Cette thèse porte sur une méthode cartésienne parallèle pour résoudre des problèmes elliptiques avec interfaces complexes et sur son application aux problèmes elliptiques en domaine irrégulier dans le cadre d'un modèle de croissance tumorale. La méthode est basée sur un schéma aux différences fi nies et sa précision est d'ordre deux sur tout le domaine. L'originalité de la méthode consiste en l'utilisation d'inconnues additionnelles situées sur l'interface et qui permettent d'exprimer les conditions de transmission à l'interface. La méthode est décrite et les détails sur la parallélisation, réalisée avec la bibliothèque PETSc, sont donnés. La méthode est validée et les résultats sont comparés avec ceux d'autres méthodes du même type disponibles dans la littérature. Une étude numérique de la méthode parallélisée est fournie. La méthode est appliquée aux problèmes elliptiques dans un domaine irrégulier apparaissant dans un modèle continue et tridimensionnel de croissance tumorale, le modèle à deux espèces du type Darcy . L'approche utilisée dans cette application est basée sur la pénalisation des conditions de transmission a l'interface, afin de imposer des conditions de Neumann homogènes sur le bord d'un domaine irrégulier. Les simulations du modèle sont fournies et montrent la capacité de la méthode à imposer une bonne approximation de conditions au bord considérées.

La simulation de cas réalistes d'écoulements ou de transferts thermiques implique souvent l'utilisation d'obstacles ou d'interfaces de forme complexe. De part leur manque de flexibilité, les maillages structurés ne sont pas initialement adaptés au traitement d'interfaces irrégulières, ces dernières coïncidant rarement avec les lignes du maillage. Afin de permettre à l'approche structurée de traiter des interfaces complexes avec précision, des méthodes dites de domaines fictifs sont nécessaires. La première contribution de cette thèse est une nouvelle méthode de travail sur maillage curviligne structuré qui permet de réutiliser de nombreuses méthodes fonctionnant initialement sur des maillages cartésiens sur maillages curvilignes. Nous avons ensuite mis au point deux nouvelles méthodes de domaines fictifs : la méthode de pénalisation de sous-maille (PSM) pour la gestion des frontières immergées pour les équations elliptiques et de Navier-Stokes et la méthode d'interface immergée algébrique (IIA) pour les problèmes d'interfaces immergées pour les équations elliptiques. L'un des intérêts de ces deux méthodes à l'ordre deux en espace est leur simplicité. Ces différents développements ont finalement été appliqués à des cas de couplage fluide-structure académiques et réalistes (sédimentation d'un cylindre, hydroplanage d'un pneu, écoulements dans une tête de forage et convection naturelle dans la grotte de Lascaux).

Les polymères jouent un rôle important sur la réduction de la traînée et la modification de la structure des écoulements. Nous avons utilisé le modèle Oldroyd-B pour étudier l’effet de la viscoélasticité de solutions de polymères dilués sur des écoulements en deux dimensions autour d’obstacles dans un canal. Les obstacles sont pris en compte par la méthode de pénalisation volumique et des condition aux limites artificielles sans réflexion sont imposées à la sortie du canal. La discrétisation est effectuée par des schémas performants en différences finies et la résolution par une méthode multigrille. Les simulations numériques sont effectuées pour une large gamme de nombres de Reynolds et de nombres de Weissenberg. Les caractéristiques détaillées des écoulements viscoélastiques sont analysées et comparées entre elles et celles de l’écoulement du fluide sans polymère. En particulier les jeux de paramètres conduisant à une augmentation ou à une baisse de la traînée. Enfin les effets du polymère sur des écoulements turbulents sont aussi analysés. / Polymer plays an important role on the drag reduction and modification of the structure of flow. In this thesis, Oldroyd B model is employed to study the effectof viscoelasticity for polymer solutions diluted by two-dimensional direct numerical simulation. The obstacles are taken into account by penalization method. The artificial boundary condition is imposed without any reflection on the channel outlet. Flow pasta cylinder is investigated in detailed by present numerical methods. The numerical codes are valid for predicting the drag force and capturing the important character of viscoelastic flow by comparing with experimental and other numerical results. The drag map of the cylinder is obtained at a wide range of Reynolds number and Weissenberg number space. The detailed characteristics of viscoelastic flow are reported in the thesis. The effects of polymer on two-dimensional turbulent flow are also discussed by grid turbulent flow.

