[pt] É comum observar na natureza a emergência de comportamentos coletivos em populações biológicas, como formação de padrão. Neste trabalho, estamos interessados em caracterizar a distribuição de uma população de espécie única (como alguns tipos de bactérias ou de vegetação), a partir de modelos matemáticos que descrevem a evolução espaço-temporal, governados por processos elementares como: dispersão, crescimento e competição não-local por recursos. Primeiramente, utilizando uma generalização da equação de FKPP, analisamos numérica e analiticamente, o impacto de mecanismos de regulação dependentes da densidade, tanto na difusão quanto no crescimento. Tais mecanismos representam processos internos de retroalimentação, que modelam a resposta do sistema à superlotação ou rarefação da população. Mostramos que, dependendo do tipo de resposta em ação, os indivíduos podem se auto-organizar em subpopulações desconectadas (fragmentação), mesmo na ausência de restrições externas, ou seja, em uma paisagem homogênea. Discutimos o papel crucial que a dependência com a densidade tem na forma dos padrões, particularmente na fragmentação, o que pode trazer consequências importantes para processos de contato como disseminação de epidemias. Tendo compreendido esse fenômeno em um meio homogêneo, estudamos o papel que um ambiente heterogêneo tem na organização espacial de uma população, que representamos através de uma taxa de crescimento que varia com a posição. Investigamos as estruturas que emergem próximo a fronteira de um meio para o outro. Descobrimos que, dependendo da forma de interação nãolocal e de outros parâmetros do modelo, três perfis diferentes podem emergir a partir da interface: (i) oscilações não-atenuadas (ou padrões espaciais, sem decaimento da amplitude); (ii) oscilações atenuadas (com amplitude decaindo a partir da interface); (iii) decaimento exponencial (sem oscilações) a um perfil homogêneo. Relacionamos o comprimento de onda e a taxa de decaimento das oscilações com os parâmetros das interações (comprimento característico e forma de decaimento com a distância). Discutimos como as heterogeneidades do ambiente permitem acessar informações (ocultas no caso homogêneo) sobre os fenômenos biológicos do sistema, tais como os que mediam interações competitivas. / [en] It is common to observe in nature the emergence of collective behavior in biological populations, such as pattern formation. In this work, we are interested in characterizing the distribution of a single-species population (such as some bacteria or vegetation), based on mathematical models that describe the spatio-temporal evolution, and governed by elementary processes, such as: dispersion, growth, and nonlocal competition by resources. First, using a generalization of the FKPP equation, we analyze numerically and analytically the impact of density-dependent regulatory mechanisms, both on diffusion and growth. Such mechanisms represent processes of internal feedback, which shape the system s response to population overcrowding or rarefaction. We show that, depending on the type of the response in action, some individuals can organize themselves in disconnected sub-populations (fragmentation), even in the absence of external restrictions, that is in a homogeneous landscape. We discuss the crucial role that density-dependence has in the form of patterns, particularly in fragmentation, which can have important consequences for contact processes, such as the spread of epidemics. After understanding this phenomenon in a homogeneous environment, we study the role that a heterogeneous environment has in the spatial organization of a population, which was presented as a growth rate that varies with position. We investigate the structures that emerge near the border from one environment to the other. We found that, depending on the shape of nonlocal interaction and other model parameters, three different profiles can emerge from the interface: (i) sustained oscillations (or spatial patterns, without amplitude decay); (ii) attenuated oscillations (with amplitude decreasing from the interface); (iii) exponential decay (without oscillations) to a homogeneous profile. We related the wavelength and the rate of decay of oscillations with the parameters of the interaction (characteristic length and form of decay with distance). We discussed how the heterogeneities of the environment allow access to information (hidden in the homogeneous case) about the biological phenomena of the system, such as those that mediate competitive interactions.

