av uppgifter som krävde matematiska resonemang var relativt lika i alla undersökta läroböcker från fem världsdelar. Utifrån resultaten argumenteras för en förändrad undervisning mot en undersökande undervisning och läroböcker som är mer i harmoni med en reforminriktad matematikundervisning.

Läroplanen, Lgr 11, vilar på en sociokulturell syn på lärande där lärande genom interaktion och kommunikation är en naturlig del. Kommunikationens men också de matematiska resonemangens betydelse för elevers matematiklärande råder samstämmighet kring inom forskningen. En viktig del i att skapa givande samtal är lärares frågor. Syftet med studien är att undersöka vilka slags frågor matematiklärare använder sig av vid problemlösningslektioner och i vilken uträckning frågorna leder till så kallade utforskande samtal. Undersökningen genomfördes genom strukturerade observationer via ett egenkonstruerat analysverktyg utifrån teorier om olika slags frågor och utforskande samtal. Studien visar att de vanligast förekommande frågorna är de som gäller fakta eller procedur och att de utforskande samtalen är sparsamt förekommande. Vidare synliggörs att det finns stora skillnader lärare emellan gällande vilka frågor som ställs och vad de ger upphov till samt att förekomsten av både frågor som uppmuntrar till resonemang och utforskande interaktion är vanligare vid grupparbete än i helklassinteraktion. Dominansen av fakta och procedurfrågor visar att traditionella frågemönster består, även om en förändring eventuellt kan skönjas. Studien har gett en inblick i förekommande frågor vid matematikundervisning samt huruvida de ger upphov till utforskande samtal. Därmed har kunskap skapats om elevernas möjlighet att kommunicera och resonera matematiskt med utgångspunkt i lärares frågor. Studien har även bidragit till att lärares frågor och hantering av elevsvar uppmärksammas, något som kan leda till att djupare matematiska diskussioner blir mer vanligt förekommande / The Swedish curriculum is grounded in a sociocultural view of learning where learning through interaction and communication comes naturally. Research unanimously emphasizes the role of communication and mathematical reasoning for students’ learning in mathematics. Teachers’ questions are important when creating fruitful discussions. The purpose of this study is therefore to examine what kind of questions mathematics teachers pose in problem-solving lessons and the extent to which the questions lead to so-called exploratory talks. The study was conducted through structured observations via a self-constructed analysis tool which was based on theories regarding questions and exploratory talks. The study shows that the most common questions are about facts or procedures and that exploratory talks sparsely occur. Furthermore, there are great differences between teachers regarding what kind of questions are asked and what kind of communication these generate. Questions that encourage reasoning and exploratory talks are more common in group work than in whole-class interaction. The domination of factual and procedure questions shows that traditional question-patterns persist, although a change may be discernible. The study has provided an insight into the kind of questions mathematics teachers pose in their teaching and whether they generate exploratory talks. Thus, knowledge has been created about students’ possibilities to communicate and reason mathematically based on teachers’ questions. In addition, this study has drawn attention to teachers’ questions and handling of students’ answers, which can lead to deeper mathematical discussions becoming more common.

Denna uppsats belyser några av förskoleklassens läromedel i matematikämnet. Vi har undersökt specifikt i vilken utsträckning leken tar plats i läromedel, samt vilket stöd läraren får att genomföra lek som kan bidra till elevernas begrepps och/eller resonemangsförmåga. Förskoleklassen har nyligen blivit obligatorisk och ska fungera som en bro mellan förskolan och skolan. Den förväntas ta över förskolans lekpedagogik samtidigt som den ska introducera skolans rutiner och undervisningsmetoder. Vi har använt innehållsanalys som metod för att undersöka läromedel både kvantitativt och kvalitativt. Studiens resultat visar att lek som bidrar till elevernas begrepps- och/eller resonemangsförmåga finns i lärarhandledningar. Det finns även olika typer av stöd för läraren att genomföra lekbaserad undervisning som bidrar till elevernas begrepps- och/eller resonemangsförmåga. Det kan bidra till att eleverna utvecklar och befäster sina kunskaper om matematiska begrepp och/eller resonemang via leken. Studien visar också att lek i läromedlets elevböcker i stort sett saknas. Vilket kan innebära att eleverna går miste om lek i matematikundervisningen om läraren väljer att endast använda elevboken. / This master thesis focuses on mathematics textbooks for preschool class. We have studied to what extent play is found in the textbooks and what kind of the support for implementation is offered to the teacher. We have focused on play which can contribute to the pupils’ concept and/or reasoning ability.  Preschool class is now a compulsory school form. Preschool class is a class between preschool and primary school and is expected to function as a bridge between these two. There are many expectations for preschool class: implementing preschool pedagogy while introducing the primary school’s routines and teaching methods. We have used content analysis as a method in this study. The method has been used in both a quantitative and a qualitative way.  The results show that teacher guides offer play contributing to conceptual and/or reasoning. The results also show that the teacher gets support for implementing such play in the classroom. This offers opportunities for pupils to consolidate and develop their knowledge of mathematical concepts as well as their reasoning. Further, the study shows that play in the pupils’ textbook largely is lacking. If the teacher chooses to only use the pupil’s textbooks, the consequence can be that the pupils are missing out on play in mathematical education.