Cette thèse porte sur une méthode cartésienne parallèle pour résoudre des problèmes elliptiques avec interfaces complexes et sur son application aux problèmes elliptiques en domaine irrégulier dans le cadre d'un modèle de croissance tumorale.La méthode est basée sur un schéma aux différences finies et sa précision est d’ordre deux sur tout le domaine. L'originalité de la méthode consiste en l'utilisation d'inconnues additionnelles situées sur l'interface et qui permettent d’exprimer les conditions de transmission à l'interface. La méthode est décrite et les détails sur la parallélisation, réalisé avec la bibliothèque PETSc, sont donnés. La méthode est validée et les résultats sont comparés avec ceux d'autres méthodes du même type disponibles dans la littérature. Une étude numérique de la méthode parallélisée est fournie.La méthode est appliquée aux problèmes elliptiques dans un domaine irrégulier apparaissant dans un modèle continue et tridimensionnel de croissance tumorale, le modèle à deux espèces du type Darcy . L'approche utilisée dans cette application est basée sur la pénalisation des conditions de transmission à l'interface, afin de imposer des conditions de Neumann homogènes sur le border d'un domaine irrégulier. Les simulations du modèle sont fournies et montrent la capacité de la méthode à imposer une bonne approximation de conditions au bord considérées. / This theses deals with a parallel Cartesian method to solve elliptic problems with complex interfaces and its application to elliptic irregular domain problems in the framework of a tumor growth model.This method is based on a finite differences scheme and is second order accurate in the whole domain. The originality of the method lies in the use of additional unknowns located on the interface, allowing to express the interface transmission conditions. The method is described and the details of its parallelization, performed with the PETSc library, are provided. Numerical validations of the method follow with comparisons to other related methods in literature. A numerical study of the parallelized method is also given.Then, the method is applied to solve elliptic irregular domain problems appearing in a three-dimensional continuous tumor growth model, the two-species Darcy model. The approach used in this application is based on the penalization of the interface transmission conditions, in order to impose homogeneous Neumann boundary conditions on the border of an irregular domain. The simulations of model are provided and they show the ability of the method to impose a good approximation of the considered boundary conditions. / Questa tesi introduce un metodo parallelo su griglia cartesiana per risolvere problemi ellittici con interfacce complesse e la sua applicazione ai problemi ellittici in dominio irregolare presenti in un modello di crescita tumorale.Il metodo è basato su uno schema alle differenze finite ed è accurato al secondo ordine su tutto il dominio di calcolo. L'originalità del metodo consiste nell'introduzione di nuove incognite sull'interfaccia, le quali permettono di esprimere le condizioni di trasmissione sull'interfaccia stessa. Il metodo viene descritto e i dettagli della sua parallelizzazione, realizzata con la libreria PETSc, sono forniti. Il metodo è validato e i risultati sono confrontati con quelli di metodi dello stesso tipo trovati in letteratura. Uno studio numerico del metodo parallelizzato è inoltre prodotto.Il metodo è applicato ai problemi ellittici in dominio irregolare che compaiono in un modello continuo e tridimensionale di crescita tumorale, il modello a due specie di tipo Darcy. L'approccio utilizzato è basato sulla penalizzazione delle condizioni di trasmissione sull'interfaccia, al fine di imporre condizioni di Neumann omogenee sul bordo di un dominio irregolare. Le simulazioni del modello sono presentate e mostrano la capacità del metodo di imporre una buona approssimazione delle condizioni al bordo considerate.