In dieser Arbeit ist die Bildung von selbstorganisierten Nanostrukturen auf Galliumantimonid (GaSb) und Germanium (Ge) durch Ionenbeschuss untersucht worden. Zudem sind die auf Ge erhaltenen Lochstrukturen als Template für Silber- und Eisenschichten verwendet worden. Bei der Bestrahlung von GaSb mit Argonionen unter senkrechtem Ioneneinfall bilden sich hexagonal geordnete Punktstrukturen, während bei der Bestrahlung von Ge mit Galliumionen unter senkrechtem Ioneneinfall hexagonal geordnete Lochstrukturen entstehen. Dabei handelt es sich um zueinander inverse Muster. Für diese beiden Materialsysteme sind die Abhängigkeit der sich bildenden Strukturen von der Ionenenergie, dem Fluss, der Fluenz und dem Ioneneinfallswinkel untersucht, und die entstehenden Muster mit theoretischen Modellen verglichen worden. Bei der Bestrahlung von GaSb unter senkrechtem Ioneneinfall steigen charakteristische Länge und Höhe mit der Ionenenergie linear an, bis sie sättigen. Eine Variation des Einfallswinkels der Ar-Ionen führt zu hexagonal geordneten Punktstrukturen, geneigten Punktstrukturen und Rippeln auf GaSb. Das Aspektverhältnis steigt mit dem Winkel an, bis es für die Rippel wieder stark absinkt. Auf Ge bilden sich bei der Bestrahlung mit Ga-Ionen Lochstrukturen, deren Höhe linear mit der Ionenenergie ansteigt und deren charakteristische Länge mit dieser absinkt. Mit steigendem Ioneneinfallswinkel bilden sich aneinander gereihte Lochstrukturen sowie unregelmäßige Muster. Bei den Materialsystemen ist der Anstieg der Ordnung bis zu einer Sättigung mit der Fluenz ebenso wie der Anstieg der Höhe der Strukturen mit der Energie gemeinsam. Für schrägen Ioneneinfall werden gänzlich unterschiedliche Muster erhalten. Zudem ist ein Unterschied im Verhalten der charakteristischen Länge mit der Ionenenergie vorhanden. Ebenso wie die unterschiedlichen Aspektverhältnisse weist dies auf einen Unterschied im Musterbildungsprozess hin. Dieser wird auf Ge von der Vakanzdynamik dominiert, wohingegen auf GaSb das präferentielle Sputtern ausschlaggebend ist. Somit bestimmen die unterschiedlichen Materialeigenschaften von GaSb und Ge den Musterbildungsprozess. Um ein zeitlich entkoppeltes Bestrahlen zu betrachten, wird mit dem Strahl über die Ge-Oberfläche gerastert. Die erhaltenen Muster werden mit denen durch einen stehenden Ionenstrahl entstanden verglichen. Das Rastern des Ionenstrahls hat keinen Einfluss auf die entstehenden Muster. Zudem wird der Fluss bei Bestrahlung der Ge-Oberfläche über vier Größenordnungen variiert. Da der Fluss in allen Termen der Kontinuumsgleichungen enthalten ist, ist kein Einfluss auf die entstehenden Lochstrukturen vorhanden. Bei einer Bestrahlung von Ge mit Ge-Ionen bilden sich ebenfalls Lochstrukturen, die aber keine hexagonale Nahordnung aufweisen. Damit wird eine zweite Komponente, entweder im Substrat oder aus dem Ionenstrahl, benötigt, damit die Strukturen geordnet sind. Diese Lochstrukturen werden im Anschluss mit Silber und Eisen bedampft, um ein unterschiedliches Aufwachsen im Vergleich zu einer planaren Oberfläche zu untersuchen. Bei Verwendung einer vorstrukturierten Oberfläche steigt die Anzahl der Silbercluster aufgrund der größeren Oberfläche an. Eine Vorstrukturierung des Substrats verhindert eine Veränderung der Filmmorphologie eines nahezu geschlossenen Films durch Tempern. Bei Verwendung eines planaren Substrats bilden sich nach dem Tempern Cluster. Beim senkrechten Aufdampfen eines Eisenfilms folgt dieser der Oberfläche. Durch die erhöhte Rauigkeit aufgrund der Vorstrukturierung verändert sich die polare Magnetisierungskomponente. Beim Aufdampfen des Eisens unter streifendem Einfall bilden sich säulenartige Strukturen. Diese sind auf dem vorstrukturierten Substrat größer und haben im Mittel einen größeren Abstand. Diese Säulen weisen eine starke magnetische und magnetooptische Anisotropie auf, die im Anschluss untersucht wird. Die Verwendung des vorstrukturierten Substrats und somit die veränderte Größe der Säulen, beeinflusst die magnetischen Eigenschaften kaum.

The actin cortex of an animal cell is a thin polymeric layer attached to the inner side of the plasma membrane. It plays a key role in shape regulation and pattern formation on the cellular and tissue scale and, in particular, generates the contractile ring during cell division. Experimental studies showed that the cortex is fluid-like but highly viscous on long time scales with a mechanics that is sensitively regulated by active and passive cross-linker molecules that tune active stress and shear viscosity. Here, we use an established minimal model of active surface dynamics of the cell cortex supplemented with the experimentally motivated feature of mechanosensitivity in cross-linker binding dynamics. Performing linear stability analysis and computer simulations, we show that cross-linker mechanosensitivity significantly enhances the versatility of pattern formation and enables self-organized formation of contractile rings. Furthermore, we address the scenario of concentration-dependent shear viscosities as a way to stabilize ring-like patterns and constriction in the mid-plane of the active surface.

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Komplexe kognitive Funktionen wie Gedächtnisbildung, Navigation und Entscheidungsprozesse hängen von der Kommunikation zwischen Hippocampus und Neokortex ab. An der Schnittstelle dieser beiden Gehirnregionen liegt der entorhinale Kortex - ein Areal, das Neurone mit bemerkenswerten räumlichen Repräsentationen enthält: Gitterzellen. Gitterzellen sind Neurone, die abhängig von der Position eines Tieres in seiner Umgebung feuern und deren Feuerfelder ein dreieckiges Muster bilden. Man vermutet, dass Gitterzellen Navigation und räumliches Gedächtnis unterstützen, aber die Mechanismen, die diese Muster erzeugen, sind noch immer unbekannt. In dieser Dissertation untersuche ich mathematische Modelle neuronaler Schaltkreise, um die Entstehung, Weitervererbung und Verstärkung von Gitterzellaktivität zu erklären. Zuerst konzentriere ich mich auf die Entstehung von Gittermustern. Ich folge der Idee, dass periodische Repräsentationen des Raumes durch Konkurrenz zwischen dauerhaft aktiven, räumlichen Inputs und der Tendenz eines Neurons, durchgängiges Feuern zu vermeiden, entstehen könnten. Aufbauend auf vorangegangenen theoretischen Arbeiten stelle ich ein Einzelzell-Modell vor, das gitterartige Aktivität allein durch räumlich-irreguläre Inputs, Feuerratenadaptation und Hebbsche synaptische Plastizität erzeugt. Im zweiten Teil der Dissertation untersuche ich den Einfluss von Netzwerkdynamik auf das Gitter-Tuning. Ich zeige, dass Gittermuster zwischen neuronalen Populationen weitervererbt werden können und dass sowohl vorwärts gerichtete als auch rekurrente Verbindungen die Regelmäßigkeit von räumlichen Feuermustern verbessern können. Schließlich zeige ich, dass eine entsprechende Konnektivität, die diese Funktionen unterstützt, auf unüberwachte Weise entstehen könnte. Insgesamt trägt diese Arbeit zu einem besseren Verständnis der Prinzipien der neuronalen Repräsentation des Raumes im medialen entorhinalen Kortex bei. / High-level cognitive abilities such as memory, navigation, and decision making rely on the communication between the hippocampal formation and the neocortex. At the interface between these two brain regions is the entorhinal cortex, a multimodal association area where neurons with remarkable representations of self-location have been discovered: the grid cells. Grid cells are neurons that fire according to the position of an animal in its environment and whose firing fields form a periodic triangular pattern. Grid cells are thought to support animal's navigation and spatial memory, but the cellular mechanisms that generate their tuning are still unknown. In this thesis, I study computational models of neural circuits to explain the emergence, inheritance, and amplification of grid-cell activity. In the first part of the thesis, I focus on the initial formation of grid-cell tuning. I embrace the idea that periodic representations of space could emerge via a competition between persistently-active spatial inputs and the reluctance of a neuron to fire for long stretches of time. Building upon previous theoretical work, I propose a single-cell model that generates grid-like activity solely form spatially-irregular inputs, spike-rate adaptation, and