Depuis la publication de l'ouvrage de Choquet (1955), la théorie d'espérance non linéaire a attiré avec grand intérêt des chercheurs pour ses applications potentielles dans les problèmes d'incertitude, les mesures de risque et le super-hedging en finance. Shige Peng a construit une sorte d'espérance entièrement non linéaire dynamiquement cohérente par l'approche des EDP. Un cas important d'espérance non linéaire cohérente en temps est la G-espérance, dans laquelle le processus canonique correspondant (B_{t})_{t≥0} est appelé G-mouvement brownien et joue un rôle analogue au processus de Wiener classique. L'objectif de cette thèse est d'étudier, dans le cadre de la G-espérance, certaines équations différentielles stochastiques rétrogrades (G-EDSR) à croissance quadratique avec applications aux problèmes de maximisation d'utilité robuste avec incertitude sur les modèles, certaines équations différentielles stochastiques (G-EDS) réfléchies et équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec générateurs lipschitziens. On considère d'abord des G-EDSRs à croissance quadratique. Dans le Chapitre 2 nous fournissons un resultat d'existence et unicité pour des G-EDSRs à croissance quadratique. D'une part, nous établissons des estimations a priori en appliquant le théorème de type Girsanov, d'où l'on en déduit l'unicité. D'autre part, pour prouver l'existence de solutions, nous avons d'abord construit des solutions pour des G-EDSRs discretes en résolvant des EDPs non-linéaires correspondantes, puis des solutions pour les G-EDSRs quadratiques générales dans les espaces de Banach. Dans le Chapitre 3 nous appliquons les G-EDSRs quadratiques aux problèmes de maximisation d'utilité robuste. Nous donnons une caratérisation de la fonction valeur et une stratégie optimale pour les fonctions d'utilité exponentielle, puissance et logarithmique. Dans le Chapitre 4, nous traitons des G-EDSs réfléchies multidimensionnelles. Nous examinons d'abord la méthode de pénalisation pour résoudre des problèmes de Skorokhod déterministes dans des domaines non convexes et établissons des estimations pour des fonctions α-Hölder continues. A l'aide de ces résultats obtenus pour des problèmes déterministes, nous définissons le G-mouvement Brownien réfléchi et prouvons son existence et son unicité dans un espace de Banach. Ensuite, nous prouvons l'existence et l'unicité de solution pour les G-EDSRs multidimensionnelles réfléchies via un argument de point fixe. Dans le Chapitre 5, nous étudions l'existence et l'unicité pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies dirigées par un G-mouvement brownien lorsque la barrière S est un processus de G-Itô. / Since the publication of Choquet's (1955) book, the theory of nonlinear expectation has attracted great interest from researchers for its potential applications in uncertainty problems, risk measures and super-hedging in finance. Shige Peng has constructed a kind of fully nonlinear expectation dynamically coherent by the PDE approach. An important case of time-consistent nonlinear expectation is G-expectation, in which the corresponding canonical process (B_{t})_{t≥0} is called G-Brownian motion and plays a similar role to the classical Wiener process. The objective of this thesis is to study, in the framework of the G-expectation, some backward stochastic differential equations (G-BSDE) under a quadratic growth condition on their coefficients with applications to robust utility maximization problems with uncertainty on models, Reflected stochastic differential equations (reflected G-SDE) and reflected backward stochastic differential equations with Lipschitz coefficients (reflected G-BSDE). We first consider G-BSDE with quadratic growth. In Chapter 2 we provide a result of existence and uniqueness for quadratic G-BSDEs. On the one hand, we establish a priori estimates by applying the Girsanov-type theorem, from which we deduce the uniqueness. On the other hand, to prove the existence of solutions, we first constructed solutions for discrete G-BSDEs by solving corresponding nonlinear PDEs, then solutions for the general quadratic G-BSDEs in the spaces of Banach. In Chapter 3 we apply quadratic G-BSDE to robust utility maximization problems. We give a characterization of the value function and an optimal strategy for exponential, power and logarithmic utility functions. In Chapter 4, we discuss multidimensional reflected G-SDE. We first examine the penalization method to solve deterministic Skorokhod problems in non-convex domains and establish estimates for continuous α-Hölder functions. Using these results for deterministic problems, we define the reflected G-Brownian motion and prove its existence and its uniqueness in a Banach space. Then we prove the existence and uniqueness of the solution for the multidimensional reflected G-SDE via a fixed point argument. In Chapter 5, we study the existence and uniqueness of the reflected backward stochastic differential equations driven by a G-Brownian motion when the obstacle S is a G-Itô process.