Hebbian synaptic plasticity. In the second part of the thesis, I study the inheritance and amplification of grid-cell activity. Motivated by the architecture of entorhinal microcircuits, I investigate how feed-forward and recurrent connections affect grid-cell tuning. I show that grids can be inherited across neuronal populations, and that both feed-forward and recurrent connections can improve the regularity of spatial firing. Finally, I show that a connectivity supporting these functions could self-organize in an unsupervised manner. Altogether, this thesis contributes to a better understanding of the principles governing the neuronal representation of space in the medial entorhinal cortex.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer Reihe von Fragestellungen, die Forschungsfeldern wie rauschinduziertem Verhalten, Strukturbildung in aktiven Medien und Synchronisation nichlinearer Oszillatoren erwachsen. Die verwendeten nichtlinearen Modelle verfügen über erregbare, oszillatorische und bistabile Eigenschaften. Zusätzliche stochastische Fluktuationen tragen wesentlich zur Entstehung komplexer Dynamik bei. Modelliert wird, auf welche Weise sich extrazelluläre Kaliumkonzentration, gespeist von umliegenden Neuronen, auf die Aktivität dieser Neuronen auswirkt. Neben lokaler Dynamik wird die Ausbildung ausgedehnter Strukturen in einem heterogenem Medium analysiert. Die raum-zeitlichen Muster umfassen sowohl Wellenfronten und Spiralen als auch ungewöhnliche Strukturen, wie wandernde Cluster oder invertierte Wellen. Eine wesentliche Rolle bei der Ausprägung solcher Strukturen spielen die Randbedingungen des Systems. Sowohl für diskret gekoppelte bistabile Elemente als auch für kontinuierliche Fronten werden Methoden zur Berechnung von Frontgeschwindigkeiten bei fixierten Rändern vorgestellt. Typische Bifurkationen werden quantifiziert und diskutiert. Der Rückkopplungsmechanismus aus dem Modell neuronaler Einheiten und deren passiver Umgebung kann weiter abstrahiert werden. Ein Zweizustandsmodell wird über zwei Wartezeitverteilungen definiert, welche erregbares Verhalten widerspiegeln. Untersucht wird die instantane und die zeitverzögerte Antwort des Ensembles auf die Rückkopplung. Im Fall von Zeitverzögerung tritt eine Hopf-Bifurkation auf, die zu Oszillationen der mittleren Gesamtaktivität führt. Das letzte Kapitel befasst sich mit Diffusion und Transport von Brownschen Teilchen in einem raum-zeiltich periodischen Potential. Wieder sind es Synchronisationsmechanismen, die nahezu streuungsfreien Transport ermöglichen können. Für eine erhöhte effektiven Diffusion gelangen wir zu einer Abschätzung der maximierenden Parameter. / In this work problems are investigated that arises from resarch fields of noise induced dynamics, pattern formation in active media and synchronisation of self-sustained oscillators. The applied model systems exhibit excitable, oscillatory and bistable behavior as basic modes of nonlinear dynamics. Addition of stochastic fluctuations contribute to the appearance of complex behavior. The extracellular potassium concentration fed by surrounding activated neurons and the feeback to these neurons is modelled. Beside considering the local behavior, nucleation of spatially extended structures is studied. We find typical fronts and spirales as well as unusal patterns such as moving clusters and inverted waves. The boundary conditions of the considered system play an essential role in the formation process of such structures. We present methods to find expressions of the front velocity for discretely coupled bistable units as well as for the countinus front interacting with boundary values. Canonical bifurcation scenarios can be quantified. The feedback mechanism from the model for neuronal units can be generalized further. A two-state model is defined by two waiting time distributions representing excitable dynamics. We analyse the instantaneous and delayed response of the ensemble. In the case of delayed feedback a Hopf-bifurcation occur which lead to oscillations of the mean activity. In the last chapter the transport and diffusion of Brownian particles in a spatio-temporal oscillating potential is discussed. As a cause of nearly dispersionless transport synchronisations mechanisms can be identified. We find an estimation for parameter values which maximizes the effective diiffusion.

Zellmembranen sind hochspezialisierte Mehrkomponentenlegierungen, welche sowohl die Zelle selbst als auch ihre Organellen umgeben. Sie spielen eine entscheidende Rolle bei vielen biologisch relevanten Prozessen wie die Signaltransduktion und die Zellbewegung. Aus diesem Grund ist eine genaue Charakterisierung ihrer Eigenschaften der Schlüssel zum Verständnis der Bausteine des Lebens sowie ihrer Erkrankungen. Besonders Krebs steht im engen Zusammenhang mit Veränderungen der biomechanischen Eigenschaften vom Gewebe, Zellen und ihren Organellen. Während Veränderungen des Zytoskeletts von Krebszellen im Fokus vieler Biophysiker stehen, ist die Bedeutung der Biomechanik von Zellmembran weitgehend unklar. Zellmembranen faszinieren Wissenschaftler jedoch nicht nur wegen ihrer biomechanischen Eigenschaften. Sie sind auch Beispiele für eine selbstorganisierte und heterogene Landschaft, in der Prozesse fernab des Gleichgewichtes, wie z.B. räumliche und zeitliche Musterbildungen, auftreten. Die vorgelegte Dissertation untersucht erstmals umfassend die zentrale Rolle der Zellmembran und ihrer molekularen Architektur für die Signalübertragung, die Biomechanik und die Zellmigration. Hierfür werden einfache Modellmembranen aber auch komplexere Vesikel und ganze Zellen mittels etablierter physikalischer Methoden analysiert. Diese reichen von Fourier- Analysen zur Charakterisierung von thermisch angeregten Membranundulationen über Massenspektrometrie und ‘Optical Stretcher’ Messungen von ganzen Zellen bis hin zur Filmwaagentechnik. Des Weiteren wird ein Modellsystem vorgestellt, welches sowohl einen experimentellen als auch einen mathematischen Zugang zum ‘ME-switch’ ermöglicht. Die vorgelegte Dissertation bietet neue Einblicke in wichtige Funktionen von Zellmembranen und zeigt neue therapeutische Perspektiven in der Membran- und Krebsforschung auf.

Spontaneous travelling waves of neuronal activity are a prominent feature throughout the developing brain and have been shown to be essential for achieving normal function, but the mechanism of their action on post-synaptic connections remains unknown. A well-known and widespread mechanism for altering synaptic strengths is spike-timing dependent plasticity (STDP), whereby the temporal relationship between the pre- and post-synaptic spikes determines whether a synapse is strengthened or weakened. Here, I answer the theoretical question of how these two phenomenon interact: what types of connectivity patterns can emerge when travelling waves drive a downstream area that implements STDP, and what are the critical features of the waves and the plasticity rules that shape these patterns? I then demonstrate how the theory can be applied to the development of the visual system, where retinal waves are hypothesised to play a role in the refinement of downstream connections. My major findings are as follows. (1) Mathematically, STDP translates the correlated activity of travelling waves into coherent patterns of synaptic connectivity; it maps the spatiotemporal structure in waves into a spatial pattern of synaptic strengths, building periodic structures into feedforward circuits. This is analogous to pattern formation in reaction diffusion systems. The theory reveals a role for the wave speed and time scale of the STDP rule in determining the spatial frequency of the connectivity pattern. (2) Simulations verify the theory and extend it from one-dimensional to two-dimensional cases, and from simplified linear wavefronts to more complex realistic and noisy wave patterns. (3) With appropriate constraints, these pattern formation abilities can be harnessed to explain a wide range of developmental phenomena, including how receptive fields (RFs) in the visual system are refined in size and topography and how simple-cell and direction selective RFs can develop. The theory is applied to the visual system here but generalises across different brain areas and STDP rules. The theory makes several predictions that are testable using existing experimental paradigms.

Cette thèse traite de la modélisation de la croissance et de la dissolution de cristaux confinés. Nous nous concentrons sur la dynamique dans les contacts lubrifiés (ou hydrophiles) et dérivons un modèle de continu de couche mince prenant en compte la diffusion, la cinétique de surface, l’hydrodynamique, la tension de surface et les interactions avec le substrat (pression de disjonction). Premièrement, nous étudions la dissolution induite par une charge extérieure (dissolution sous contrainte). Nous trouvons que la forme fonctionnelle de la pression de disjonction -finie ou divergente au contact- est cruciale dans la détermination des taux de dissolution et des morphologies stationnaires. Ces formes conduisent respectivement à des taux de dissolution dépendant ou indépendants de la charge, et à des profils de surface plats ou pointus. Deuxièmement, nous avons considéré la croissance des cristaux à proximité d’un mur plat. Nous avons constaté qu’une cavité apparaît sur la surface cristalline confinée. Nous obtenons un diagramme de morphologie hors équilibre en accord avec les observations expérimentales. En traversant la ligne de transition, une cavité peut