Basés sur les outils théoriques et algorithmiques de la programmation DC et DCA, les travaux de recherche dans cette thèse portent sur les approches locales et globales pour l'optimisation non convexe et l'optimisation globale en variables mixtes entières. La thèse comporte 5 chapitres. Le premier chapitre présente les fondements de la programmation DC et DCA, et techniques de Séparation et Evaluation (B&B) (utilisant la technique de relaxation DC pour le calcul des bornes inférieures de la valeur optimale) pour l'optimisation globale. Y figure aussi des résultats concernant la pénalisation exacte pour la programmation en variables mixtes entières. Le deuxième chapitre est consacré au développement d'une méthode DCA pour la résolution d'une classe NP-difficile des programmes non convexes non linéaires en variables mixtes entières. Ces problèmes d'optimisation non convexe sont tout d'abord reformulées comme des programmes DC via les techniques de pénalisation en programmation DC de manière que les programmes DC résultants soient efficacement résolus par DCA et B&B bien adaptés. Comme première application en optimisation financière, nous avons modélisé le problème de gestion de portefeuille sous le coût de transaction concave et appliqué DCA et B&B à sa résolution. Dans le chapitre suivant nous étudions la modélisation du problème de minimisation du coût de transaction non convexe discontinu en gestion de portefeuille sous deux formes : la première est un programme DC obtenu en approximant la fonction objectif du problème original par une fonction DC polyèdrale et la deuxième est un programme DC mixte 0-1 équivalent. Et nous présentons DCA, B&B, et l'algorithme combiné DCA-B&B pour leur résolution. Le chapitre 4 étudie la résolution exacte du problème multi-objectif en variables mixtes binaires et présente deux applications concrètes de la méthode proposée. Nous nous intéressons dans le dernier chapitre à ces deux problématiques challenging : le problème de moindres carrés linéaires en variables entières bornées et celui de factorisation en matrices non négatives (Nonnegative Matrix Factorization (NMF)). La méthode NMF est particulièrement importante de par ses nombreuses et diverses applications tandis que les applications importantes du premier se trouvent en télécommunication. Les simulations numériques montrent la robustesse, rapidité (donc scalabilité), performance et la globalité de DCA par rapport aux méthodes existantes. / Based on theoretical and algorithmic tools of DC programming and DCA, the research in this thesis focus on the local and global approaches for non convex optimization and global mixed integer optimization. The thesis consists of 5 chapters. The first chapter presents fundamentals of DC programming and DCA, and techniques of Branch and Bound method (B&B) for global optimization (using the DC relaxation technique for calculating lower bounds of the optimal value). It shall include results concerning the exact penalty technique in mixed integer programming. The second chapter is devoted of a DCA method for solving a class of NP-hard nonconvex nonlinear mixed integer programs. These nonconvex problems are firstly reformulated as DC programs via penalty techniques in DC programming so that the resulting DC programs are effectively solved by DCA and B&B well adapted. As a first application in financial optimization, we modeled the problem pf portfolio selection under concave transaction costs and applied DCA and B&B to its solutions. In the next chapter we study the modeling of the problem of minimization of nonconvex discontinuous transaction costs in portfolio selection in two forms: the first is a DC program obtained by approximating the objective function of the original problem by a DC polyhedral function and the second is an equivalent mixed 0-1 DC program. And we present DCA, B&B algorithm, and a combined DCA-B&B algorithm for their solutions. Chapter 4 studied the exact solution for the multi-objective mixed zero-one linear programming problem and presents two practical applications of proposed method. We are interested int the last chapter two challenging problems: the linear integer least squares problem and the Nonnegative Mattrix Factorization problem (NMF). The NMF method is particularly important because of its many various applications of the first are in telecommunications. The numerical simulations show the robustness, speed (thus scalability), performance, and the globality of DCA in comparison to existent methods.

Nous nous interessons à la modélisation des interactions fluide-structure entre un fluide visqueux incompressible et une structure pouvant être déformable. Apres une approche des méthodes de type frontière immergée existantes, nous présentons une nouvelle approche : la méthode IPC (Image Point Correction) que nous validons ensuite sur différents cas tests. Puis, nous l'appliquons à la simulation 2D puis 3D de la nage d'un poisson grâce à une reconstruction utilisant l'outil du squelette.