apparaître de manière continue ou discontinue en fonction de la forme de la pression de disjonction (répulsive ou attractive). Pour les épaisseurs de film nanométriques, la viscosité peut entraver la formation de la cavité. Enfin, nous étudions la force de cristallisation exercée par un cristal croissant entre deux parois planes. Nous soulignons l’importance d’une définition précise de l’aire de contact pour définir la pression d’équilibre thermodynamique. Pendant la croissance, la ligne triple subit une transition cinétique dépendant uniquement du rapport entre: la constante de diffusion, et le produit de la constante cinétique de surface et de la distance entre les murs. Après cette transition, la force de cristallisation diminue jusqu’à s’annuler, et un film macroscopique se forme / This thesis discusses the modeling of growth and dissolution of confined crystals. We focus on the dynamics within lubricated (or hydrophilic) contacts and derive a thin film continuum model accounting for diffusion, surface kinetics, hydrodynamics, surface tension and interactions with the substrate (disjoinining pressure). First, we study dissolution induced by an external load (pressure solution). We find the functional form of the disjoining pressure -finite or diverging at contact- to be crucial in determining steady state dissolution rates and morphologies. These forms respectively lead to load-dependent or load-independent dissolution rates, and to flat or pointy surface profiles.Second, we considered crystal growth in the vicinity of a flat wall. We found that a cavity appears on the confined crystal surface. We obtain a non-equilibrium morphology diagram in agreement with experimental observations. When crossing the transition line, a cavity can appear continuously or discontinuously depending on the form of the disjoining pressure (repulsive or attractive). For nanometric film thicknesses, viscosity can hinder the formation of the cavity.Finally, we study the force of crystallization exerted by a crystal growing between two flat walls. We point out the importance of a precise definition of the contact area to define the thermodynamic equilibrium pressure. During growth, the triple-line undergoes a kinetic pinning transition depending solely on the ratio between the diffusion constant and the product of the surface kinetic constant and distance between the walls. After this transition, the crystallization force decreases to zero, and a macroscopic film forms

La motivation de cette thèse de Doctorat est de modéliser quelques problèmes biologiques avec des systèmes et des équations de réaction-diffusion. La thèse est divisée en sept chapitres: 1. On modélise des ions de calcium et des protéines dans une épine dendritique mobile (une microstructure dans les neurones). On propose deux modèles, un avec des protéines qui diffusent et un autre avec des protéines fixées au cytoplasme. On démontre que le premier problème est bien posé, que le deuxième problème est presque bien posé et qu'il y a un lien continu entre les deux modèles. 2. On applique les techniques du Chapitre 1 pour un modèle d'infection virale et réponse immunitaire dans des cellules cultivées. On propose comme avant deux modèles, un avec des cellules qui diffusent et un autre avec des cellules fixées. On démontre que les deux problèmes sont bien posés et qu'il y a un lien continu entre les deux modèles. On Žtudie aussi le comportement asymptotique et la stabilité des solutions pour des temps larges, et on fait des simulations dans Matlab. 3. Dans le Chapitre 3 on montre que la croissance a deux effets positives dans la formation de motifs ou patterns. Le premier est un effet anti-explosion (anti-blow-up) car les solutions sur un domaine croissant explosent plus tard que celles sur un domaine fixé, et si la croissance est suffisamment rapide alors elle peut même empêcher l'explosion. Le deuxième est un effet stabilisant car les valeur propres sur un domaine croissant ont des parties réelles plus petites que celles sur un domaine fixé. 4. On étend la définition de front progressif à des variétés et on en étudie quelques propriétés. 5. On étudie des front progressifs sur la droite réelle. On démontre qu'il y a deux fronts progressifs qui se déplacent dans des directions opposées et qu'ils se bloquent mutuellement, générant ainsi une solution stationnaire non-triviale. Cet exemple montre que pour des modèles à diffusion non-homogène les fronts progressifs ne sont pas nécessairement des invasions. 6. On étudie des fronts progressifs sur la sphère. On démontre que pour des sous-domaines de la sphère avec des conditions aux limites de Dirichlet le front progressif est toujours bloqué, tandis que pour la sphère complète le front peut ou bien invahir ou bien être bloqué, tout en fonction des conditions initiales. 7. On étudie un problème elliptique aux valeurs propres nonlinéaires. Sur la sphère de dimension 1 on démontre l'existence de multiples solutions non-triviales avec des techniques de bifurcation. Sur la sphère de dimension n on utilise les mêmes arguments pour dŽmontrer l'existence de multiples solutions non-triviales à symétrie axiale, i.e. qui ne dépendent que de l'angle vertical.